数理方程与特殊函数杨春30PPT学习教案

1、会计学1数理方程与特殊函数杨春数理方程与特殊函数杨春302数学物理方程总复习本次课主要内容一、偏微分方程理论与分离变量法二、 行波法与积分变换法三、 格林函数、贝塞尔函数、勒让得多项式第1页/共174页31、定解问题的建立2、方程的化简4、函数(一)、偏微分方程理论一、偏微分方程理论与分离变量法3、二阶线性偏微分方程理论第2页/共174页41、定解问题的建立 写出定解问题，需要建立偏微分方程、写出边界条件(包括衔接条件，自然条件）和初始条件。 建立偏微分方程的主要方法是微元法(1).明确物理过程与研究对象(待研究物理量);(2).进行微元分析； 分析微元和相邻部分的相互作用，根据物理定律用算式

2、表达这种作用。第3页/共174页5如何写出三类边界条件？(1)、明确环境影响通过的所有边界；(2)、分析边界所处的物理状况；(3)、利用物理规律写出表达边界状况的表达式。(3).化简、整理算式。第4页/共174页6例1 一根半径为r,密度为，比热为c，热传导系数为k的匀质杆。如果同截面上的温度相同，其侧面与温度为u1的介质发生热交换，且热交换系数为k1.求杆上温度满足的方程解：物理量为杆上温度u(x,t),取微元x,x+dxx+dxxx在dt时间里，微元段获得的热量为：(, )( , )xxk uxdx t Sux t S dt第5页/共174页7该热量一部分Q1用于微元段升温，另一部分Q2从

3、侧面流出1tQc Sdxu dt211()2Qk uurdxdt所以，微元段满足的方程为：(, )( , )xxk uxdx t Sux t S dt11()2tc Sdxu dtk uurdxdt112()xxtkkuuuucc r所以，方程为：第6页/共174页8(1)、写出特征方程：(2)、计算211122220dydyaaadxdx2121122aa a (3)、作变换(a)、0 12(,)(,)xyxy2、方程的化简第7页/共174页9(b)、0 12(,)(,)xyxy12( , )( , )x yx y ic第8页/共174页10(c)、0 (,)()xyxy或( , )x yc

4、第9页/共174页11(4)、求出变换方程：1 11 21 11 22 12 22 12 2TaaaaQQaaaa12,bLc bLc cc ff其中：xyxyQ第10页/共174页12二阶线性方程分类：2121122aa a 0 (1) 双曲型 0 抛物型0 椭圆型 (2) (3) 说明：分类也指点的邻域内的分类！第11页/共174页13例2 化下面方程为标准型4520 xxxyyyxyuuuuu2dyidx解：212112210aa a 方程属于椭圆型2yxx第12页/共174页14 2110 xyxyQ所以1 11 21 11 22 12 22 12 2TaaaaQQaaaa211221

5、102510 第13页/共174页15100110bLc21,0bLccf0uuu可得 标准型：第14页/共174页163、二阶线性偏微分方程理论(1). 线性算子 T为算子，若T(c1u1+c2u2)=c1Tu1+c2Tu2，称T为线性算子(2). 二阶线性偏微分算子 cybxbyayxaxaL21222221222112第15页/共174页17于是 二阶线性偏微分方程fcuububuauauayxyyxyxx212212112可以简记为：fLu 齐次形式为：0Lu 第16页/共174页18原理1：(1)iiLufin 11nniiiiiiLcuc f意义：欲求叠加原理Luf的解，如果1ni

6、iifc f且求出(1)iLufin 的解为：(1)iuin 则1niiic u为方程Luf的解第17页/共174页19(1,2,)iiLuf i11iiiiiiLcuc f说明：原理2是原理1的有条件推广。条件是算子L与和号能交换次序。叠加原理原理2：第18页/共174页20其中，M表示自变量组，M0为参数组 .0,MMfLu 设u(M,M0)满足线性方程(线性定解条件)叠加原理原理3：且积分00(),vU Mu MMdM收敛，并满足L中出现的偏导数与积分号交换次序所需要的条件，那么U(M)满足方程(或定解条件）第19页/共174页2100(),vLU MfMMdM叠加原理说明：原理3可以理

