试验设计和数据处理

1、会计学1试验设计和数据处理试验设计和数据处理绪论4、教材试验设计与数据处理（第二版），李云雁、胡传荣编著，化工出版社，2008第1章 试验数据的误差分析 （二）间接测量法把直接测量代入某一特定的函数关系式中，通过计算求出未知物理量的大小，这种方法间接测量法。 例如，用毕托管测量气流速度 ，直接测量压差值 h。计算的特定函数关系式为 11210002hg （12）式中： h U 型差压计的读数； 毕托管速度系数； g 重力加速度； 流体和差压计中流体密度。21,间接测量通用的函数关系式为式中：y 间接测量量， 直接测量量。),(21xxfy ,21xx（三）组合测量法 要测量出x和y，分别对x+

2、y和x-y进行直接测量，得到测量值分别为l1和l2，可得测量方程组： 解方程组得： 组合测量可以用如下的通用联立方程组表示 0),(0),(0),(21212121221211nnnnyyyxxfyyyxxfyyyxxf式中：f1、f2、fn 表示组合测量中的函数关系 x1 、x2、 直接测量的物理量 y1、y2、 未知的物理量 1.3 误差的概念121.ninixxxxxnnn 等精度试验值适合：n 试验值服从正态分布1 1221121.Wniinninniiw xw xw xw xxwwwwwi权重加权和121221121221lnlnlnlnLxxxxxxxxxxxxx设两个数：x10，

3、x2 0 ，则11212.(.)Gnnnnxx xxx xx设有n个正试验值：x1，x2，xn，则1121111.1ninixxxxHnn设有n个正试验值：x1，x2，xn，则：maxtxxxx txxx （2）说明n真值未知，绝对误差也未知n 可以估计出绝对误差的范围：绝对误差限或绝对误差上界 或maxtxxx 绝对误差相对误差真值tRttxxxExx或 或RxEx（2）说明：n 真值未知，常将x与试验值或平均值之比作为相对误差：RxEx或n 可以估计出相对误差的大小范围：maxRttxxExx相对误差限或相对误差上界 n 相对误差常常表示为百分数（%）或千分数（） (1)tRxxE11nn

4、iiiixxdnn n可以反映一组试验数据的误差大小 ixx试验值与算术平均值之间的偏差 id222111()() /nnniiiiiixxxxnnn22221111()() /111nnnniiiiiiiidxxxxnsnnnn 试验次数为有限次时，样本标准差：n表示试验值的精密度，标准差，试验数据精密度1.4 试验数据误差的来源及分类1.5 试验数据的精准度 极差（range）222111()() /nnniiiiiixxxxnnnmaxminRxx标准差（standard error）222111()() /11nnniiiiiixxxxnsnnR，精密度标准差，精密度n 精密度不好，但

5、当试验次数相当多时，有时也会得到好的正确度 n 精密度高并不意味着正确度也高 （a）（b）（c）精密度 ：ABC正确度： ABC准确度： ABC精密度 ：A B C 准确度： A B C ，A B，C1.5 试验数据误差的统计假设检验 2检验（ 2-test） （1）目的：对试验数据的随机误差或精密度进行检验。 在试验数据的总体方差2已知的情况下，（2）检验步骤：若试验数据12,nx xx服从正态分布，则 计算统计量2222(1)ns查临界值2()df 1dfn2服从自由度为的分布显著性水平 一般取0.01或0.05，表示有显著差异的概率n 双侧（尾）检验(two-sided/t

6、ailed test) ：222122检验 若则判断两方差无显著差异，否则有显著差异 22(1)()df则判断该方差与原总体方差无显著减小，否则有显著减小 右侧（尾）检验 22()df则判断该方差与原总体方差无显著增大，否则有显著增大 若若1(1)(1)(1)12,nxxx2(2)(2)(2)12,nxxx21s21s设有两组试验数据：都服从正态分布，样本方差分别为和和，则2122sFs111dfn221dfn第一自由度为第二自由度为服从F分布， 111dfn221dfn查F分布表临界值n 双侧（尾）检验(two-sided/tailed test) ：检验 若则判断两方差无显著差异，否则有显

