物理竞赛 联赛公式大全（课堂PPT）

1、1角速度角速度周期周期速度速度加速度加速度与轨道半径关系与轨道半径关系轨道半径轨道半径R中心天体半径中心天体半径R00020GMagR2GMagR21aR0000GMvR gRGMvRgR1vR300022RRTgGM322RRTgGM 3TR0300gGMRR 3gGMRR 31R 222mMmRMR mMRMRm mMMRLMmmRLMm ,mMmMvvRR mMvMvm mMaMam 模型特征：模型特征：故有故有之二：之二：角速度相同，即角速度相同，即之三：之三：两天体做圆周运动的向心力大小相等，两天体做圆周运动的向心力大小相等，之四：之四：之一：两天体做圆周运动的向心力均为两天体间的万

2、有引两天体做圆周运动的向心力均为两天体间的万有引力，大小相等，即力，大小相等，即模型规律：模型规律：ORmmMRMvMvm两颗相近的天体绕它们连线上的某两颗相近的天体绕它们连线上的某点（质心点（质心）以共同的角速度做匀速）以共同的角速度做匀速圆周运动圆周运动 .222GMmMmLLTMm 由由 32LTG Mm 之五：双星系统动量守恒之五：双星系统动量守恒3GM m2mR 22RT 4G 3 3R2R4 2 2RT23GT 4v0bacde2012GMmEmvr0E 2dvGMr 0E bvGMr 0E 2evGMr 轨道与轨道与能量能量5引力势引力势能能2012GMmEmvr 恒恒量量轨道与

3、轨道与能量能量两个天体相互作用过程中，如果其它星系离它们很遥远，对它们的作两个天体相互作用过程中，如果其它星系离它们很遥远，对它们的作用可以忽略的话，这两个天体的总动量守恒，两个天体从相距很远到相互用可以忽略的话，这两个天体的总动量守恒，两个天体从相距很远到相互作用直到远离，它们的始末速度满足弹性碰撞的方程组，那么在它们相互作用直到远离，它们的始末速度满足弹性碰撞的方程组，那么在它们相互作用的前后相对速度遵守作用的前后相对速度遵守“反射定律反射定律”，如果是一维方向上的，如果是一维方向上的“弹性碰弹性碰撞撞”，则相对速度等值反向若一个飞船向外喷气或抛射物体，则系统的，则相对速度等值反向若一个飞

4、船向外喷气或抛射物体，则系统的动量守恒而机械能不守恒动量守恒而机械能不守恒 角动量角动量若作用在质点上的力对某定点的力矩为零，则质点对该定点的角动量保若作用在质点上的力对某定点的力矩为零，则质点对该定点的角动量保持不变，这就是质点的角动量守恒定律物体在受有心力作用而绕着中心天持不变，这就是质点的角动量守恒定律物体在受有心力作用而绕着中心天体运动，或几个天体互相绕其系统质心运动时，由于有心力必过力心，对力体运动，或几个天体互相绕其系统质心运动时，由于有心力必过力心，对力心的力矩为零，故系统的角动量守恒即心的力矩为零，故系统的角动量守恒即 sinmvr 恒恒量量示例示例模型与模型与方法方法6A1A

5、2AnA3r1rnMm 物体只在引力作用下绕中心天体运行，其机械能守物体只在引力作用下绕中心天体运行，其机械能守恒引力是保守力，引力场是势场，在平方反比力场恒引力是保守力，引力场是势场，在平方反比力场中，质点的引力势能取决于其在有心力场中的位置中，质点的引力势能取决于其在有心力场中的位置在中心引力场中，在中心引力场中，m从从A A1 1移至无穷远处，引力移至无穷远处，引力做负功为：做负功为： 121limniiniiGMmWrrr 12231111111limnnnGMmrrrrrr 111limniiniiirrGMmr r 1111limnniiiGMmrr 111nGMmrr 以无穷远处

