摄影测量平差基础

1、摄影测量平差基础第一节 测量平差的重要性第三节平差的基本原理第四节 测量平差的基本任务第五节 测量平差的历史第二节 平差问题产生的原因第一节 测量平差的重要性一、测量平差的定义与任务定义1、测量数据的处理的理论与方法。定义2、按数理统计的理论与方法处理测量数据。理论基础：数理统计 线性代数 高等数学 微分泰勒级数专业基础：摄影测量学处理工具：计算机编程二、测量平差的任务：确定未知量的估值并评定其精度。第二节 平差问题产生的原因L1L2Ln 2、三角测量:欲知三角形三内角L1、 L2、L3的大小（1）观测了三角形三内角L1、L2，则 L3=180L1L2（2）观测了三角形三内角L1、L2、L3，

2、由于有误差，一般情况下： L1+L2+L3180 存在闭合差（观测值与理论值之差） w=L1+L2+L3180出现了三角形三内角观测值之和不等于180的矛盾。L1L2L3二、测量平差产生的原因1、观测值之间的矛盾产生原因（1）、观测值存在误差（2）、有多余观测由于观测值之间存在矛盾，故必须进行数据处理测量平差。注：总观测元素：对某个几何模型进行的所有观测，其个数用n表示。必要元素：确定一个几何模型所必要的元素，其个数用t表示。多余观测：在一个几何模型中，除必要元素之外的观测元素，其个数用r表示，r=n-t。几何模型：各种控制网的统称。1、示例 设对某三角形三内角进行观测，得观测值： L1=58

3、3040， L2=612010， L3=600858=（L1+L2+L3）-1800=-12若将L1，L2，L3分别加上一个改正数v1,v2,v3，使得：(L1+v1)+(L2 +v2)+(L3+v3）=1800即：(v1 +v2+v3)+(L1+L2+L3-1800)=0亦即： v1 +v2+v3- 12=0第三节、测量平差的基本原理 从前面我们知道，由于观测值之间存在矛盾要进行平差，那么怎样进行平差呢？什么样的平差结果才是最佳估值？怎样评定平差结果的精度呢？这就是测量平差要解决的问题。L1L2L3 满足方程的v1,v2,v3有无限多组，那么，按什么准 则从无限多解当中选取合理的解呢？ 根据

4、最优化数学方法，一般按如下准则，也就是最 小二乘准则来解决该问题。min2322211vvvvnii由此可得唯一最优解：v1=v2=v3=4minmin12PVVPvTnn或2、平差原则最小二乘原理min2222112nniivvvv（2）、不同精度独立观测，改正数v应满足：（1）、同精度独立观测，改正数v应满足：min222221112nnniiivPvPvPvP停止返回第四节 测量平差的任务：对一系列带有观测误差的观测值，运用概率统计的方法来消除它们之间的不符值，求未知量的最可靠值。评定测量成果的质量 由此可见，测量平差即数据调整测量平差即数据调整，也就是依据某种最优准则，由一系列带有观测

5、误差的测量数据，求定未知量的最佳估值及精度的理论和方法。测量平差中要弄清的几个重要问题 1）、在一个测量平差问题中，怎样计算观测值个数n, 必要观测数t , 多余观测数r，这是进行测量平差首先要解决的问题。 2）、各种函数模型的非线性形式及其线性形式怎样表示，怎样建立各种线性函数模型。特别是对于条件平差模型,怎样列出各种条件方程，对于间接平差模型，怎样列出误差方程。 3）、观测值的权阵怎么确定，权阵与协因数阵有什么关系，权与协因数有什么关系。4）、协方差传播律和协因数传播律是指什么？设向量F，W分别是随机向量X，Y的以下线性函数: FAX+BY WCX+DY 试求F和W 的协方差阵D(XY)，

6、并由此导出各种特殊情况下求方差和协方差的公式。5）、VTPV=min 平差原则是怎样导出来的？按此原则求出的估值L，X有什么优越性？或为什么称 L，X为最佳估计？什么是最佳估计？怎样证明它们是最佳估计（建议对各种不同的平差模型进行证明）。6）、以下单位权方差估值公式：是怎么求出来的。为什么从观测值方差阵中任意取出一个公因子都是单位权方差。第五节 测量平差产生的历史最小二乘法产生的背景18世纪末，如何从多于未知参数的观测值集合求出未知数的最佳估值？最小二乘的产生1794年，C.F.GUASS，从概率统计角度，提出了最小二乘，并利用其解决了上述问题。1806年，A.M. Legendre，从代数角

