复变函数和断裂力学

1、第二讲第二讲:线弹性断裂力学线弹性断裂力学弹性裂纹尖端场弹性裂纹尖端场的特征展开的特征展开(Williams,1957)概述n裂纹可分为三种类型： I型张开型 II型剪切型 III型撕开型(反平面剪切型)n三种裂纹的形式中，I 型裂纹最为常见，在工程设计和分析中最重要。但在数学分析上，III型裂纹比较简单。主要应力分量 , ；位移0 , 0 , ,uvww x yxzyzIII 型反平面剪切问题n复变函数方法在求解裂纹尖端时是相当有效的。n根据复变函数理论，任何解析函数的实部和虚部都满足Laplace方程，它们构成共轭的调和函数。n如果知道一个调和函数，则可以由柯西黎曼方程求出与之共轭的调和函

2、数。 III型反平面剪切问题n可见型裂纹的线弹性裂纹尖端场具有 奇异性，且与 因子成正比。n 称为型裂纹的应力强度因子，它是由外加载、裂纹尺寸以及构形的几何决定的。 12rKK3200lim2rKrIIIIII型反平面剪切问题n在有些情况下，有必要考虑应力应变公式中的第二项，此时应力和位移场变为： IIIIII0III313131IIIIIIIII32320131III3,2sin.2KKxKru2 r2 r%线弹性力学的平面问题和线弹性力学的平面问题和反平面剪切问题反平面剪切问题 平面问题的复变函数表示平面问题的复变函数表示应力组合与位移组合应力组合与位移组合 型和型和型裂纹问题型裂纹问题n

3、平面问题 ，应变分量为：n线弹性本构关系为：n平衡方程为：n变形协调方程为：12( ,)uux x1(, )2uu 113()24E ,0 ,0 型和型和型裂纹问题型裂纹问题n如果应力分量由Airy应力函数 表示，即：n以上应力函数自动满足平衡方程。但要同时满足变形协调方程，就必须满足以下双调和方程：12xx 2, 22,()0 型和型和型裂纹问题型裂纹问题n 满足拉普拉斯方程，则类似于反平面问题，可以将 表示为：n积分得：2 2 224f zf zz z f z为解析函数 12zzzzzz 和为解析函数型和型和型裂纹问题型裂纹问题n易证：112222( )( )4Re( )mzzz2212(

4、 )( )( )( )izzzzz 1212uiuzzzzz 34 341对于平面应力对于平面应变22111222( )( )izzz型和型和型裂纹问题型裂纹问题n设上述方程的解有以下的形式：n代入裂纹上下表面（ ）的应力自由边界条件，可得： 12,zC zzC z111CABi222CAB iC1,C2为待定复常数0为实常数实常数 1(1)1(1)2212111(1)1(1)1210iiiiiCreCreCreCre 型和型和型裂纹问题型裂纹问题n即：n解的一般形式表示为 :n类似于型问题，裂纹前端的应力应变场由第1项主导，其系数为:1121121121120000iiiiiiiiiiiiC

5、eC eC eCeC eC eC eCeC eC eCeC e00cos41,1,2,32nn即该方程组有非零解得条件是:（当 时，裂尖位移奇异，当 时，代表刚体位移） 13221112131322212223,.zC zC zC zzC zC zC z1112CKiKKIIK和分别为I、II型应力强度因子型和型和型裂纹问题型裂纹问题n型情况下的应力场和位移场表示为： IIII222KKruur，% I11I1I22I2I1231 sinsin22cos32cos1 sinsin,cos222sin32sincos22uu%式中：型和型和型裂纹问题型裂纹问题n型情况下的应力和位移场表示为： I

6、IIIIIII222KKruur，% II11II22II123sin2coscos2223sincoscos,2223cos1 sinsin222% II1II2323 sinsin1223223 coscos22uu%式中型和型和型裂纹问题型裂纹问题n在某些情况下，应力、应变式中的第二项也对材料的断裂起明显影响，考虑前两项时的应力场和位移场为： IIIIIIIIIIIIIII1212122211222284TTKKrrKiKrruiuuiuuiui zzz T11+，%第二项对应着刚体转动 和均匀的横向应立场 的叠加效应 T 在文献中称为T应力，所以上式中的裂尖场又称为K-T场 T 线弹性

7、断裂力学线弹性断裂力学n裂纹的基本类型裂纹的基本类型 I型型张开型（张开型（opening mode) II型型滑开型（滑开型（sliding mode) III型型撕开型（撕开型（anti-plane shear mode)张开型张开型滑开型滑开型撕开型撕开型线弹性断裂力学线弹性断裂力学n二维I型裂纹的应力强度因子 衡量裂纹尖端区应力场强度的参量 3cos1 sinsin.22223cos1 sinsin.22223cossincos.2222IxIyIzKrKrKrIK 线弹性断裂力学线弹性断裂力学nIIII型裂纹尖端附近的应型裂纹尖端附近的应力场力场nIIIIII型裂纹尖端附近的应型裂纹

