D定积分概念与性质实用教案

1、何谓(hwi)曲边梯形？请看下列(xili)的图形：平面封闭(fngb)图形均可理解成数个曲边梯形的集合。一、定积分问题举例一、定积分问题举例1. 曲边梯形的面积第1页/共42页第一页，共43页。由连续(linx)曲线,两直线(zhxin) 所围成的图形称为(chn wi)曲边梯形 ,求其面积 A .yOx)(xfy 曲线弧称为曲边，线段ab称为底边。第2页/共42页第二页，共43页。abxyoab（四户(s h)村民）（九户村民(cn mn)）xyo第3页/共42页第三页，共43页。显然，村民(cn mn)户数越多，分的越细，测量得到的总面积越接近土地精确(jngqu)面积第4页/共42页第

2、四页，共43页。1xix1ixxabyO解决解决(jiju)步步骤骤 :1) 分割(fng).在区间 a , b 中任意(rny)插入 n 1 个分点用直线将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;第5页/共42页第五页，共43页。1xix1ixxabyO2) 常代变.在第i 个小曲边梯形(txng)上任取作以为底 ,为高的小矩形(jxng),并以此(y c)小矩形面积近似代替相应小曲边梯形面积得),2, 1,ni3) 求和.第6页/共42页第六页，共43页。4) 取极限(jxin).令则曲边梯形(txng)面积1xix1ixxabyOi第7页/共42页第七页，共43页。解决问题的思想(sxing)和

3、方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值求近似(jn s)以常（直）代变（曲）取极限(jxin)第8页/共42页第八页，共43页。2. 变速变速(bin s)直线运直线运动的路程动的路程解决(jiju)步骤:1) 分割(fng).将它分成在每个小段上物体n 个小段经过的路程为设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程 s.已知速度1T2T第9页/共42页第九页，共43页。4) 取极限(jxin) .得2) 常代变.3) 求和(qi h).1 itit1t2t1T2T1nt第10页/共42页第十页，共43页。上述(shngsh)两个问题的共性: 解决问题的方法步骤(bzhu)相同 :

4、“分割 ，常代变，求和(qi h) ，取极限 ” 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限1 1. 曲边梯形的面积2 2. 变速直线运动的路程第11页/共42页第十一页，共43页。二、定积分二、定积分(jfn)定义定义任取Oabx1xix1ix在区间(q jin) a , b 中任意插入(ch r) n 1 个分点把区间 a , b 分成n 个小区间做函数值与小区间长度的乘积1) 分割.3) 求和.2) 常代变.第12页/共42页第十二页，共43页。总趋于确定(qudng)的极限 I , 即如果(rgu)不论对 a , b 怎样划分，也不论(bln)在小区间上的定积分则称此极限 I 为函数在

5、区间(简称积分)，记作即4) 取极限.i上 怎样选取，,第13页/共42页第十三页，共43页。积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和ni 1第14页/共42页第十四页，共43页。niiixfA10)(lim1. 曲边梯形(txng)的面积2. 变速(bin s)直线运动的路程iniitvs10)(lim第15页/共42页第十五页，共43页。注意(zh y)：(2) 定积分仅与被积函数及积分区间(q jin)有关，而与积分变量用什么字母表示(biosh)无关，即(1) 定积分是一个确定的数值.baxxfd)(iniixf10)(lim)(xfy yOxab(3) 定积分又被称为Riem

6、ann 积分, 简称 R 积分。 第16页/共42页第十六页，共43页。(4) 在定义中，当所有(suyu)子区间的长度的最大值 d趋近(q jn)于 0 时，区间的个数 n 趋于无穷大，但不能用. 0d 代替n (5) 定义(dngy)包含了两个任意性，即对区间的分割与点i的选取都是任意的. 如果对区间的两种不同分割i或的不同选择，得到的和式的极限不同，或者存在一个和式的极限不存在，则函数 f 在该区间上不可积。例如：Dirichlet 函数 )x(Dx 为有理数x 为无理数, 1,0在区间0,1上不可积！第17页/共42页第十七页，共43页。(6) 定积分定积分(jfn)的几何意义的几何意

7、义:曲边梯形(txng)面积曲边梯形面积(min j)的负值)(xfy yOxab)(xfy yOxab第18页/共42页第十八页，共43页。abyx各部分(b fen)面积的代数和第19页/共42页第十九页，共43页。三、定积分(jfn)的存在条件1. 1. 可积的必要条件(b (b yo tio jin)yo tio jin)定理1.1若函数 f 在a, b上可积, 则 f 在a, b上有界.注: 可积函数(hnsh)必有界, 有界不一定可积. 如Dirichlet函数(hnsh).证明: (反证法) 若 f 在 a , b 上无界，则对任意分割,必存在子区间1,iixx，使 f 在该子区

8、间上无界。,x,xiii1因此，对任意正数 M，总存在使得1|()|niiifx可大于任给的常数。故其极限不存在, 即 f 在a , b 不可积。证毕！第20页/共42页第二十页，共43页。定义(dngy): 设 f 为a, b上的有界函数, 将区间a, b任意分2、可积的充分条件(chn fn tio jin)割为 n 个子区间1,1,2,iiixxxn， (i=).取称iiiMm为 f 在子区间1,iixx上的振幅.Oabxy第21页/共42页第二十一页，共43页。和式分别(fnbi)称为 f 关于该分割的反之亦然! 即有：与DarbouxOabxyix1ix2.如果(rgu) f 在区间