7、解为：若0,MMfLu 那么：00(),vLU MfMMdM00(),vU Mu MMdM第20页/共174页22叠加原理定理：非齐次线性方程的一般解等于对应的齐次线性微分方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。例3 求泊松方程 ：的一般解。2221212uxy解:(1)先求出方程的一个特解u1由方程的形式可令u1=ax4+by4,代入方程可得：441uxy第21页/共174页23(2)、求对应齐次方程通解xiy 对应齐次方程为：20u作变换：则齐次方程化为：0uu再作变换：ab第22页/共174页24方程化为：u f x iyg x iy0abu齐次方程通解为：原方程通解为：44()u f x

8、 iyg x iyxy第23页/共174页25齐次化原理1齐次化原理232, (,)0,ttLMRttfMt 0, 0)0,( ,00322tttuutRMMtfLutu.0,;tuW t Md如果(, ; )W M t满足方程：那么非齐次柯西问题的解为：第24页/共174页26齐次化原理20)0,( ,03tutRMMtfLutu,3MftRMLtt.0,;tuW t Md如果(, ; )W M t满足方程：那么非齐次柯西问题的解为：第25页/共174页27例4、若V(x,t,)是定解问题2000,0,0.txxxxLthua uucuuu.0( , ), ;tu x tV x td是定解问

9、题的解，则：22000 ,0 ,0 .tx xxxLthIRuauuccuuu的解第26页/共174页282.0( , , )ttuVI RdV x tttc证明：首先，00tu其次，因V(x,t,)是齐次定解问题的解，因此，不难证明00,0,xx Luu2220()ttxxxxhVhI Rua uua VV dctcc2IRc第27页/共174页29解的适定性 满足解的存在性、唯一性和稳定性的解称为解的适定性。 解的稳定性是指若定解条件有微小变化，其解也只有微小变化 只有解满足稳定性，其解才有意义，因定解条件常为实验数据，有测量误差。第28页/共174页30 (1)、 定义 函数是指满足下面

10、两个条件的函数 4、 函数0000 ,(1 ) .(),xxxxxx 0001 ,(,)( 2 ) .()0 ,(,)baxabxxd xxab 几点说明：第29页/共174页31 (a) 、 几何意义曲线峰无限高，无限窄！但曲线下面积为1。 (b)、物理意义x0 x(x-x0) 定义中条件(1)反映物理量集中在x0处，该处称为点源；条件(2)反映物理量有限。第30页/共174页32 例5、两端固定的长为L的弦，密度为，初始时刻在x0处受到冲量I的作用。求初速度和定解问题。解:(1)x0u(x,t)xL0000,0,t txxuxx第31页/共174页33(2) 由动量定理F t= mv得：0

11、LtIu dx所以有：0000(),0,ttIxxxxuxx定解问题为：20000000,0(),0,0,ttxxxx Ltttua uuuIxxxxuuxx第32页/共174页34 (2)、 性质(a)筛选性质：对任意连续函数(x),有：00() ( )()xxx dxx第33页/共174页35所以，0 xx证明：由于(b)函数是偶函数,即：()( )xx有0()0 xx00() ( )()xxx dxx证明：由于对任意连续函数(x),有() ( )(0)( ) ( )xx dxxx dx所以，()( )xx第34页/共174页36函数的导数定义：设定义的算符(n)称为(x)的n阶导数。1(

12、 )f xC由( )( )( ) ( )( 1)(0)nnnx f x dxf 第35页/共174页37 例6、求证：01()4MMr 其中证明：当M不等于M0时，直接计算可得：03,M MR222000()()()rxxyyzz104 r第36页/共174页38 另一方面：11()144KSdVdSrrr 01()4MMr 所以：第37页/共174页39(1)、分离变量(2)、求解固有值问题(3)、求解其它常微分方程对应于固有值的解1、分离变量法求定解的步骤(4)、写出叠加解，利用其余条件定出叠加系数。(二)、分离变量方法 2、常涉及的几种固有值问题第38页/共174页400(1),(0)0

