数值分析第五版课后答案

1、2 .给出f(jc)=Ini数值表如下：r0.40.50.60.70.8Inx-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675-0.223144用线性插值及二次插值计算InO.54的近似值.解依据插值误差估计式选距离0.54较近的点为插值节点，并建立差商表如下:x0=0.5X=0.6工2=0.4-0.693147-0.510826一0.9162911.823210二2.027325二-0.204115写出Newton插值多项式(工)=一0.6931474-1.823210(x-0.5)N?(j)=4-(-0.204115)(j-0.5)(x-0.6)计算近似值Ni(0.

2、54)=-0.693147+1.823210(0.54-0.5)=-0.6202186N2(0.54)="(0.54)-0.204115(0.54-0.5X0.54-0.6)=-0.6168394 .设*j为互异节点(j=0.1,gfl)求证：n(i)ZWz)三，(A=0,1，"If(H)£(1,-(x)=0(=12*.n).证明(i)令人力=1,若插值节点为与。=0,1.i).则八人的次插值多项式为插值余项为R(z)=/(x)Ln(-r)=阳3毋(x)(十1)!ZXa工又因为£，所以尸"(£)=o,R”(力=0所以A2只/(/)f=

3、0.1(«)£可一"ZJ)=玄)£(“)；(一-Ij=|广。L，=0'1火g("幻(一)”(外=J"0iL'I'-r-0J-nL”2("卜-)1g；乙(幻=2,卜一刀一上'=(JT-X)'三05 .设f(x)6C2_ab且f(a)=f(b)=0.求证：max|，(工)IC(8-a)?maxIf(工)|O，.内证明令x=a和z=人以此为插值节点则插值多项式为L(x)=/(a)-+f(6)r-w0a-oba应用插值余项公式有I/(-r)L(r)|=/'(W)(z-a)(”-5)：&

4、amp;f£(a,6)%1-Kmax|f()|max|(jca)(jr-b)a)?max|f(x)|O6.在一44z&4上给出f(工)=e的等距节点函数表，若用分段二次插值求片的近似值，要使截断误差不超过10一6,问使用函数表的步长人应取多少？解若插值节点为ZT，K和则分段二次插值多项式的插值余项为式中乙一1=X,-A1rH=4+人max|（xz,_）（z-石）（1-j*/+）363<IO'得人<0.00658.插值点个数44)def6.857-N是奇数，故实际可采用的函数值表步长人=。卡=%d0-006579N-I14107 .若y.=2",求

5、'y,及6'y,解根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解"乂=(E-=g(:卜D-E'y.=2(:1一1尸一卬行=/一I，'"'=(2-1>弘=%=2"蝮弘=(Er-E-T)&=(ETt)4(E-Q>.=ET2y=k/y.)=yi=2T8 .如果f(工)是加次多项式，记/()=fG+h)一/(j-).证明f(j-)的k阶差分"(l)()&&&m)是m-A次多项式，并且A7(x)=0(/为正整效).证明对m次多项式/("应用Taylor公式有L?卜/(X)=

6、/(x+A)-/(x)=，(/)/.+第八)+4!加！即/(I)为加一1次的多项式."(工)=(/(l),对相一1>0次多项式/(1)应用上述推理过程知(/(j)=&人力是根一2次的多项式.依此过程递推知了(力(004&加为m一4次多里式.所以?行)为常数故=0(/为正整数).9 .证明(/>g*)=/*Ag*+gHi&fh证明(/&)=7-igHl-fhgh=fllgHl-fkgkl+/gll-f®=g«(fHI-f*)+人(gll-田)=gHI6+fkgk15 .证明两点三次Hermite插值余项是/?3(幻=

7、63;电(”一工)2(Z一H1I)2.E6(入，)4!并由此求出分段三次Hermite插值的误差限.证明若工W右，I且插值多项式满足条件乩(工.)=/(/%)乩(711)=/(工11)H3Z(X*)=/(*),%'(«)=)知插值余项R（力=/（工）一乩（工）有二重零点心和1故设R（x）=Ji）2（XXh-1）2确定函数Mz）：当/=心或如内时展外取任何有限值均可,当才工力，时，1e（x*.Zhi）,构造关于变量，的函数g（r）=/（/）-H3（n）?显然有g（x*）=0,g（N）E0,g（Nzi）=。g'（z.）=0,/（/“）=0在E，幻和Lr，nJ上对g（幻使用