6、为零引力势以无穷远处为零引力势能位置，能位置，物体在距中心物体在距中心天体天体r远处的引力势能为远处的引力势能为pEGMmr 返回返回7OpmOr矢量矢量r称位置矢量，或称矢径称位置矢量，或称矢径绕定点圆运动质点的（线）动量为绕定点圆运动质点的（线）动量为方向总是与矢径方向总是与矢径r r垂直垂直pvm 定义定义: : 质点动量大小质点动量大小mv与矢径大小与矢径大小r的乘积为质点对的乘积为质点对定点（圆心）定点（圆心）O的角动量：的角动量：L=pr 当当p与与r方向不垂直而成角度方向不垂直而成角度： prA角动量大小角动量大小sinLpr 等于动量大小与等于动量大小与O点到动量矢点到动量矢量

7、量p的垂直距离的乘积的垂直距离的乘积 ;方向方向遵守右手定则遵守右手定则,矢量定义式为矢量定义式为Lrp 返回返回8r2r1mO 2 1 1S 2S M12122212,S mS mFGFGrr 两面元质量各为两面元质量各为1124MSSr 2224MSSr r两面元对壳内质点两面元对壳内质点m的引力各为的引力各为由几何关系由几何关系: :2111cosSr 2222cosSr 12FF 整个球壳对球壳内物整个球壳对球壳内物质的万有引力为零质的万有引力为零!9 对于一个质量均匀半径为对于一个质量均匀半径为R的实心球，在距球心的实心球，在距球心r（R）处质点只受半径为处质点只受半径为r的球内质量

8、的球内质量的万有引力，而的万有引力，而r以外球壳（即以外球壳（即R为外径为外径r为内径的球壳）则对为内径的球壳）则对质点无引力的作用质点无引力的作用 rMRm距球心距球心r处所置质点受到引力大小处所置质点受到引力大小 332rM mRFGr 3MmGrR 距球心距球心r处所置质点的引力势能处所置质点的引力势能 32pMm RrGMmGRrERR 由由 22332pMmGrRRE 返回返回10 试推导地球上的第三宇宙速度试推导地球上的第三宇宙速度v3 地球质量地球质量M 太阳质量太阳质量MS 地球半径地球半径R 日地距离日地距离r 物体质量物体质量m第一宇宙速度v1： (地球环绕速度地球环绕速度

9、) 这是以日为参照物之速度，而地球对太阳的公转速度这是以日为参照物之速度，而地球对太阳的公转速度= =29.8 km/s；则以地球为参照物，这个速度为；则以地球为参照物，这个速度为212vGMmmRR 由由17.9 km/sGMvR 第二宇宙速度v2： (地球逃逸速度地球逃逸速度)由能量守恒由能量守恒2212GMmmvR 211.2 km/s2GMvR 第三宇宙速度v3： (太阳逃逸速度太阳逃逸速度)原处于太阳系中地球轨道位置的物体离原处于太阳系中地球轨道位置的物体离开太阳系所需开太阳系所需“逃逸速度逃逸速度” 242.21km/ssGMvr 2vv 地地日日 由能量守恒：由能量守恒： 223

10、21122GMmmvm vvR 地地日日 23216.5km/s2GMvvvR 地地日日11水平直径以上各点的临界速度水平直径以上各点的临界速度 在水平直径以上各点弹力方向是指在水平直径以上各点弹力方向是指向圆心的情况，例如系在绳端的小球，过向圆心的情况，例如系在绳端的小球，过山车山车线线绳绳v mgFT2sinTvFmgmR RsinRg 当当FT =0时，时，v 临界临界= v轨轨道道mgFN 在水平直径以上各点不脱离轨道在水平直径以上各点不脱离轨道因而可做完整的圆运动的条件是因而可做完整的圆运动的条件是 ：sinvgR 在水平直径以上各点弹力方向是在水平直径以上各点弹力方向是背离圆心的情

