数列通项公式的求法PPT学习教案

1、会计学1数列通项公式的求法数列通项公式的求法等差数列的通项公式等差数列的通项公式： 等比数列的通项公式等比数列的通项公式： 1(1)naand11nnqaa第1页/共35页n即直接用求和公式，求数列的前n和S11()(1)22nnn aan nSnad11(1)(1)(1)1nnna qSaqqq第2页/共35页 1 1、观察法、观察法 观察法就是观察数列特征，横向看各项之间观察法就是观察数列特征，横向看各项之间的结构，纵向看各项与项数的结构，纵向看各项与项数n n的内在联系。适的内在联系。适用于一些较简单、特殊的数列。用于一些较简单、特殊的数列。 第3页/共35页,17164,1093,54

2、2,211,52,21,32, 1,54,43,32,21110 nna;122nnnan;12nan1)1(1nnann1.观察法观察法第4页/共35页1 1、累加法、累加法 若数列若数列 , ,满足满足其中其中 是可求和数列，那么可用逐项作差后累加是可求和数列，那么可用逐项作差后累加的方法求的方法求 ，适用于差为特殊数列的数列。，适用于差为特殊数列的数列。 na)(1Nnnfaann)(nfna第5页/共35页 例例1 1 已知数列已知数列 , ,满足满足 ，求数列，求数列 的通项公式。的通项公式。121naann11anana121naann211223211133212)()(nnna

3、aaaaaaaaannnnn）（）（解：由解：由 得得则则 121naann所以数列所以数列 的通项公式的通项公式na2nan第6页/共35页2 2、累乘法、累乘法 若数列若数列 , ,满足满足其中数列其中数列 前前n n项积可求，则通项项积可求，则通项 可用可用逐项作商后求积得到。适用于积为特殊数列的数列。逐项作商后求积得到。适用于积为特殊数列的数列。 )(1Nnnfaannna)(nfna第7页/共35页例例2 2、已知、已知 ， , ,求通项公式求通项公式 31annnaa21na解：解：112nnnaannnaa211122aa2232aa ， ， ，即即2)1()1(321122nn

4、nnaa2)1(23nnna3342aa13213423122222nnnaaaaaaaa第8页/共35页3 3、 利用数列前利用数列前 项和项和 求通项公式：求通项公式：数列前数列前 项和项和 与与 之间有如下关系：之间有如下关系： 1111)=,.(2)nnnnnnaSnaSaaSSn （由此即可由求nnSnSnna第9页/共35页)(1(31*NnaSnnna2a1a例例 4 4、设数列、设数列 的前项的和的前项的和（1 1）、求）、求 ；（2 2）、求证数列）、求证数列 为等比数列。为等比数列。 na) 1(31) 1(311) 2(11nnnnnaaSSan时，、当) 1(31nna

5、S解解(1)(1)、由由 ，得，得 ) 1(3111aa41),1(31) 1(31212221221aaaaaSa得，即，又211nnaa得的等比数列，公比为是首项所以2121na第10页/共35页例例3 3 已知数列已知数列 的前的前 项和项和 求证：求证： 为等比数列并求通项公式。为等比数列并求通项公式。nan12nnaSna1121111aaSa解：11221nnna1212111nnnnnaaSSannaa21即的等比数列，公比为为首项即21na第11页/共35页4 4、构造等差、等比数列法、构造等差、等比数列法 对于一些递推关系较复杂的数列，可通过对于一些递推关系较复杂的数列，可通

6、过对递推关系公式的变形、整理，从中构造出一对递推关系公式的变形、整理，从中构造出一个新的等比或等差数列，从而将问题转化为前个新的等比或等差数列，从而将问题转化为前面已解决的几种情形来处理。面已解决的几种情形来处理。（1 1）构造等差列法）构造等差列法 pqaaqappaannnnn1111则若第12页/共35页例例5 5、已知数列、已知数列 中，中， ，（1 1）、求证）、求证 是等差数列是等差数列（2 2）、求）、求 的通项公式的通项公式221nnnaaanana11a1na解：解：22)1 (1nnnaaa、21111nnaannnnaaaa22111221nnaa首项为首项为1 1，公差

7、为，公差为 的等差数列的等差数列1na212121)1(11)2(nnan、12nan即第13页/共35页变式题：变式题： 已知数列已知数列aan n 中，中，a a1 1=1,=1, a an+1n+1+3a+3an+1n+1a an n-a-an n=0, =0, 求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式.111130111133nnnnnnnnaaaaaaaa 解解：1113naa 是是以以为为首首项项，以以 为为公公差差的的等等差差数数列列111(1)31(1)332nnaann 132nan 第14页/共35页（1 1）若）若c=1c=1时，数列时，数列aan n 为等差数列为等

