一阶电路和二阶电路的时域分析

1、零输入响应、零状态响应、全响应零输入响应、零状态响应、全响应第第7章章 一阶电路和二阶电路的时域分析一阶电路和二阶电路的时域分析一阶电路一阶电路三要素法三要素法动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件重点：重点：二阶电路的经典法二阶电路的经典法初始条件的确定初始条件的确定动态电路：含有动态元件电容或电感的电路。动态电路：含有动态元件电容或电感的电路。7-1 动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件根据根据KVL、KCL及元件的及元件的VCR建立电路的方程，方建立电路的方程，方程是以电流或电压为变量的线性常微分方程。方程程是以电流或电压为变量的线性常微分方程。方程的阶数取

2、决于动态元件的个数和电路的结构。的阶数取决于动态元件的个数和电路的结构。一阶电路：只含一阶电路：只含有一个动态元件的电路。有一个动态元件的电路。K未动作前未动作前i=0，uC = 0i=0，uC=US一、动态电路的过渡过程一、动态电路的过渡过程i+uCUSRCK+uCUSRCi t = 0K接通电源后很长时间接通电源后很长时间电路由一个稳态过渡到另一个稳态需要经历的过程。电路由一个稳态过渡到另一个稳态需要经历的过程。直流电路、交流电路都存在过渡过程直流电路、交流电路都存在过渡过程过渡过程过渡过程是自然界中一种客观的物理现象，其产生原因是是自然界中一种客观的物理现象，其产生原因是能量不能跃变能量

3、不能跃变，电感及电容能量的存储和释放需要时间，电感及电容能量的存储和释放需要时间。不利的方面，如在暂态过程发生的瞬间，可能不利的方面，如在暂态过程发生的瞬间，可能出现过压出现过压或过流或过流，致使设备损坏，必须采取防范措施。，致使设备损坏，必须采取防范措施。有利的方面，如电子技术中常用它来有利的方面，如电子技术中常用它来产生各种波形产生各种波形；换路前瞬间换路前瞬间换路后瞬间换路后瞬间t- + 二、换路二、换路电路结构或参数变化引起的电路变化。电路结构或参数变化引起的电路变化。换路在换路在 t =0时刻进行时刻进行0-：t = 0的前一瞬间的前一瞬间0+：t = 0的后一瞬间的后一瞬间复频域分

4、析法：复频域分析法：拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法时域分析法：时域分析法：经典法、经典法、状态变量法状态变量法数值法数值法三、动态电路过渡过程的分析方法三、动态电路过渡过程的分析方法经典法：经典法：求解描述电路的线性常微分方程求解描述电路的线性常微分方程得到电路所求变量（电流或电压），采用得到电路所求变量（电流或电压），采用经典法时，必须根据电路的初始条件确定经典法时，必须根据电路的初始条件确定解答中的积分常数。解答中的积分常数。四、电路的初始条件四、电路的初始条件初始条件为初始条件为 t = 0+时时u ，i 及其各阶导数的值。及其各阶导数的值。独立初始条件独立初始条件：电容电压、电感电流。电

5、容电压、电感电流。电容电流、电感电压、电阻的电压和电流等电容电流、电感电压、电阻的电压和电流等称为非独立初始条件称为非独立初始条件0ddddddS01111 tuiatiatiatiannnnnnn阶微分方程，求解需要阶微分方程，求解需要i及其及其1阶至阶至(n-1)阶导数阶导数在在0+时刻的值。时刻的值。t =0+时刻时刻 d)(1)0()0(00 iCuuCC当当i(t)为有限值时为有限值时q (0+) = q (0-)uC (0+) = uC (0-)换路瞬间，若电容电流保持为换路瞬间，若电容电流保持为有限值有限值，则电容电压（电荷），则电容电压（电荷）换路前后保持不变。在换路瞬间，可将

6、其视为一个电压源。换路前后保持不变。在换路瞬间，可将其视为一个电压源。 d )()0()0(00 iqqiuCC+-五、换路定则五、换路定则 d)(1)0()0(00 uLiiLL当当u为有限值时为有限值时 d)()0()0(00 u L (0+)= L (0-)iL(0+)= iL(0-)iuL+-L换路瞬间，若电感电压保持为换路瞬间，若电感电压保持为有限值有限值， 则电感电流（磁链）则电感电流（磁链）换路前后保持不变。换路前后保持不变。 在换路瞬间，可将其视为一个电流源。在换路瞬间，可将其视为一个电流源。求初始值的步骤求初始值的步骤a. 由换路前电路（稳定状态）求由换路前电路（稳定状态）求