8、Rolle定理存在"W（/一为及乎GJ*ti）使得g'S）=0，g'（p）=0在3,力），5、中）,（华，上对/（“）使用Rolle定理，存在4e（.I*»力），中2（不，生）和平.HIG（中，XjH-j）使得g"（加）=g"（胆）=g"（斗.1）=0再依次对g”（D和k（D使用Rolle定理，知至少存在EW5,工山）使得gN,（e）=0而丁“=尸）（力一&（"）4!，将S代入，得到爪”）=4r'"w）.（工打八）推导过程表明E依赖于L，彳石及黯综合以上过程可知R（x）=（W）（JTJ&quo

9、t;尸（!一“）2下面建立分段三次Hermite插值的误差限.记八（外为/Q）在O,刃上的基于等距节点的分段三次Hermite插值函数=。+姑（A=0,1.n）,h=ban在小区间4,上有If（工）八（）l=ylf"I（Jx*）2（r-）2<-Jrmax|尸Imax（z4）?（工一3】产4!a<r<A而最值C.j+6A1max(x-xi)2(x-x>+1)2-'max5-(5-l)2h*=-A4.GK.+I10进而得误差估计If(N)一八(工)KrirA4max|/n(x)|oo4.<，16 .求一个次数不高于4次的多项式P(z).使它满足尸(0

10、)=P(0)=0,P(l)=P'(l)=I.P(2)=1.解法一利用Hermite插值可得到次数不高于4的多项式=O.J|=1|>0=O.XJ=Iwf>=O.THi=1-(/)=ya,G)+SmBJjc)/«0a“q)=(1一2=>)(/一勺2=(1+2z)(x-l)2工0JTI工u一一1i6(n)=(12/二刃)(J一")2=(3-2z)fX)JTvX1-Xo伙(z)=x(x-l)2用=(x-l)x2所以Hj(j;)=(32m)/+(/一)/2=-+2/2设P(1)=H3(x)+A(r-/0)2(工一力)2,其中A为待定常数，令p(2)=1得a=

11、t于是P(T)=(/3尸4解法二（带重节点的Newton插值法）建立如下差商表:00112这样可写出Newton插值公式P(x)=0+0(工一0)+1(70)?-l(.r-0)2(x-1)4-!(/-0尸(1-=/12(/-)+-x2(x-1)441-3>17 .设/（.r）=Tw，在-54/45上取=10,按等矩节点求分段线1I性插值函数八（外计算各节点间中点处4（1）与f（工）的值.并估计误差.解若ic=5,工情=5,则步长八=-=1,尤=-54-ih=5+n10）.在区间h，工一上，分段线性插值函数为爪）曰十八3）i=0.19，9“一】一工I71+后1+6+1分段线性插值函数定义如

12、下：各节点间中点处函数值及插值函数值如下所示:JT±0.5±1.5±2.5±3.5±4.5/（J）0.80000.30770.13790.07550.0471/a（J）0.75000.35000.1500.0.07940.0486估计误差：在区间q,H,+门上f（工）i=（e）（h一毛）（7<4-max|八1)Imax1(z-1,)(“一"QI4-54Y5qWX.+j而max'产Mg(x-jrt)(x-.j)r=毛+班i厂maxI-1)I=f<x)=一2j(TTP7r（x）=6/2一2FTT774令，(幻=黑”：)

13、=0得f(x)的驻点0.±1.于是II_N*>maxI，(1)I)=maxI/(0)I,I，(士1)|/(±5)|=27EY5故有结论1/（"一IW（力I4-X2义十=十,xe1工，小门右端与，无关，故If(工)一八(工)+.jt£5.518.求/(x)=x2在a,切上的分段线性插位函数人(外，并估计误差.解在区间。，力？上，人=a.，=xrii-乙(0&iW-1),h=maxht.函数/(x)在！第+J上的线性插值函数为*，=/(二)”二加+/(©+)，”一二=占口田一户+等(/一天)石一工21工汁i-才，hih,分段线性插值函

