数理方法总复习2013

1、数学物理方法课程总结建议：复习巩固以下知识点建议：复习巩固以下知识点+重温重温例题和作业例题和作业+自主补充复习和练习自主补充复习和练习教学目的：n既是物理学专业的重要基础课又是一门工具课。n掌握本课程所涉及的数学方法、技巧去解决物理学中的一些问题。 留数理论解决反常积分； 分离变量法求解三类数理方程的有界问题； 积分变换法求解无界问题；格林函数法解决各类问题。n提高逻辑思维能力，分析及解决问题的能力。对所学物理知识加深理解、融会贯通。知识要点：n熟悉复变函数论中与实变函数论相平行的一些概念，如：连续、极限、可导等。n掌握解析函数的概念及重要性质，级数展开的方法和利用留数理论计算积分特别是计算

2、实积分的方法。n掌握求解偏微分方程的各种解法。n特殊函数的相关性质。n两个求解积分方法 柯西理论 留数理论n级数展开复变函数论-解析函数 三个方程三个方程： 波动方程波动方程 输运方程输运方程 稳定场方程稳定场方程 三个解法三个解法： 分离变量法分离变量法 积分变换法积分变换法 格林函数法格林函数法 两个特殊函数两个特殊函数： 球函数球函数 柱函数柱函数数学物理方程主要内容：n第一篇：复变函数论 第一章解析函数、第二章解析函数积分、第三章复变函数级数、第五章留数理论n第二篇：数学物理方程 第六章定解问题、第八章分离变量法、第九章积分变换法、第十章格林函数法n第三篇：特殊函数 第十四章勒让德多项

3、式第一章 解析函数1、复数的表示形式：n复数的代数式代数式:z=x+iyn复数的三角式三角式:n复数的指数式：指数式：x xy yA Ar rc ct ta an ny yx x2 22 2，ize例题例题：将：将 写成三角形式及指数形式写成三角形式及指数形式31 isincosiz2、复数的运算规则1212()1212()12122/(/)(0)i ArgzArgzi ArgzArgzzzzz ezzzzez20,12 .2argzkimmmkmzz e，inArgznnezz 例题例题：31 i) 1-,.(1 , 0mk 1sin()21cos()2izizizizzeeizee欧拉公式

4、欧拉公式: 3、复变函数的区域n邻域：n内点、外点、边界、边界正向；n区域：n闭区域、单连通区域、复连通区域。n例题：（1） ， 。n （2） ；（3）21ezzR且的邻域。的点集称为zzzz00；的线连接可用全和zz，且，设全由内点组成；212100.2.1zz若点集zarg221 z22ziz1z2z3z4、柯西-黎曼条件 (函数可导必要条件) (其中f(z)=u+iv) 5、解析：函数f(z)=u+iv在z0点及其邻域上处处可导,则称f(z)在z0点解析。在区域B上每一点都解析,则称f(z)是在区域B上的解析函数。yuxvyvxu6、解析函数的性质: 1.若函数f(z)=u+iv在区域B

5、上解析,则 ，说明 ( 为常数) 是B上的两组正交曲线族。2.若函数在区域B上解析,则u,v均为B上的调 和函数,即 ，且由C-R联系着。 12( , ), ( , )u x yC v x yC12,C C0vu0,0vu例题: 已知某解析函数f(z)的虚部为v=x+y，求实部和这个解析函数。第二章 解析函数积分（7个公式）n1、单连通区域柯西定理： 如果函数f(z)在闭单连通区域上解析,则沿其上任意一分段光滑闭合闭合曲线L(也可以是的边界),有2、复连通区域柯西定理：如果f(z)是闭复连通区域上的单值解析函数,则 . lnklkdzzfdzzf1)()(lzdzf0)(3、单通区域的Cauc

6、hy公式：alHzf上连续，在设),()(则ldzazzfiaf)(21)(4、复通区域的科西公式)()(HzfL设 为 的边界复围线，在 上连续，则 nkkllL1lnklkdzzfdzzfizf1)()(21)(5、解析函数的任意阶导数设 满足科西公式存在的条件，则在内有：)(,zfllnndzfinzf1)()()(2!)(的长度。lszfMMsdsdzdzzfdzzfll, )(,)()(6、积分估计值定理M为为f(z)在在l上的最大值上的最大值lnnniazdz1,01,2)(7、l是包含a的任意正向简单闭曲线。 计算复变函数的围道积分n步骤：（1）判断被积函数有无奇点，有何奇点；（

