线性代数矩阵及其运算

1、1华南农业大学理学院应用数学系多媒体教学课件2教学基本要求1、提前预习，积极听课；、提前预习，积极听课； 2、认真完成作业，计入平时成绩；、认真完成作业，计入平时成绩； 3、随机点名考勤，考勤结果计入平时成绩；、随机点名考勤，考勤结果计入平时成绩；5、联系电话：、联系电话 e-mail： 4、总评成绩、总评成绩=平时（占平时（占30%）+期末（占期末（占70%） 3引引 言言 线性代数线性代数是以行列式、矩阵为工是以行列式、矩阵为工具，研究线性变量之间关系的一门数学分具，研究线性变量之间关系的一门数学分科，它包括求值、求解及性质的讨论。科，它包括求值、求解及性质的讨论

2、。密切相关学科：运筹学（线性规划）密切相关学科：运筹学（线性规划）4第一章第一章 矩阵矩阵 第四章第四章 向量的内积与二次型向量的内积与二次型第六章第六章 Matlab Matlab 软件的应用软件的应用第二章第二章 向量与线性方程组向量与线性方程组第五章第五章 线性空间与线性变换线性空间与线性变换第三章第三章 矩阵的特征与特征向量矩阵的特征与特征向量 教教 学学 计计 划划 10学时学时 6学时学时 4学时学时 8学时学时 4学时学时 略略 5第一章 矩 阵1 矩阵及其运算矩阵及其运算3 行列式行列式2 矩阵的初等变换与矩阵的初等变换与初等矩阵初等矩阵4 行列式和逆矩阵的应用行列式和逆矩阵的

3、应用矩阵及其运算 第一节111212122212nnmmmnaaaaaaaaa引例一某企业生产某企业生产4种产品，各种产品的季度产值种产品，各种产品的季度产值（单位：万元）如下表：（单位：万元）如下表：ABCD18075757829870858439075909048870828080757578987085849075909088708280 数数 表表 抽象抽象 描述各种产品各季度的产值描述各种产品各季度的产值揭示产值随季度的变化规律、揭示产值随季度的变化规律、年产量等年产量等引例二某航空公司在某航空公司在A，B，C，D四城市四城市之间开辟了若干航线，右图表示了之间开辟了若干航线，右图表示

4、了四城市之间的航班图，若从四城市之间的航班图，若从A到到B有有航班，则用带箭头的线连接航班，则用带箭头的线连接A与与B： 终点始发ABC DA B C D0110101111010100 数数 表表 BA CD抽象抽象 反映四城市之间的交通连接情况反映四城市之间的交通连接情况 11112211211222221122.nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb111212122212nnmmmnaaaaaaaaa1.1.1 线性方程组与矩阵的概念线性方程组与矩阵的概念m m个方程，个方程，n n个未知数个未知数(1)线性方程组的一般形式为线性方程组的一般形式为

5、11121121222212nnmmmnmaaabaaabaaab 数数 表表 定义定义1.1 (P2)1.1 (P2)111212122212nnmmmnaaaaaaaaa由由m n个数个数aij (i=1,2,m; j=1,2,n) 排成的排成的m行行n列的数表列的数表 第一行第一行 第二行第二行 第一列第一列 第二列第二列 A其中诸其中诸ija叫做矩阵的叫做矩阵的元素元素，矩阵可以简记，矩阵可以简记称为称为m行行n列矩阵列矩阵 ，简称为，简称为nm矩阵矩阵,)(nmijnmaAA)(ijaA 或通常用大写的英文通常用大写的英文字母字母A,B,表示，表示， naaa21行矩阵：行矩阵：只有

6、一行的矩阵只有一行的矩阵也称为行向量也称为行向量12naaa列矩阵：列矩阵：只有一列的矩阵只有一列的矩阵也称为列向量也称为列向量元素全是零的矩阵叫做元素全是零的矩阵叫做零矩阵零矩阵，简记为，简记为Om n 特例特例 行数与列数相等的矩阵，称为行数与列数相等的矩阵，称为。有有n行行n列的矩阵称为列的矩阵称为n阶方阵阶方阵或或n阶矩阵阶矩阵111212122212()nnn nnijn nnnnnaaaaaaAAAaaaa特例特例 13几种特殊形式的方阵几种特殊形式的方阵11121222000nnnnaaaaaa上三角形矩阵上三角形矩阵11212212000nnnnaaaaaa下三角形矩阵下三角形