14、数22八(工)=I，(1)=在(£2)X)+，),1了，,工汁门hjhi误差估计1/(外一炉(工)1=/(6(工一工,)(工一工.)&；max|fix)Imax|(1-jt,)(/一j>)|=；X2X(年)=与,m£h,Jh-)34lfqI/(x)ZA(x)ICmaxI/(x)T；"(jt)|<max牛=(o<</<-4419.求/(x)=x1在二a,口上的分段Hermite括值,并估计误差.解在区间a2上，*=，与=h.hi=I,.1一工，,令h=maxht.在区间与，4h的Hermite插值函数为I，(才)Ih'(

15、x)|=T7fU()(j-xr)?(x-xf4i)2W4!max了Ui(1£)(i-e田)I2=-X24XF4-1=E1HlZ4L4Jlb对于h(Jr)有If(x)/A(x)|<max|一；”(了)|max3=1U«l1101020.给定飘据表如下:0.250.300.390.450.53力0.50000.54770.62450.67080.7280试求三次样条插值S（i）,并满足条件(I)S"(0.25)=1.0000,S'(0.53)=0.6868；(ii9(0.25)=6(0.53)=0.鼠=0.300.25=0.059=0.39-0.30=0

16、.09h?=0.45-0.39=0.06.=0.53-0.45=0.08Ai9=*14AsAj建立差商（均差）表0.250.250.300.390.450.530.530.50000.50000.54770.62450.67080.72800.72801.00000.95400.85330.77170.71500.68680.9200=/曲x0xi-0.7193=/jr0,为.-0.5440=/4,勾，4一0.4050=f_xt,电，工J0.3525（I）已知一阶导数边界条件,弯矩方程组r211221414A25解此方程得M,=-2.0278,M=-1.4643,M?=-1.0313Ms=-0

17、.8072.M=0.6539三次样条表达式为L8783x3-2.4227/+1.8591x4-0.1573fG0.25,0.30S（T）=0.8019x3-1.45381+1.5685i+0.1863,工£0.6221.244Ox2+1.4866x4-0.197O.m60.30,0.390.39,0.45(0.3194/-0.8348/2+L3025x+0.2246>x60.45,0.53（ii）已知二阶导数边界条件，=M,=0,弯矩方程组解此方程得Mi=-1.8809,M2=-0.8616,M3=一kO3O4三次样条表达式为-6.2697/+4.7023-0.2059/+0.

18、3555.z-0.25,0.301.887672.6393,+1.9966x+0.1353.x60.30,0.39S(x)=<一0.4689x3+0.11783+0.9213/+O.2751,x60.39,0.45第三章4.计异下列函数八外在co,1上的|/1|.,|/|,与|yII.；(1)/(T)(X1)31/=l+1解(1)f(x)=3(z-l>2>0,xe(0,1),故/(i)单漕.II/II-=max|(n1尸|=max|/(0)|1>j)=1nMJF(1II/IL=J|di=j(i-jrVir=+/(T)-If卜/li/it?J(I)cLr于=J(1”也下二

19、亲II川maxh-口=max11/(。)'(Kj<ilIilyII.=/(1)idmf(/_)必+1；(工一£)口=:口心了.ud了=尢民党权函敦工)=1+3区间一1i1试求首项系数为1的正交多项式物(*)n0.I*2.3.解在区间上定义内积(八g)=|l/(j>g(x)p(x)dz<p(r>=1,ffq.曲)_0_gr轮)135/52517(伊，转)136/525牌f,独)16/1570g强11):(1一散)/i-隹审=jjx18.f(.r)=sin£，在1,1：上接期让德多项式展开求三次最佳平才逼:近多项式.记建二=“为勤让德正交多项式平

20、方误差S2=一«。）了七2.1X10（a，A）=jpl（x）dx=7-377*=02J-1Ln-r1o（P、f）=0.（/>if）=r,（p?、f）0z48（710）（%，/）=1八"的三次最佳平方逼近多项式为(0，f)An.12z、上168(710)人,、2j7干一太=°+=小(/)+0+4例(力=120(212/)上420(/10)&：JC+：工、7t7T1.5532上一0.5622x319.观测物体的直线运动，得出以下数据：时间/S00.91.93.03.95.0距离f/m010305080110求运动方程.解经描图发现，和S近似服从线性规律.