13、,( )0XXXX L222(1,2,3)nnnL( )sin,(1,2,)nnn xXxBnL0(2),(0)0,( )0XXXX L222(0,1,2,3)nnnL( )cos,(0,1,2,)nnn xXxBnL第39页/共174页410(3),(0)0,( )0XXXX L2221()2(0,1, 2,3)nnnL12( )sin,(1,2,)nnnXxBx nL0(4),(0)0,( )0XXXX L2221()2(0,1, 2,3)nnnL12( )cos,(0,1,2,)nnnXxBx nL第40页/共174页420(5),(2 )( ) 2(0,1,2,3 )nnn( )cos

14、sin,(0,1,2,)nnnAnBnn第41页/共174页433、固有函数值方法1211112222( , ),(0,)( , )( , )0(2)( ,)( ,)0(0, )0,(0, )0txxxtLWLWf x ttxxxaW t xW t xaW t xW t xWxWx定解问题一般形式：求解步骤：第42页/共174页44(1)、求下面齐次定解问题对应的固有值问题12111122220,(0,)( , )( , )0( ,)( ,)0txxxLWLWtxxxW t xW t xW t xW t x固有函数为：Xn(x)(2)、令一般解为：( , )( )( )nnW x tT t X

15、x第43页/共174页45(3)、将一般解代入泛定方程并把自由项按固有函数系展开后通过比较系数得到Tn(t)的微分方程；(4)、由原定解问题初值条件得出T n(t)的初值条件；(5)、由常数变易法求出T n(t) 。第44页/共174页46齐次化原理14、齐次化原理求解232, (,)0,ttLMRttfMt 0, 0)0,( ,00322tttuutRMMtfLutu.0,;tuW t Md如果(, ; )W M t满足方程：那么非齐次柯西问题的解为：第45页/共174页47齐次化原理20)0,( ,03tutRMMtfLutu,3MftRMLtt.0,;tuW t Md如果(, ; )W

16、M t满足方程：那么非齐次柯西问题的解为：第46页/共174页485、边界条件齐次化方法(1)、一般方法采用未知函数代换法：),(),(),(txWtxVtxu选择适当的W(x,t)，使关于V(x,t)定解问题边界条件是齐次的。(2)、特殊情形下齐次化方法如果方程自由项和边界条件表达式均与t无关，则可以令：( , )( , )( )u x tV x tW x第47页/共174页49可以把关于V(x,t)的定解问题直接化为齐次方程和齐次边界条件。第48页/共174页502222200022sincos,(0,0)3,643(1),sinxx Lttuuaxxxl ttxlluuxuuxltl解：

17、令 )(),(),(xWtxVtxu将其代入定解问题中得：例6 求如下定解问题 第49页/共174页512022( )sincos03,6xx la WxxxllWW2224( )sin3 132lxW xxall22222000,(0,0)043(1)( ),xx LttVVaxL ttxVVxVVW xxltl可将其分解为：22000022( )sincos,(0,0)3,64( )3(1),sinttxxxxx Lx LtttVa Va Wxxxxl tllVWVWxVW xVxll于是得：第50页/共174页521( , )cossinsinnnnn an anV x tCtDtxll

18、l由分离变量得一般解为：由初值条件得：由傅立叶级数展开得：13(1)( )sinnnxnWxCxll14sincosnnnanaxDxlll第51页/共174页5322202sinsin32lnlnnCxxdxlall2220,4,432nlna024sinsinlnnDxxdxn all0,4,44nlna第52页/共174页54所以，定解问题的解为：22 2444( , )cossinsin324lalaxV x tttalall 原定解问题的解为：222222444( , )cossinsin3244sin3 132lalaxu x tttalalllxxall 第53页/共174页55

19、注：圆域、扇形域等圆弧形边界围城的区域上的定解问题分离变量求解，要在极坐标下进行。求解时要注意自然条件的使用。例7 在扇形域0,00的状态完全由以该点为心，at为半径的球面上的初始扰动决定；2) 当初始扰动限制在空间某局部范围内时，扰动有清晰的“前锋”与“阵尾”，即惠更斯原理成立。第70页/共174页72答：(a)公式为：(5)二维齐次波动方程柯西问题的泊松公式是什么？公式的物理意义是什么？(b) 物理意义：1)空间任意一点M在任意时刻t0的状态完全由以该点为心，at为半径的圆盘域上的初始扰动决定；2)局部初始扰动对二维空间上任意一点的扰动有持续后效，波的传播有清晰的前锋而无后锋，惠更斯原理不

