微分方程模型

1、 常微分方程模型常微分方程模型1 前言前言2 导弹追踪问题导弹追踪问题3 微分方程的微分方程的MATLAB仿真仿真 一、建立微分方程的方法1、按变化规律直接列方程，如： 利用人们熟悉的力学、数学、物理、化学等学科中的规律，如牛顿第二定律，放射性物质的放射规律等。对某些实际问题直接列出微分方程2、模拟近似法，如： 在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不很清楚，而且现象也相当复杂，因而需根据实际资料或大量的实验数据，提出各种假设，在一定的假设下，给出实际现象所满足的规律，然后利用适当的数学方法得出微分方程。二、建模步骤1、翻译或转化： 在实际问题中许多表示导数的常用词，如“速率”、增长”(

2、在生物学以及人口问题研究中)，“衰变”(在放射性问题中)，以及“边际的”(在经济学中)等 2、建立瞬时表达式： 根据自变量有微小改变t时，因变量的增量W，建立起在时段t上的增量表达式，令t 0，即得到 的表达式dtdw3、配备物理单位： 在建模中应注意每一项采用同样的物理单位 4、确定条件： 这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界上的信息，它们独立于微分方程而成立，用以确定有关的常数。为了完整充分地给出问题的数学陈述，应将这些给定的条件和微分方程一起列出。一、建模步骤关于建模步骤的一个例子例1：某人的食量是10467焦天，其中5038焦 天用于基本的新陈代谢(即自动消耗)。在 健身训练中，他所

3、消耗的热量大约是69焦 公斤天乘以他的体重 (公斤) 假设以脂肪形 式贮藏的热量100%地有效， 而1公斤脂肪合热量41868焦。试研究此人的体重随时间变 化的规律例子分析1、翻译或转化：2、配备物理单位：3、建立表达式：4、确定条件：1、“每天”：体重的变化输入一输出 其中输入指扣除了基本新陈代谢之后的净重量 吸收；输出是进行健身训练时的消耗(WPE)2、上述陈述更好的表示结构式： 体重的变化天=净吸收量天一WPE天其中： 净吸收量天10467 5038 5429（焦天) 净输出量天69(焦公斤天)W(公斤 69W(焦天)3、体重的变化天 (公斤天)twdtdwt0例子分析1、翻译或转化：2

4、、配备物理单位：3、建立表达式：4、确定条件： 有些量是用能量(焦)的形式给出的，而另外一些量是用重量的形式(公斤)给出，考虑单位的匹配，利用单位匹配例子分析1、翻译或转化：2、配备物理单位：3、建立表达式：4、确定条件：建立表达式微分方程的解析解微分方程的解析解 求微分方程（组）解析解的命令:dsolve(方程方程1,方程方程2,方程方程n,初始条件初始条件,自变量自变量)To MATLAB（ff1） 结 果：u = tg(t-c) 解解 输入命令: y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x)结 果 为 : y =3e-2xsin（5x）To MA

5、TLAB（ff2）微分方程的数值解微分方程的数值解（一）常微分方程数值解的定义（一）常微分方程数值解的定义 在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂,且大多得不出一般解而实际中的对初值问题，一般是要求得到解在若干个点上满足规定精确度的近似值，或者得到一个满足精确度要求的便于计算的表达式因此，研究常微分方程的数值解法是十分必要的因此，研究常微分方程的数值解法是十分必要的0000121212( , ) () (),(), () ,.nnnyf x yxy xyxxxxxy xy xy xy yy对常微分方程 ：，其数值解是指由初始点开始的若干离散的 处的值，即对， 求出准确值的相应近似值返 回（三

6、）用（三）用MATLAB软件求常微分方程的数值解软件求常微分方程的数值解t，x=solver(f,ts,x0,options)ode45 ode23 ode113ode15sode23s由待解方程写成的M文件名ts=t0,tf，t0、tf为自变量的初值和终值函数的初值ode23：组合的2/3阶龙格库塔费尔贝格算法ode45：运用组合的4/5阶龙格库塔费尔贝格算法自变量值函数值用于设定误差限(缺省时设定相对误差10-3, 绝对误差10-6),命令为：options=odeset（reltol,rt,abstol,at）, rt，at：分别为设定的相对误差和绝对误差例例7-11 设有初值问题，试求

7、其数值解，并与精确解设有初值问题，试求其数值解，并与精确解相比较相比较(精确解为精确解为y(t)=)。 (1) 建立函数文件建立函数文件funt.m。function yp=funt(t,y)yp=(y2-t-2)/4/(t+1);(2) 求解微分方程。求解微分方程。t0=0;tf=10;y0=2;t,y=ode23(funt,t0,tf,y0); %求数值解求数值解y1=sqrt(t+1)+1; %求精确解求精确解tyy1 y为数值解，为数值解，y1为精确值，显然两者近似。为精确值，显然两者近似。 例例 5 解微分方程组. 1)0(, 1)0(, 0)0(51. 0321213312321y

8、yyyyyyyyyyy解解 1建立M文件rigidm如下： function dy=rigid(t,y) dy=zeros(3,1); dy(1)=y(2)*y(3); dy(2)=-y(1)*y(3); dy(3)=-051*y(1)*y(2);2取t0=0，tf=12，输入命令： T,Y=ode45(rigid,0 12,0 1 1); plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),*,T,Y(:,3),+)3结果如图To MATLAB（ff5）024681012-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81图中，y1的图形为实线，y2的图形为“*”线，y3的图形为“

9、+”线返 回导弹追踪问题导弹追踪问题 设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1, 0)处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰如果乙舰以最大的速度v0(常数)沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5v0，求导弹运行的曲线方程乙舰行驶多远时，导弹将它击中？解法一解法一（解析法）由(1),(2)消去t, 整理得模型:(3) 151)1 (2yyx初值条件为: 0)0(y 0)0( yTo MATLAB(chase1)轨迹图见程序chase1解法二解法二(数值解法)1建立M文件eq1m function dy=eq1(x,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)2)/(1-x); 2 取x0=0，xf=09999，建立主程序ff6m如下： x0=0，xf=09999 x,y=o