21、故作线性模型s=。+6，令Q=span1.八.计算离散内积有?E（1,1）=£1=6.（!./）=14.7（八1）=2，；=53.63片”3K（1,s）=£»=2801（八s）=1078;=0/=D求解法方程组得-614.7ar280-.14.753.63JibLl078.a=-7.855048b=22.25376运动方程为5=-7.855048+22.25376f20.已知实验数据如下：n1925313844y19.032：349ro73.3用最小二乘法求形如y=a十历'的经聆公式并计算均方误差.解0-spand.r2，计算离散内积44(1,1)=2产=

22、5，<1>X2)=2/=5327(/,/)=»力=727769944(1，>)57y>=271.4.(x?,y)=369321.5解法方程组55327-Iranr271.4-.53277277699JLbJL369321.5.得a=0.972579,b=0.050035均方误差8=玄b(可)一加了*%0.1226A21.在某化学反应中，由实验得分解物双度与时间关系如下：时间(0510152025303540455055流度y01.272.162.863.443.874.IS4.374.514.584.624.64(X10“)用最小二束法求、=/(/).解观察所

23、给数据特点，建立拟合模型？=碇一储力>0).该模型关于参数非线性,两边取对数得Iny=)na-y-6,记Ina=A6=span0.一由于t=0时条件自然满足，内积(/,g)=经计算有/"f(1.1)=11,(1,一人)=一0.603975(一：一：)=0.062321,(1,Inj)=一87.674095(J-,In.w)=5.032489解法方程组rn-0.6039754-87*674095-一0.6039750.062321鼠_5.032489.得A=-7.558781.8=7.496163.a=e'=5.215103X10*得到拟合模型N=5.215103eX10

24、-4拟合平方误差|J2=2-凹丁=3.3769X10一.第四章1.喘定下列求积公式中的待定参数,使其代做精瑞度尽贵高.并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度.(1)/*/(1)必片儿J(-A)+AJ(0)+4/*八(2)I/3)"七川"八一力)+4/(0)+A/a)*J-：*1(3)f八一+"手)+3不),J】3(4)八工网工、任一，)1+“7一小小.J1>4解(1)聘RQ=1.1.，分别代入公式两端并令其左右相等.得，AT+4+1Al=*2h一hA.+/l4=0<-+必A=s解得At=&N9A.=替所求公式至少具有2次代数精确度.又由于JO

25、fJ?(b=与一方尸十4小J-433T,di工与(一力)，十hAl1.1ft3*ALAh故3/()+?”(0)+卷/(力具有3次代数精确度.JA3OO(3)当/(x)=1时易知有fJ(.r)d.r=孑/(-1)+2/5)+3/(1力令求积公式对八外二x.r准确成立即I+2x+3.r±=01+2"+36=2则可解得Ijj=-0.2899、IXi=0.6899IX2=0.5266I=-0.1266将/(t)=/代入已确定的求积公式，则1x3dj#/(-1)+2/(X)+3/(x2)J-i3故求积公式具有2次代数精确度，所求节点为为=一0.2899.=0.5266或X=0.689

26、9.1?=0.1266.2 .分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分.(1)f.上，=8，(2)(>d.rtn=10；J«4rxJ<>x3 3)y/xdjrn=4；(4)1/4-sin?伊什，n=6.解(】复化梯形公式n=8,a=0,6=1/(x)=-7,h=4+k8Tr=9/储)+2£/(4)+/(方)=0.111404=I.复化辛普森公式M=!o,77Sa=上42/5+1)+22/(n*)+/(8)=0.Ill57-*=1(3)=4.a=l,6=9./i=2./(i)=>/7复化梯形公式为r4=等仆)+2玄/xa+yw=17.227744A-I复