7、2）判断围道内有无奇点，有何奇点；（3）适当选择公式。例题：21 -511zdzz、求411-3z2zdzzz、求3、求33) 1)(1(1zdzzzzI11sin44adzzzaz，、求第三章 复变函数级数n一、无穷级数n二、泰勒级数与罗朗级数n三、孤立奇点的分类一、无穷级数复数项级数复数项级数 0kkf复变函数项级数复变函数项级数幂级数幂级数)(zfkk 0,)(0kkkbza均与相应的实级数具有类似均与相应的实级数具有类似的相关概念、定理和性质。的相关概念、定理和性质。,Rbz kkkkkkaaaR11limlim。定敛散性不,当发散;,当11lllffkkk1lim绝对收敛;1时当则,

8、0lfkk二、泰勒级数与罗朗级数泰勒级数罗朗级数展开式收敛域与解析函数的关系性质展开方法二者关系,)()(kkkbzazf 0,)()(kkkbzczf ,Rbzr ,Rbz Rbzkkkbza)(0!)()(kbfakk lkkdbfic 121)()(是罗朗展开的正则部是罗朗展开的正则部是泰勒展开的推广是泰勒展开的推广在收敛域内绝对收敛，在较小的闭域内一致收敛。在收敛域内绝对收敛，在较小的闭域内一致收敛。1.直接用展开定理展开；直接用展开定理展开；)()(RbzHzfRbzrkkkbzc)()()(RbzrHzf2.利用已知级数展开式展开利用已知级数展开式展开常用的级数展开公式：常用的级数

9、展开公式：1,110zzzkkzkzekkz,!0zkzzkkk,)!12()1(sin012zkzzkkk,)!2()1(cos02三、孤立奇点的分类奇点类型b 展开 式Rbzbzckkk0 ,)(zRzckkk,可去奇点m阶极点本性奇点无负幂无负幂有有m m项负幂项负幂有无限项负幂有无限项负幂无正幂无正幂有有m m项正幂项正幂有无限项正幂有无限项正幂习题：n一、确定幂级数的收敛半径n二、将函数展开为泰勒级数n三、将函数展开为罗朗级数n四、判断奇点的类型一、确定幂级数的收敛半径2、求幂级数 的收敛半径。0kkkz1、判断级数 的敛散性。1321kki3、求级数 的收敛半径。02221kkkz

10、二、将函数展开为级数 zzzf-11101 z）（将函数在下列区域中展开为级数。 1103 z）（12z）（11-4z）（三、判断奇点的类型步骤：1、判断何点为奇点2、判断奇点是孤立奇点还是非孤立奇点3、对于孤立奇点判断奇点的类型?)(lim)(zfabz）（本性不定，可去有限，极，若)()()()(lim)(bbbzfbz阶极点。为点阶为以有限非则当为极点若mbmbzfzgzfbzbzzzfbbmbzm0)(1)(0)()(lim)()()(,)( 若 但 则称 为函数 的 级零点。)(zga, 0)()()()() 1( agagagagm, 0)()(agmm附: 解析函数的零点： 设函

11、数 在解析区域 内一点 的值为零，即 ，则称 为解析函数的 零点。 zgaa zg 0agzzzzzzzzzz?0,1sin)(3 ?0,sin1)2( ?1:1) 1(3？，习题： 0,sin4zzzzf）（n利用留数定理计算积分第四章 留数理论（1）积分环路内存在被积函数的孤立奇点，将此积分归结为被积函数在环路所围区域内各孤立奇点的留数和。（2）复杂的实积分：将实积分与一复变函数的环路积分联系起来。习题求解n一、计算留数n二、用留数定理计算围道积分n三、计算实积分一、计算留数 )0( ,RbzbzCzfzfbkkk则的孤立奇点为若 处的留数。在孤立奇点为的系数称bzfCbz1111),()

12、(CbzfresCbresf或记一、计算留数)( )()()(lim ,)()(!11)()(21)resf( )(21)(z1111kkkbkbznknnkllkbbzfbznbzfbzdzdnbresfdzzfiCdzzfiCbresfkkk阶极点）（1n 0resres1fbfnkk一、计算留数（可去）（本性），（单极点）zzzzzzz0,1sin)(2 1:1) 1( （可去）（0,sin3zzzzf1,11-)4(2zzzz在二、用留数定理计算围道积分1 、留数定理 nkklbfidzzf1res2上连续，则解析，在外单值内除有有限个孤立奇点在设lnkbzfk), 2 , 1()(二