7、著差异 1212(1)22(,)(,)Fdf dfFFdf df则判断该判断方差1比方差2无显著减小，否则有显著减小 右侧（尾）检验 则判断该方差1比方差2无显著增大，否则有显著增大 若若(1)12(,)FFdf df12(,)FF df df0 xtns服从自由度1dfn的t分布(t-distribution) 0给定值（可以是真值、期望值或标准值） 若2tt则可判断该平均值与给定值无显著差异，否则就有显著差异 n 单侧检验 左侧检验 0t tt若且则判断该平均值与给定值无显著减小，否则有显著减小 右侧检验 0t tt若且则判断该平均值与给定值无显著增大，否则有显著增大 121212xxn

8、ntsnn服从自由度122dfnn的t分布 s合并标准差：22112212(1)(1)2nsnssnn12221212xxtssnn服从t分布，其自由度为： 22211222222112212()2()()(1)(1)snsndfsnsnnn t检验若2tt则可判断两平均值无显著差异，否则就有显著差异 n 单侧检验 左侧检验 0t tt若且则判断该平均值1较平均值2无显著减小，否则有显著减小 右侧检验 0t tt若且则判断该平均值1较平均值2无显著增大，否则有显著增大 0dddtns成对测定值之差的算术平均值： d0d零或其他指定值 11nniiiixxddnnds n对试验值之差值的样本标准

9、差： 21()1niidddsn服从自由度为1dfn的t分布 2tt否则两组数据之间存在显著的系统误差 ，则成对数据之间不存在显著的系统误差，解:（1）排序：秩秩1234567891011.511.5131415甲甲9.19.910.0乙乙8.08.99.232pxxss或则应将该试验值剔除。 说明：n计算平均值及标准偏差s 时，应包括可疑值在内n 3s相当于显著水平0.01，2s相当于显著水平0.05 Pauta例：0.140,0.01116xs（2）计算偏差 ,xs0.1670.1400.027pxx（3）比较 3s30.011160.

10、03350.027 故按拉依达准则，当0.01时，0.167这一可疑值不应舍去 则应将该值剔除。(, )nGGrubbs检验临界值 ( , )ppndxxGsn检验高端异常值检验高端异常值检验低端异常值检验低端异常值378101113143011nnnxxDxx211nxxDxx12nnnxxDxx2111nxxDxx22nnnxxDxx3111nxxDxx23nnnxxDxx3121nxxDxx统计量D计算公式1( )Dnn 检验 当 DD1( )DDn，判断nx为异常值 当 DD1( )DDn，判断1x为异常值 检验xn时，当 1( )DDn时，可剔除xn 检验x1时，当 时，可剔除x11

11、( )DDn查单侧临界值 检验1.6 有效数字和试验结果的表示1212.nnfffdydxdxdxxxx1212.nnfffyxxxxxx全微分1niiifyxx 1niiixyfyxyn相对误差为：ifx误差传递系数 ix直接测量值的绝对误差；y间接测量值的绝对误差或称函数的绝对误差。221()nyiiifx221()nyiiifssx1.7.2 误差传递公式的应用（1）根据各分误差的大小，来判断间接测量或函数误差的主要来源：（2）选择合适的测量仪器或方法：2.2 图示法 图1 高吸水性树脂保水率与时间和温度的关系图2 某离心泵特性曲线图3 散点图图4 不同提取方法提取率比较图5 不同提取方

12、法对两种原料有效成分提取率效果比较图6 全球天然维生素E消费比例 图7 全球合成、天然维生素E消费比例比较MABSxAxSxB1 xA xS图8 等腰直角三角形坐标图0.000.250.500.751.000.000.250.500.751.000.000.250.500.751.00ABCxCxBxAxAxAxCxCxBxBMEF图9 等边三角形坐标图图10 三维表面图 图11 三维等高线图 x10204060801001000200030004000y24146080100177181188200图12 普通直角坐标系图13 对数坐标系推荐坐标轴的比例常数M（1、2、5）10 n （n为正