8、尖端附近的应力场力场3sin2coscos22223sincoscos22223sin1sinsin2222IIxIIyIIzKrKrKr cos22sin22 IIIzyIIIzyIIIyKrKrKSa 其中， 线弹性断裂力学线弹性断裂力学n均匀受载含中心裂纹无限大板的裂纹尖端附近均匀受载含中心裂纹无限大板的裂纹尖端附近位移场（位移场（I-II混合型裂纹）：混合型裂纹）：2222cos12sinsin12cos2222222sin1 2cossin1 2sin22222223 , 12 134 , IIIxIIIyKKrruKKrruE ，平面应力式中，平面应变 线弹性断裂力学线弹性断裂力学

9、nI型裂纹位移垂直于裂纹，呈平面张开型；型裂纹位移垂直于裂纹，呈平面张开型；nII型裂纹位移平行于裂纹，呈平面剪切型；型裂纹位移平行于裂纹，呈平面剪切型；nIII型裂纹反对称于裂纹及其延长线型裂纹反对称于裂纹及其延长线12sin2zIIIruK线弹性裂尖场特点线弹性裂尖场特点n三种类型裂纹变形情况下的线弹性裂纹尖端场，在不考虑展开式的第二项的情况下得出的场统称K场。nK场具有以下四个特点：v三种变形情况下裂纹尖端应力场和应变场都具有奇异性奇异性，即在裂纹尖端处，应力和应变为无穷大，这种不真实的性质是由于所采用的本构关系所决定的，即认为材料能承受无限大的应力，且应变与应力呈线性关系。另外，在上述

10、的分析中，裂纹假设成理想的尖裂纹，即裂纹尖端曲率为无穷大。实际上，裂纹尖端不可避免地会出现塑性区，并且裂纹尖端地曲率是有限的，但是在塑性区很小的情况下，在围绕裂尖的一个环状区域环状区域内K场场是适用的。线弹性裂尖场特点线弹性裂尖场特点vK场内的位移与 成线性比例关系。v三种情况下的K场有相似的形式，分别由应力强度因子 、 和 决定着其场的强度。SIF取决于外加载荷，而且与构件几何、裂纹尺寸有关，但是与坐标 无关。在K场范围内，应力和应变均正比于SIF，所以SIF是裂纹尖端附近应力、应变场强度的表征，是描述裂尖场强度的参数。 12rIKIIKIIIK, r线弹性裂尖场特点线弹性裂尖场特点v裂尖场

11、与角分布函数成比例。角分布函数仅与角 有关，而与 无关，对于同一种变形模式，角分布函数是相同的。所以，无论构件的形状、尺寸以及裂纹的尺寸如何，裂尖场都是相同的。 n对于一般的二维平面裂纹情况，裂纹尖端场是型和型K场的线性叠加。而对于三维裂纹，裂纹前缘任意一点的奇异场，都是型、型和型问题的线性叠加。 rI22II1200lim20lim20rrKrKr ， 线弹性断裂力学线弹性断裂力学n用柔度法确定临界应变能释放率用柔度法确定临界应变能释放率 柔度：变形与载荷的比值柔度：变形与载荷的比值 总应变能总应变能柔度：柔度： 应变能释放率：应变能释放率： 临界应变能释放率：临界应变能释放率：CGcF21

12、122VFcF212cVcGFaa212crcrFcGba 工程断裂问题与材料断裂韧性工程断裂问题与材料断裂韧性n材料的断裂韧性材料的断裂韧性 临界应力强度因子，是材料抵抗裂纹能力的度量。临界应力强度因子，是材料抵抗裂纹能力的度量。是一个材料常数。是一个材料常数。n断裂准则：断裂准则： 当按照断裂力学方法得出的含裂纹构件的应力强度当按照断裂力学方法得出的含裂纹构件的应力强度因子小于材料断裂韧度时，裂纹不扩展，构件安全；因子小于材料断裂韧度时，裂纹不扩展，构件安全；反之，裂纹扩展，构件不安全。反之，裂纹扩展，构件不安全。 ICK, , ICICKKKK裂纹不扩展，安全裂纹扩展，不安全关于关于GK

13、的关系式的关系式：n以I型裂纹为例，OA段的两边作用有吸引（拉）力，此时OA段的上下边之间没有相对位移，且有I0K2yyx第二步，设想在长度内，的作用应力缓慢地减小第二步，设想在长度内，的作用应力缓慢地减小到零，则相应裂纹扩展了长度，位移，到零，则相应裂纹扩展了长度，位移， n当第三步，计算能量释放率,由实功原理：平面应变平面应变:I00r11G2d2yyv 222IIII0K14(1)1GKdKE2E2 K K与与G G之间有简单的换算关系之间有简单的换算关系n平面应力222IIII0K14(1)1GKdKE2E22IIKGEIIKEGII2EGK1线弹性断裂力学线弹性断裂力学n I型裂纹的

