构可靠指标计算的蒙特卡罗法

1、ch5结构可靠度计算的蒙特卡罗法n5.1蒙特卡罗法概述n5.2蒙特卡罗法的优缺点n5.3抽样模拟总数与蒙特卡罗法的精度n5.4随机变量的抽样n5.5蒙特卡罗法计算可靠指标举例n5.6蒙特卡罗的重要抽样法5.1蒙特卡罗法概述n蒙特卡罗法是随机模拟法的代名词，用这种方法计算结构可靠指标的基本思想是：对于设计阶段的结构，其功能函数及所包含变量的统计特征都是已知的，通过某种方法,根据已知的概率特性(统计特征），产生大量设计变量的样本值，将其代入功能函数，“计算”结构的状态，并对计算结果进行分析统计,直接计算其失效概率。5.1.1对蒙特卡罗法简明的理解),(21nxxxgZ ;,;,2121nnxxxx

2、xxnxxx21,nZZZ21,1.已知2.用某种方法产生样本3.计算结构的状态当然，样本的统计特征应与已知值一致。失效极限状态可靠000),(21nxxxgZ统计时以 为失效。5.1.1对蒙特卡罗法简明的理解n一般地说，随机地对每个随机变量 进行抽样，以得到一个样本值 ，然后对是否出现功能函数 进行检查，如果超过了极限状态，则认为结构或构件已经“失效”了。n 针对具体问题，首先选定所需试验次数，然后进行随机抽样并记录试验结果，最后统计超越极限状态的试验次数。iXiX0)(iXZ5.1.2蒙特卡罗法的由来蒙特卡罗法的由来n蒙特卡罗原本是摩纳哥国的一个城市，该市有赌城之蒙特卡罗原本是摩纳哥国的一

3、个城市，该市有赌城之称。赌是一种不确定性行为，具有概率的特性，本质称。赌是一种不确定性行为，具有概率的特性，本质上是一种随机实验。上是一种随机实验。n1946年冯年冯.诺伊曼等人用诺伊曼等人用电子计算机模拟了裂变物质电子计算机模拟了裂变物质的中子连锁反应的中子连锁反应，由于研究涉及秘密工作（原子弹的，由于研究涉及秘密工作（原子弹的研制），将所使用的研制），将所使用的随机模拟随机模拟方法称为方法称为蒙特卡罗法蒙特卡罗法。5.1.3利用利用随机模拟随机模拟研究结构安全问题的数学基研究结构安全问题的数学基础础n利用利用随机模拟方法随机模拟方法研究结构安全问题是一种很自然的方研究结构安全问题是一种很自

4、然的方法，因为结构建造和使用本身就是一个随机实验。法，因为结构建造和使用本身就是一个随机实验。n在结构设计阶段，由于设计变量存在着不确定性，其在结构设计阶段，由于设计变量存在着不确定性，其具体的量值是未知的，只能通过对以往实验、实测和具体的量值是未知的，只能通过对以往实验、实测和调查资料的统计分析，从概率角度来推断结构未来的调查资料的统计分析，从概率角度来推断结构未来的性状；性状；n在结构建成并使用到设计规定期后，设计中所用的变在结构建成并使用到设计规定期后，设计中所用的变量都成了规定值，结构的最终状态也完全得以确定量都成了规定值，结构的最终状态也完全得以确定（完好或失效）。（完好或失效）。n

5、所以结构从建造到使用期内的表现，就是对所设计结构所以结构从建造到使用期内的表现，就是对所设计结构的一次随机实验结果。的一次随机实验结果。5.1.4蒙特卡罗法分析蒙特卡罗法分析可靠度的步骤可靠度的步骤n从数学的角度描述为：n1.利用随机抽样以获得每一个变量的样本值： ， ， ，n2.根据上述抽样值，计算功能函数的值Z：n3.进行了N次这样的试验（抽样），则失效概率可由下式近似给出： 1X2XnX ),(21nXXXgZ NZnPf)0(显而易见，在蒙特卡罗法中，失效概率就是结构失效次数占总试验次数的比例，这就是该方法的基本出发点。 5.1.5蒙特卡罗法表示结构可靠度的表示方法蒙特卡罗法表示结构可