13、整数），而3、6、7、8等的比例常数绝不可用；纵横坐标之间的比例不一定取得一致，应根据具体情况选择，使曲线的坡度介于3060之间pH8.09.010.011.0吸光度A1.341.361.451.36设2pH2A2mm解： pH0.1，A0.01 横轴的比例尺为 2210/20.2pHmmmmMmmpHpH（单位值）纵轴的比例尺为 22100/20.01AmmmmMmmA（单位吸光度）图14 坐标比例尺对图形形状的影响表2-1 离心泵特性曲线测定实验的数据记录表序号序号流量计读数流量计读数/(L/h)真空表读数真空表读数/MPa压力表读数压力表读数/ MPa功率表读数功率表读数/W12附：泵入

14、口管径： _mm；泵出口管径：_mm；真空表与压力表垂直距离：_mm；水温： _；电动机转速 r/min。试验次数试验次数A1A2AiAr1x11x21xi1xr12x12x22xi2xr2jx1jx2jxijxrjnix1n1x2n2xinixrnr111inrijijxxn11iniijjixxnn 总平均 ：211()inrTijijSSxxn 表示了各试验值与总平均值的偏差的平方和n 反映了试验结果之间存在的总差异 组间离差平方和 SSA （sum of square for factor A）22111()()inrriiAiijiSSxxn xxn 反映了各组内平均值之间的差异程度

15、n 由于因素A不同水平的不同作用造成的 211()inrieijijSSxx三种离差平方和之间关系： TAeSSSSSS/AAAMSSSdf/eeeMSSS dfMSA组间均方MSe组内均方/误差的均方AAeMSFMS组间均方组内均方单因素试验的方差分析表 差异源差异源SSdfMSF显著性显著性组间（因素组间（因素A）SSAr1MSASSA（r1）MSAMSe组内（误差）组内（误差）SSenrMSeSSe（nr）总和总和SSTn1B1B2BsA1x11x12x1sA2x21x22x2sArxr1xr2xrs111rsijijxxrs 11siijjxxs11rjijixxrn Ai水平时 ：n

16、 Bj水平时： 211rsTijABeijSSxxSSSSSS22111()()srriiAjiiSSxxsxx22111()()rssjjBijjSSxxrxx211()rsijeijijSSxxxx 1AAAASSSSMSdfr1BBBBSSSSMSdfs(1)(1)eeeeSSSSMSdfrsBBeMSFMSAAeMSFMS差异源差异源SSdfMSF显著性显著性因素因素ASSAr1因素因素BSSBs1误差误差SSe总和总和SSTrs11AASSMSrAAeMSFMS1BBSSMSsBBeMSFMS(1)(1)rs(1)(1)eeSSMSrs无重复试验双因素方差分析表因素因素B1B2BsA

17、1A2Ar11111211,.,cxxx12112212,.,cxxx1 11 21,.,ssscxxx21121221,.,cxxx22122222,.,cxxx2 12 22,.,ssscxxx11121,.,rrr cxxx21222,.,rrr cxxx12,.,rsrsrscxxx双因素重复试验方差分析试验表 1111rscijkijkxxrsc 11cijijkkxxc11siijkjxxsc11rjijkixxrc2111()rscTijkABABeijkSSxxSSSSSSSS 21()riAiSSscxx21()sjBjSSrcxx 211()rsijijA BijSScxx

18、xx 2111()rscijeijkijkSSxx 1AASSMSr1BBSSMSs(1)(1)A BA BSSMSrs(1)eeSSMSrs cAAeMSFMSBBeMSFMSA BA BeMSFMSxx1x2xnyy1y2yn 计算值 与试验值yi不一定相等 与yi之间的偏差称为残差：iyiyiyiiieyy回归值/拟合值，由xi代入回归方程计算出的y值。iiyabxn 一元线性回归方程 ：112()02()0niiiniiiiQyabxaQyabx xb n残差平方和最小时，回归方程与试验值的拟合程度最好求残差平方和极小值：222111()()nnneiiiiiiiiSSQeyyyabx

19、112111nniiiinnniiiiiiinabxyaxbxx y11112222111()()()( )nnnniiiiiiiiiinnniiiiiinx yxyx ynxybnxxxn xaybxn 解正规方程组：22211()( )nnxxiiiiLxxxn x11()()nnxyiiiiiiLxxyyx ynxyxyxxLbLaybxxyxxyyLrLLr=1xyr1xy0r1xy1r0 xyr0 xyr0 xyn当 ，说明x与y之间存在显著的线性关系 minrr21()nTiyyiSSyyL221()nRxxxyiiSSyyb LbL21()neiiiSSyyTReSSSSSSn

