第八讲Taylor级数

1、第八讲第八讲 泰勒泰勒(Taylor)级数级数解析函数零点的孤立性解析函数零点的孤立性及惟一性定理及惟一性定理& 1. 泰勒展开定理泰勒展开定理& 2. 展开式的唯一性展开式的唯一性& 3. 简单初等函数的泰勒展开式简单初等函数的泰勒展开式4.3 泰勒泰勒(Taylor)级数级数1. 泰勒泰勒(Taylor)展开定理展开定理现在研究与此相反的问题：现在研究与此相反的问题：一个解析函数能否用幂级数表达一个解析函数能否用幂级数表达?(或者说或者说,一个解析函数能否展开成幂级数一个解析函数能否展开成幂级数? 解析函解析函数在解析点能否用幂级数表示？）数在解析点能否用幂级数表示？）由由4.24.2幂级

2、数的性质知幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在一个幂级数的和函数在它的收敛圆内部是一个解析函数。它的收敛圆内部是一个解析函数。以下定理给出了肯定回答：以下定理给出了肯定回答：任何任何解析函数解析函数都一定都一定能用幂级数表示。能用幂级数表示。定理（泰勒展开定理）定理（泰勒展开定理）,2 , 1 ,0)(!1:)1()()(,)(0)(00000 nzfnczzczfRzzDzRDzDzfnnnnn其其中中时时当当上上各各点点的的最最短短距距离离的的边边界界到到为为内内解解析析在在区区域域设设级级数数的的处处在在Taylorzzf0)(r证明证明, ,:00内内任任一一点点为为设设kzDrzrz

3、k , 100 qzzz 00000111)(11zzzzzzzz )3()()(1 100200000 nzzzzzzzzzz Dk 0zz kdzfizfCauchy )(21)(:积积分分公公式式由由,2)(逐逐项项积积分分得得沿沿着着两两端端乘乘以以kif dzfizzknn100)()(2)( dzfik )(21 dzfik 0)(21 dzfizzk 200)()(2)4()(!)()( )(00)(000 zznzfzzzfzfnn 级级数数处处的的在在函函数数Talorzzf0)( z 1)()(1 100200000 nzzzzzzzzzz )(zf!.)(00证证毕毕最最

4、短短距距离离的的边边界界上上各各点点的的到到半半径径至至少少等等于于从从级级数数收收敛敛处处的的在在解解析析点点DzTaylorzzf,)4(00内内即即可可及及其其内内部部包包含含在在只只要要圆圆可可以以任任意意增增大大的的半半径径圆圆的的圆圆域域为为半半径径为为中中心心，的的收收敛敛范范围围是是以以级级数数Dkrkrzrz 收收敛敛圆圆周周上上. .只只能能在在收收敛敛半半径径还还可可以以扩扩不不然然的的话话, ,不不可可能能在在收收敛敛圆圆外外, ,奇奇点点又又不不可可能能在在收收敛敛圆圆内内. .所所以以奇奇点点圆圆内内解解析析在在收收敛敛这这是是因因为为在在收收敛敛圆圆上上, , 奇

5、奇点点因因此此, ,大大, ,)()2(zfA 000,)()()(zRzfzRTalorzzfzf即即之之间间的的距距离离, ,的的最最近近的的一一个个奇奇点点到到等等于于从从展展开开式式的的收收敛敛半半径径的的在在解解析析点点那那么么有有奇奇点点, ,若若( (1 1) )2. 展开式的唯一性展开式的唯一性结论结论 解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它的的Taylor级数级数。利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样的展开式是否唯一？的展开式是否唯一？1010021)( )()(2)( azfzznazzaaz

6、fnn nnzzazzazzaazf)()()()(0202010事实上事实上，设，设f (z)用另外的方法展开为幂级数用另外的方法展开为幂级数:导导性性质质得得，再再由由幂幂级级数数的的逐逐项项求求则则00)(azf , 2 , 1 , 0)(!1,0)( nzfnann依依此此类类推推得得，由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分 析运算和析运算和 已知函数的展开式来展开已知函数的展开式来展开由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是Talor级数，因而是唯一的。级数，因而是唯一的。级级数数为为：时时当当Taylor