7、 uC(0-) 和和 iL(0-)；b. 由换路定则得由换路定则得 uC(0+) 和和 iL(0+)；c. 画画0+等效电路：等效电路： d. 由由0+电路求所需各变量的电路求所需各变量的0+值。值。电容电容（电感电感）用）用电压源电压源（电流源电流源）替代，取）替代，取0+时刻时刻值，方向同原假定的电容电压、电感电流方向；值，方向同原假定的电容电压、电感电流方向；(2) 由换路定律由换路定律 uC (0+) = uC (0-)=8V+-10ViiC+8V-10k0+等效电路等效电路 mA2 . 010810)0( Ci(1) 由由0-电路求电路求 uC(0-)+-10V+uC-10k40ku

8、C(0-)=8V(4) 由由0+等效电路求等效电路求iC(0+)例例1+-10ViiC+uC-K10k40k求求iC(0+)iC(0-) iC(0+)(3) 画出画出0+等效电路等效电路0)0( 0)0( LLuu iL(0+)= iL(0-) =2AV842)0( Lu例例2iL+uL-L10VK1 4 t = 0时时K闭合，闭合， 求求uL(0+)0+电路电路+uL-10V1 4 2AiL(0+) = iL(0-) = ISuC(0+) = uC(0-) = RISuL(0+)= - RIS求求 iC(0+)，uL(0+)及及0+电路电路uL+iCRISRIS+0)0(SS RRIIiC例

9、例3K(t=0)+ +uLiLC+ +uCLRISiC 00dd,ddtituLC0dd1dd00 tuCCtuCCLRItiLLtiLLS00dd1dd 00dd,ddtutiLCRuiiCLC LRItuCRCtiLLtRuitiCLCLCS0000dd1dd1d)d(dd 0dd1dd00 tuCCtuCLCLuu + +uLiLC+ +uCLRiC7-2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应零输入响应：没有外施激励，仅由初始储能作用于电路零输入响应：没有外施激励，仅由初始储能作用于电路产生的响应。产生的响应。一、一、RC放电电路放电电路已知已知uC (0-)=U0iK(t=0)+u

10、RC+uCR0dd CCutuRCRCp1 特征根特征根RCp+1=0特征方程特征方程ptCAue uC (0+)=U00e 0 tUuRCtCuC、i按照同样的指数规律衰减，衰减按照同样的指数规律衰减，衰减的快慢取决于指数中的快慢取决于指数中1/RC的大小。的大小。 =RC：一阶电路的一阶电路的时间常数。时间常数。tU0uCo0ee00 tIRURuiRCtRCtCI0tio0e 0 tUuRCtC0e 0 tUutC 0e0 tRUit 时间常数时间常数 的大小反映了一阶电路过渡过程的进展速度。的大小反映了一阶电路过渡过程的进展速度。U0 0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.

11、007U0 t0 2 3 5 tCUu 0e U0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5 工程上认为，工程上认为，经过经过3 - 5 ，过渡过程结束。，过渡过程结束。能量关系能量关系：tRiWRd02 uC(0+)=U0电容放出能量：电容放出能量： 2021CU电阻吸收能量：电阻吸收能量：tRRURCtd)e(2 00 2021CU 大大：过渡过程慢：过渡过程慢 小小：过渡过程快过渡过程快电压初值一定：电压初值一定：R 大大（C不变），不变），i=u/R，放电电流小放电电流小U0tuCo 小小 大大C 大大（R不变），不变），W=0.5Cu2，储能大储能大U0uCto

12、 U0/e 二二、RL电路的零输入响应电路的零输入响应特征方程特征方程 Lp+R=0LRp 特征根特征根i (0+) = i (0-) =01SIRRU 00dd tRitiLiK(t=0)USL+uLRR10e0 tIitLRtiLuLdd 0e/ 0 tRIRLt-RI0uLt0e 0 tIit 0e 0 tRIutL I0tio = L/R：一阶一阶RL电路时间常数电路时间常数iL (0+) = iL(0-) = 1 AuV (0+)= - 10000V，造成电压表损坏。，造成电压表损坏。例例1iLK(t=0)+uVL=4HR=10 VRV10k 10V / etLi 电压表量程：电压表