6、靠度的表示方法n用蒙特卡罗法表示的失效概率也可用一个示性函数表示：NiifxZINp1)(10)(00)(1)(XZXZXZIi关于(0-1)分布:如果随机变量x只能取两个值0和1，它的分布律（离散型随机变量）是：) 10( 1 , 0,)1 (1pkppkXPkk则称x服从（0-1）分布。5.2蒙特卡罗法研究结构可靠度的优缺点蒙特卡罗法研究结构可靠度的优缺点n优点：回避了结构可靠度分析中的数学困难，不需要考虑极限状态曲面的复杂性。n缺点：计算工作量大（借助于计算机）n现状：不作为一种常规的结构可靠度分析方法来使用，只是用于一些复杂情况的可靠度分析（国防、航天领域）。如何随机抽样？如何保证样本

7、与实际情况大体相符合？抽样模拟多少次？5.3抽样模拟总数与蒙特卡罗法蒙特卡罗法精度)1 (12ffppNNppzppffff)1 (96. 12/当选取95的置信度来保证蒙特卡罗法的抽样误差时，有以相对误差 来表示，有fffffpNpppp12则上式可以近似表示为： fpN224fpN2 . 0fpN/100工程结构的失效概率是一个小量，可见， N足够大时才能给出正确的估计。 估计失效概率的方差：22)(ffppEpEf对于正态分布而言，具有95置信度的96. 12/Z估计失效概率的方差22)(ffppEpEf依据（1）方差的定义： （2）示性函数的性质 )1 (12ffppNNiifxZIN

8、p1)(1经过一系列推演得到失效概率估计值的方差：5.3抽样模拟总数与蒙特卡罗法蒙特卡罗法精度n结论：精度与抽样模拟总数有关。换句话说，要想提高精度，必须将抽样模拟总数提高24fpN5.4随机变量的抽样n要求：n（1）样本足够多n（2）样本统计特性应符合随机变量已知的统计特性。n思路：n首先产生在开区间（0，1）上的均匀样本值（随机数） ，在此基础上通过一定的计算再变换成给定分布变量的随机数。5.4.1随机数的产生随机数的产生n产生随机数的方法n随机数表：将利用某种方法（高速转盘、电子装置）产生的随机数记录于磁盘中，使用时输入计算机即可（一些数学手册中还附有随机数表）。n物理方法：由物理随机数

9、发生器（安装在计算机上）将具有随机性质的物理过程变换为随机数。是真正的随机数，不会出现循环现象，但不便于对结果复查，也不便于对不同方法进行对比，且发生器的稳定性检查和维护是一项繁琐的工作，该法不常用。n数学方法：根据数论方法通过数学递推公式运算来实现。速度快，即产即用，可重复生产。会出现循环现象且随机数之间存在一定的相关性，被称谓伪随机数。数学方法产生随机数数学方法产生随机数n用数学方法产生的“随机数”，由于是按确定的算法计算出来的，所以并不是真正的随机数，但如果计算方法选择得当，它们就近似地是相互独立和均匀分布的，经得起数理统计中的独立性检验和均匀分布检验。鉴于此，人们把这种数叫作伪随机数伪

10、随机数。n用数学方法产生的“随机数”，常用的方法是同余法，包括加同余法、乘同余法乘同余法和混合同余法。1.乘同余法乘同余法 n“同余同余”的概念 n（1）举例说明余数的意义：已知2011年4月16日是星期六，问2012年4月16日是星期几？n2012年为润年，从2011年4月16日至2012年4月16日共366天，365/752.2，2012年4月16日是星期六加2天等于星期一。1.乘同余法乘同余法n“同余同余”的概念n（2）关于同余的概念n两个正整数被一个正整数除有相同的余数，谓之同余。n有同余的两个数之差，一定能够被那个固定的正整数整除。n如果a和b都是整数，而m是一个固定的正整数，则当