9、a , b 上可积，则易知：1. 对同一分割，,nnSs唯一确定，且第22页/共42页第二十二页，共43页。定理(dngl)1.2 设函数(hnsh) f 在a, b上有界，则 f 在a, b可即对任意(rny)的 0，总存在相应的某一分割, 使得当积的充要条件是：0,0, 当d时，分割出的所有子区间的长度的最大值d时,（*）1.niiix（*）式成立。（证明略.）第23页/共42页第二十三页，共43页。定理(dngl)1.33、可积函数(hnsh)类若 则 f 在a, b上可积. , ,fC a b解释：对 a , b 的任意(rny)分割，当d 充分小时，f 在每个子区间上的振幅都能任意小

10、。定理1.4设 f 在区间a, b上有界，若 f 在a, b上只有有限个第一类间断点或者在a, b上单调, 则 f 在a, b上可积. 解释：当 d 充分小时，虽不能保证 f 在每个子区间上的振幅都任意小，但振幅不能任意小的所有子区间长度之和可以任意小。函数也可积。第24页/共42页第二十四页，共43页。,nii取例1. 利用定义(dngy)计算定积分解: 1) 分割(fng)将 0,1 n 等分, 分点为baxxfd)(iniixf10)(lim则3) 求和(qi h)则O1xy2) 常代变第25页/共42页第二十五页，共43页。O1xyni2xy iinixf)(1)21 (12223nn

11、4) 取极限(jxin)baxxfd)(iniixf10)(lim第26页/共42页第二十六页，共43页。iix例例2. 用定积分表示下列用定积分表示下列(xili)极限极限:121lim)2(ppppnnn解:ninnin111lim) 1 (iixOx1ni第27页/共42页第二十七页，共43页。四、定积分四、定积分(jfn)的性质的性质规定(gudng):(gudng):性质(xngzh)1.2 (xngzh)1.2 （线性性质(xngzh)(xngzh)）若, , ,f ga bR 则 , ,fga b并且性质1.1记 , |a bff在区间a , b 上可积.第28页/共42页第二十

12、八页，共43页。性质性质(xngzh)1.3 若若则证:推论(tuln)1 （单调性）若则第29页/共42页第二十九页，共43页。推论推论(tuln)2. 若若)(d)()(abMxxfabmba)(ba 且 , ,fa b, , ,mfMxa b 则性质(xngzh)1.4 若 , ,fa b则| , ,fa b且xxfbad)(xxfbad)()(ba （#）注:性质1.4的逆命题不一定(ydng)成立, 例如为有理数,为无理数.1,( )1,xf xx第30页/共42页第三十页，共43页。例例3. 试证试证:证: 设)(xf,sinxx则在),0(2上, 有)0()()(fxff2即),

13、 0(x2故即第31页/共42页第三十一页，共43页。证: 由定理(dngl)1.2知 f 在 I 的所有子区间可积.下证(1)式。所以在分割区间(q jin)时, 可以永远取 c 为分点，于是,)(baiixf,)(caiixf,)(bciixfabc性质(xngzh)1.5 （区间可加性）设 I 为有限区间, 若 f 在 I 上可积, 则 f 在 I 的任一子区间上都可积,且上可积 ,bca时,因)(xf在,ba当（1）第32页/共42页第三十二页，共43页。abc 当当 a , b , c 的相对位置的相对位置(wi zhi)任意时任意时, 例如例如则有baxxfd)(caxxfd)(b

14、axxfd)(caxxfd)(.d)(bcxxf令0,d 有证毕！第33页/共42页第三十三页，共43页。性质(xngzh)1.6 （乘积性质(xngzh)）设, , ,f ga b 则 , .fga b性质1.7 （积分(jfn)中值定理）且 g 在a , b 上不变号. 则至少(zhsho)存在一点使证明：设在a , b 上则 从而因此（*）第34页/共42页第三十四页，共43页。若上式两边(lingbin)同除以则不等式（*）亦若得由连续函数的介值定理(dngl)可得（*）成立。成立(chngl)。 证毕！, ,)(baCxf若则至少存在一点使推论3.第35页/共42页第三十五页，共43

15、页。Oxbay)(xfy 说明说明(shumng): 通常(tngchng)称故它是有限(yuxin)个数的算术平均值概念的推广.因积分中(均)值. 当0f 时，推论 3 有如图的几何意义。第36页/共42页第三十六页，共43页。例例5. 计算(j sun)从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均速度(sd). 解: 已知自由落体速度(sd)为故所求平均速度Otgv vTt第37页/共42页第三十七页，共43页。定积分(jfn)的定义：定积分的思想(sxing)和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值定积分取极限(jxin)内容小结内容小结baxxfd)(iniixf10)(lim求近似以常（直）代变（曲）第38页/共42页第三十八页，共43页。4. 定积分的性质线性性质，单调(dndio)性，区间及积分(jfn)中值定理连续函数在区间(q jin)上的平均值公式.3.定积分的存在条件必要条件充要条件可积函数类.可加性第39页/共42页第三十九页，共43页。OxO1xn1n2nn 1思考思考(sko)与练习与练习1. 用定积分(jfn)表示下述极限 :解:nn2nn) 1( 或第40页/共42页第四十页，共43页。思考思考(sko):如何(rh)用定积分表示下述极限 提示(tsh):1n0dsin1xx极限为 0 !第41页/共42页第四十一页，共43