13、量程：50V，t=0时时，打开打开Ks1041000044V RRL 0e100002500VV tiRutL4. 一阶电路的零输入响应和初始值成正比一阶电路的零输入响应和初始值成正比（零输入线性）（零输入线性）。1. 一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应，一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应，都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。2. 衰减快慢取决于时间常数衰减快慢取决于时间常数 RC电路：电路： = RC，RL电路：电路： = L/R3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。同一电路中所有响应具有相同的时间常数。 tyty e )

14、0()(小小 结结时间常数时间常数 的计算的计算R1R2L = L / Req = L / (R1/ R2 )+ +- -R1R2LReqC = ReqC零状态响应零状态响应：动态元件初始储能为零的电路在外施激励作用：动态元件初始储能为零的电路在外施激励作用 下产生的响应。下产生的响应。SddUutuRCCC iK(t=0) US+uRC+uCRuC (0-)=0 7-3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 非齐次线性常微分方程非齐次线性常微分方程解的形式为：解的形式为：CCCuuu 对应的齐次方程的通解对应的齐次方程的通解非齐次方程的特解非齐次方程的特解一、一、RC电路的零状态响应电路

15、的零状态响应与输入激励的变化规律有关与输入激励的变化规律有关 tRCtCAAu ee变化规律由电路参数和结构决定变化规律由电路参数和结构决定全解全解uC (0+)=US +A = 0 A= - US0dd CCutuRC：特解（稳态分量、强制分量）特解（稳态分量、强制分量）Cu SUuC ：通解（暂态分量，自由分量）通解（暂态分量，自由分量） Cu tCCCAUuuu eS)0( )e1(e S SS tUUUuttC 稳态（强制）分量稳态（强制）分量暂态（自由）分量暂态（自由）分量 0eddS tRUtuCitC tuC-USuCuCUStiRUSo能量关系能量关系电源提供的能量一半消耗在电

16、阻上，一半转换成电场能量电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。充电效率储存在电容中。充电效率50%。2S21CU 2S21CU电容储存电容储存电源提供能量电源提供能量2SS0SdeCUtRUUt 电阻消耗电阻消耗tRRUtRitd)(d2e0S02 RC+-US二、二、RL电路的零状态响应电路的零状态响应SddURitiLLL iLK(t=0)US+uRL+uLRiL(0-)=0 tLARUiii eSuLUStotiLRUSoRUAiLS0)0( iiiL )0(e SS tRURUitL )0(edd S tUtiLutLL 三、正弦电源激励下的三、正弦电源激励下

17、的零状态响应（以零状态响应（以RL电路为例）电路为例） iL(0-)=0iK(t=0)L+uLRuS+-)cos(mSutUu tuS接入相位角接入相位角)cos(ddmutUtiLRi iii RSUj L+-IZULRUIm22mm)( RL arctg )cos(m utIi tuAtIi me)cos( 0)cos()0(m AIiu )cos(m uIA tuuItIi mme )cos()cos( 讨论几种情况：讨论几种情况：2） u = )2cos(m tIi 1）合闸时合闸时， u = /2，直接进入稳态，不产生过渡过程。直接进入稳态，不产生过渡过程。 tItIi mme)co

18、s( t = T/2时刻出现最大电流，时刻出现最大电流，见见P.135图图6-12。 tuuItIi mme )cos()cos( 7-4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应全响应全响应：非零初始状态的电路受到激励时电路的响应。：非零初始状态的电路受到激励时电路的响应。一、一阶电路的全响应及其两种分解方式一、一阶电路的全响应及其两种分解方式SddUutuRCCC iK(t=0)US+uRC+uCRuC (0-)=U0非齐次方程非齐次方程 =RC tCAUu Se uC (0+)=US + A=U0A=U0 - US0e )(S0S tUUUutC 0e )(S0S tUUUutC uCU0 -U

19、SuCUSU0uCtuCo全响应全响应=稳态分量稳态分量+暂态分量暂态分量)0(e)e1(0S tUUtt 全响应全响应= 零状态响应零状态响应 + 零输入响应零输入响应=强制分量强制分量+自由分量自由分量tuCoUSU0iK(t=0) US+uRC+uCRuC (0-)=U0iK(t=0) US+uRC+ uCR=uC (0-)=0+uC (0-)=U0C+ uCiK(t=0) +uRR二、三要素法分析一阶电路二、三要素法分析一阶电路 tffftf e)()0()()(一阶电路的数学模型是一阶微分方程，一阶电路的数学模型是一阶微分方程，在在直流电源直流电源激励下，解的一般形式为：激励下，解的