11、（即m能够整除(a-b)）时，则称a,b对模m同余，记作 。)(bam)(modmba 举例：65和33对模16同余（0.0625）。65-333232/162所以)16(mod3365 Ki是比值 的整数部分，即 1.乘同余法 n乘同余法产生均匀分布随机序列的递推计算公式如下：axnimxxii 01, ), 2 , 1()(modmxi1)(1mxIntKiiiiimKxx11mxrii设 、m、a是选定的正整数，a为奇数。 则相应模m 的余数为 以模除上式得： 此即第i个均匀分布的随机数，反复迭代可以产生一个随机数序列r1、r2、r3例例5.1 取 有 乘同余法：产生区间(0,1)内均匀

12、分布的随机数的递推公式是：一些文献报道如下的参数可供使用时参考。 Ki是比值 的整数部分，即 2.混合同余法 n混合同余法产生均匀分布随机序列的递推计算公式如下：axnimxxii 01, ), 2 , 1()(modmcxi1)(1mcxIntKiiiiimKcxx11mxrii设 、m、c是选定的正整数。 则相应的模m 的余数为 以模除上式得： 此即第i个均匀分布的随机数，反复迭代可以产生一个随机数序列r1、r2、r3混合同余法产生随机数举例8 . 05/41r32)6 . 2()5143(1IntIntKc=1,m=5初值x0=1，则4051131x例1：设0)8 . 0()5113(0

13、IntIntK3251432x6 . 05/32r10.820.63040.250.860.67080.2这是一组很不好的伪随机数，原因是常数m选得太小iiimKcxx1)(1mcxIntKii1mxrii例例5.2 选 得递推公式： 取定种子x0=71 。 其余类推，接下来的随机数是0.113，0.964，0.511，0.570，0.293，0.424，0.131，L计算机存放一个整数值的二进制位数。混合同余法 参数取值经验1211324865. 02256482mcmmL为任意正整数,12142cmLn使随机数周期达到最大值的参数取值：n具有较好统计性质的随机数（经验）iiimKcxx1混

14、合同余法法 参数取值经验)2)(mod15(35115iixx352/iixr )2)(mod45806245314159269(311iixx两个较好的随机数递推公式：312/iixr 据递推公式，用计算机产生随机数是非常方便的。35L31L参阅统计计算)2)(mod45806245314159269(311iixx312/iixr 混合同余法产生随机数例 参数取值经验取递推公式：13870 x1993015452)2)(mod458062451387314159269(311x9280701. 02/1993015452311r)2)(mod458062451993015452314159

15、269(312x5.4.2对伪随机数的检验n用这种方法产生的伪随机数能否作为（0-1）均匀分布的随机数，需要进行检验。可先选定一组参数后，在计算机上产生序列，然后用统计检验方法检验其独立性和均匀性。应用数理统计的知识5.4.3随机变量的抽样n实际工程中，所涉及的随机变量并不服从均匀分布，因此需要研究其它分布类型的随机变量样本值的产生方法。n可通过均匀分布的适当变换得到，下面介绍几种常用的方法反函数法、随机变量函数法、指定子区间内随机数产生法。（1）用反函数方法产生任意分布随机变量的抽样n基本思想：如果随机变量X的概率分布函数为FX( x), 则对于给定的分布函数值FX(x)=r,x的值为x=F

16、X-1(r)（1）用反函数方法产生任意分布随机变量的抽样n这就意味着,如果（r1,r2,rn) 是R的一组值，则相应得到一组值x=FX-1(r)（i=1,2,n),服从分布FX( x)。 反函数方法产生随机变量的抽样的实例n例5-3产生具有指数分布概率密度 的一个抽样)0()(xexfxiixxxiedxer01)1ln(1iirxrxF)(设反函数方法产生随机变量的抽样的实例n例5-4产生极值I型渐进分布的一个抽样)(expexp)(uxxFrxF)()1ln(ln1rux设同样可以得到：（2）随机变量函数法产生随机数n基本思想：设随机变量X是其它随机变量Y1,Y2,Yn的函数，即X=g(Y