11、况，例如车过拱形桥背离圆心的情况，例如车过拱形桥轨轨道道vmgFN2sinNvmgFmR sinRg 当当FN =0时，时，v 临界临界= 在水平直径以上各点在水平直径以上各点不脱离轨道的条件是不脱离轨道的条件是 ：sinvgR 12机械能守恒机械能守恒2211222mgRmvmv 下下上上最高点与最低点的弹力差最高点与最低点的弹力差2vFmgmR 下下下下6mgFF 下下上上能到达最高点的最低点速度能到达最高点的最低点速度5vRg 下下恰能到达最高点，最低点加速度恰能到达最高点，最低点加速度5ag v上上mgFN上上v下下 mgFN下下2vmgFmR 上上上上2211222mgRmvmv 下

12、下上上13竖直面内的匀速圆周运动竖直面内的匀速圆周运动mgFNFfvmgFNvFfW0 非非14将珠子的运动等效为从高将珠子的运动等效为从高处水平抛出、处水平抛出、初速度、初速度为为02hL 220Lh 射程为射程为的平抛运动的平抛运动 220000Lhvg LhLhg y02hL 220Lh 0vvg 对轨迹上的对轨迹上的P点点:2sinvg 22200022yLhvvvg Lhgy 而而 02sinLy 查阅查阅 002sin2sinsin2gyTmgmLy 00022LTmgyT 则珠子速度2vgy 0002gLTmgT 15 质点系的牛顿第二定律质点系的牛顿第二定律 加速度相关关系加速

13、度相关关系 力的加速度效果分配法则力的加速度效果分配法则 牛顿第二定律的瞬时性牛顿第二定律的瞬时性 非惯性系与惯性力非惯性系与惯性力规律规律规律规律FaaaFaaa112211nniiiiimmm212satas MmTmFFMm 规律规律规律规律 加速度与力是瞬时对应的，外力一旦改变，加速度也立即改变，力与加速度与力是瞬时对应的，外力一旦改变，加速度也立即改变，力与加速度的因果对应具有同时性确定某瞬时质点的加速度，关键在分析该加速度的因果对应具有同时性确定某瞬时质点的加速度，关键在分析该瞬时质点的受力，对制约着对象运动状态的各个力的情况作出准确判断瞬时质点的受力，对制约着对象运动状态的各个力

14、的情况作出准确判断. . 示例示例16m2m1m3miF31F13F1FiF2F3F21Fi1F12质点系各质点受系统以质点系各质点受系统以外力外力F1、F2、对质点对质点112131111FFFFaim 对各质点对各质点21232222FFFFaim 123F +FFFFaiiiiniiim F1iFaaaFaaa112211nniiiiimmm示例示例17 绳、杆约束物系或接触物系各部分加速度往往绳、杆约束物系或接触物系各部分加速度往往有相关联系，确定它们的大小关系的一般方法是：设有相关联系，确定它们的大小关系的一般方法是：设想物系各部分从静止开始匀加速运动同一时间，则由想物系各部分从静止

15、开始匀加速运动同一时间，则由212satas 可知，加速度与位移大小成正比，可知，加速度与位移大小成正比，确定了相关确定了相关物体在同一时间内的位移比，便确定了两者加物体在同一时间内的位移比，便确定了两者加速度大小关系速度大小关系x2x18MmFa(a)FmMa(b)MmFa(c)FmMa(d)Mm(e)aMmF(f)a问题情景问题情景如果引起整体加速度的外力大小为如果引起整体加速度的外力大小为F F，则引起各部，则引起各部分同一加速度的力大小与各部分质量成正比，分同一加速度的力大小与各部分质量成正比， F F这这个力的加速度效果将依质量正比例地分配个力的加速度效果将依质量正比例地分配123(

16、)Fmmma iiFm a 123iiFmFmmm MmTmFFMm 19相对于惯性系以加速度相对于惯性系以加速度a运动的参考系称运动的参考系称非惯性参考系非惯性参考系. . 牛顿运动定律在牛顿运动定律在非惯性参考系中非惯性参考系中不能适用不能适用iFma a小球不受外小球不受外力而静止力而静止小球不受外小球不受外力而向我加力而向我加速速iFFma 非非 mama为了使牛顿定律在非惯性系中具有与惯性系相同的形式，我们可以引入为了使牛顿定律在非惯性系中具有与惯性系相同的形式，我们可以引入一个虚拟的力叫惯性力使牛顿第二定律形式为一个虚拟的力叫惯性力使牛顿第二定律形式为可适用于非惯性系可适用于非惯性