20、回归平方和（regression sum of square） ：n 残差平方和 ：n 三者关系：RRRSSMSdfeeeSSMSdfReMSFMS12mbbb，.，mmxbxbxbay.22114.3.1 多元线性回归方程的建立 n 偏回归系数：221 12211()(.)nniimmiiiQyyyab xb xb x0jQb0Qan 根据： 得到正规方程组，正规方程组的解即为回归系数。22211()nnTyyiiiiSSLyyyny21 1221().nRyymmyiiSSyybLb Lb L21()neiTRiiSSyySSSSn 回归平方和：n 残差平方和：n 方差分析表： 21eRT

21、TSSSSRSSSS n R一般取正值 ，0R1 jjjjyyLPbLn Pj越大，则对应的因素（xj）越重要jjjeeMSSSFMSMS服从自由度为（1，nm1）的F分布 n如果若F F(1，nm1 )， ，则说明xj对y的影响是不显著的，这时可将它从回归方程中去掉，变成（m1）元线性方程 n 计算偏回归系数 jb的标准差： jebjjSSsLn t值的计算 ：2jjjjjjjjjbeeejjbbb LSStFsMSMSMSL单侧t分布表 n 检验： 2(1,1)tnm如果 2(1,1)jttnm说明xj对y的影响显著，否则影响不显著， 4.4 非线性回归分析212.mmyab xb xb

22、x1122.mmyab Xb Xb Xn 可以转化为多元线性方程：4.4.3 多元非线性回归 n如果试验指标y与多个试验因素xj之间存在非线性关系，如二次回归模型 ：211mmjjjjjjkjkjij kyab xb xb x xx1x2bx3x1x2ab若f(x1) f(x2)若f(x2) f(x3)x3x1x2x4x3510.61803398872n 优选步骤：x20.6180.382x1ab0.6180.382x2x1bnn+1FF3 581321 34 5589144,5 8 13 21 34 55 89 144233x42/5x3x1x25/83/8x1x23/5x1x32/31/3

23、B (无电)甲（有电）乙（无电）A(有电)n 优选方法：233112123121323213132()()()()()()()()()()()()x x x xx x x xx x x xy yyyxx xxxx xxxx xxn设二次函数在x4取得最大值：2222221232313124123231312()()()12()()()y xxyxxy xxxy xxyxxy xx*n 把a分成2n2段，相邻两段为a1，b1(a1b1)，且a1b15=(1)21nn当n=0时，=0.618ABACADCEDFQabdc2ab2cdP2abbQRP2P1abdc2ab2abbP2P3RPQabdc

24、0.3820.618ACBDEFGFG6.2 正交试验设计结果的直观分析法 指 标 值 指 标 最 小 值隶 属 度指 标 最 大 值 指 标 最 小 值A1A2B12535B23040A1A2B12535B23015A1A2C1(y1+ y3)/2=(0.484+0.532)/2=0.508(y5+ y7)/2=(0.472+0.554)/2=0.513C2(y2+ y4)/2=(0.448+0.516)/2=0.482(y6+ y8)/2=(0.480+0.552)/2=0.5162221111()()nnnTiiiiiiSSyyyyQPn1niiTy21niiQy2211()niiTPy

25、nn设：22211()()rrjiiiirTrSSKKPnnn1mTjjSSSS因此：12A BA BA BSSSSSS（）（）eSSSS空列AAASSMSdfA BA BA BSSMSdfeeeSSMSdfn以AB为例 ：n误差的均方： eeASSSSSSeeAdfdfdfeeeSSMSdfAAeMSFMSA BA BeMSFMSAAeMSFMSA BA BeMSFMS或或(,)AAeFFdfdf(,)A BA BeFF dfdf2121()jSSKKnn 例6-93213()jiiSSKPnn 例6-10注意： 交互作用的方差分析 有交互作用时，优方案的确定因因素素数数列列 号号12345

26、6789101112133AB(AB)1(AB)2C(AC)1(AC)2(BC)1(BC)24AB(AB)1(CD)2(AB)2C(AC)1(BD)2(AC)2(BC)1(AD)2D(AD)1(BC)2(BD)1(CD)1试验号试验号因因 素素得分得分ABC111111221222263211224422211553121266321218741221984211210K1821242324K2929262726K314K419k14.05.26.05.86.0k6.86.5k37.0k49.5极差极差R5.52.00.510.5因素主因素主次次A B C优方案优方案A4B