20、成立。22 22001(cos ,sin )( , , )2atxryru x y trdrdata tr 22 22001(cos ,sin )2atxryrrdrdaa tr 第71页/共174页732、典型题型(1)利用行波法求解例1、求下面柯西问题的解：0,303202022222yyyuxuyuyxuxu解：特征方程为：03222dxdxdydy21,3CyxCyx特征线方程为： 第72页/共174页74yxyx3令：变换原方程化成标准型： 02u2212( )( )(3)()ufffxyfxy通解为 : 代入条件得：0)()3(3)()3(21221xfxfxxfxf第73页/共1

21、74页75CxxfCxxf222143)(41)(22223)(43)3(41),(yxyxyxyxu例2、求波动方程的古沙问题200(,0)(1)( )(2)( ),( (0)(0)0)(3)ttxxx attx atua uatxat tuxux第74页/共174页7612( , )()()u x tf xatfxat解：方程通解为：由(2)得：12(0)(2 )( )(4)ffxx又由(3)得：12(2 )(0)( )(5)fxfx由(4)与(5)得：1221( )( )(0)2( )( )(0)2xf xfxfxf第75页/共174页7712( , )()()(0)(0)22xatxa

22、tu x tff所以：又由(4)得：12(0)(0)(0)ff所以：( , )()()(0)22xatxatu x t(2)半无界问题的求解采用延拓或行波方法求解第76页/共174页78例3、半无限长杆的端点受到纵向力F(t)=Asint的作用，求解杆的振动。解：定解问题为：Fun|x=0.YS0 x2000(0,0)(1)( ),( )(3)sin(3)ttxxtttxxua uxtuxuxAutYS 第77页/共174页79解：方法1：延拓法首先，当xat时，端点的影响没有传到，所以有： atxatxdaatxatxtxu.2121),(其次，当xat时，端点的影响已经传到，所以定解问题必

23、须考虑边界影响。将定解问题作延拓：1( ),0( )( ),0 xxxxx1( ),0( )( ),0 xxxxx延拓后的定解问题的解为： .11( , )22x atx atu x txatxatda第78页/共174页80欲使延拓后的解限制在x0上时为原定解问题的解，只需让延拓解满足边界条件，即：为此：令0111222xxuatatatataa sinAtYS0atat 只要：1( )()xx又令11sin22AatattaaYS 第79页/共174页81得到：所以有：111sin22AatattaaYS 12()sinaAxxxYSa所以当x0时：(2) 求像函数(3) 求原像函数1(

24、, ) ( , )u x yFuy( )0A当0时：( )0B像函数为：( , )( )yutfe第105页/共174页1071( , ) ( , )u x yFuy1( )yFfe由卷积定理 ：1( )yg xFe这里：11( )( )*( )yFfeFFf xg x( )*( )f xg x221yxy第106页/共174页108于是得定解为： 221( , )( )*yu x tf xxy .22.1()yfdxy第107页/共174页109例14、求解如下定解问题：2000,(0,0)0,0,0ttxxxxtttua ugxtuuuu 0第108页/共174页11022220/0,0

25、xxxd uas ug sdxuu解:(1)作针对于时间变量的Laplace变换 (2)、求像函数：31(1)sxauges 第109页/共174页111211321 t 2sxaxgtaLugLexsgxatxaa (3)、求原像函数：例15、求解如下定解问题(习题5.4第5题)：000,(0,0)0( ) xxttttttxuaubucu xtuuut第110页/共174页11222220()()2xd ubasbsc uasudxau()2ba sxaue 解:(1)作针对于时间变量的Laplace变换 (2)、求像函数：第111页/共174页113()112122() t0 tba s

