D一元函数积分学一实用教案

1、1.理解(lji)原函数的概念,的性质(xngzh)及定积分中值定理,分法.3.会求有理函数、三角函数有理式和简单(jindn)无理函数的机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、考试基本要求一、考试基本要求积分.2.掌握不定积分的基本公式,掌握不定积分和定积分掌握换元积分法和分部积4.理解积分上限的函数,会求它的导数,理解不定积分和定积分的概念.掌握牛顿莱布尼兹公式.5.了解反常积分的概念,会计算反常积分.第1页/共27页第一页，共28页。6.掌握用定积分表达和计算一些掌握用定积分表达和计算一些(yxi)几何量几何量与物理量与物理量引力(ynl)、机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束

2、 及侧面积、(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积平行截面面积为已知的立体体积、功、压力、质心、形心等)及函数的平均值.第2页/共27页第二页，共28页。机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 二、知识点与考点二、知识点与考点(ko din)(一)不定积分(b dn j fn)若1.原函数与不定积分的定义:有则称F(x)为f (x)在区间 I 上的一个原设函数 f (x)在区间 I 内有定义,函数.称为 f (x) 在区间 I 上的不定积分, 记为f (x)在区间I 上的全体原函数 F (x) + c ,2. 不定积分的性质:(1)(2)第3页/共27页第三页，共28页。机动 目录

3、(ml) 上页 下页 返回 结束 (1). 4.基本(jbn)积分公式(2)(互逆运算)(1)3.不定积分(b dn j fn)与微分的关系(2).(3).(4).(5).(6).(7).(8).第4页/共27页第四页，共28页。机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 (9).(10).(11).(12).(13).(14).(15).(16).(17).(18).(19).(20).(21).(22).第5页/共27页第五页，共28页。5.基本基本(jbn)积分法积分法:(1).直接(zhji)积分法机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 (2).换元积分法第一类换元积分法(凑微

4、分法)常用凑微分公式:第6页/共27页第六页，共28页。第二类换元积分法(变量(binling)代换法)机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 (正弦(zhngxin)代换)(正切代换)(正割代换)(根式代换)三角代换第7页/共27页第七页，共28页。令则机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 万能(wnnng)代换:积分(jfn)步骤:凑微分选 u , v ;(3) 分部积分法代公式;算微分 ;求积分.例如:第8页/共27页第八页，共28页。机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 (4) 有理函数(yu l hn sh)的积分有理函数(yu l hn sh):时,为真分式

5、;时,)(xR为假分式 .利用多项式综合除法, 总可以将一个假分式化为一个多项式与一个真分 式之和的形式 . 例如: _ _第9页/共27页第九页，共28页。 任何任何(rnh)有理真分式通过部分分式均可化有理真分式通过部分分式均可化为下列四种为下列四种类型(lixng):(2)机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 其中有理真分式的积分(1)第10页/共27页第十页，共28页。机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 (3)(需用递推公式计算(j sun),不作要求)(4)注:但计算(j sun)相当复杂.解题时应寻求更为简便的方法,如凑微分法、倒代换法等,有理函数虽然一定可积

6、,尽量避免使用一般方法.第11页/共27页第十一页，共28页。1.定积分(jfn)的定义:机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 (二) 定积分(jfn)(七条性质二条推论)2.定积分的几何意义:3.定积分的性质:曲边梯形面积的代数和.(1)(2)(3)则有(4)则有(5)则有第12页/共27页第十二页，共28页。推论(tuln)1.则机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 (6). (定积分(jfn)估值定理)若 M 和 m 分别是 f (x) 在a , b上的最大值和最小值,则有: (7).(定积分中值定理)若f (x) 是a , b上的连续函数,则在a , b上至少存在一点

7、, 使等式推论2.成立.并称为f (x)在a ,b区间上的平均值.第13页/共27页第十三页，共28页。补充规定补充规定:(1)机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 4. 定积分(jfn)计算法(1)牛顿(ni dn)-莱布尼兹公式(2) 当a = b 时,(2) 定积分换元积分法(3)第14页/共27页第十四页，共28页。 (3).定积分定积分(jfn)分分部积分部积分(jfn)法法5.重要(zhngyo)公式(1)机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 (2)若f (x)为a , a上的奇函数,则若f (x)为a , a上的偶函数,则(3)n为奇数n为偶数注意:余弦函数无