17、1,Y2,Yn),如果能容易的产生Y1,Y2,Yn的随机数y1,y2,yn,则可得X的随机数x=g(y1,y2,yn)随机变量函数法产生随机数举例n例4-4 X1,X2是两个相互独立的标准正态分布N（0，1）的随机变量；R1,R2是两个相互独立的（0，1）均匀分布随机变量，试产生N(,)的随机数。)2sin(ln2)2cos(ln2212211RRXRRXiixy)2sin(ln2)2cos(ln2212211RRyRRy可以证明右式成立由此可根据（0-1）均匀分布随机数，产生标准正态分布随机数，再由下式得到正态分布随机数标准正态分布与均匀分布随机变量之间的关系。正态分布与标准正态分布之间的关

18、系。指定子区间内随机数的产生方法（以极值I型为例）xeexfuxux,exp)()()(6x57722. 0 xuexp)()(uxexFx=FX-1(r)事实上是反函数法在子区间上的应用在子区间（0，+）上的随机数可由下列关系式产生：reuxexp)()lnln(7797. 045. 0rxxxx蒙特卡罗法求解失效概率实例n例4-5设某构件正截面承载力计算的极限状态方程为Zg(R,S)=R-S=0，R、S分别为正态和极值I型分布的随机变量，其统计参数为R（100，20），S（80，24）。试用蒙特卡罗法求解其失效概率。蒙特卡罗法求解失效概率实例)2sin(ln2)2cos(ln2212211

19、rrRrrRRRRRir)lnln(7797. 045. 0rxxxx2.产生R的随机数（R为正态分布）n1.产生（0-1）均匀分布的随机数3.产生S的随机数（S为极值I型分布）)lnln(7797. 045. 0rSSSS4.将变量的随机值代入功能函数计算gR-S5.重复14，记录下g0的次数L和总次数N 由均匀分布随机数产生正态分布随机数蒙特卡罗法求解失效概率实例fpN/100当停止 N 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 L 26 47 72 95 117 138 157 177 201 224 失效概率 0.26 0.235 0.24 0.

20、2375 0.234 0.23 0.2243 0.2213 0.2233 0.224评述n对于小概率事件的结构失效问题，用蒙特卡罗法导致很大的计算量，因此（直接的）蒙特卡罗法对于结构可靠度不高即失效概率较大的情况，有较高的效率。n如何提高蒙特卡罗法的抽样效率，成为该方法要解决的主要问题。24fpN1.引言（1）同心圆表示联合概率密度函数的等值线，黑点为联合概率密度函数的最大值点，即最大似然点，该点一般在随机变量的平均值附近。（2）当按一般抽样方法进行随机抽样时，样本点落在最大似然点处的概率最大，所以抽样的样本点大部分落在该点附近。（3）按照结构安全设计的要求，结构失效为小概率事件，也就是设计结构时，要使最大似然点在可靠域内，且远离失效边界。蒙特卡罗的重要抽样法蒙特卡罗的重要抽样法n1.引言n（4）在这种情况下，模拟中只有少数或极少数（取决于失效概率的大小）的样本落入失效域，落入失效域的样本点越少，失效概率估计值的不确定性越大，从而精度越低。例如当进行了一定次数的模拟后仍然没有一个样本点落入失效域，则失效概率的估计值为0，显然不能反映结构失效概率的真实结果。n（5）提高抽样效率的途径是缩减失效概率估计值的方差，为此发展了多种高效抽样方法，其中重要抽样法应用最广。蒙特卡罗的重要抽样法n2.基本概念n所谓重要抽样法，就是通过改变抽样中心的位置或是用新