2021-2022学年新教材高中数学第三章函数3.1.1.1函数的概念练习(含解析)新人教B版

1、第1课时函数的概念最新课程标准：在初中用变量之间的依赖关系描述函数的根底上，用集合语言和对应关 系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。了 解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.缪俄.伸涵:;制?：记期簿 例号:海 W *邛潞:源楸糊1 %:缴呦物 后知识点一函数的概念1 .函数的概念一般地，给定两个非空实数集 A与B,以及对应关系f,如果对于集合 A中的每一个实数 x,按照对应关系f ,在集合B(集合B一般默认为实数集 R,因此常常他去不写.)中都有唯一 确定的实数y=f(x)与x对应，那么称f为定义在集合 A上的一个函数，记作y = f(x),xCA

2、2.函数的定义域和值域函数y=f(x)中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围 (即数集A)称为这个函 数的定义域，所有函数值组成的集合yCB|y= f(x), xC丹称为函数的值域.状元随笔对函数I念的3点说明(1)当A , B为非空实数集时，符号" f : Z B ”表示 A到B的一个函数.(2)集合A中的数具有任意性，集合 B中的数具有唯一性.(3)符号"f 表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样.知识点二同一函数一般地，如果两个函数的定义域一样，对应关系也一样(即对自变量的每一个值，两个函数对应的函数值都相等)，那么称这两个函数就是同一个函数.根底自测

3、1 .以下从集合 A到集合B的对应关系f是函数的是()A. A= 1,0,1 , B= 0,1 , f： A 中的数平方B. A= 0,1 , B= -1,0,1 , f: A 中的数开方C. A= Z, B= Q, f ： A中的数取倒数D. A= 平行四边形, B= R, f:求A中平行四边形的面积解析：对B,集合A中的元素1对应集合B中的元素土 1,不符合函数的定义；对C,集合A中的元素0取倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义；对D,A集合不是数集，故不符合函数的定义.综上，选 A.答案：A2 .函数“刈=恒的定义域为()x 2A. (1 , +OO) B. 1 ,

4、 +OO)C. 1,2) D . 1,2) U(2 , +oo)xx 1解析：使函数f (x) =一有意义，X 2x10,那么即x>1,且XW2.x2W0,所以函数的定义域为x|x>l且xw2.应选D.答案：D3.以下各组函数表示同一函数的是()A- y= y与 y=x + 3 x3B. y=V?1 与 y=x 1C. y=x°(xW0)与 y= 1(x0)D. y=x+1, xCZ 与 y = x1, xCZ解析：A中两函数定义域不同；B中两函数值域不同；D中两函数对应法那么不同.答案：C64 .假设函数f (x)= 也 + 求f (4) =.x 1解析：f (4) =

5、 4+ 7- =2 + 2=4.答案：4课堂题型一函数的定义经典例题例1根据函数的定义判断以下对应关系是否为从集合A到集合B的函数:(1)A=1,2,3 , B= 7,8,9 , f(1) =f(2)=7, f(3) =8;(2) A= 1,2,3 , B= 4,5,6，对应关系如下图；(3) A= R, B= y| y>0, f : x y= | x| ;(4)A= Z, B= 1,1, n 为奇数时，f(n)=1, n 为偶数时，f(n) = 1.【解析】对于集合A中的任意一个值，在集合B中都有唯一的值与之对应，因此(1)(4)中对应关系f是从集合A到集合B的一个函数.(2)集合A中

6、的元素3在集合B中没有对应元素，且集合 A中的元素2在集合B中有两个 元素(5和6)与之对应，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数.(3) A中的元素0在B中没有对应元素，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数.1 .从此题(1)可以看出函数f(x)的定义域是非空数集A,但值域不一定是非空数集B,也可以是集合B的子集.2 .判断从集合 A到集合B的对应是否为函数，一定要以函数的概念为准那么，另外也要 看A中的元素是否有意义，同时，一定要注意对特殊值的分析.方法归纳(1)判断一个集合 A到集合B的对应关系是不是函数关系的方法：A B必须都是非空数集；A中任意一个数在 B中必须有并且是唯一的实数