27、化辛普森公式为S=9/+4力八加4)+2乞/5)+/3):=17.32223.直接验证柯特斯公式(4.9)具有5次代数精确度.证明柯特斯公式为/J)cLr=靠7/(工,)+32/Cx,)+12/(4)+32/(4)+7f(右)Jv3U令/(X)=1.则/(x)dx=b-q"90"17/(毛,)+32/(j1)+12/(x2)+32/(x3)+7/(x4)=ha令/(i)=/则f(1)di=xdx=a?)JwJaL90°17/(工.)+32/()+12/(x2)+32/5)+7f(、)=-y(6?a2)令f(x)=jt，得j/(x)dx=j/cLr=-y(63a3)

28、C7/(xH)+32/(T|)+12/(x2)+32/(x3)+7/(x,)=-y(63a3)令/(t)=1,则f/(T)dz=x2djr=a*)Jaa47/(xn)+32/(T,)+12/(x2)+32八)+7/(©)=+函-/)令/(x)=工、则Jf(jr)<lT=Jj4dx=g(6'一a)7/(x0)+32f(为)+12f(4)+32/(x3)+7f5)=4-(6s-a5)yu令f(x)=则J/(x)d.r=Jxsdj=a")骁7/(工“)+32/(©)+12fq2)+32/(x3)+7/(为门=4(护一/)yvb令JXx)=,则x工。)+32

29、，(力)+12/(3)+32/(13)+7f5)J，)hU因此，该柯特斯公式具有5次代数精度.4.用辛普森公式求积分；一“工并估计误差.Jo解S=Al+4e44-e-1=0.632330误差|R(6=卜品(宁)'尸卬|<±X±Xe”=0.00035,nG(0,1)1 oU£'5.推导下列三种矩形求积公式.(1)7(x)dx=S-a)/(a)+l(6-a)。J.C(2) J/(x)dj=(ba)f(b)一牛S-M(3)/(z)di=3-一a).J。4'/4解(】)左矩形公式将/(I)在a处展开得/(X)=f(Q)+，(9)(上一。)，$

30、6(。，X)两边在.瓦)上积分.得力rar»/(x)dj=/(a)cLr+a)dz(fta)/(a)+，'(£)(a)&r由于工一。在,b上不变号9故由积分第二中值定理，有qC(a,方，使J/(r)dx=(6a)/(a)4-fa)dz故有/(z)dz=(b-a)f(a)+0Wa)2,n6(a，b)JuZ(2)右矩形公式，同(1),将f(z)在6点处展开并积分，得f/(x)dx=(-frf)kba)21rj6(a.b)Jo4(3)中矩形公式，将人力在竺声处展开，得2=f(中)+/(审)(I-守)+(£)(z-，£(a6)两边积分并利用积分中

31、值定理,得f业=/(三)(°)十八守升(一审)"十(了一审)工=(6-a)/()+y/(rf)£(x-)dr=(6-+=/(?)(一0)3,vW(a,b)7 .如果/'Q)>0,证明用梯格公式计算枳分/=1/(z)4r所得结果比泡确值/大,并说明其几何意义.证明由梯形公式的余项R(f)=-("2")f(q)、qW(a,b)知若，5)>0且方>a，则R(/)<0从而fd”=T+R(/)<T即计算值比准确值大.其几何意义为./'(/)>0,故/(t)为下凸函数梯形面积大于曲边梯形面积.如图4.1所

32、示.8 .用龙贝格求枳分方法计算下列积分，使谡是不超过10力(1)Ldi;(2)xsin-rdj,；(3)x>/1+解(1)计算如下表所示，kT产00.771743310.72806990.713512I20.71698280.7)328700.713272030.71420020.71327260.71327170.7132717因此./V0.7132711.(2)计算如下表所示:k7V)7Y)03.451313xl()r18.628283X10-4.446923X10Tl因此，1%一4.446923X100.9 .用=2.3的高斯-勒让馍公式计算积分e，sin/d工1解因为1,3,令