8、此性质!第15页/共27页第十五页，共28页。(4) 若若f (x)是周期是周期(zhuq)为为T的周期的周期(zhuq)函数函数,机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 a为任意(rny)实数,( (三) ) 广义( (反常) )积分2. 无界函数的广义积分则1. .无穷区间的广义积分则有:则第16页/共27页第十六页，共28页。机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 2.定积分(jfn)在几何上的应用:(1). 平面(pngmin)图形的面积则有(四) 定积分的应用 直角坐标1.定积分微元法若整体量U在区间a , b上具有可加性,即有而局部量 U du = f (x) dx则x

9、yoxx+dx( )y= f x( )y= g xdAab第17页/共27页第十七页，共28页。机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 起点(qdin)x = a 对应参数 t = 按顺时针方向决定(judng)起点与终点.参数方程极坐标xyocdyydy( )xy( )xydA终点x = b 对应参数 t = xyoabdAyxdxxxo( )rrdA第18页/共27页第十八页，共28页。(2)旋转体的体积旋转体的体积(tj)机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 y( )yf xaobxxxdxyxyocd( )xyyydyx第19页/共27页第十九页，共28页。(3)平面曲线

10、的弧长平面曲线的弧长弧长元素(yun s)(弧微分)机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 若曲线(qxin)方程为y = f (x) , 则有则有 直角坐标若曲线方程为x = (y) , xyoab( )yf x参数方程若曲线方程为参数方程 ( )xt( )yt则有第20页/共27页第二十页，共28页。极坐标极坐标则有3. 定积分在物理(wl)上的应用 机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 的作用(zuyng)下(1) 变力作功 设物体在变力从点 a 沿直线移动到点b,(如图示) 则在此过程中变力所作的功为:(力的大小改变方向不变)若变力函数 F (x) 不易确定,也可用微元分析法

11、直接若曲线方程为极坐标方程 确定功的微元dW.注:xab( )F x第21页/共27页第二十一页，共28页。(2) 水压水压力力(yl)机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 窄条的压力(yl)微元压强窄条面积则薄板受到的侧压力为其中 为水的比重.xyobaxxdx( )yf x( )yg xdp(3) 引力小段细棒的引力微元yxyo2l2ly+dyaMr由于对称性第22页/共27页第二十二页，共28页。年份(ninfn)机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 三、历年试题分类统计及考点三、历年试题分类统计及考点(ko din)分分布布考点分值定积分应用几何积分中值定理物理8788

12、8990919293949596979833+3337365合计93125141338123变上限积分不定积分计算 定积分计算3+333148+3355555156定积分性质3+63+69第23页/共27页第二十三页，共28页。机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 年份(ninfn)分值考点(ko din)99000102030405060708合计3合计984612668271033161631034206118415434431074不定积分计算定积分计算变上限积分定积分应用几何物理定积分性质积分中值定理10102190944第24页/共27页第二十四页，共28页。四、考点四、考

13、点(ko din)分析分析:1.不定积分(b dn j fn),2.不定积分与定积分计算(主要(zhyo)是换元法和分部法).机动 目录 上页 下页 返回 结束 4.定积分在几何和物理中的应用(主要是几何应用).6.反常积分的概念及其计算.3.变上限积分及其导数.原函数和定积分的定义.5.定积分性质及积分中值定理.本部分的重点是:第25页/共27页第二十五页，共28页。机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 2.关于变上限积分(jfn)的题:求导,求极限等.3.关于积分(jfn)中值定理和积分(jfn)性质的证明题.4.定积分应用题:计算面积、旋转体体积、平面曲线1.计算题:计算不定积分、定积分及反常积分.本部分常见题型弧长、旋转体面积、压力、引力、变力作功等.第26页/共27页第二十六页，共28页。感谢您的观看(gunkn)！第27页/共27页第二十七页，共28页。NoImage内容(nirng)总结1.理解原函数的概念,。设函数 f (x)在区间