7、矩阵三角形矩阵三角形矩阵 14000000数量矩阵数量矩阵n00000021对角阵对角阵12(,)ndiag 100010001单位矩阵单位矩阵nII或几种特殊形式的方阵几种特殊形式的方阵diagonal 15行数、列数分别相等的矩阵，称为行数、列数分别相等的矩阵，称为同型矩阵同型矩阵。同型矩阵同型矩阵如：11010437A11110000B054123000C789123D只有矩阵只有矩阵 与矩阵与矩阵 同型同型AB16定义定义1.2（P4), 2 , 1;, 2 , 1(njmibaijij那么就称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B()()ijijAaBb如果与是同型矩阵，并且对应位置上的元素

8、相等，即相等矩阵相等矩阵17258sin2 22.50.5 26908( 3)09100000 0000010010010 01001(1) (2) (3) 判断下列各组矩阵是否相等判断下列各组矩阵是否相等 课堂练习课堂练习 设设 ，已知，已知A=B， 12313,26568xxABzyz求求 的值的值 , ,x y z解解 由由A=B，可知，可知 2258xxyzz解得解得 1, 2, 2xyz 一、一、 矩阵的加减法矩阵的加减法定义1.3（P4),(),ijijbBaAnm（矩阵设有两个那么矩阵那么矩阵A与矩阵与矩阵B的的和矩阵和矩阵记作记作A+B,规定为规定为mnmnmmmmnnnnba

9、babababababababaBA221122222221211112121111对应位置上的元素相加对应位置上的元素相加1.1.2 矩阵的基本运算及性质矩阵的基本运算及性质注意：只有同型矩阵才能相加注意：只有同型矩阵才能相加20矩阵的加法满足下列运算规律矩阵的加法满足下列运算规律 (P4)（i）A+B=B+A (交换律） （ii) (A+B)+C=A+(B+C) (结合律）(iii) A+O=O+A=A记设矩阵),(ijaA ),(ijaA-A称为矩阵A的负矩阵的负矩阵，显然有A+(-A)=(-A)+A=O定义矩阵的减法定义矩阵的减法：A-B=A+(-B)对应位置对应位置上的元素上的元素相

10、减相减二、二、 矩阵的数乘运算矩阵的数乘运算定义1.4 (P5) ，规定为或的乘积记作与矩阵数AAAmnmmnnaaaaaaaaaAA212222111211(1) ()() (2) ()(3) () (4) 1(5) ( 1) (6) 0AAAAAABABAAAAAO 矩阵的每一个元素矩阵的每一个元素都要乘以这个数都要乘以这个数运算率运算率 (P5) 22设两个商店销售三种电视机的设两个商店销售三种电视机的数量（百台）由矩阵数量（百台）由矩阵A表示表示691410812A长虹康佳创维百佳华润三种电视机的零售单价三种电视机的零售单价（千元）由矩阵（千元）由矩阵B表示表示5 . 335 . 2B

11、长虹康佳创维5 . 310385 . 2125 . 36395 . 214CAB5 . 335 . 26914108128389三、三、 矩阵的乘法矩阵的乘法则两商场销售电视机所得收益分别是多少？则两商场销售电视机所得收益分别是多少？ 定义定义1.5 (P5) 三、三、 矩阵的乘法矩阵的乘法1 1221lijijijilljikkjkca ba ba ba b(1,2,;1,2, ),im jn设矩阵设矩阵A=(aij)m l的的列数列数与矩阵与矩阵B=(bij)l n的的行数行数相等相等,则由元素则由元素构成的构成的m n矩阵矩阵C=(cij)m n称为矩阵称为矩阵A与矩阵与矩阵B的的乘积乘

12、积，记作记作C=AB（1 1） 两矩阵相乘时，前矩阵（居左）每一行（如两矩阵相乘时，前矩阵（居左）每一行（如第第i i行）的各元素与后矩阵（居右）每一列（如第行）的各元素与后矩阵（居右）每一列（如第j j列）中顺次对应的各元素相乘再相加，从而得到乘列）中顺次对应的各元素相乘再相加，从而得到乘积矩阵（第积矩阵（第i i行第行第j j列）的元素。列）的元素。 (2)(2)为保证规则（为保证规则（1 1），），左矩阵的列数应与右矩阵左矩阵的列数应与右矩阵的的行数相等的的行数相等，否则两矩阵不能相乘。否则两矩阵不能相乘。（3 3） 乘积矩阵的行数与左矩阵相同，乘积矩阵的列乘积矩阵的行数与左矩阵相同，乘