33、/=1-2,则/£-1,1故Je'sinxdz=Je+$in(z+2)dz当=2时，e'sin-rdx40.5555556X/(0.7745967)+/(0.7745967)+0.8888889X/(0)=10.9484当n=3时，e'sinidrq0.3478548X/(0.8611363)+/(0.8611363)1十0.6521452X/<-0.3399810)+/(0.3399810)=10.9501412.用下列方法计算积分S.并比较结果.Jij（1）龙贝格方法；（2）三点及五点高斯公式；（3）将积分区间四等分，用复化两点高斯公式.解（1）计算

34、见下表：68数值分析全析情解k7V)TP01.33333311.166667L11111121.1166671.1000001.09925931.1032111.0987251.0986401.09863141.0997681.0986201.0986131.0986131.098613取1=1.098613.(2)积分区间1,3,采用高斯公式时,唐先变族至此-1,1上.故作变换y+=f+2则当)61,3时G一1.1,且dy=dr,鱼=生.JiyJt1+2三点高斯公式F=.tZT2»°'555555$(2-0.7745967+2+0.7:45967)十0.88888

35、89X号»=1.098039Jiy0.478628912-0.5384693+2+0.538469365688889X12To1.0986097FT2*O'236926§(2-079061798+2+Q.9061798)十I”f1o.5市(3)将区间1.3四等分，在每个小区间上用两点高斯公式，得-i2.5+0.5fL=°-5X2.5+0.5X()+2.5+0.5X=0.40540540.5df35+0.5,°-5X3.5+0.5X（一专）+3.5+0.5X*=0.2876712*3°-5X4.5+0.5X（-）4.5+0.5X*J=62

36、2314050.585.5+0.51°-5X|_5.5+0.5X（W）+5.5+0.5j=OJ823204I=L+心+八十Lg1.098538】3.用三点公式和积分方法求/(幻=-1一-T在i=l.0.Ll和L2处(1+JC)的导数值，并估计误差/3)的值由下表给出：1.01.11.20.25000.22680.2066解由带余项的三点求导公式可知=扣-3/5)+4/5)-/?)十争尸(&)/(X.)-*一八见)+/(工力一/产后)/<X2)-/(Xn)-4/(x,)4-3/(x2)-hyr<6)6W(“n,J7?).I=0«1*2取上表中心=l.o,r

37、)=1.1,t2=1.2,分别将有关数值代人以上三式即可得导数近似值.由于max|仔(工)|=maxL0WY1.2LFE.24!(1+x)5m=0.75JT1.01.11.2三点公式-0.247-0.217-0.187误差0.00250.001250.0025理论解-0.23-0.2159594-0.1878287从而可求得误差上限与导数值如下表所示:数值积分法.设以幻=，（幻，由f（Hzi）=/（x*）-Ff/Hy）（x）dxJ，对积分采用梯形公式，得/（/日）=fg+三LJ<6英）+飙卬：）一乙("】一4尸/12H少令4=0,1,得),夕(n)+C()%)一/(Jo)Jno

38、3(Z>+(P(工2)a-fx)同样对f（h）=）+tp(x)dx有/(.邙？)=代工1)+皿亍J夕(4+1)+夕")-(1什1N.1)"/x-/12P(斗)斗e(11191Hi从而有$><Xo）+（p5）-）一/（Xo）代入数值，解方程即得仪4）a=o,i,2）如下表所示:11.0L11.2数值解-0.247一0217-6187理论解-0.25-0,2159594-0.1878287误差0.0030.00104060.0008287.0第五章1,设4是对称阵且以“H0,经过高斯消去法一步后，盘约化为证明人是对标矩阵.证明由消元公式及4的对称性得故。是对称