7、z,00 nnznfzfzffzf!)0(! 2)0( )0( )0()()(2-直接法直接法-间接法间接法代公式代公式函数展开成函数展开成Taylor级数的方法：级数的方法：. Rez该该级级数数的的收收敛敛半半径径在在复复平平面面上上解解析析3. 简单初等函数的泰勒展开式简单初等函数的泰勒展开式.0cos,sin,)(展展开开式式的的在在求求Talorzzzezfz 例例1 解解), 2 , 1 , 0(1)(00)( neezzznz !3!2132nzzzzenzieezzizi2sin )!2()1(!4!21242nzzznn Rzz它们的半径它们的半径在全平面上解析，在全平面上解

8、析，cos,sin 11212)!12(221kkkkzii 1121753)!12()1(!7!5!3sinkkkkzzzzzz 00!)(!)(21nnnnnzinzii 1121)!12()1(kkkkz)(sincoszz 又又A 上述求上述求sinz, cosz展开式的方法即为间接法展开式的方法即为间接法.例例2 把下列函数展开成把下列函数展开成 z 的幂级数的幂级数:)1ln()() 3()1 (1)() 2(11)() 1 (2zzfzzfzzf 解解1111)1(2 zzzzzn1)1(1)(1111 zzzzznn(2)由幂级数逐项求导性质得：由幂级数逐项求导性质得： nnz

9、zzdzd12) 1(1:)1(,)1(01)3(逐逐项项积积分分得得的的展展开开式式两两边边沿沿将将的的路路径径内内任任意意取取一一条条从从在在收收敛敛圆圆cczzz 11) 1(312)1ln(132 znzzzzznn zzdz01 zdzdz11)1 (121) 1(321112 znzzznn znnzzdzzzdzdz000)1(A(1)另一方面，因另一方面，因ln(1+z)在从在从z=-1向左沿负向左沿负实轴剪开的平面内解析，实轴剪开的平面内解析， ln(1+z)离原点最近的一离原点最近的一个奇点是个奇点是-1,它的展开式的收敛范围为它的展开式的收敛范围为 z 1.1,11, 1

10、)1(111)2(22422 RizzRxxxxnn有有两两个个奇奇点点在在复复数数域域中中容容易易看看出出看看清清楚楚, ,在在实实数数域域中中的的不不容容易易为为什什么么它它的的收收敛敛半半径径在在实实数数域域中中定理定理 0000.)()()()1(nnnzzczzfzzf数数某某一一邻邻域域内内可可展展成成幂幂级级的的在在解解析析在在点点函函数数.)()()2(幂幂级级数数内内可可展展成成在在内内解解析析在在区区域域函函数数DzfDzf解解析析在在点点小小结结：0)(zzf的的某某一一邻邻域域内内可可导导。在在点点0)()1(zzf方方程程。导导数数且且满满足足偏偏的的某某一一邻邻域域

11、内内有有连连续续的的实实部部和和虚虚部部在在点点RCzzf 0)()2(。积积分分为为任任一一条条正正向向封封闭闭路路线线的的邻邻域域内内的的的的某某一一邻邻域域内内连连续续且且沿沿在在点点0)()3(0zzf级级数数。的的某某一一邻邻域域内内可可展展成成幂幂在在点点0)()4(zzf4.4 解析函数零点的孤立性及惟一性定理解析函数零点的孤立性及惟一性定理1 1、解析函数零点的孤立性、解析函数零点的孤立性定义定义1, 0)(,)( afDaDzf上解析函数，上解析函数，为为设函数设函数的的为为则则称称)(zfa零点。零点。, 0)()( )()1( afafaf m若若, 0)()( af m

12、但但称为称为则则 m 零点零点a的阶的阶,的的称为称为 zf a)(m阶零点。阶零点。定理定理1)()()()(zazzf mazfm 充充分分必必要要条条件件为为：阶阶零零点点的的为为以以不不恒恒为为零零的的解解析析函函数数。且且内解析，内解析，的邻域的邻域在点在点其中其中0)(|)( aRazaz 例例1的性质。的性质。在原点在原点考察函数考察函数 z zzzf 0sin)( 解解. 0)(0)( zfzzf解解析析，且且在在显显然然. 011)0( ,cos1)( f zzf. 0)0(,sin)( f zzf. 01)0(,cos)( f zzf的的三三阶阶零零点点。的的从从而而zzz