17、系惯性力与物体实际受到的力（按性质命名的力）不同，它是虚构的，没惯性力与物体实际受到的力（按性质命名的力）不同，它是虚构的，没有施力物，不属于哪种性质的力有施力物，不属于哪种性质的力 20船对岸的速度（绝对速度船对岸的速度（绝对速度） v水对岸的速度（牵连速度）水对岸的速度（牵连速度）v水水船对水的速度（相对速度）船对水的速度（相对速度）v舟舟关于航行时间关于航行时间stv 舟舟舟舟渡河时间取决于渡河时间取决于船对水的速度船对水的速度v舟舟:当当v舟舟方向垂直于河岸时，船相对于水的分运动位移方向垂直于河岸时，船相对于水的分运动位移S舟舟=d最小，最小，故可使渡河时间最短故可使渡河时间最短:mi

18、ndtv 舟舟Sv水水v舟舟v河岸河岸d河岸河岸v水水v舟舟vS水水S舟舟水速大小不影响渡河时间水速大小不影响渡河时间!21关于实际航程关于实际航程v水水v舟舟v河岸河岸d河岸河岸v水水v舟舟v河岸河岸d河岸河岸1sinvv 水水舟舟为使航程最小，应使为使航程最小，应使v舟舟与与v水水的合速度的合速度v与河岸的垂线间的夹角与河岸的垂线间的夹角尽量地小！尽量地小！若若v舟舟v水，水，船的实际位移与河岸的垂线夹角最小出现在船的实际位移与河岸的垂线夹角最小出现在若若v舟舟v水水，船的实际位移为河宽船的实际位移为河宽d航程即最短，故航程即最短，故 v舟舟的方向的方向与船的航线成与船的航线成船头指向上游

19、船头指向上游v舟舟v水水v1cosvv 舟舟水水这时船的实际航程为这时船的实际航程为vdv 水水舟舟船头指向上游且与实际航线垂直，与上游河岸成船头指向上游且与实际航线垂直，与上游河岸成当船的航程最短时，航行时间不是最短当船的航程最短时，航行时间不是最短22 曲线运动的加速度曲线运动的加速度质点的瞬时加速度定义为质点的瞬时加速度定义为 0limtvat AvAvBv nv tv 0limnntvat 0limtttvat 为求一般的做曲线运动质点在任一为求一般的做曲线运动质点在任一点的瞬时加速度，通常将其分解为点的瞬时加速度，通常将其分解为法向加速度法向加速度an与切向加速度与切向加速度atOA

20、点曲率圆点曲率圆 nAvvAB nAvvABtt 0limAnta 0limAtvABt 2nva A点曲率圆半径点曲率圆半径0limtttvat aB23 曲线运动轨迹的曲率曲线运动轨迹的曲率曲线的弯曲程度用曲率描述曲线的弯曲程度用曲率描述 曲线上某点的曲率定义为曲线上某点的曲率定义为s 0limtKs 圆周上各点曲率相同圆周上各点曲率相同: :R 1KRR 曲线上各点对应的半径为该点曲线上各点对应的半径为该点曲率倒数曲率倒数1/1/K K的圆称为曲率圆的圆称为曲率圆, ,该该圆圆心称曲线该点的曲率中心圆圆心称曲线该点的曲率中心! !24受恒力作用受恒力作用力与初速度垂直力与初速度垂直轨迹为

21、半支抛物线轨迹为半支抛物线匀变速曲线运动匀变速曲线运动vx物体在时刻物体在时刻t的位置的位置 20222100121,tan22ssv thgtgtxv tgtsv 方方向向与与 成成shs 物体在时刻物体在时刻t的速度的速度 0221000,tanshvvvvgtgtvvgtvv 方方向向与与成成0vhv0vv 水平方向匀速运动与竖直水平方向匀速运动与竖直方向自由落体运动的合成方向自由落体运动的合成返回返回250sin2cosvtg 220sin2cosHvg 平抛初速大小不同平抛初速大小不同, ,落在斜面上时速度方向相同落在斜面上时速度方向相同! !H xyv0g02tanvg 空中飞行时

