D63二阶常系数非齐次线性微分方程实用教案

1、1. 求方程求方程(fngchng)的通解(tngji).方程(fngchng)的通解为课堂练习2. 求方程0 yy的通解.方程的通解为xCxCysincos2122420250d xdxxdtdt5212()txCC t e第1页/共23页第一页，共24页。四、二阶线性微分方程四、二阶线性微分方程(wi fn fn chn)举例举例 当重力(zhngl)与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 例4. 质量为m的物体自由(zyu)悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,xxO解解:阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,建立

2、坐标系如图.设时刻 t 物位移为 x(t).(1) 自由振动情况.弹性恢复力物体所受的力有:(虎克定律)xcf成正比, 方向相反. 建立位移满足的微分方程.第2页/共23页第二页，共24页。据牛顿(ni dn)第二定律得txxctxmdddd22,2mck,2mn令则得有阻尼(zn)自由振动方程:0dd2dd222xktxntx阻力(zl)txRdd00ddvtxt,00 xxt22ddtx02xktxndd2位移满足定解问题:第3页/共23页第三页，共24页。方程(fngchng):22ddtx02xk特征方程:, 022krkri2,1特征(tzhng)根:tkCtkCxsincos21利

3、用(lyng)初始条件得:,01xC 故所求特解:tkkvtkxxsincos00A)sin(tkA0 xkv0方程通解:1) 无阻尼自由振动情况无阻尼自由振动情况 ( n = 0 )kvC020022020tan,vxkkvxA第4页/共23页第四页，共24页。解的特征解的特征(tzhng):)sin(tkAx0 xAAxtO简谐振动(zhndng) A: 振幅(zhnf), : 初相,周期: kT2:mck 固有频率 T0dd00vtxt, 000 xxt下图中假设(仅由系统特性确定)第5页/共23页第五页，共24页。方程(fngchng):特征方程:0222krnr222,1knnr特征

4、(tzhng)根:小阻尼(zn): n k临界阻尼: n = k 22ddtx02xktxndd2)sincos(e21tCtCxtn)(22nk trtrCCx21ee21tntCCxe)(21解的特征解的特征解的特征第6页/共23页第六页，共24页。小阻尼小阻尼(zn)自由振动解的特自由振动解的特征征 : )sincos(e21tCtCxtn)(22nk 由初始条件确定任意(rny)常数后变形)sin(etAxtntxOT0 x运动(yndng)周期:;2T振幅: tnAe衰减很快,)0, 0(00vx此图随时间 t 的增大物体趋于平衡位置.第7页/共23页第七页，共24页。大阻尼大阻尼(

5、zn)解的解的特征特征:( n k )1) 无振荡(zhndng)现象; trtrCCx21ee21222,1knnr其中22knn0. 0)(limtxtOtx0 x此图参数: 1, 5 . 1kn5 . 10 x073. 50v2) 对任何(rnh)初始条件即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置.第8页/共23页第八页，共24页。临界阻尼解的特征临界阻尼解的特征(tzhng) :( n = k )任意(rny)常数由初始条件定, tntCCxe)(21)() 1tx最多只与 t 轴交于一点(y din); :,21取何值都有无论CC)(lim) 3txt即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位

6、置.0e)(lim21tnttCC2) 无振荡现象 ;此图参数: 2n1 . 00 x10v0 xOxy第9页/共23页第九页，共24页。二阶常系数(xsh)非齐次线性微分方程 第六节第六节型)(e)(xPxfmxxxPxflxcos)(e)(型sin)(xxPn一、一、二、 第六章 （略）第10页/共23页第十页，共24页。一、线性非齐次方程解的结构一、线性非齐次方程解的结构(jigu) )(* xy设是二阶非齐次方程(fngchng)的一个(y )特解, )(*)(xyxYyY (x) 是相应齐次方程的通解,定理定理 1.)()()(xfyxQyxPy 则是非齐次方程的通解 .证证: 将)