7、度，提出了最小二乘。决定彗星轨道的新方法1809年， C.F.GUASS，天体运动的理论第一节 概述第二节 偶然误差的规律性第三节 衡量精度的指标第一节 概述1nL1nL1n一、专业符号介绍观测真值向量观测向量误差向量32132116SSSLLLLL1 L2L3s1s2s3ADCBh1h6h5h2h4h365432116hhhhhhL观测值平差值向量观测值改正数向量1nL1nV10uX1uX1ux未知参数真值向量未知参数改正数真值向量未知参数近似值向量1uX未知参数平差值向量1ux 未知参数改正数平差值向量L1 L2L3s1s2s3A(x1,y1)B(x2,y2)221114020201011

8、40221114yxyxxYXYXXYXYXX1、测量平差的研究对象观测误差 观测数据：用测绘仪器工具或其他手段获取 的反映地球及其它实体的空间分布 有关信息的数据。 任何量测数据不可避免地含有误差，如何处理含有误差的测量数据便成了一门研究课题。v闭合、附合水准路线v闭合、附合导线v距离测量v角度测量.2、产生误差的原因 测量仪器：i角误差、2c误差 观测者：人的分辨力限制 外界条件：温度、气压、大气折光等观测条件：观测条件：三者综合起来为观测条件三者综合起来为观测条件系统误差具有累积性，它的存在必然影响观测结果。系统误差具有累积性，它的存在必然影响观测结果。削弱方法：采用一定的观测程序、改正

9、、附加参数削弱方法：采用一定的观测程序、改正、附加参数误差的分类 偶然误差/随机误差：在相同的观测条件下进行的一系列观测，如果误差在大小、符号上都表现出偶然性，从单个误差上看没有任何规律，但从大量误差上看有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。 如照准误差、读数误差、毫无规律的外界影响等。 不可避免，经典测量平差研究的内容 粗差：错误，大误差三、误差构成的四种情况0004000300020001粗系偶粗系偶粗系偶粗系偶经典平差本课程为这种情况，、，、，、。，、一、 正态分布 xux21exp21e21xf222ux22正态分布是一种最常见的分布形式，一般随机变量都遵循正正态分布是一种最常见的分

10、布形式，一般随机变量都遵循正态分布，正态分布还是许多其他分布的极限分布。通常认为态分布，正态分布还是许多其他分布的极限分布。通常认为测量误差服从正态分布。测量误差服从正态分布。其中,u为随机变量x的数学期望，为其标准方差。称随机向量x服从参数为u、 的正态分布，记为xN（ u、 ）。1、设一维随机向量x服从正态分布，则其分布密度函数为：第二节 偶然误差的规律性2、标准正态分布 若随机变量X的数学期望u=0，标准差=1，则称X服从标准正态分布，记为XN（0，1） xx21exp21e21xf22x2 dte212dte21kXkPdxe21dxxfkXkPk02tkk2txtkk2xkk2222

11、 3、正态随机变量X出现在区间（u-k ,u+k ）内的概率%99.73X3P%95.52X2P%3 .68XP二）、n维正态分布 设n维随机向量X= （x1，x2，xn）T 服从正态分布，其联合分布密度函数为：xDx21expD21x ,x ,xf1-XXT21XX2nn21n21N211 ,nXXEXEXE其中2XXXXXXX2XXXXXXX2XXXn2n1nn2212n1211D观测值：对某量观测所得的值，一般用观测值：对某量观测所得的值，一般用Li表示表示 。1、几个概念、几个概念真误差：观测值与真值之差，真误差：观测值与真值之差， 一般用一般用 i= -Li 表表示。示。L二、偶然误

12、差的规律性二、偶然误差的规律性真值：观测量客观上存在的一个能代表其真正大真值：观测量客观上存在的一个能代表其真正大小的数值，一般用小的数值，一般用 表示。表示。1nL观测向量：若进行n次观测，观测值：L1、L2Ln可表示为：nnLLLL211 ,nnLLLL211 ,nnnLLLLLL21211 , LL 2、偶然误差的特性例1：在相同的条件下独立观测了358个三角形的全部内角，每个三角形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。 误差区间+个数K频率K/n(K/n)/d个数K频率K/n(K/n)/d0.000.204