20、一般形式为： tAftf e)()(Aff )()0()()0( ffA稳态值稳态值初始值初始值时间常数时间常数 tfftftf e)0()0()()(一阶电路在一阶电路在正弦电源正弦电源激励下，解的一般形式：激励下，解的一般形式：f (0+)为为t =0+时稳态响应的初始值时稳态响应的初始值稳态解稳态解初始值初始值时间常数时间常数V2)0()0( CCuuV667. 01122)( Cus2332eq CR 0e33. 1667. 0e )667. 02(667. 05 . 05 . 0 tuttC1A2 例例11 3F+-uCt=0时合开关，求时合开关，求换路后的换路后的uC(t) 。tu

21、C2(V)0.667o例例2i10V1HK1(t=0)K2(t=0.2s)3 2 电感无初始储能，电感无初始储能，t = 0时合时合K1，t =0.2s时合时合K2，求两次，求两次换路后的电感电流换路后的电感电流i(t)。0 t 0.2sA2)(s2 . 00)0(1 ii A5)(5 . 026. 1)2 . 0(2 ii 26. 1e22)2 . 0(2 . 05 iAe74. 35)()2 . 0(2 ttiit(s)0.25(A)1.262例例3+-u(t)1 5 5HiLu(t)如图示，如图示，iL(0)= 0，求：求：iL(t)，并，并画波形画波形。法一法一0 t 1 iL(0+)

22、=0 t 0 iL(t)=0 iL( )=1AiL(t) = 1 - e-t/6 A =5/ (1/5)=6 su(t) 1212ot(s) V +-1 5 5HiL1V0 t 11 2 iL(2+)=iL(2-)=2-1.846e-(2-1)/6=0.437 A iL( )=2AiL(t)=0.437e-(t-2)/6 A iL(t) =0 t 0 1-e-t/6 A 0 t 1 2-1.846e-(t-1)/6 A 1 2 iL(t) = 1-e-t/6 A0 2+-1 5 5HiL2V 1 t 2 =6 s =6 s u(t)= (t)+ (t-1) -2 (t-2)u(t)1212ot

23、(s) (t)(1-e-t/6) (t) (t-1)(1-e-(t -1)/6) (t-1) -2 (t-2)-2(1-e-(t -2)/6) (t-2) iL(t) = (1-e-t/6) (t)+ (1-e-(t -1)/6) (t-1)-2(1-e-(t -2)/6) (t-2)o0.1540.43712t(s)iL(t)A法二法二微分电路微分电路tuRCtuRCRiuCddddio 条件：条件：(1) 时间常数时间常数 tp(2) 电容电压输出电容电压输出CR+ui-+uo-uouiUotttpo1. 掌握求解二阶电路的步骤。掌握求解二阶电路的步骤。2. 掌握二阶电路的一般规律。掌握二

24、阶电路的一般规律。二阶电路学习方法二阶电路学习方法7-5 二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应LCuRiu 0dddd22 CCCutuRCtuLC012 RCpLCp特征方程为特征方程为LCLRLRp1)2(222, 1 uC(0+)=U0 i(0+)=0求：求：uC(t)、i(t)、uL(t)。+ +- -uCuL+ +- -(t=0)tuCiCdd 22ddddtuLCtiLuCL 仅与电路结构和参数有关，与电路输入和初始储能无关。仅与电路结构和参数有关，与电路输入和初始储能无关。响应有不同的情况。响应有不同的情况。tptpCAAu21ee21 CRLiCLR2 . 1 tptpCA

25、Au21ee21 0210)0(UAAUuC 00)0()0(dd2211 ApApCituC0121201221UpppAUpppA )ee(2112120tptpCppppUu + +- -uCuL+ +- -(t=0)CRLi特征根为两不等的负实根特征根为两不等的负实根)ee(2112120tptpCppppUu U0tuC1202ppUp |p1|小小1201ppUp |p2|大大 LCLRLRp1)2(221 LCLRLRp1)2(222 tmi2tmuLt = tm，uL(tm)=0t =2tm，uL极值点极值点此时此时i 达到最大达到最大t 2tm，uL衰减衰减)ee ()(dd

26、21120tptpCppLUtuCi )ee()(dd2121120tptpLppppUtiLu 由由 uL= 0 可计算可计算 tm1221mlnppppt 由由 duL / dt 可确定可确定uL为极小值的时间为极小值的时间 t0ee212221 tptpppm122212)ln(tppppt )ee()(2121120tptpLppppUu 能量转换关系能量转换关系0 t tm，uC减小，减小，i 减小减小非振荡（过阻尼）放电非振荡（过阻尼）放电U0tuCtmiC-+RLC-+RLCLR2 .2 特征根为一对共轭复根特征根为一对共轭复根LCLRLRp1)2(222, 1 衰减因子衰减因子