26、xabxa sxabxaLuLeeLeeta xa xa x (3)、求原像函数：第112页/共174页114三、格林函数、贝塞尔函数、勒让得多项式(一)、Green函数问题(二)、贝塞尔函数问题 (三)、勒让得多项式问题第113页/共174页115(一)、Green函数问题1、三个格林公式第一格林公式：设u (x, y, z) ,V (x, y, z)在SSV上有一阶连续偏导数，它们在V中有二阶偏导，则：SVVu v dSuvdVu vdV 第二格林公式：设u (x, y, z) ,V (x, y, z)在SSV上有一阶连续偏导数，它们在V中有二阶偏导，则：SVu vv udSu vv u

27、dV 第114页/共174页116设M0，M是V中的点，v(M)=1/rMM0, u(x,y,z)满足第一格林公式条件，则有：000011111()44MMMMMMSVuu MudSudVrnnrr第三格林公式：M0MSVxyz第115页/共174页117例1、写出稳态场方程洛平问题的解。要求:(1)掌握三个公式的推导；(2)稳态场方程洛平问题的解。解:(1)泊松方程洛平问题为：(,), (,)(,), (,), (xxyyzzSSSuuuufxyzxyzVuxyzuxyzn 连 续 ）连 续 ）011111()( )( )( )44SVu MMMdSf M dVrn rr 第116页/共17

28、4页118拉普拉斯方程洛平问题为：0 , (,)(,) , (,) , (x xy yz zSSSuuuuxyzVuxyzuxyzn 连续）连续）0111()()()4Su MMMdSrnr例2、求拉普拉斯方程洛平问题的解0 , (,)1 ,0SSuxyzVuun第117页/共174页119解：由第三格林公式：0011()4MMSu MdSn r ( , , ),( , , )( , , ),0SSux y zx y zVuux y zn 例3、求拉普拉斯方程洛平问题的解解：由第三格林公式：0001111()( , , )44MMMMSVu MdSx y z dVn rr第118页/共174页

29、1202、调和函数要求:(1)掌握概念和性质的证明；(2 ) 性质的应用(极值原理)(),()Suf MMVuM例4、求证泊松方程狄氏问题的解是唯一的、稳定的。证明：泊松方程狄氏问题为：(a ) 解的唯一性证明：设定解问题有两个解u1与u2,则：第119页/共174页121令:U=u1-u2,则：11(),()Suf MMVuM22(),()Suf MMVuM0,0SUMVU由极值原理有： ，即0U 12uu(b ) 解的稳定性证明：设在S上给定了函数 使得： 且： ,* 11(),()Suf MMVuM22(),*()Suf MMVuM*第120页/共174页122令:U=u1-u2,则：0

30、,*SUMVU由极值原理有： 即证明了稳定性。U3、泊松方程狄氏问题格林函数要求:(1)掌握狄氏问题格林函数概念和性质(2)泊松方程、拉氏方程狄氏问题解的积分表达式(3) 特殊区域上狄氏问题格林函数和对应的解的积分表达式例5、什么是泊松方程狄氏问题格林函数？物理意义是什么？第121页/共174页123答: (1)泊松方程狄氏问题格林函数定义为：(a) 若G(M,M0)满足：0000(,)(),(,)0SSG M MMMM MVG M M 则称G(M,M0)为定义在VS上的三维狄氏格林函数。(b) 若G(M,M0)满足：0000(,)(),(,)0SLG M MMMM MDG M M 则称G(M

31、,M0)为定义在DS上的平面狄氏格林函数。(2) 物理意义是:第122页/共174页124(a) 物理意义：首先，对于方程G(M,M0 )=-(M-M0)来说，其物理意义是：空间中M0点处有一电量为(真空中的介电常数）的正点电荷，在M处产生的电势为G(M,M0),其大小为G(M,M0)=1/4r； 其次，狄氏格林函数定解问题可以理解为：接地导电壳内M0处有正点电荷和它在边界面上产生的感应电荷在壳内M处产生的电势的叠加为G(M,M0),其大小为G(M,M0)= 1/4r +v (x, y, z)。（b) 物理意义：首先，对于方程G(M,M0 )=-(M-M0)来说，其物理意义是：平面中M0点处有