13、50.1260.630460.1280.6400.200.40400.1120.560410.1150.5750.400.60330.0920.460330.0920.4600.600.80230.0640.320210.0590.2950.801.00170.0470.235160.0450.2251.001.20130.0360.180130.0360.1801.201.4060.0170.08550.0140.0701.401.6040.0110.05520.0060.0301.60000000和1810.5051770.495 l例2：在相同的条件下独立观测了421个三角形的全部内角，

14、每个三角形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。误差区间+个数K频率K/n(K/n)/d个数K频率K/n(K/n)/d0.000.20400.0950.475460.0880.4400.200.40340.0810.405410.0850.4250.400.60310.0740.370330.0690.3450.600.80250.0590.295210.0640.3200.801.00200.0480.240160.0430.2151.001.20160.0380.190130.0400.200.2.402.60

15、10.0020.01020.0050.00252.60000000和2100.4992110.501(K/n)/d00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差概率密度函数曲线用直方图表示:面积= (K/n)/d* d= K/n所有面积之和=k1/n+k2/n+.=1 频数/d00.40.60.8-0.8 -0.6 -0.4闭合差0.630 频数/d0 0.4 0.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差0.475对照前面两个表中的数据可知对照前面两个表中的数据可知:当误差小时当误差小时,误差分布曲误差分布曲线较高线较高 且陡峭，精度高且陡峭，精度高当误差大时当误差大时,误差分布曲线较低且

16、平缓，精度低误差分布曲线较低且平缓，精度低1）、有界性：在一定条件下的有限观测值中，其误差的绝对值不会超过一定的界限；2）、单峰性：绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的次数多；3）、对称性：绝对值相等的正负误差出现的次数大致相等；4）、抵偿性：当观测次数无限增多时，其算术平均值趋近于零即Limni=1nni=Limnn=0偶然误差的特性：2121PP则若,PP即 E()=03、偶然误差的分布密度函数设偶然误差的分布密度函数为f(),由性质3可知f()是的偶函数，由性质2可知，在-0区间f()是增函数，在0 区间是减函数,则可构造函数: 22kAef其中A，k为常数。因为 kAkAkdekA

17、deAdAedfkkk1122222)()(设偶然误差的方差D()=2: 2121221122222222222kkkdtetkdekEEEDtk.所以，偶然误差的分布密度函数为：22221)(ef提示：观测值定了，其分布也就确定了，因此一组观测值对应相同的分布。不同的观测序列，分布不同。但其极限分布均是正态分布。 频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差 00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差22221)(ef偶然误差的分布密度函数第三节 衡量精度的指标精度：所谓精度是指精度：所谓精度是指偶然误差偶然误差分布的密集离散程度。分布的密集离散程度。一组观测值对应

18、一种分布，也就代表这组观测值精一组观测值对应一种分布，也就代表这组观测值精度相同。不同组观测值，分布不同，精度也就不同。度相同。不同组观测值，分布不同，精度也就不同。提示：提示：一组观测值具有相同的分布，但偶然误差各一组观测值具有相同的分布，但偶然误差各不相同。不相同。 频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差 频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差 频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差 00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差可见：左图误差分布曲线较高可见：左图误差分布曲线较高 且陡峭，精度高且陡峭，精度高 右图误

19、差分布曲线较低右图误差分布曲线较低 且平缓，精度低且平缓，精度低一、方差一、方差/中误差中误差 f()00.40.60.8-0.8 -0.6-0.4闭合差 1122面积为122221)(efdfEDnn)()()(lim222方差：方差：中误差：nnlim2提示：提示： 越小，误差曲越小，误差曲线越陡峭，误差分布线越陡峭，误差分布越密集，精度越高。越密集，精度越高。相反，精度越低。相反，精度越低。凡事是能体现以上定义的指标都有可作为衡量精度的指标。凡事是能体现以上定义的指标都有可作为衡量精度的指标。常用的精度指标有如下几种常用的精度指标有如下几种nnni122方差的估值：n第五节 精度、准确度