22、间空中飞行时间距斜面最大高度距斜面最大高度沿斜面方向的匀加速运动与垂沿斜面方向的匀加速运动与垂直斜面方向的上抛运动之合成直斜面方向的上抛运动之合成! !26 利用图象求功之方法适用于当力对位移的关利用图象求功之方法适用于当力对位移的关系为线性时系为线性时;或在表示力对位移关系的或在表示力对位移关系的F-s示功图示功图中中F(s)图线与图线与s轴围成的图形轴围成的图形“面积面积”有公式可有公式可依时依时;因为在因为在F-s示功图中，这种示功图中，这种“面积面积”的物理的物理意义就是功的大小意义就是功的大小 方法方法 A AsF0 xW27 如果在某一位移区间，力随位移变化的关系如果在某一位移区间

23、，力随位移变化的关系为为F=f(s) ，求该变力的功通常用微元法，即将位，求该变力的功通常用微元法，即将位移区间分成移区间分成n（n）个小区间）个小区间s/n，在每个小，在每个小区间内将力视为恒定，求其元功区间内将力视为恒定，求其元功Fi s/n ，由于功，由于功是标量，具有是标量，具有“可加性可加性”，那么总功等于每个，那么总功等于每个小区间内元功之代数和的极限，即变力在这段小区间内元功之代数和的极限，即变力在这段位移中所做的功为：位移中所做的功为： 方法方法 B B1limniniWW 在数学上，确定元功相当于给出数列通项在数学上，确定元功相当于给出数列通项式，求总功即求数列式，求总功即求

24、数列n项和当项和当n时的极限时的极限 28 这种求功方法依据功对能量变化的量度关系，这种求功方法依据功对能量变化的量度关系，只须了解初、未能量状态，得到能量的增量便只须了解初、未能量状态，得到能量的增量便是相应的功量是相应的功量 方法方法 C CWE 29 功是力的空间积累作用，能是对物体运动的一种量功是力的空间积累作用，能是对物体运动的一种量度功的作用效应是使物体的能量状态发生变化，做功度功的作用效应是使物体的能量状态发生变化，做功的过程就是物体能量转化的过程，转化了的能量都可以的过程就是物体能量转化的过程，转化了的能量都可以由做功的多少来量度，这是我们对功与能之间关系的基由做功的多少来量度

25、，这是我们对功与能之间关系的基本认识，是我们从能量角度解决运动问题的依据本认识，是我们从能量角度解决运动问题的依据 功能关系基本认识功能关系基本认识 功能关系的具体认识功能关系的具体认识 功能对应功能对应规律规律借助功与能的具体对应关系，对运借助功与能的具体对应关系，对运动的功的量度问题作出正确的操作动的功的量度问题作出正确的操作. .确定有哪些力对研究对象做了正功或负功，以代数确定有哪些力对研究对象做了正功或负功，以代数和的形式完成定理中等号左边对合外力的功的表述；和的形式完成定理中等号左边对合外力的功的表述；分析所研究过程的初、未两状态的动能，完分析所研究过程的初、未两状态的动能，完成等号

26、右边对动能变化的表述成等号右边对动能变化的表述 ；选定研究的对象与过程选定研究的对象与过程; 示例示例300ktkWEE 0gpgpgtWEE 0QpqpqtWEE 重力功量度重力势能的变化：重力功量度重力势能的变化：外力外力（可以是重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力或其它可以是重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力或其它力力）做的总功量度动能的变化：做的总功量度动能的变化： 弹力弹力功量度弹性势能的变化：功量度弹性势能的变化： 动能定理动能定理引力引力功量度引力势能的变化：功量度引力势能的变化： 0GpGpGtWEE 0tWEE 非非非重力弹力功量度机械能的变化：非重力弹力功量度机械能的变化：