7、和它对应.注意A中元素无剩余，B中元素允许有剩余.(2)函数的定义中“任意一个 x与“有唯一确定的 V”说明函数中两变量 x, y的对应关 系是“一对一或者是“多对一，而不能是“一对多.跟踪训练1 设M= x|0<x<2, N=y|0wyw2,给出以下四个图形，其中能表示 从集合M到集合N的函数关系的有() A. 0个 B. 1个C. 2个D . 3个(2)以下对应是否是函数？x-3, XW0, xCR； xx-y,其中 y2=x, xCR, yCR解析：(1)图号正误原因Xx=2时，在N中无兀素与之对应，不满足任意性V同时满足任意性与唯一性Xx= 2时，对应兀素 y= 3?N,不

8、满足任意性Xx=1时，在N中有两个兀素与之对应，不满足唯一性 3(2)是函数.因为任取一个非零实数x,都有唯一确定的-与之对应，符合函数定义.x不是函数.当x=1时，y=±1,即一个非零自然数 x,对应两个y的值，不符合函数 的概念.答案：(1)B(2)是函数不是函数1xC 0 , 1取不到1 , 2.yC 0,3超出了 NC 0 , 2范围.可取一个x值，y有 2个对应，不符合题意.(2)关键是否符合函数定义.题型二 求函数的定义域教材P83例1例2求以下函数的定义域：111 f=/；(2) g(x) ="+JT3.“x+1x x+2x+1 > 0,【解析】 (1)

9、因为函数有意义当且仅当,山+ 1 W0,解得x> 1,所以函数的定义域为(1, +8).x W 0,(2)因为函数有意义当且仅当x+2w0,解得xWO且xw 2,因此函数的定义域为 (8, - 2) U(-2,0) U(0, +oo).教材反思求函数的定义域(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准那么一般有：分式的 分母不为0;偶次根式的被开方数非负；y = x°要求xw0.(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共局部的集合.不能用“或连接,(3)定义域是一个集合， 要用集合或区间表示， 假设用区间

10、表示数集, 而应该用并集符号“U”连接.跟踪训练2求以下函数的定义域: f(X)=x2_3x+2；(2) f(x) = f(x)=/2x+3 x23x+2w0,解析：(1)要使函数有意义，只需即 xwi 且 xw2,故函数的定义域为x|xwi且xw2.x+1W 0,(2)要使函数有意义，那么|x| -x>0,解得x<0且x w 1.所以定乂域为(一0°, 1) U ( 1,0).2x + 3>0, 要使函数有意义，那么 2-x>0, xw0, -3解得-& x<2,且 xw0.3故定义域为0 U(0,2).(1)分母不为0偶次根式被开方数0(2)

11、 0x+1 0底数不为0偶次根式被开方数0(3)分母不为0题型三 同一函数教材P66例3例3下面各组函数中为一样函数的是()A. f (x) =，x 1 2, g(x)=x-1B. f (x) = Hx2 1, g( x) = Hx+ 1 x 12xC. f(x) =x, g(x)=-x01D. f(x) =x 与 g(x) =7【解析】函数的三要素一样的函数为一样函数，对于选项A, f (x) = | x1|与g(x)对应关系不同，故排除选项 A,选项 日C中两函数的定义域不同，排除选项B、C,应选D.【答案】D方法归纳判断同一函数的三个步骤和两个注意点(1)判断同一函数的三个步骤(2)两个

12、注意点:在化简解析式时，必须是等价变形;与用哪个字母表示无关.跟踪训练3试判断以下函数是否为同一函数.x2-x(1) f(x), g(x)=x1；x(2) f(x)=乎，g(x) = -xx; f(x) =x2, g(x) =(x+1)2；(4) f(x) = |x| , g(x)=R解析：序号是否一样原因(1)小同定义域不同，f(x)的定义域为x|xw。, g(x)的定义域为R(2)/、同对应关系/、同，f(x)=y, g(x) =Vx(3)小同定义域一样，对应关系小同(4)一样定义域和对应关系一样判断两个函数是否为同一函数，要看三要素是否对应一样.函数的值域可由定义域及对应关系来确定，因而

13、只要判断定义域和对应关系是否对应一样即可.题型四求函数的值域经典例题 例4求以下函数的值域.(1) y=3-4x, xC( 1,32xx+ 1(3) y=x2-4x + 5, xC 1,2,3.2(4) y= x 4x + 5.【解析】(1)因为1<xW3,所以12W 4x<4,所以9W3 4x<7,所以函数y = 3-4x, xC(1,3的值域是9,7).2x(2)因为 y=xn2x+1 -2x+ 1=22x+ 1W22x 所以函数丫 =后7的值域为y|y e R且yw2.(3)函数的定义域为1,2,3 当 x=1 时，y= 124X1 + 当 x=2 时，y=224X2

