讲座4能量泄漏以及窗函数

1、频率混淆（复习）在对连续信号进行离散采样时，若采样频率选得不合适，则进行傅立叶变换可看出，计算所得的低频分量中含有高频成分。具体来说：若信号中的最高频率为fc，而采样时间间隔为t1/(2 fc)，将发生信号中高频成分(f 1/(2 t) )被折迭到低频成分(f 1/(2 t) )中去，这种现象为频率混淆。 下面举例说明，将很清晰。假设某连续信号中含有频率为900、400、100Hz的谐波成分。先采样时间间隔为0.002s，即采样频率为500Hz。我们把三种频率成分分开单独处理，以“”为采样点，之后把采样点构成的谐波曲线进行连接。可以看出100Hz波形与采样点正弦曲线吻合，而另外两个频率的曲线误

2、差较大，而真正采样后的曲线是三个虚线的叠加，于是高频信号的采样值就构成虚假的低频信号附加到原低频的采样值上，从而产生频率混淆现象。 为避免混叠，就要将连续信号 的频谱 进行截断，设其截断频率为 。即使 )(tx)( fXcf， cff |所选截断频率应是欲分析的最高频率fmax。 当然其频谱图中频率的最大值应大于fc0)(fXcft21cft21即这样进行采样就无频率混叠（淆），这就是所谓的采样定理（Shannon定理）。即要达到频率不混叠，只需采样频率大于等于2倍的最高频率，也即只需一个周期中采两个或两个以上的点即可没有频率混叠，从而得到准确的频谱。max2ffst采样时间间隔；fs采样频率

3、(fs=1/ t)；N总的采样点数；T总采样时间，TN t；Fmax信号中的最高频率。有以下关系因此基于采样定理，有该式建立起了最短采样时间、最大采样间隔、采样点数及分析频率之间的关系。先有仪器，往往N固定为1024.max2ffstfs1Tf1max2fNT sfNtNTmax21ft 谱窗、泄漏以及平滑一、有限数据的傅立叶变换 在工程实际中，实际获得的信号长度是有限的，该有限长度的信号可被认为是无限长信号乘以单位矩形函数获得的：根据傅立叶变换的卷积定理（两函数乘积的傅立叶变换等于其傅里叶变换的卷积）：)()()(txtbtxdfXBfXfBfX)()()()()(设某信号为一无限长余弦信号

4、，以此为例进行泄漏分析。其傅立叶变换为单位矩形函数矩形窗函数b(t)的表达式为 其傅立叶变换为tfAtx02cos)()()(2)(00ffffAfXtttb01)(fffB22sin2)(这样我们取-，+ 内的有限长余弦信号就相当于使用上述的矩形窗函数与无限长余弦函数相乘，于是该有限长余弦信号的傅里叶变换为：得到的图形见右。dfXBfXfBfX)()()()()(可见，其频谱不是两条谱线了，而是发生了畸变，原来集中在f0处的能量被分散到较宽的频带上了，这种现象叫做泄漏。若仅仅从频谱上分析信号的频率组成，必然导致误差。出现泄漏的原因出现泄漏的原因是，窗函数的频谱是连续谱，且包含一个主瓣和无数旁

5、瓣，这样进行卷积时导致主瓣的能量被转移到旁瓣中去了。二、谱窗以及泄漏谱窗谱窗 从有限长度样本得到的谱密度原始估计值 (区别于后述的经平滑处理的估计值)用下式计算式中 相关函数的最大时移。上式是用有限区间的积分来估计由式所定义的真实谱密度。可以把看成是在- ， 区间截断的结果。这种截断必然导致误差的产生，是谱处理时必须考虑的一个问题。)(fSxd)()(2 fjxxeRfSmmmmmU()为矩形函数当然其傅立叶变换为根据傅氏变换的卷积定理，有 d)()(2 fjxxeRfSmmd)()()(2 fjxxeRufS可写成mm|0|1)(当当u)0(2)0(22sin2)(fffffUmmmm)(2

6、)(2sin)(2)()()(f dfffffSf dffUfSfSmm-xm-xx)(2)(2sin)(2)(f dfffffSfSmm-xmx把矩形函数称为窗函数，它在时域上的称为矩形时移窗（时域窗）。在频域上称为矩形谱窗。时移窗和谱窗互为傅氏变换。 泄漏的概念泄漏的概念谱密度处理时，矩形窗函数的存在，使相对于产生畸变。例如，设正弦函数 的自相关函数为)2sin()(00tfAtx)2cos(2)(020fARx则功率谱密度函数为：即频率是f0的正弦波的双边功率谱是在频率处f0的两个脉冲函数。如果以单边功率谱表示，有)2cos(2)(020fARx)()(4)2cos(2)(0020202

7、0ffffAdefAfSfjx0)(2)(020fffAfGx再看经过截断后有限数据的功率谱密度函数)(2)(2sin)(2)(2sin2)(2)(2sin)(2)()()(000020mmmmmmm-xm-xxffffffffAf dfffffSf dffUfSfS一般f0m1，因此)(2)(2sin2)(0020mmmxffffAfS相应的单边谱为)(2)(2sin)(0020mmmxffffAfGff0时有其最大值，为它们的图形为可以看出原采集中于一个频率的功率，由于副瓣的存在，能量被分散到一个较宽的频率范围上，这种功率分散的效应称为泄漏。泄漏效应的产生，降低了谱估计的精度。mmmxff