13、积矩阵的列数与右矩阵相同。数与右矩阵相同。1111lmmllmaaAaa1111nllnnlbbBbb行行i列列j25（1）设）设530421A4213B，求，求AB和和BA。（2）设）设，132A465B，求，求AB和和BA.求求AB、BA和和BC。 ，设21423A，6342B4824C，设设530421A4213B，求，求AB。AB4213530421()223142112034401425334513231941297矩阵与矩阵相乘不满足交换律，矩阵与矩阵相乘不满足交换律，AB有意义，有意义，但但BA不一定有意义不一定有意义解解 设设132A465BAB4651324161514363

14、53426252求求AB和和BA46512181581210BA13246514362532AB和和BA都意义，但不同型，故都意义，但不同型，故ABBA.解解 2142A6342B求求AB、BA和和BCAB1683216BA0000 (1) AB与与BA都有意义，且同型，但都有意义，且同型，但AB与与BA不相等不相等 (2) 两个非零矩阵相乘可能是零矩阵两个非零矩阵相乘可能是零矩阵 (3) BA=BC,但但AC,可见，矩阵乘法不满足消去率可见，矩阵乘法不满足消去率BC00004824C解解 ABBA , BA=BC 0230A9469B求AB和BAAB9469023012182712BA023

15、0946912182712AB =BA如果同阶方阵如果同阶方阵A和和B满足满足AB=BA,则称则称A与与B可交换可交换解解 矩阵的乘法虽不满足交换律、消去率，矩阵的乘法虽不满足交换律、消去率，但满足下列运算率（但满足下列运算率（P6）：）：()()()()(BABAAB()CABAACBACABCBA)()() , mm nm nm nnm nI AAAIA()()AB CA BC记记111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa1nxXx1mbbb则线性方程组则线性方程组(1)可通过矩阵的乘法表示成矩阵形式可通过矩阵的乘法表示成矩阵形式 11112211211222221122.n

16、nnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb(1)AXb系数矩阵系数矩阵 未知数列矩阵未知数列矩阵 常数列矩阵常数列矩阵 矩阵矩阵A表示两车间生产三种表示两车间生产三种产品的数量产品的数量166101289A矩阵矩阵B表示三种产品的单位产品表示三种产品的单位产品消耗两种原料的数量消耗两种原料的数量4365 . 15 . 42B车间一车间一车间二车间二面包面包蛋糕蛋糕饼干饼干面包面包蛋糕蛋糕饼干饼干糖糖面面粉粉CAB(1626 1.5 10 3 164.56 6104 395 . 1821249685 . 412)则如何用矩阵表示两车间需要消耗的原材料的数量？则如何

17、用矩阵表示两车间需要消耗的原材料的数量？ 7114863138方阵的幂方阵的幂设设A是是n阶方阵，阶方阵，k为正整数，则为正整数，则kA表示表示k个个A连乘连乘, 如如显然，只有方阵的幂才有意义显然，只有方阵的幂才有意义AAAA 3lklkAAAkllkAA)(kkkBAAB)(四、转置矩阵四、转置矩阵 (Transpose)行、列对调行、列对调113021A101231TAAATT)(TTTBABA)(TTAA)(TTTABAB)(运运 算算 律律1221()TTTTnnA AAAA A可推广到可推广到有限多个有限多个的情形的情形定义定义1.6 (P6) 把矩阵把矩阵A的行换成同序数的列得到

18、一个的行换成同序数的列得到一个新矩阵新矩阵,叫做的叫做的A转置矩阵转置矩阵，记作，记作 或或TAA对称矩阵对称矩阵如果如果方阵方阵A满足满足,AAT就称就称A为为对称矩阵对称矩阵111100000574702423例例如如方阵方阵A为为对称矩阵对称矩阵矩阵矩阵A中关于主对角线对称位中关于主对角线对称位置上的每一对元素都相等置上的每一对元素都相等jiijaa 定义定义1.7 (P10)设设A A为为n n阶方阵阶方阵, ,AB=BA=AB=BA=I I就称为就称为A可逆矩阵可逆矩阵，如果如果存在存在n n阶方阵阶方阵B B，使得，使得并称并称B为为A的逆矩阵的逆矩阵（简称（简称A的逆的逆),记作

