第5章-信号与系统奥本海姆课件(离散时间傅立叶变换)

1、1第第5章章 离散时间傅立叶变换离散时间傅立叶变换The Discrete-time Fourier Transform1. 离散时间傅立叶变换；离散时间傅立叶变换；2. 常用信号的离散时间傅立叶变换对常用信号的离散时间傅立叶变换对; ;4. 傅立叶变换的性质；傅立叶变换的性质；2v注释注释: :CFS ( The Continuous-Time Fourier Series ): 连续时间傅立叶级数连续时间傅立叶级数DFS ( The Discrete-Time Fourier Series ): 离散时间傅立叶级数离散时间傅立叶级数CTFT ( The Continuous-Time Fo

2、urier Transform ): 连续时间傅立叶变换连续时间傅立叶变换 DTFT ( The Discrete-Time Fourier Transform ): 离散时间傅立叶变换离散时间傅立叶变换3 5.0 引言引言 Introductionv 本章将采用与讨论本章将采用与讨论CTFTCTFT完全相同的思想方法，来研究离完全相同的思想方法，来研究离散时间非周期信号的频域分解问题。散时间非周期信号的频域分解问题。v DFS DFS与与CFSCFS之间既有许多类似之处，也有一些重大差别：之间既有许多类似之处，也有一些重大差别：主要是主要是DFSDFS是一个有限项级数，其系数是一个有限项级数

3、，其系数 ak 具有周期性。具有周期性。v 在采用相同方法研究如何从在采用相同方法研究如何从 DFS DFS 引出离散时间非周期引出离散时间非周期信号的频域描述时，可以看到，信号的频域描述时，可以看到，DTFTDTFT与与CTFTCTFT既有许多相类既有许多相类似的地方，也同时存在一些重要的似的地方，也同时存在一些重要的区别。区别。v 抓住它们之间的相似之处并关注其差别，对于掌握和加抓住它们之间的相似之处并关注其差别，对于掌握和加深对频域分析方法的理解具有重要意义。深对频域分析方法的理解具有重要意义。45.1 非周期信号的表示非周期信号的表示一一. 从从DFS到到DTFT:回顾：周期离散信号的

4、回顾：周期离散信号的DFSDFS对周期信号对周期信号 由由DFS有有 x n22 ,1 jknNkkNjknNknNx na eax n eN -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 4 5 8 9 10 kNak-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 n x n-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 nx n2 jknNknNNax n e1121, 0, 2,sin2(1/ 2)/),0, 2,sin(/)NkNNkNNkNNkN5kkk1220NN1240NN1210NNkNa考察脉冲宽度不变，周期考察脉冲宽度不变，周期N增大时增大时Nak变化情况变化情况6当当 时

5、，有时，有 ，将导致信号的频谱无，将导致信号的频谱无限密集，最终成为连续频谱。限密集，最终成为连续频谱。N 0(2 /)0N 从时域看，从时域看，当周期信号的周期当周期信号的周期 时，时，周期序列周期序列就变成了一个非周期的序列。因此，对一个非周期信就变成了一个非周期的序列。因此，对一个非周期信号，频谱应该是一个连续的频谱。号，频谱应该是一个连续的频谱。 N 当当 时时 令令2limjkNNkNaX eN ，（）2 jknNknNNax n ejX e （）说明说明: :显然显然对对是以是以2为周期的。为周期的。DTFT jjnnX ex n e（）有有: :数学推导：数学推导：7kNjkeX

6、Na2)(1 当当 在一个周期范围内变化时，在一个周期范围内变化时， 在在 范围范围变化，所以积分区间是变化，所以积分区间是 。k0k22ka将其与将其与 表达式比较有表达式比较有00 ,Nxnxnkd ，当当时时于是于是: :00000012 (),1()2jkjknkNjkjknkNx nX eeNNX ee21 ()2jjnx nX eed8 表明表明: :离散时间序列可以分解为频率在离散时间序列可以分解为频率在2区间上区间上分布的、幅度为分布的、幅度为 的复指数分量的的复指数分量的线性组合。线性组合。 deXj)(2121 ()2jj nx nX eed() jjnX ex n eDT

7、FTDTFT变换对：变换对：9-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 nx n - 0 2 jeX-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 4 5 8 9 10 kNak-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 n x nDFSDTFT1001()1jnj njnX ea eae 二二. .常用信号的离散时间傅立叶变换常用信号的离散时间傅立叶变换21()12 cosjX eaa通常通常 是复函数，用它的模和相位表示是复函数，用它的模和相位表示: :()jX e1sin()tan1cosjaX ea 1. ,1nx na u na1101a10a 摆动指数衰减摆动指数衰减 x