7、(*)(xyxYy代入方程左端, 得)*( yY)*( )(yYxP)*)(*)(*(yxQyxPy )()(YxQYxPY )(0)(xfxf)*( )(yYxQ第11页/共23页第十一页，共24页。)(*)(xyxYy故是非(shfi)齐次方程的解,又Y 中含有(hn yu)两个独立任意(rny)常数,例如例如, 方程xyy 有特解xy *xCxCYsincos21对应齐次方程0 yy有通解因此该方程的通解为xxCxCysincos21证毕因而 也是通解 .第12页/共23页第十二页，共24页。)(xfyqypy ),(为常数qp二阶常系数(xsh)线性非齐次微分方程 :根据解的结构定理(

8、dngl) , 其通解为Yy *y非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法(fngf)根据 f (x) 的特殊形式 ,*y给出特解的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法待定系数法第13页/共23页第十三页，共24页。)(exQx )()2(xQp )()(2xQqp)(exPmx一、一、 型)(e)(xPxfmx 为实数(shsh) ,)(xPm设特解为, )(e*xQyx其中 为待定多项式 , )(xQ )()(e*xQxQyx )()(2)(e*2xQxQxQyx 代入原方程(fngchng) , 得 )(xQ )()2(xQp)()(2xQqp)(xPm为 m

9、次多项式 .)(xfyqypy (1) 若 不是(b shi)特征方程的根, , 02qp即则取),(xQm从而得到特解形式为Q (x) 为 m 次待定系数多项式第14页/共23页第十四页，共24页。(2) 若 是特征方程的单根 , , 02qp,02 p)(xQ则为m 次多项式, 故特解形式(xngsh)为xmxQxye)(*(3) 若 是特征方程的重根 , , 02qp,02 p)(xQ 则是 m 次多项式,故特解形式(xngsh)为xmxQxye)(*2小结小结(xioji)对方程,)2, 1, 0(e)(*kxQxyxmk此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .)(xQ )()2(xQ

10、p)(xPm)()(2xQqp即即当 是特征方程的 k 重根 时,可设特解第15页/共23页第十五页，共24页。例例1.1332 xyyy求方程的一个(y )特解.解解: 本题本题(bnt)而特征方程为,0322 rr不是(b shi)特征方程的根 .设所求特解为,*10bxby代入方程 :13233010 xbbxb比较系数, 得330 b13210bb31,110bb于是所求特解为.31*xy0,0第16页/共23页第十六页，共24页。例例2. xxyyy2e65 求方程的通解(tngji). 解解: 本题本题(bnt)特征方程为,0652 rr其根为对应齐次方程(fngchng)的通解为

11、xxCCY3221ee设非齐次方程特解为xbxbxy210e)(*比较系数, 得120 b0210bb1,2110bb因此特解为.e)1(*221xxxy3, 221rr代入方程得xbbxb01022所求通解为xxCCy3221ee.e)(2221xxx ,2第17页/共23页第十七页，共24页。xmxPyqypye)(. 1 为特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,xmkxQxye)(*则设特解为sin)(cos)(e. 2xxPxxPyqypynlx （略）3. 上述结论也可推广到高阶方程(fngchng)的情形.常系数常系数(xsh)二阶线性非齐次微分方程的特二阶线性非齐次微分方程的

12、特解解:第18页/共23页第十八页，共24页。1. 求方程求方程(fngchng) y a2 y ex的通解(tngji). （P365, 1(2)） 课堂练习3. 写出方程写出方程(fngchng)369xyyye的特解形式. 2. 求特解： y4y5 y|x0 1 y|x0 0 . ( P366, 3(2) )( P365, 2(1) )23xyA x e第19页/共23页第十九页，共24页。第20页/共23页第二十页，共24页。第21页/共23页第二十一页，共24页。作作 业业P358：1(2)(4); 2(2).P365: 1(5)(6); 2(2).习题课2 第九节 第22页/共23页第二十二页，共24页。感谢您的欣赏(xnshng)！第23页/共23页第二十三页，共24页。NoImage内容(nirng)总结1. 求方程。1. 求方程。第2页/共23页。随时间 t 的增大物体。1) 无