13、、用留数定理计算围道积分azdzzz31cos1a?sin123zdzz三、用留数定理计算实积分用留数定理计算实积分的要领：;,)(. 11lbadxxfba复平面中实轴上的一段为的积分路径视所要计算的积分klnkkkdzzflllnkl易于计算；，且闭合围道使，几段曲线在复平面内补充一段或)()()(), 3 , 2(. 221.)(. 3ldzzf数的围道积分用留数定理计算复变函), ,(lba面中的闭合围道变为复平上的一段或做变量代换，使实轴1、无穷积分 dxxf 0Im1res2znkkbfidxxf 则时外单值解析，且当（中除有奇点在在实轴上无奇点若, 0)(), 2 , 10Im,

14、zfzznkbzzfk1、无穷积分 dxxf 实轴上nkkznkkbfibfidxxf10Im1resres2 则时且当外单值解析，（中除有有限个孤立奇点在点在实轴上有有限个单极若, 0)(), 2 , 10Im,zfzznkbzzfk 则时外单值解析，且当（中除有奇点在在实轴上无奇点若0, 0)(), 2 , 10Im,pzfznkbzzfk 为偶函数；)(,rescos10Im0 xfebfipxdxxfnkzipbkk nkzipbkxfebfpxdxxfk10Im0)(,ressin为奇函数。 0sincos2dxpxpxxf、dzizizzzzRdRz1)2,2(sin,cos201

15、11 nkzkbfi11res2, iez 令令izdzd d,R20sincos3 3、20sin,cosdR,2sin,2cos11izzzz 则则4、练习n利用留数理论计算实积分：dxx211)2(-211) 1 (dxx022)(cos3dxbxx）（20cos25)4(d第六章 定解问题hufuautt2fuDut波动方程输运方程泊松方程一、 三类数学物理方程： h- h-与源有关的已知量，与源有关的已知量，u-u-表示稳定物理量表示稳定物理量 - -波动， -波速， -与源有关的函数auf浓度， -系数， -与源有关的已知量uDf0u 2、求解：3、分析解答：二、用数理方法研究问题

16、的步骤1、写出定解问题三、定解条件定解条件初始条件边界条件其它条件1、初始条件：弦振动:)(|)(|00 xuxuttt热传导:)(|0 xut2、边界条件：第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件),(|tMfu边),(|tMfun边),(| )(tMfhuun边3、典型习题：0|,0|0lxxuu两端固定弦的横振动:tlxeTu0|杆的导热问题:杆的纵振动问题:一端固定，另一端单位面积受力为F(t),/|EFulxx0|0 xu写出下两种情况的杆的导热问题的边界条件。（1）杆的两端温度为0（2）杆的两端绝热0,00lxxuu0,00lxxxxuu)()tlxa度为端有热量流出，热流密kt

17、xulx)(|第八章 分离变量法n中心内容:用分离变量法求解各种有界问题 掌握分离变量法的解题思想、解题步骤及其核心问题本征值问题 （齐次方程，齐次边界条件） 掌握在球坐标系中对 的分离变量及所得到的特殊函数微分方程0u分离变量法的解题步骤为： 对齐次方程和齐次边界条件分离变量 解常微分方程的本征值问题 解其它变量的常微分方程 叠加，用初始条件（或非齐次边界条件)定系数分离变量法要领是，令 tT.zZyYxXz,.ty,x,u 从而将偏微分方程变成常微分方程 求解。 3xu,xu20u0,u1lx0,uau0tt0tlx0 xxx2tt xuxutuulxuautttlxxxxxxtt0002

18、,0, 0, 00, 0一、齐次方程、齐次边界条件的分离变量法本征值：0)1(2222 RlldrdRrdrRdr本征函数： , )(rR22),1(,),1(mllmll ,.2 , 1 , 0,02 mm 0sin)1()(sinsin122 mlldddd01) 1(2)1 (222 yxmllyxyx0u二、在球坐标系中的分离变量)()()(),( rRru 令连带勒让德方程应该选择坐标系，使所研究问题的边界面和一个或几个坐标面重合。边界：长方形 球 圆柱坐标：“直” “球” “柱”三、第十四章 勒让德多项式二、有关特殊函数性质一、在球坐标中 的解0uv本章主要内容： rRuu令一、0

19、)()(012102xpxyyllyxyxml 0)1(000)1(cos)(cos)(sincosllllllmllmmlllllmlmlPrdrcPrdrcmBmAu mBmAmmmmsincos02)1(2)(0) 1(2 llllrdrcrRRllRrRr )(01121)(222xpxyyxmllyxyxml 二、勒让德多项式的性质 xPxPxPllll1112. 2 0121. 111xPlxPxlxPllll ,.,2 , 1 , 0,12211lkldxxPxPklkl3、广义傅氏展开 0lllxPCxf 11212dxxPxflCll1、递推公式2、正交性例题： ?:11300199dxxPxP问0 1128?dxxP17