13、fzsin)(0 例例2们们的的阶阶。的的全全部部零零点点，并并指指出出它它求求1sin z解解平平面面上上解解析析，在在zz1sin 得得由由01sin z,2ieeiziz ), 1, 0(,22 k kz 从而从而平平面面上上的的全全部部零零点点。在在这这就就是是zz1sin , 0cos)1(sin2222 kzkzzz 显显然然 , 02 ie iz即即 kiLniiz22, 01sin)1(sin2222 kzkzzz 的二阶零点。的二阶零点。都是都是故故1sin), 1, 0(,22 zk kz 孤立零点：一个函数的零点附近没有其他零点。孤立零点：一个函数的零点附近没有其他零点。

14、一个实变函数的零点不一定是孤立的，如一个实变函数的零点不一定是孤立的，如 0, 00,1sin)(2xxxxxf它在实轴上处处可微，它在实轴上处处可微，都是它的零点，都是它的零点，及及 nxx10 为为其其聚聚点点。并并以以0 x的的孤孤立立零零点点。不不是是因因此此)(0 xfx 但是在复变函数中，却有但是在复变函数中，却有定理定理2,|)(为零为零上的解析函数，且不恒上的解析函数，且不恒为为Razzf 的零点。的零点。其中无异于其中无异于在在的一个邻域，使得的一个邻域，使得为其零点，则必有为其零点，则必有azfaa)(不恒为零的解析函数的零点是孤立的！不恒为零的解析函数的零点是孤立的！推论

15、推论内内解解析析；在在函函数数设设RazKzf |:|)()1(，收收敛敛于于的的一一列列零零点点内内有有在在aazzzfKnn)()()2( 内内必必恒恒为为零零。在在则则Kzf)(2、惟一性定理、惟一性定理定理定理3内解析；内解析；在区域在区域和和函数函数设设D zf zf )()()1(21等等值值，与与在在其其上上，的的点点列列内内有有一一个个收收敛敛于于)()()()2(21zfzf azzDaD nn 内内恒恒等等。在在和和则则Dzfzf)()(21推论推论1 上上恒恒等等。则则它它们们必必在在区区域域段段弧弧）上上相相等等，的的某某一一子子区区域域（或或一一小小在在和和内内解解析

16、析的的函函数数设设在在区区域域DDzfzfD)()(21例例3内内解解析析；在在和和设设Dzgzf )()()1(；内内在在0)().()2( zgzf D。或或内内证证明明：在在0)(0)( zg zf D证：证：,0)(00 zgDz使使若若有有点点连连续续，在在因因0)(zzg，的的邻邻域域故故存存在在DK z 0内内恒恒不不为为零零，在在使使Kzg)(而而由由题题设设),(0)().(DKz zgzf 故故必必有有),(0)(DKz zf 。由由唯唯一一性性定定理理)(0)(Dzzf 推论推论2 平平面面上上都都是是解解析析的的。等等式式的的等等号号两两边边在在上上也也成成立立，只只要

17、要这这个个恒恒平平面面等等等等），在在等等式式（例例如如一一切切在在实实轴轴上上成成立立的的恒恒zzzzzzzcossin22sin, 1cossin22 惟一性定理揭示了解析函数一个非常深刻的性惟一性定理揭示了解析函数一个非常深刻的性质，函数在区域质，函数在区域D内的内的局部值局部值确定了函数在区确定了函数在区域域D内内整体的值整体的值，即局部与整体之间有着十分，即局部与整体之间有着十分紧密的内在联系。紧密的内在联系。应用惟一性定理，在数学分析上一些常见的初应用惟一性定理，在数学分析上一些常见的初等函数的幂级数展式都可以推广到复数域上来。等函数的幂级数展式都可以推广到复数域上来。3、最大模原

18、理、最大模原理定理定理4恒等于常数。恒等于常数。内内大值，除非在大值，除非在内任何点都不能达到最内任何点都不能达到最在在内解析，则内解析，则在区域在区域设函数设函数)(| )(|)(zfDDzfDzf最大模原理说明了解析函数在区域边界上的最大最大模原理说明了解析函数在区域边界上的最大模可以限制区域内的最大模，这也是解析函数特模可以限制区域内的最大模，这也是解析函数特有的性质。有的性质。例例3至至少少有有一一个个零零点点。内内，则则在在圆圆而而且且时时使使当当如如果果存存在在上上解解析析在在闭闭圆圆设设)(| )0(|,| )(| ,|0,|)(zfRzafazfRzaRzzf 证证: 反证法反证法.|)(内内没没有有零零点点在在圆圆假假设设Rzzf .|)(1)(上上解解析