39、矩阵.2. ilA=(知I是对称正定矩阵,经过高斯消去法一步后A的化为Fiaj-一。A；其中4=(0产)i,证明：(1) A的对角元素内,>0G=1.2,.w)；(2) 4是对"称正定矩阵.证明(1)因力对称正定,故%=(Aer,er)=镇4此>0,j=1,2,打*其中=(0，0,1,0,，0)T为第f个单位向量.(2)由A的对称性及消元公式得L04其中1显然Li非奇异,VxHO.有K0,(x,LiALx)=(L：x.Al.x)>0(由A的正定性)故LALJ为正定矩阵.T】0-|又LAL：=，而a”>0,故&为正定矩阵.L0A2J8.用追赶法解三对角方

40、程组Ar=b其中解设有分解0一100on1仇010000000-隹001仇001自L00001J由公式(其中a，素,故有4=a，C=Qpib, =a£i+a,i=2,3,4.5c, =a0t、i=23,4G分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元解得M12Q34住=_?'岛=一了，3=一§20000-一°°°40-112二11-y00201一件0001-440001解得10.下述矩阵能否分解为LU（其中L为单位下三角阵,U为上三角阵）？若能分解,那么分解是否唯一？123-iir，】26.A=24

41、1.B=221c=2515A67.33L.61546.解A中3?=0,故不能分解.但det（A）=-10W0.故若将A中第一行与第三行交换.则可以分解,且分解唯一.8中=4=0,但它仍可以分解为其中&为一任意常数,且U奇异，故分解不唯一.对C，AH0,7=1.2,3,故C可分解且分解唯一.26-13L-11p21.631.0.60.5n11.设.4=，计算A的行范数、列范数、2-范数以及F-范数.LO.10.3解IIA|*=max£ati1=1.114V2公,|A|i=max2a,j|=0.8IIAIIf=x/,O,71=0.8426tr0.60.Inr0.60,5r0.37

42、0.33-Lo.50.3JLo.10.3-Lo.330.34.Am（ATA）=0.68534故ilA|2=/UJAI）=0.8278512.求证：（D|x|&IIx|<n|x|.：尹A|f&IIAII2<|A|F,证明（1）由定义知IIXII-=maxIXrKXIX,|=nIUIII&XmaxI无I=2IIx|-=|xIIc：即IIx|,：&IIx|)<n|x|：c(2)由范数定义，有IIA|;=-AA)&猫(A7)+入(A7)+九("从)=tr(ATA)=£a：i+火成4F=火火若=IMIIfwI，】f1IIAII

43、?=Xnu>x(AJA>Ai(ATA)+A：(ATA)4-bAR(ATA)=|ABnnML<MIIf17矩阵第一行乘以一数成为A=L11J9证明当A=±时，Cond(AL有最小值.证明设义了0,则3I2I,I入I2IIA|2，IA故ItA-1|.+26IA|+3.Cond(A|i4'BAl|=29故当以=可时，即，=±y时.Cond(4)3肩最小值此时minCond(A)=7rlOO99n】8.设4=，计算4的条件数Cond(A)；,(u=2,oo).L9998IA|=199,|A-1|=1999899-1A-1=L99-100.CondiA)一=

44、|41l|A|rr=39601r19801196021ArA=L1960219405JCon|Z仙山后骁=3920619.证明：若A是正交阵，则Cond(A)2=1.证明因.4正交，故屋A=AV=/,A-=41，从而有IIA|2J=Jp(1)=1!A，II2=IAII2=y/p(AAT)=/p(I)=1故Cond(A):=IIA1|2|A|j=1第六章卜门+2x?-2力=1(2)Y1Tq+4=12jj+2xq十工3=】2.谩方程组ji+0.+0.4zj=1(1)y0,工0+t2+0,8n2,0.4xi+0.8.04-j?j=3试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯-富德尔送礼法的收敛性.解(1)

45、雅可比法的送代矩阵-0-0.4-0.4-B/=D7(L+U)=-0.400.80.4-0.80.IA/-ByJ=(A-0.8)(A2+0.84一032)p(8,)=1.093>1,故雅可比迭代法不收敛.高斯-塞德尔法迭代矩阵一0.4-0.640.672.P-0.46,=CD-D'U=00.16.00.032P(M)=IIBII=0.8<1故高斯-塞德尔迭代法收敛.(2)雅可比法的迭代矩阵2-10.-0-2Bj=D(L+U)=-10-2一2IAZB/IA3p(Bj)=0V1故雅可比迭代法收敛.高斯-塞德尔法的迭代矩阵P22-B,=(D-LrlU=02-3,002.IA/-B.