27、势能定理势能定理功能原理功能原理电场力功量度电势能的变化：电场力功量度电势能的变化： 0QpepetWEE （W非非可以是摩擦力功、电场力功、安培可以是摩擦力功、电场力功、安培力功或其它非重力、弹簧弹力的功力功或其它非重力、弹簧弹力的功） 返回返回31P0+P水水P0设小孔处一小片厚设小孔处一小片厚x、面积面积S的液的液片片, ,在内外压力之合力作用下获得在内外压力之合力作用下获得速度速度v v而离开小孔，而离开小孔，由动能定理由动能定理: :212P SxSx v 水水水水PgH 水水水水2vgH P0 2012PP SxgH SxSx v 水水水水2012P PgHv 水水水水02P Pv

28、gH 水水返回返回PP+P水水32 取元功作微元，以功能原理为基本依据求取元功作微元，以功能原理为基本依据求得一类物理问题解答的方法，我们称之为得一类物理问题解答的方法，我们称之为“元元功法功法”. .这种解法所循基本原理是分析力学中这种解法所循基本原理是分析力学中的的“虚功原理虚功原理”，由伯努利首先提出的用元，由伯努利首先提出的用元功法可以处理某些平衡问题，且颇为简单功法可以处理某些平衡问题，且颇为简单 元功法元功法 元功法处理平衡问题基本思路元功法处理平衡问题基本思路 取与原平衡状态逼近的另一平衡状态，从取与原平衡状态逼近的另一平衡状态，从而虚设一个元过程，此过程中所有元功之和为而虚设一

29、个元过程，此过程中所有元功之和为零，以此为基本关系列出方程，通过极限处理，零，以此为基本关系列出方程，通过极限处理，求得终解求得终解33Ip 0tFtmvmv 动量定理动量定理 动量定理的应用动量定理的应用 (1)遵从矢量性与独立性原理遵从矢量性与独立性原理(3)尽量取大系统与整过程尽量取大系统与整过程iiIp 34 反冲模型反冲模型 Mm系统总动量为零系统总动量为零平均动量守恒平均动量守恒221122kEmvMV在系统各部分相互作用过程的各瞬间，总有在系统各部分相互作用过程的各瞬间，总有 1212mmSSvvtt :11220m vm v21120m vm v11220mmm sm s常以位

30、移表示速度常以位移表示速度须更多关注须更多关注“同一性同一性”与与“同时同时性性”“同一性同一性”:取同一惯性参考系描述取同一惯性参考系描述m1、m2的动量的动量“同时性同时性”:同一时段系统的总动量守恒同一时段系统的总动量守恒35M典型情景：典型情景：vmmvmmMvMMmvmMFmFvm2201122mmtmFsmvmv 2201122MMtMFsMvMv -2222001111()()2222MmmtMtMF ssmvMvmvMv “一对力的功一对力的功”用其中一个力的大小与两物体相对位移的乘积来计算用其中一个力的大小与两物体相对位移的乘积来计算 模型特征：模型特征：由两个物体组成的系统

31、，所受合外力为零而相互作用力为一对恒力规律种种：规律种种：动力学规律动力学规律 两物体的加速度大小与质量成反比两物体的加速度大小与质量成反比运动学规律运动学规律 两个做匀变速运动物体的追及问题或相对运动问题两个做匀变速运动物体的追及问题或相对运动问题动量规律动量规律 系统的总动量守恒系统的总动量守恒能量规律能量规律 力对力对“子弹子弹”做的功等于做的功等于“子弹子弹”动能的增量：动能的增量：力对力对“木块木块”做功等于做功等于“木块木块”动能增动能增量：量：一对力的功等于系统动能增量：一对力的功等于系统动能增量：图象图象1 1 图象图象2 236图象描述图象描述“子弹”穿出”木块”“子弹”迎击

32、”木块”未穿出vmvmtvMtdtv0t01tanfm 1tanfM tv0vmvMmMmvMvMm 1tanfm 1tanfM d37图象描述图象描述“子弹”未穿出”木块”“子弹”与”木块”间作用一对恒力vmdtv0t01tanfm 1tanfM tv0vmmmvMm 1tanfm 1tanfM smmmvMm 38 曲线运动发生的条件曲线运动发生的条件合外力方向与速度方向不在一直线合外力方向与速度方向不在一直线FvFnFt切向力改变速度大小切向力改变速度大小ttvFmamt 法向力改变速度方向法向力改变速度方向2nnvFmam 求解曲线运动的动力学方法求解曲线运动的动力学方法物体运动情况分