32、一电量为(真空中的介电常数）的正点电荷，在M处产生的电势为G(M,M0),其大小为G(M,M0)=1/2lnr； 其次，狄氏格林函数定解问题可以理解为：接地导电圈内M0处有正点电荷和它在边界上产生的感应电荷在圈内M处产生的电势的叠加为G(M,M0),其大小为G(M,M0)= 1/4lnr +v(x,y)。第123页/共174页125例6、三维泊松方程狄氏格林函数的性质是什么？答：三维泊松方程狄氏格林函数的性质主要有：(1) 狄氏格林函数在除去M=M0点外处处满足拉氏方程。当MM0时，G(M,M0)趋于无穷大，其阶数和1/rMM0相同。(2) 在边界上格林函数恒等于零。(3) 在区域V内，有：0

33、010(,)4M MG MMr(4) Green函数具有对称性(物理上称为互易性 )，即 );();(1221MMGMMG第124页/共174页126例7、三维泊松方程狄氏问题解的积分表达式是什么？答：000(,)()(,)SVG M Mu MudSG M MfdVn例8、二维泊松方程狄氏问题解的积分表达式是什么？0()(,)LDGuMd SG fxy dn 答：例9、教材重点介绍了几种特殊区域上狄氏问题格林函数？采用什么方法求？第125页/共174页127答: (1)球域、半空间；圆域、半平面、第一象限。平面上的求法类似。求三维空间中区域VS上狄氏格林函数,可考虑一接地导体壳S，在VS内M0

34、处放置电量为0的正点电荷，由格林函数物理意义：G(M,M0)等于V内电荷0与感应电荷在M处产生的电势的叠加。这可以通过如下方法求：在V外找一个M0关于S的像点，在该点放置一负电荷，使它与0在S上产生的电势叠加为零，则它们在M处的电势叠加等于G(M,M0).(2) 采用镜像法例10、回忆球域、半空间；圆域、半平面、第一象限内的格林函数表达式第126页/共174页128答: (1)球域00011111(,)44RG M Mrrrrr20100rRrrr(2)上半空间010111(,)4M MM MG MMrr2222220000001114()()()xxyyzzxxyyzz第127页/共174页

35、129(3) 上半平面狄氏问题的Green函数 0101111(,)22MMMMG M MLnLnrr(4) 圆域上狄氏问题的Green函数 100011(,)lnln22MMM MrRG MMrr(5) 第一象限上狄氏问题的Green函数 0123011111111(,)lnlnlnln2222MMMMMMMMG M Mrrrr2222000022220000()()()()1ln4()()()()xxyyxxyyxxyyxxyy 第128页/共174页130例11、写出球域、半空间；圆域、半平面、第一象限内的泊松方程狄氏问题解的积分表达式解：(1) 球域内泊松方程狄式问题解的积分表达式：由

36、于泊松方程狄氏问题的解为：000(,)()(,)SVG M Mu MdSG M MfdVn在球面上SSGGnr第129页/共174页131在球域上，由于：00011111(,)44RG M Mrrrrr2222000111111442cos2cosRrrrrrrrrr224202002001111442cos2cosRrRRrrrrrrrr第130页/共174页132220322200142cosSRrGnRRrRr 所以：所以，球域上狄氏问题的解为：220032220001()42cos(,)SVRru MdSRRrRrG M MfdV第131页/共174页133(2) 上半空间狄式问题的解

37、000(,)()(,)SVG M Mu MdSG M MfdVn泊松方程狄氏问题的解为：01003314MMMMzzzzGGnzrr 由于：0322200014()zxxyyz第132页/共174页134.00003.22220000,1,2( , , ) (,)Vx y zu xyzdxdyxxyyzf x y z G M Mdxdydz 所以上半空间泊松方程狄氏问题的解为：而上半空间拉氏方程狄氏问题的解为：.00003.2222000,1,2x y zu xyzdxdyxxyyz 第133页/共174页135(3) 上半平面内泊松方程狄式问题解的积分表达式：GGny 022001()yxx