8、差数列; ;（2 2）若）若d=0d=0时，数列时，数列aan n 为等比数列为等比数列; ;（3 3）若）若c c1 1且且d d0 0时，数列时，数列aan n 为线性递推数列，为线性递推数列，其通项可通过构造辅助数列来求其通项可通过构造辅助数列来求. .方法方法1 1：待定系数法：待定系数法 设设a an+1n+1+m=c( a+m=c( an n+m),+m),得得a an+1n+1=c a=c an n+(c-1)m, +(c-1)m, 与题设与题设a an+1n+1=c a=c an n+d,+d,比较系数得比较系数得: (c-1)m=d,: (c-1)m=d,所以有：所以有：m=

9、d/(c-1) m=d/(c-1) 因此数列因此数列 构成以构成以 为首项，以为首项，以c c为公比的等比数列，为公比的等比数列，这种方法类似于换元法这种方法类似于换元法, , 主要用于形如主要用于形如a an+1n+1=c ac an n+d(c+d(c0,a0,a1 1=a)=a)的已知递推关系式求通项公式。的已知递推关系式求通项公式。1()11nnddac acc 1ndac 11dac 11()11nnddaaccc 11()11nnddaaccc 即即：（构造法或待定系数法）（构造法或待定系数法）6.6.辅助数列法辅助数列法第15页/共35页方方法法2 2： 1,nnacad 当当2

10、 2时时1,nnnacad 两式相减，得：两式相减，得：11()nnnnaac aa11nnnnaacaa 2 2数数列列是是以以为为首首项项，以以 为为公公比比的的等等比比数数列列11nnaaaac 212131221121232212121()()()(1)()nnnnnnnna aa a caaa a ca aa acca aa a ca a a a = =（1211)1nca ac 第16页/共35页方法四：归纳、猜想、证明方法四：归纳、猜想、证明. . 先计算出先计算出a a1 1,a ,a2 2,a ,a3 3; ; 再猜想出通项再猜想出通项a an n; ; 最后用数学归纳法证明

11、最后用数学归纳法证明. .1,nnacad 2122()(1)nnnnacadc caddc ad c = =323(1)nc adc c = =1221(1)nnc adc cc = =1()11nddaccc 方法三：迭代法方法三：迭代法 由由 递推式递推式直接迭代得直接迭代得第17页/共35页例例6:6:已知数列已知数列aan n 中，中，a a1 1=3,a=3,an+1n+1=2a=2an n+3,+3,求求数列的通项公式数列的通项公式解法解法1 1：由由a an+1n+1=2a=2an n+3+3得得 a an+1n+1+3=2+3=2（a an n+3+3）所以所以aan n+3

12、+3是以是以a a1 1+3+3为首项，以为首项，以2 2为公比的等为公比的等比数列，所以比数列，所以:a:an n+3=+3=（ a a1 1+3+3） 2 2n-1n-1故故a an n=6=62 2n-1n-1-3-3解法解法2 2：因为因为a an+1n+1=2a=2an n+3+3，所以，所以n1n1时，时，a an n=2a=2an-1n-1+3+3，两式相减，得：，两式相减，得：a an+1 n+1 - a- an n=2(a=2(an n-a-an-1n-1). ).故故aan n-a-an-1n-1 是以是以a a2 2-a-a1 1=6=6为首项，以为首项，以2 2为公比的

13、等比数列为公比的等比数列. . a an n-a-an-1n-1=(a=(a2 2-a-a1 1) )2 2n-1n-1=6=62 2n-1n-1, ,a an n=(a=(an n-a-an-1n-1)+ (a)+ (an-1n-1-a-an-2n-2)+ )+ +(a+(a2 2-a-a1 1)+a)+a1 1 =6(2=6(2n-1n-1-1)+3= 3(2-1)+3= 3(2n-1n-1-1)-1)第18页/共35页课时小结课时小结 这节课我们主要学习了数列的通项公式的求法，这节课我们主要学习了数列的通项公式的求法，大家需要注意以下几点大家需要注意以下几点: :1 1、若数列、若数列

14、满足满足 可用累加法可用累加法来求通项公式；若数列来求通项公式；若数列 满足满足 可用累乘法来求通项公式可用累乘法来求通项公式; ;若数列若数列 满足满足 可用构造等差数列来求通项公式；若数列可用构造等差数列来求通项公式；若数列 满足，满足， 可用构造等比数列来求通项公式；若数列可用构造等比数列来求通项公式；若数列已知前已知前 项项 和和 的关系可用的关系可用)(1Nnnfaannnanana)(1NnnfaannnSnanannnqappaa1qpaann1nan.1,)2(2111要单独讨论时注意求由、用naSnSSaSannnnn)2(111nSSaSannn第19页/共35页课后作业课后作业nnnanaaa求，、已知,21) 1 (11式并证明写出这个数列的通项公，中，、已知数列)( ,211)2(*11Nnaaaaannnnnnnnanaaaa求满足、已知数列, 52212121)3(221.,3 , 2 , 1,S311Sn)4(432n11n的通项公式的值及数列求，且项和为的前、数列nnnaaaanaaa第20页/共35页 111,42(),1(1)2,;(2),.2nnnnnnnnnnnnasnsanNabaabacc ( (5 5) )、数数列列中中是是它它的的前前 和和 并并且且满满足足设设求求证证是是等等比