33、析物体运动情况分析物体受力情况分析物体受力情况分析39ml相对做匀角速度转动的非相对做匀角速度转动的非惯性参考系静止的物体惯性参考系静止的物体小球受绳拉小球受绳拉力而匀速转力而匀速转动动小球受绳拉力小球受绳拉力而静止而静止?TFinFma 20TTiFmFlF 在相对于惯性参考系具在相对于惯性参考系具有向心加速度的参考系中所有向心加速度的参考系中所引入的使牛顿定律仍能适用引入的使牛顿定律仍能适用的力就是惯性离心力的力就是惯性离心力! !牛顿运动定律仍可适用相对做匀角速度转动的非相对做匀角速度转动的非惯性参考系运动的物体惯性参考系运动的物体AOu r2mr 2mu 2r 2 u Aa FfFNi

34、nFma Fk科里奥利力是转动参考系中引入的假想的科里奥利力是转动参考系中引入的假想的惯性力，其大小等于引起科里奥利加速度惯性力，其大小等于引起科里奥利加速度的真实力，方向相反物体在转动平面上的真实力，方向相反物体在转动平面上沿任何方向运动时，都将受到一个与运动沿任何方向运动时，都将受到一个与运动方向垂直的科里奥利力方向垂直的科里奥利力 : :2kFmu 40平衡位置平衡位置所在位置所在位置x0在平衡位置时：在平衡位置时：0mgkx mgkx0 xmgk(x0+x)在距平衡位置在距平衡位置x处处时：时： 0Fmgk xx kx 则该振动系统做简谐运动则该振动系统做简谐运动,且周期为且周期为2T

35、mk 竖直面内振动的弹簧振子竖直面内振动的弹簧振子41 mgT F回回sinFmg 回回当当角很小时角很小时sin OBBOBOxx则有则有sinFmgmg回回BOmgllxmglmgl xk 2mTk 2lTg 单摆单摆42 如图所示，劲度系数为如图所示，劲度系数为k的弹簧一端固定，另一的弹簧一端固定，另一端与质量为端与质量为m的物体的物体a相连，当弹簧处于自然长度时，将相连，当弹簧处于自然长度时，将a无无初速地放置在匀速运动（速度很大）的足够长的水平传送带初速地放置在匀速运动（速度很大）的足够长的水平传送带上，弹簧轴线保持水平，设上，弹簧轴线保持水平，设A与传送带间动摩擦因数为与传送带间动

36、摩擦因数为，试，试说明说明A将做什么运动？将做什么运动？在平衡位置时：在平衡位置时：mgkA a平衡位置平衡位置mg kAAx在距平衡位置在距平衡位置x处处时：时：mg k Ax Fk Axmg kx a该振动系统做简谐运动该振动系统做简谐运动,且周期为且周期为2Tmk va43 质点质点P以角速度以角速度沿半径为沿半径为R的圆轨道做匀速圆周的圆轨道做匀速圆周运动，试证明：质点运动，试证明：质点P 在某直径上的投影的运动为简在某直径上的投影的运动为简谐运动谐运动 xR Fn22xxFmRmxR P所受向心力所受向心力Fn2nFmR PPP的投影运动所受回复力的投影运动所受回复力FxFx 2co

37、sxFmR 令为令为kxFkx 0t 00ccososxRtAt Oxy442Fmxkx 回回2T km 而而简谐运动的周期公式为简谐运动的周期公式为参考圆运动的周期参考圆运动的周期2mTk 简谐运动的速度公式为简谐运动的速度公式为 sinvAt 简谐运动的位移公式为简谐运动的位移公式为 cosxAt AOxyxAPPvt PvPAt 45确定摆球振动的平衡位置；确定摆球振动的平衡位置；确定摆在此位置时摆线上的力确定摆在此位置时摆线上的力FT；等效的重力加速度等效的重力加速度2lTg lg TFgm l 由理想单摆周期公式由理想单摆周期公式 ，通常可由三条途径确定，通常可由三条途径确定T：确定