38、y 0022001()( )( , )()Dyu MxdxGf x y dxxy所以得：拉氏方程狄氏解为： 0022001()( )()yu Mxdxxxy第134页/共174页136例11*、求上半平面上拉氏方程狄氏解，边界条件为： 解：由公式：00,0(, 0 ),0 xuxux00220000220001()( )()1()yu Mxdxxxyyudxxxy第135页/共174)uydxxxy0002200011()1u ydxxxyy000002200001()()1yxxu ydyxxyy00001arctanxxuy00001arctanxxuy000ar

39、ctan2uxy(4) 圆域上狄氏问题的解 第136页/共174页138解：LRGGnr因为：2202200122cosRrR RRrr 例12、求圆域上泊松与拉氏方程狄氏解。0()(,)LDGu MdSG fxy dn 所以：LRGGnr220022001()(,)22cosLDRru MdSG fxy dR RR rr所以，狄氏解为：第137页/共174页13900222222220000cosx xy yxyxyxyxy所以：由于：00cosO MO MO MO M所以，在极坐标系下，有：0coscos()222002200001()()( ,)22cos()DRru MdGfrrdrd

40、RRrr 从而，在极坐标下，圆域上泊松方程狄氏解为：在极坐标下，圆域上拉氏方程狄氏解为：222002200001()()22cos()Rru MdRRrr 第138页/共174页140例13、求圆域上拉氏方程狄氏解。(1)、解法1:(格林函数法)0,1(1,)( )uru ( )cosa (2)、( )cosba 选极坐标系，设圆内M0(r0,0),则：222002200001()()22cos()Rru MdRRrr 220200001cos*212cos()radrr第139页/共174页141利用函数幂级数展开可得：采用级数展开法计算积分*220200001cos*212cos()raI

41、drr200021000112cos()12cos()mmrrmrr所以，得：220200001cos*212cos()raIdrr200011cos12cos()2mmarmd22000011coscoscos()2mmaadrmd 第140页/共174页14220001coscos()mmarmd2200000011coscoscoscossinsinmmmmaarmm drmmd 2000coscoscosard 20001coscoscosmmarmm d 00cosar当 时：( )cosba 22002000011()()212cos()ru Mdrr 第141页/共174页143

42、而：22020000220200001212cos()1cos212cos()rbdrrradrr220200001212cos()rbdrr20001112cos()2mmbrmd22000011cos()2mmbbdrmdb所以，有：0000( ,)cosu rbar第142页/共174页144( , )( ) ( )uR 1、分离变量：0112 RRR2RRR 代入方程得：整理后可令比值为：解法2:(分离变量法)第143页/共174页145200RRR 得两个常微分方程如下：2、求解固有值问题 20第144页/共174页146(1) 0时，令=2 得： sincosba结合周期条件，只能

43、取正整数。于是得固有值：21,2,)n n（固有函数为： cossin(1,2)nnnanbnn第145页/共174页1473、求欧拉方程的解20(0)RRRR (1)、对应于0= 0的解为：0()lnRCD由有限性得：D=0,于是有：0()RC第146页/共174页148(2)、对应于n= n2(n=1,2.)2(1)0D DRDRn R作变换：=et 得：22n Rdt2d R即 ：()nnnnnRCD由有限性得：Dn=0,于是有：()nnnRC第147页/共174页1494、求定解()(0,1, 2,)nnnRCn一般解为：10sincos2),(nnnnnbnaau由边界条件(1)得：

44、01coscossin2nnnaaanbn第148页/共174页150所以，比较系数得：010,1,0(1),0nnaaanb( , )cosu ra所以，(1)的解为：由边界条件(2)得：01coscossin2nnnabaanbn所以，比较系数得：012 ,1,0(1),0nnab aanb所以，(2)的解为：( , )cosu rba第149页/共174页151(5) 第一象限上狄氏问题的Green函数为： 0123011111111(,)lnlnlnln2222MMMMMMMMG M Mrrrr2222000022220000()()()()1ln4()()()()xxyyxxyyxx