20、与精确度一、精度一、精度衡量偶然误差的离散程度，指标中误差衡量偶然误差的离散程度，指标中误差。 1、一维随机向量的精度指标：方差、一维随机向量的精度指标：方差2或中误差或中误差2、多维随机向量、多维随机向量X=x1,x2, ,xnT的精度指标：协方差阵的精度指标：协方差阵DXX1）、协方差YXXYEYEYXEXE)()(对于变量对于变量X，Y，其协方差为：，其协方差为：)()(XEXYEYEYXYXXY0XYYX当当X、Y间互不相关，对于正态分布而言，相互独立时间互不相关，对于正态分布而言，相互独立时0XYYX当当X、Y间相关时间相关时nnyxxyyxyxnxylim用真误差用真误差计算：计算

21、：0yxyxxyEEE对于向量对于向量X=X1，X2，XnT，将其元素间的方差、协，将其元素间的方差、协方差阵表示为：方差阵表示为：22122221112212121nnnnnnnxxxxxx矩阵表示为：矩阵表示为：2212222111221nnnnnXXD2）、方差协方差阵）、方差协方差阵 21221122222112211221121122112211)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(nnnnnnnnnnnnnTXXXEXXEXXEXXEXXEXXEXXEXXEXXEXXEXXEXXEXXEXXEXXEXEXEXXEXXEXXEXX

22、EXXEXEXEXXEXED向量方差协方差阵定义向量方差协方差阵定义特点特点：I 对称对称 II 正定正定 III 各观测量互不相关时，为对角矩阵。当各观测量互不相关时，为对角矩阵。当 对角元对角元 相等时，为等精度观测。相等时，为等精度观测。2212222111221nnnnnXXD若：111)(rnrnYXZYYYXXYXXZZDDDDDTYXTYXTXYDEYEYXEXED)()(若若DXY=0，则，则X、Y表示为相互独立的观测量。表示为相互独立的观测量。3）、互协方差阵）、互协方差阵rndnnryxyxyxyxyxyxyxyxyxXYD1112221212111第三章协方差传播与权第二

23、节 协方差传播律第三节 协方差传播律在测量上的应用第六节 由真误差计算中误差及实际应用第四节 权与定权的常用方法第五节 协因数与协因数传播律第一节 数学期望传播律第七节 系统误差的传播ABCL1L2S00.sin,cos,sinsinACACAcACACACACACaSyySxxLLaaLLSS210201801第一节 数学期望的传播一、数学期望及其性质1、C为常数，E(C)=C2、E(CX)=CE(X)3、E(K1 X1 +K 2X 2+K nXn)= K1E( X1) +K 2E(X 2)+K nE(Xn)4、若x,y独立，则E(xy)=E(x)E(y)()()()()()()()()()

24、(:,mnmmnnnmmnmmnnnmXEXEXEXEXEXEXEXEXEXEXXXXXXXXXX212222111211212222111211其数学期望为设有随机矩阵第二节协方差传播律221222211122121211121nnnnnTXXXXnXXXXnnnXXnXnXXEDXEXEXEXE，XXXXD，Xn)()()()(:,即协方差阵为其数学期望为设有观测向量一、观测值线性函数的方差TXXZZKKDD那么：011021210221111211kXKkXXXkkkkknXXkXkZXXXXDDnnnnnnnZZXX,.,求已知证明：证明：设：设：XnTnnXEXXXX,.,)(,.,

25、21211 ,TXXXXXXED)(那么那么,根据方差的定义有：根据方差的定义有：TXXTTXXTTXXTXXTZZZZKKDKXXKEKXXKEKKKKXKKKKXEZZED)()()()()()(0000000KKKXKEKKXEZEXz)()()(22222221212111111133112212222222121212212222111221212112222nnZzznnnnnnnnnnnnnnnTXXZzzkkkDXkkkkkkkkkkkkkkkkkKKDD,:各分量独立时当纯量形式纯量形式二、多个观测值线性函数的协方差阵已知：,.,211 ,XXTnnDXXXX 0201002

26、12222111211210201021212222111211210221120222212121012121111ttnttnnttntnttnnttntntttnnnnkkkKkkkkkkkkkKZZZZkkkXXXkkkkkkkkkZZZkXkXkXkZkXkXkXkZkXkXkXkZ1 ,01 ,1 ,tnnttKXKZ00KKKXKEZEXz)()(TtnnnXXntttzzKDKD,TXXTTXXTTXXTXXTZZttZZKKDKXXKEKXXKEKKKKXKKKKXEZZED)()()()()()(,00001 ,01 ,1 ,rnnrrFXFYTYZTXXZYDFKDD)(0201021212222111211210221120222212121