27、2C2 或或A4B2C1水平水平因因 素素温度（温度（A）/甲醇钠量（甲醇钠量（B）/mL醛状态（醛状态（C）缩合剂量缩合剂量（D）/ mL1353固固0.92255液液1.23454液液1.5试验号试验号因因 素素合成率合成率/%（合成率（合成率70）/%ABCD1111（1）169.20.82122（2）271.81.83133（2）378.08.04212（2）374.14.15223（2）177.67.66231（1）266.53.57313（2）269.20.88321（1）369.70.39332（2）178.88.8K19.02.54.615.6K2.5K3

28、7.713.311.8k13.0k22.73.04.90.8k极差极差R6因素主因素主次次C D B A优方案优方案C2D1B3A2因素数因素数列号列号123452AB(AB)1(AB)2(AB)33ABC4ABCD5ABCDEnD表示均匀度的偏差(discrepancy)，D，均匀分散性（2）使用表n 每个均匀设计表都附有一个使用表 （3）特点n每列不同数字都只出现一次n 任两个因素的试验点点在平面的格子点上，每行每列有且仅有一个试验点 1，3列1，4列试验号试验号列号列号1231(1)1(2)1(3)12(2)1(4)2(6)23(3

29、)2(6)3(2)14(4)2(1)1(5)25(5)3(3)2(1)16(6)3(5)3(3)2U62132()Orthogonal Regression Design0jjjjxxzn 编码（coding）：将因素xj的各水平进行线性变换：n 表头设计 ：11niiayyn1njiiijcz ybm j1，2，m 1()nkjiiikjcz zybmjk, k1，2，m1 2221111()()nnnTyyiiiiiiSSLyyyyn2jcjSSm b2kjckjSSm bRSSSSSS一次项交互项eTRSSSSSSn一次项偏回归平方和 ：n交互项偏回归平方和：n回归平方和 ：n残差平方和

30、 ：Rdfdfdf一次项交互项eTRdfdfdfn残差自由度：0002221000011101()()mmmeiiiiiiSSyyyym101edfm11LfTReeeSSSSSSSSSSSS1Lfeedfdfdfn重复试验误差的自由度：回归方程失拟部分：n失拟平方和 ：n失拟平方和自由度：11LfLfLfeeSSdfFSSdf失拟检验 ：221 122121211 1222yab xb xb x xb xb xn试验方案2221 12 23 312 1 213 1 323 2 311 122 233 3y a bxbxbxb xxb xxb x xb xb xb x n试验方案0(2)2cc

31、cmmm mm 参考表8-18m0因素数因素数m234（1/2实施）实施）45（1/2实施）实施）511.0001.2151.3531.4141.5471.59621.0781.2871.4141.4831.6071.66231.1471.3531.4711.5471.6641.72441.2101.4141.5251.6071.7191.78451.2671.4711.5751.6641.7711.84161.3201.5251.6231.7191.8201.89671.3691.5751.6681.7711.8681.94981.4141.6231.7111.8201.9142.00091

32、.4571.6681.7521.8681.9582.049101.4981.7111.7921.9142.0002.097二次回归正交组合设计值表 2211njijijiizzzn试验号试验号z1z2z1 z2z12z22z1z21111111/31/32111111/31/33111111/31/34111111/31/35100101/32/36100101/32/37010012/31/38010012/31/39000002/32/3二元二次回归正交组合设计编码表 0jjjxx 规范变量规范变量zj自然变量自然变量xjx1x2xm上星号臂上星号臂x1x2xm上水平上水平1x12x101x22x202xm2xm0m零水平零水平0 x10 x20 xm0下水平下水平1x11x101x21x202xm1xm0m下星号臂下星号臂x1x2xm变化间距变化间距j12m因素水平的编码表 因素数因素数m选用正交表选用正交表表头设计表头设计mcm2L4（23）1，2列列22443L8（27）1，2，4列列23864（1/2实施）实施）L8（27）1，2，4，7列列241884L16（215）1，2，4，8