45、yyxxyy 例13、求第一象限上拉氏方程狄氏解。解：假定定解问题为：01020(0,0)( ),( )xyuxyuyux第150页/共174页152由于1:0Lx 其中：GGnx 0()(,)LDGu MdSG fxy dn LGdSn 1212LLGGdSdSnn 2:0Ly 对于L1:对于L2:GGny 第151页/共174页15300yyGGny 对于L2:0022220000221144()()yyxxyxxy 0022220000221144()()yyxxyxxy022001()yxxy 00 xxGGny 022001()xyyx 第152页/共174页154所以，拉氏解为：0

46、00012002222000011( , )( )( )()()xyu x yydyxdxy yxx xy例14、求上半圆域上狄氏问题格林函数格林函数满足的定解问题为：200,()()(1)0(2),0(3)RGMMGG 第153页/共174页155M0M1M1M0Mxy设想在 放置电量为0的电荷000(,)M (1)对于 在 放置电量为-0的电荷，则能够使边界条件(3)满足，但不能使(2)满足。0,100(,)M(2)若要同时使(2)满足，对于圆周边界来说，M0的对称点为：第154页/共174页156在M1放置电量为 的电荷00R对于 M1的对称点为：0,100(,)RM100(,)RM置电

47、量为 的电荷00R四个电荷的叠加满足边界条件，所以得到格林函数：00110001111(,)lnln221111lnln22M MM MM MM MGMMRR第155页/共174页1574、三种典型方程的基本解问题要求: (1) 知道三种典型方程的基本解的定义、基本解表达式；(2)能利用基本解求相应的定解问题。例16、叙述泊松方程基本解的定义；写出其基本解；并求出 的一个特解。0()Mu答: (1)方程 的解称为泊松方程 的基本解。(,)uxyz (,)ufxyz (2) 基本解为：1,04Urr第156页/共174页158(3) 特解应该为基本解与函数f的卷积。设U*为特解，则有：30000

48、0()1()1*44(,)RMMUUfdMrr M M注：平面泊松方程基本解为：11ln,02Urr例17、叙述热传导方程柯西问题基本解的定义；写出其基本解；在此基础上求出如下定解问题：20, (,0 )()txxtua uxR tux答: (1) 定解问题：第157页/共174页15920, (,0 )()txxtua uxR tux的解，称为如下定解问题的基本解。20, (,0 )()txxtua uxR tux(2) 基本解为：2241(, )2xatUx teat(3) 定解为基本解与初始函数的卷积。设u为定解，则有：22()41( , )*( )2sxa tu x tUs edsat

49、第158页/共174页160注：二维、三维类似。20(1), (0,0 )(0 , )0 ,( , )00txxtxua uAxl tlutu l tu例18、叙述热传导方程混合问题基本解的定义；写出其基本解；在此基础上求出如下定解问题：200()()(0, )( , )0( , 0)0 xxua uxxtttutu l tu x答: (1) 定解问题第159页/共174页161的解称为如下定解问题的基本解20(, ), (0,0 )(0, )0,( , )00txxtua ufx txl tutu l tu(2) 基本解为：(3) 定解与基本解的关系为：22202()00012( , ;,)

50、sinsinnattLnnxnxUx t xtelll00000000( , )( , ;,)(,)tLu x tUx t xtfxtdx dt 第160页/共174页16222202()00000012sinsin(1)natttLLnnxxnxeAdx dtllll 22222332121sinnatlnAlnxenal例20、叙述波动方程柯西问题基本解的定义；写出其基本解。22002() (),(,0)( ,0)0,( ,0)0 xxtua uxxttxttu xux 答: (1) 定解问题第161页/共174页163的解称为如下定解问题的基本解(2) 基本解为：(3) 定解与基本解的关

51、系为：00000000( , )( , ;,)(,)tLu x tUx t xtfxtdx dt 222( , ),(,0)( ,0)0,( ,0)0 xxtua ufx tx y zttu xux 0000121( , ;,)sin()sinsinnnananxU x t xtttxanlll第162页/共174页164例21、叙述波动方程混合问题基本解的定义；写出其基本解。答: (1) 定解问题22002() ()(0, )( , )0( ,0)( ,0)0 xxtua uxxtttutu l tu xux的解为有界波动方程问题222(,)( 0 ,)( ,)0(, 0 )(, 0 )0 x