19、记作1 AB定理定理1.1如果如果A是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的证明证明设设B和和C都是都是A的逆矩阵，的逆矩阵，则则AB=BA=I I, AC=CA=I I B =BI I =B(AC) =(BA)C =I IC =C1.1.4 逆矩阵逆矩阵性质性质 1.1 如果矩阵如果矩阵A可逆，则可逆，则AB=I I等价于等价于BA=I I。证明证明 (1) 1()()A A BA1()AAB A11A IAA AI()BAI BAABIBAI相似可证相似可证 BAIABI111(1)0, ()AAA若 可逆，则112 ()()TTAAA（ ）若 可逆，则性质性质1.2

20、（3）如果）如果A为可逆矩阵，则为可逆矩阵，则A-1也可逆，且也可逆，且11()AA性质性质1.3如果如果A和和B为同阶可逆矩阵，则为同阶可逆矩阵，则AB可逆，且可逆，且111)(ABAB证明证明)(11ABAB11)(ABBA1AIA1AAI故由推论故由推论1便知便知AB可逆，且可逆，且111)( ABAB11111221()nnA AAAA A可推广可推广到有限到有限个情形个情形39逆矩阵的性质（逆矩阵的性质（P10-P11） 1、逆矩阵是唯一存在的。、逆矩阵是唯一存在的。 2、AB=I BA=I 6、若、若A可逆，则可逆，则A-1也可逆，且也可逆，且 . 11()AA3、若、若A可逆，数

21、可逆，数 ，则，则 0111()AA4、若、若A、B为同阶可逆矩阵，则为同阶可逆矩阵，则 111()ABB A5、若、若A可逆，则可逆，则 11()()TTAA（此性质可将定义简化）（此性质可将定义简化） 401.1.3 分块矩阵及其运算分块矩阵及其运算 用用穿过矩阵穿过矩阵的横线和竖线将矩阵的横线和竖线将矩阵A分割成若干个分割成若干个子块，以这些子块，以这些子块为元素子块为元素的矩阵的矩阵A称为分块矩阵。称为分块矩阵。例如例如1112131415212223242531323334354142434445aaaaaaaaaaAaaaaaaaaaa则则A可记作可记作111213212223AA

22、AAAAA称称A为以子块为以子块A11、A12、A13、A21、A22、A23为元素的为元素的分分块矩阵块矩阵。411003010100100001A如：如： 分块矩阵分块矩阵3IBOC1003010100100001A22IDOI421003010100100001A如：如： 分块矩阵分块矩阵1231003010100100001A1234列分块列分块 行分块行分块 431、矩阵的分块运算分两步完成，首先，视子块为元、矩阵的分块运算分两步完成，首先，视子块为元素，按矩阵的运算法则作第一步运算，然后，在子块素，按矩阵的运算法则作第一步运算，然后，在子块的运算中，再进行实质上的矩阵运算。的运算中

23、，再进行实质上的矩阵运算。2、在对矩阵进行分块时，必须遵守相应运算的前在对矩阵进行分块时，必须遵守相应运算的前提条件提条件。 如：相加减的矩阵，需采取完全相同的分块方如：相加减的矩阵，需采取完全相同的分块方法；相乘时，左矩阵的列块数必须等于右矩阵的行法；相乘时，左矩阵的列块数必须等于右矩阵的行块数，同时还须保证子块运算时的左子块的列数必块数，同时还须保证子块运算时的左子块的列数必须等于右子块的行数。须等于右子块的行数。分块矩阵的运算：分块矩阵的运算：44u分块矩阵的加减运算分块矩阵的加减运算设设A、B同型同型，且采用，且采用完全相同的分块方法完全相同的分块方法，得，得111212122212ssrrrsAAAAAAAAAA，111212122212ssrrrsBBBBBBBBBB则则111112121121212222221122sSsSrrrrrsrsABABABABABABABABABAB注意：注意：A i j与与B i j同型同型45u 分块矩阵的数乘及转置分块矩阵的数乘及转置 设将设将A分块得分块得111212122212ssrrrsAAAAAAAAAAR则则11121