8、ffAfG)(2)(2sin)(0020mxAfG20)( 上述特例可以推广至任意类型的函数。图是某一任意函数谱估计时泄漏效应的影响示意图。 由图看到，原来比较光滑的功率谱密度函数曲线，经用谱窗卷积之后，得到的是一条具有“皱波”的非光滑曲线。皱波或者偏离的形成，完全是因为谱窗函数在主瓣两侧出现正负相间的副瓣所致。因此为了减小统计误差，必须抑制泄漏。同时可以看出，泄漏的程度取决于副瓣或者旁瓣的大小。三、抑制泄漏的措施 泄漏的程度取决于谱窗副瓣的大小。较小的副瓣，得到的曲线具有较小的皱波。因此，为了抑制泄漏，应选择副瓣较小的谱窗函数。工程上，提出了多种形式的谱窗，常用的有哈宁(Hanning)窗和

9、海明(Hamming)窗。1、哈宁窗 哈宁时移窗的函数式为 其谱窗为：mmmd|0|cos1 21)()21(41)21(41)(21)(mmfUfUfUfD)21(41)21(41)(21)(mmfUfUfUfD)0(2)0(22sin2)(fffffUmmmm从上式可看到，哈宁谱窗是由一个压低1/2的矩形谱窗和两个各左右位移1/(2m)、峰高为1/4的矩形谱窗谱窗迭加而成,见图，图中虚线是三个变异矩形谱窗。 分析可知，矩形谱窗的主瓣高为2m ，宽为1/m，第一副瓣的约为主瓣高的20；而D(f)谱窗的主瓣高为m，宽为2/m ，第一副瓣高约为主瓣高的2.4。哈宁窗副瓣有明显的降低，达到了抑制泄

10、漏的目的。但是它的主瓣宽却加大了一倍。即，减少泄漏是以展宽主瓣为代价。主瓣的展宽意味着带宽扩展，从而使功率谱图形的分辨能力降低。因此，功率谱处理时，往往需要在提高分辨力和减往往需要在提高分辨力和减少泄漏两者之间作折衷考虑少泄漏两者之间作折衷考虑。2. 海明窗海明时移窗的函数式为相应的海明谱窗为可见Hanning、Hamming谱窗结构一样，只是系数作了调整，以进一步抑制泄漏，压低副瓣高。其 ，但主瓣高约为1.08m，第一副瓣高接近于零。因此，减少泄漏的效果更好一些。mmmtw|0|cos46. 054. 0)()21(23. 0)21(23. 0)(54. 0)(mmfUfUfUfW)21(4

11、1)21(41)(21)(mmfUfUfUfD必须指出，尽管泄漏效应使得功率谱密度函数不准确，但没有使随机过程的总功率有任何损失。例如前述的正弦函数：无泄漏时，功率为：有泄漏时，功率为：可见，随机过程的功率并无损失。2d )(202AffSxx)()(4)(0020ffffAfSx2)(2)(2sin)(2)(2sin2)(200000202Af dffffffffAf dfSmmxx)(2)(2sin)(2)(2sin2)(000020mmmmmxffffffffAfS3、平滑处理 前述抑制泄漏的措施，是通过对原始数据选用适当的窗函数达到，反映在频域上的效果是使功率谱密度函数的皱波减小。实际

12、上这一效果也可以从另一角度达到：用矩形时移窗得到功率谱密度函数，然后对其进行光滑，称之为平滑处理。平滑的结果得到一条较为光滑的曲线，从而减少了谱处理的统计误差。右图是平滑处理示意图，图中实线是 ，虚线是 。平滑处理时，对于第k点的值 ，参考前后两点，即第k1点和第k1点的值 、 ，以圆滑过渡为目标进行修正，称修正后的估计值为平滑估计值，记为 ，以区别于未经平滑的原始估计值。 平滑处理时， 用下式计算（设k的最小、大值为0、m）)(fGk)( fGk)(1fGk)(1fGk)(fGkkGkG1, 2 , 1412141)(21)(21211111mkGGGGGGGGkkkkkkkk利用矩形窗得到

13、的功率谱密度在k0、m处，取 上式是平滑处理中常用公式，但不是唯一的。 可以证明，利用上述的平滑处理抑制泄漏与与采用Hanning窗的效果完全相同。 数据处理时，是对原始数据进行抑制泄漏处理，还是在频域上作平滑处理，可视数据处理的方便性进行决定。21211100mmmGGGGGG功率谱密度函数的计算1、信号傅里叶变换及余弦坡度窗函数 设x(t)是平稳随机过程x(t)的一个样本，则式中：x(t)假想的平稳随机过程x(t)的一个无限长 样本，在-T/2， T/2内与x(t)相同； X(f)x(t)的傅立叶变换； u(t)矩形时移窗； U(f)u(t)的傅立叶变换。)()()()()()(2222f

14、UfXt detutxt detxfXftjftjTT实际处理中为抑制泄漏，采用Hanning/Hamming窗函数，这需要对信号的每一点进行改造，但若信号很长，则费时间。因而有时使用1/10余弦坡化数字窗代之：采用此窗只需对20的原始数据进行处理。TtTtTtTTttc21|104|0121|1045cos)(2、比例因子的概念及确定 在利用信号的傅里叶变换计算功率谱密度时，由于窗函数的引入，使得信号的形状发生改变，矩形窗除外。如图所示。这样就导致加窗前后的信号总功率发生改变。因此若要保持原信号的总功率不变，必须对加窗后信号的计算结果进行修正乘以一个因子。 若原始数据的总功率为 信号乘以窗函数后的总功率为2222)(1TTxdttxT2222)()(1TTxdttVtxT这两个值是不等的，要使两者相等，引入参数K，于是：2222)(1TTxdttxT222222)()()(TTTTdttVtxKdttx2222)()(1TTxdttVtxTK值为比例因子，