27、 固有振荡角频率固有振荡角频率 （阻尼振荡角频率）（阻尼振荡角频率） 0 无阻尼振荡角频率无阻尼振荡角频率LR2 22)2(1LRLC j0001esinjcos p2220 令令 arctan 0 sin,cos00 j2 p j1 p j0002esinjcos peeee2j)j(j0)j(j00ttU )sin(e00 tUt)(2112120tptpCepepppUu 2jee)( j)( j00 ttteU j01e p j02e p j j tLUtuCitC sinedd 0 )sin(edd 00 tUtiLutLuL零点：零点： t = ， + ，2 + . n + ，uL

28、零点即零点即i 极值点极值点i 零点：零点： t =0， ，2 . n ， i 零点即零点即uC 极值点极值点tU e00)sin(e 00 tUutCuC零点：零点： t = - ，2 - . n - uLuC - 2 - tU0o 2 i + t - - t 能量转换关系能量转换关系0 t 0 电路电路20 10 10 uC+-)139sin(e25 tKutC4105sin25cos13925sin KKK176358 ，K0V)176139sin(e35825 ttutC5dd25)0()4( tuCuCCuC to35825二阶电路具有初始储能，又接入外施激励，二阶电路具有初始储能，

29、又接入外施激励，则电路的响应称为则电路的响应称为全响应全响应。全响应是零输入。全响应是零输入响应和零状态响应的叠加，通过求解二阶非响应和零状态响应的叠加，通过求解二阶非齐次方程方法求得全响应。齐次方程方法求得全响应。7-6 二阶电路的零状态响应和全响应二阶电路的零状态响应和全响应零状态响应：二阶电路的初始储能为零，零状态响应：二阶电路的初始储能为零，仅由外施激励引起的响应。仅由外施激励引起的响应。0dddd22 CCCutuGLtuLCS22ddddiitiGLtiLCLLL 求所示电路中电流求所示电路中电流 i(t)的零状态响应。的零状态响应。 i1=i-0.5u1=i-0.5 2 (2-i

30、) = 2i-2ititiii2ddd62)2(211 1212dd8dd22 ititi二阶非齐次常微分方程二阶非齐次常微分方程(1) 列写微分方程列写微分方程2-ii1 2AKu12 2 1/6F1H2 i0.5u1iii +-(2) 求通解求通解i p1= -2，p2 = -6012dd8dd22 ititi(3) 求特解求特解 i 稳态模型稳态模型i = 0.5 u1u1=2(2-0.5u1)u1=2V，i =1AttAAi6221ee p2+8p+12=0ttAAi6221ee1 2 2 0.5u1u1+-2Ai零状态响应零状态响应(4) 求初值求初值 )0(1dd0)0()0(0L

31、uLtiiiV825 . 0)0(11 uuuL0+电路模型电路模型V4221 u2-ii1 2AKu12 2 1/6F1H2 i0.5u1+-2Au12 2 0.5u1+-uL+-(5) 定常数定常数 212162810AAAA 5 . 15 . 021AA0 Ae5 . 1e5 . 01)(62 ttittttAAi6221ee1 例例7-10：全响应：全响应已知：已知：iL(0)=2A，uC(0)=0，R=50 ，L=0.5H，C=100 F求：求：iL(t)，iR (t) 。(1) 列微分方程列微分方程50dddd22 LLLRitiLtiRLCtuCiRtiLCLLdddd-50 4

32、422102102dd200dd LLLititit=0+- -uL+- -uCtiLuuLLCdd RiRiLCiCL50V+- -(2) 求通解（自由分量）求通解（自由分量）0200002002 pp特征方程特征方程特征根特征根 p= -100 j100)100sin(e1)(100 tKtitL(3) 求特解（强制分量，稳态解）求特解（强制分量，稳态解）A1 Li4422102102dd200dd LLLititi)100sin(e100 tKitL(4) 求全响应求全响应(4) 由由初值初值定常数定常数 0cos100sin1000dd 2sin12)0(0 KKtiKiLLo452 K0A)45100sin(e21)(100 tttitLiL(0+)=2A，uC(0+)=0)100sin(e1)(100 tKtitL0)0(