14、+ 当 x=3 时，y=324X3+5=2,5= 1 ，5=2,所以这个函数的值域为1,2(4)因为 y = x2 4x+5=(x2)2+1, xC R时，(x 2)2+1>1, 所以这个函数的值域为1 , +8).状元随笔(1)用不等式的性质先由xC( 1,3求一4x的取值范围，再求3 4x的取值范围即为所求.(2)先别离常数将函数解析式变形，再求值域.(3)将自变量x= 1,2,3代入解析式求值，即可得值域.(4)先配方，然后根据任意实数的平方都是非负数求值域方法归纳求函数值域的常用方法(1)观察法：对于一些比拟简单的函数，其值域可通过观察法得到.(2)配方法：是求“二次函数类值域的

15、根本方法.(3)换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域.对于f (x) =ax+ b+，cx+ d(其中a, b, c, d为常数，且acw0)型的函数常用换元法.(4)别离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类'的形式，便于求值域.跟踪训练4求以下函数的值域:(1)y=2x+1, xC1,2,3,4,5;(2) y=qx+i;y=1 -x2(4) y=- x2-2x+3( -5<x<- 2).解析：将x=1,2,3,4,5 分别代入y=2x+1,计算得函数的值域为3,5,7,9,11(2)因为、/x>0

16、,所以5+1>1,即所求函数的值域为1 , +8).一,1 x22(3)因为 y=TT7=1+=，所以函数的定义域为R,因为x*,所以0<£2W2.所以ye( 1,1 .所以所求函数的值域为(一1,1.(4) y=- x2-2x+3=- (x+ 1)2 + 4.因为一 5w xw - 2,所以一 4w x+1w 1.所以 1w(x+1)2w16.所以一 12W4 (x+1) W3.所以所求函数的值域为12,3.(3)先别离再求值域(4)配方法求值域课时作业15心 据微 咽:?：>：工恸：依浜：塔,海 承二:防：滋期 如、选择题1 .以下各个图形中，不可能是函数y =

17、 f(x)的图像的是()答案：A2.函数A.-3B.-3C.-3D.-3解析:解析：对于f(x)= JX3 + 2x+3的定义域是(3，3-2x由题意得3 32，2x+3>0,3-2x>0, 一3 一 3、.解得3< x<2且xw 2,应选B.2x + 3w0,答案:3.函数f (x) = - 1 ,那么f (2)的值为()A. - 2 B. - 1C. 0 D .不确定解析：因为函数f(x) = 1,所以不管x取何值其函数值都等于一1,故f(2) = 1.应选B.答案：B4 .以下各组函数表示相等函数的是(x2 4A. f(x) =x-2, g(x) = -x-2B.

18、C.D.| x|f(x), g(x) = 1xf(x) =x2-2x- 1, g(t)=t2 2t1工 1x- 1 0f(x) =2, g(x) =-2解析：选项 A中f(x)的定义域为 R, g(x)的定义域为x|xw 2,故定义域不同，因此 不是相等函数；选项 B中f(x)的定义域为x|xw0, g(x)的定义域为 R,故定义域不同，因 此不是相等函数；选项 D中f(x)的定义域为 R, g(x)的定义域为x|xw1,定义域不同，因此不是相等函数；而 C只是表示变量的字母不一样，表示的函数是相等的.答案：C二、填空题一一65 .函数 f (x) = x2_ i,求 f(2) =.6解析：f

19、(2) =口 =2.答案：26 .函数f(x)的图像如下图，那么f(x)的定义域为 ，值域为解析：由f(x)的图像可知 一5WxW5, -2< y<3.答案：5,52,37 .假设 A= x| y= >x+ 1 , B= y|y=x2+1,那么 An B= 解析：由 A= x| y=，x+ 1, B= y|y = x2+1,得人=-1, +8), B= 1 , +8),.1.An b= 1 , +oo).答案：1 , +8)三、解答题8 . (1)求以下函数的定义域:CD y= * x ；丫=1|x| 一x'y= V5x +x/x - 719并写出此函数的定(2)将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的解析式,义域.解析：(1)4 x>0,即x<4,故函数的定义域为x|xW4.分母|x|xw。，即|x|wx,所以x<0.故函数的定义域为x|x<0.5-x>0,x<5,解不等式组 x-1>0,得x>1,2x