8、n单调指数衰减单调指数衰减 x n12 1 nnx na una u n cos211111)(220101aaaaeaeaeeaeaeaeaeXjjjnnjnnnjnnnjnnnjnj| | ,| 1nx naa2.可以得出结论可以得出结论: :实偶序列实偶序列实偶函数实偶函数13111sin(21)2()sin2Njj nnNNX ee1, 0,x n11NnNn3.矩形脉冲矩形脉冲: :当当12N 时，可得到时，可得到: :有同样的结论有同样的结论: :实偶信号实偶信号实偶函数实偶函数1411sin(21)sin,kakNkNNNA.A.与对应的周期信号比较与对应的周期信号比较21()j

9、kkNaX eN显然有显然有1()sin(21)sin22jX eNB B. .与对应的连续时间信号比较与对应的连续时间信号比较,0, 1)(tx11TtTt111sin2)(TTTjX15() 1jj nnX ex n e n0n1)(jeX10 x nn4.165.3 离散时间傅立叶变换的性质离散时间傅立叶变换的性质 DTFT也有很多与也有很多与CTFT类似的性质，当然也有类似的性质，当然也有某些明显的差别。某些明显的差别。一、周期性一、周期性 (periodic)：比较：比较：这是与这是与CTFT不同的。不同的。(2 )()()jjX eX e则则若若 (),jx nX e1212 ()

10、()jjax nbx naX ebXe二二. 线性线性 三三. 时移与频移时移与频移00() ()jnjx n eX e (),jx nX e若若则：则：00()j njx nnX ee时移特性时移特性频移特性频移特性四四. 时域反转时域反转()jxnX e若若则则 (),jx nX e以下这些性质与连续时间情况下完全一致：以下这些性质与连续时间情况下完全一致：18 1(1) ()jjx nx neX e六六. 差分特性差分特性DTFT的差分性质对应于的差分性质对应于CTFT的微分性质的微分性质五五. . 共轭对称性共轭对称性* (), ()jjx nX ex nXe若若则则Re()Re()I

11、m()Im()jjjjX eX eX eX e*()()jjXeX e1.1. x n是实信号，则是实信号，则()()()()jjjjX eX eX eX e2.2.是实偶信号，则是实偶信号，则()()()jjjX eX eXe是实偶函数是实偶函数: :)(jeX3.3.是实奇信号，则是实奇信号，则()()()jjjX eX eX e是虚奇函数是虚奇函数: :)(jeX x n x n19七七. 时域内插时域内插 ( Interplation ): / , 0kx n kx n，定义定义为为的整数倍的整数倍其他其他nkn() jj nj rkkkknrXex n ex rk e ()j rkj

12、krx r eX e ()jkkx nX e202221 ()2jnx nX ed八八. . Parseval定理定理: :2)(jeX称为称为的的能量谱密度函数。能量谱密度函数。 x n221 knNkNx naN比较比较: :在在DFS中有中有称为周期信号的称为周期信号的功率谱。功率谱。2ka215.4 卷积特性卷积特性 * ()()()jjjy nx nh nY eX eH e若若则则说明：说明：该特性提供了对该特性提供了对LTI系统进行频域分析系统进行频域分析的理论基础。的理论基础。即是即是系统的频率特性系统的频率特性。()jH e225.5 相乘性质相乘性质（The Multipli

13、cation Property)由于由于 和和 都是以都是以 为周期的，为周期的，1()jX e因此上述卷积称为因此上述卷积称为周期卷积周期卷积。22()jXe12()12212 1()()()21()()2jjjjjy nx nx nY eX eXedX eXe 如果如果则则235.9 小结小结 Summaryv通过对通过对DTFT性质的讨论，揭示了离散时间信号性质的讨论，揭示了离散时间信号时域与频域特性的关系。不仅看到有许多性质在时域与频域特性的关系。不仅看到有许多性质在CTFT中都有相对应的结论，而且它们也中都有相对应的结论，而且它们也存在存在一一些重要的差别，例如些重要的差别，例如DTFT总是以总是以2为周期的。为周期的。v本章与第本章与第4章平行地讨论了章平行地讨论了DTFT，讨论的基本，讨论的基本思路和方法与第思路和方法与第4章完全对应，得到的许多结论