46、|=A(A-2)p(BD=2>1故高斯-塞德尔迭代法不收敛.r5x+2x2+4=-126 .用SOR方法解方程组（取w=0.9），一力十44+2小=20,要求当I2113力+1Ojt3=3IIx'h"一一IIsIO-时迭代终止.解SOR迭代格式为工产=/产+w（-y-峭.工夕-9好）才仁=娟+w（5+工产-4-十淄）I产=婢）+仅舄春工产,+Q产一货）取初始值，。=（1,1.I".计算如下表所示：k/产00001_2.60000003.56500001.80055002-4.02749903.14006522.02282243-4.05728142.99084

47、812.01012194-4.00425542.99357252.00004275-3.99811932.99976121.99960136-3.99965423.00023341.99996097-4.00004243.00003142.00001228-4.00001772.99999372.0000027因IIx一X，|e=0.0000377<10一1故取x=(-4.0000177,2.9999937,2.0000027)丁.7 .设有方程组Ax=b,其中A为对称正定阵，迭代公式X”=+m（b-Ax"）,6=0.1,2,0试证明当OVa，方时上述迭代法收敛（其中0VaWX

48、A）（0）.证明迭代格式要改写为X*"'=(1)xa,+w»k=I,2.故迭代矩阵B=1一mA,其特征值*=1一皿(4).由：必|1,1wA(A)IV】得29故当0m5时,有0也合，从而有1,给出的迭代fjAA/格式收敛.第七章2.为求方程/一二一1=0在兀=L5附近的一个根，设将方程改其成下列等俗形式,并建立相应的迭代公式：1+/,速代公式3="(2),rJ=1+M迭代公式，I“i=J+父?,一=占.迭代公式试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根.解取工”=1.5的邻域L3.1.6来考察.(1)当工61.3,1.61时,华

49、(才)=)+X61,3,1.61.|八工)|=第=/，故迭代式一1+*在L3J6上整体收缸(2)当1W1.3,L6时.学=(1+/)】W口,3.L6216<十-<L=8522<13(1+13n字故工3=斤GF在L3,1.6上整体收敛.单1=三三房|m8二节1,故卬1L发散.Mq-1因为迭代公式（2）的L较小，故取公式（2）进行迭代.要求结果具有四位有效数字只需I八一dIwtTh*-1I<4-X10-3即i八-/1I<二X4X10-<0.5X103取如=L5计算结果见下表：kk11.48124803411.46704797391.472705730一01.46

50、624301031.46881731461.465876820由于|北一公|<4x10-3,故可取%/6=1.466.5 .用斯蒂芬森迭代法计算第2题中（2）,（3）的近似根，精确到IO-.解记第2题中（2）的迭代函数0（=（1+/）九（3）的迭代函数为依（"=一=，利用迭代式（7.11）计算结果见下表：，工一1k加速乎（X）的结果八卜加速的结果0】.501.511.46555848511.46734228621.46557123391.46557608531.46557123231.46557123241.4655712326 .设3（3=/>（）/（!）试确定函数p（

51、x）和q（z）,使求解/（x）=0且以w（外为迭代函数的迭代法至少三阶收敛.解要求力m=夕（7。三阶收敛到/（幻=0的根/,应有夕（一）=/,d3）=o,伊"（1）=o.于是由工.=一，c>fa*)(j(x*d(工")=1p()f(M*)=o平,h)=-2pQJ)，()/>(,)，(T)2g(t*)?=0得故取口“）=云？d）=冼东即迭代至少三阶收敛.第一章2.设r的相对误羞为2%,求丁的相对误差.解函数值的条件数为G（工"，）=根据函数值误差传播公式eA(x")")»G(m，r")&(1)=nX2%=0.02推4.利用公式（2.3）（误差传播公式）计算下列各近似值的误差般：（i）k+工;+工；（«）JT；工；工；（»