14、应力强度因子型裂纹的应力强度因子 II型裂纹的应力强度因子型裂纹的应力强度因子 III型裂纹的应力强度因子型裂纹的应力强度因子n裂纹尖端的裂纹尖端的应力奇异性应力奇异性: 当当 时，即在裂纹端点，应力分量趋向于无穷大。时，即在裂纹端点，应力分量趋向于无穷大。应力场具有应力场具有 的奇异性。原因：裂纹尖端是几何上的奇异性。原因：裂纹尖端是几何上的不连续点。的不连续点。IKIIKIIIK0r 12r 线弹性断裂力学线弹性断裂力学n应力不适宜作为判断含裂纹材料承载能力的力学参应力不适宜作为判断含裂纹材料承载能力的力学参量量裂尖场应力具有奇异性，只要存在载荷，应力裂尖场应力具有奇异性，只要存在载荷，应

15、力就趋于无穷大。依照传统强度理论，含裂纹结构必定就趋于无穷大。依照传统强度理论，含裂纹结构必定破坏。破坏。n应力强度因子作为判定裂纹尖端应力场强度的物理参应力强度因子作为判定裂纹尖端应力场强度的物理参量引入。量引入。 线弹性断裂力学的主要任务之一就是确定含裂纹线弹性断裂力学的主要任务之一就是确定含裂纹构件的应力强度因子。构件的应力强度因子。 线弹性断裂力学线弹性断裂力学n计算应力强度因子的方法计算应力强度因子的方法 解析法：复应力函数法、积分变换法、权函数解析法：复应力函数法、积分变换法、权函数法、法、 数值法：有限元法、有限体积法、数值法：有限元法、有限体积法、 应力强度因子手册应力强度因子

16、手册n应力强度因子的量纲：应力强度因子的量纲：32力长度 线弹性断裂力学线弹性断裂力学例子例子二维有限大板含孔边裂纹的应力强度因子（几何对称、二维有限大板含孔边裂纹的应力强度因子（几何对称、受力对称、各向同性材料）受力对称、各向同性材料）IIKka IIIIKka 线弹性断裂力学线弹性断裂力学n用柔度法确定临界应变能释放率用柔度法确定临界应变能释放率 柔度：变形与载荷的比值柔度：变形与载荷的比值 总应变能总应变能柔度：柔度： 应变能释放率：应变能释放率： 临界应变能释放率：临界应变能释放率：CGcF21122VFcF212cVcGFaa212crcrFcGba材料断裂韧性材料断裂韧性n材料的断

17、裂韧性材料的断裂韧性 临界应力强度因子，是材料抵抗裂纹能力的度量。是一个材料常临界应力强度因子，是材料抵抗裂纹能力的度量。是一个材料常数。称为平面应变断裂韧度数。称为平面应变断裂韧度n应力强度因子应力强度因子断裂准则：断裂准则： 当按照断裂力学方法得出的含裂纹构件的应力强度因子小于材料当按照断裂力学方法得出的含裂纹构件的应力强度因子小于材料断裂韧度时，裂纹不扩展，构件安全；反之，裂纹扩展，构件不断裂韧度时，裂纹不扩展，构件安全；反之，裂纹扩展，构件不安全。安全。 ICK, , ICICKKKK裂纹不扩展，安全裂纹扩展，不安全 线弹性断裂力学线弹性断裂力学n材料断裂韧度与使裂纹启裂的拉伸应力之间

18、的关系：材料断裂韧度与使裂纹启裂的拉伸应力之间的关系：n使裂纹启裂的拉伸应力与裂纹驱动力（能量释放率）使裂纹启裂的拉伸应力与裂纹驱动力（能量释放率）之间的关系：之间的关系：n平面应变下应力强度因子和能量释放率之间的关系：平面应变下应力强度因子和能量释放率之间的关系：ICfKa ICfEGa221ICICEGK线弹性断裂力学线弹性断裂力学n断裂过程中，释放的能量主要耗散在裂纹尖端附近材断裂过程中，释放的能量主要耗散在裂纹尖端附近材料的塑性流动中。对于特定材料，能量耗散过程中所料的塑性流动中。对于特定材料，能量耗散过程中所需要的应变能释放率被称为临界应变能释放率，即需要的应变能释放率被称为临界应变能释放率，即 可以得到裂纹启裂所需要的拉伸应力：可以得到裂纹启裂所需要的拉伸应力：crG21crfEGa线弹性断裂力学线弹性断裂力学 线弹性材料的断裂判据线弹性材料的断裂判据-应力强度因子断裂判据：应力