38、等效悬点及摆确定等效悬点及摆长长联结两悬点的直线为转轴；联结两悬点的直线为转轴；摆球所受重力作用线反向延长与转轴交点为首选等效悬点；摆球所受重力作用线反向延长与转轴交点为首选等效悬点；取首选等效悬点与摆球间的距离为等效摆长取首选等效悬点与摆球间的距离为等效摆长确定等效的重力加速度确定等效的重力加速度确定等效的圆频率确定等效的圆频率确定摆球振动中的机械能守恒关系确定摆球振动中的机械能守恒关系比对异形摆的能量关系式与标准单摆的能量关系式比对异形摆的能量关系式与标准单摆的能量关系式在同一参考圆下提取等效的角速度在同一参考圆下提取等效的角速度g 示例示例示例示例示例示例46若单摆在加速度竖直向上的电梯

39、中若单摆在加速度竖直向上的电梯中做小幅振动，在振动的做小幅振动，在振动的“平衡位置平衡位置”amgFT TTFmgmaFm ga由由 gga 故故则则2lTga 若单摆在加速度水平向左的车厢中若单摆在加速度水平向左的车厢中做小幅振动，做小幅振动，a在振动的在振动的“平衡位置平衡位置”mgFTma 2222TTFmgmaFm ga由由22gga 故故则则222lTga 47mgqEFTE带正电摆球在水平向右的电场中做带正电摆球在水平向右的电场中做小幅振动小幅振动在振动的在振动的“平衡位置平衡位置” 2222TqEFmgqEmgm22qEggm 故故则则 222m lTm gqE 480tNT t

40、0正正误误不准钟当其钟面读数时不准钟当其钟面读数时间为间为t时，客观时间为时，客观时间为t0 tt0，钟走快；，钟走快； tt0，钟走慢，钟走慢摆式钟的特点 1. 1.振动次数相同，则钟面读数变化相同振动次数相同，则钟面读数变化相同 2. 2.标准钟钟面读数与客观时间一致标准钟钟面读数与客观时间一致 不准钟钟面读数与客观时间不一致不准钟钟面读数与客观时间不一致 3. 3.T大钟慢，大钟慢，T小钟快小钟快设标准钟摆的周期为设标准钟摆的周期为T0，不准钟摆的周期为，不准钟摆的周期为T如图，如图，当两钟从同一初始读数开始走时，分别出现读数当两钟从同一初始读数开始走时，分别出现读数t时时标准钟是在与钟

41、面读数一致的时间标准钟是在与钟面读数一致的时间t内走成这样的：内走成这样的：0tNT 根据特点根据特点1，有，有00ttTT 不准钟是在客观时间不准钟是在客观时间t0(t0t)内走成这样的：内走成这样的：t000gttg 00tltl 返回返回49llmg2 l tanll tan2lgT 如图，小铁球用长度为如图，小铁球用长度为l的细线的细线AC、BC悬挂，两悬挂，两线与线与A、B连线的夹角均为连线的夹角均为，AC恰好水平球由于受到扰动，恰好水平球由于受到扰动，垂直于纸面向外略微偏离平衡位置，然后小球来回振动，求垂直于纸面向外略微偏离平衡位置，然后小球来回振动，求小球振动的周期小球振动的周期

42、 ACB50 成因成因摩擦阻力摩擦阻力形成波形成波振动能转变为热振动能转变为热及向四周辐射及向四周辐射! 阻尼因数阻尼因数2m fv 阻力系数阻力系数 阻尼振动周期阻尼振动周期2202T 阻尼振动振幅阻尼振动振幅1TiiAA e 阻尼振动图象阻尼振动图象vt051 波的几何描述波的几何描述在波传播的介质中作出的某时刻振动所传播到达的各在波传播的介质中作出的某时刻振动所传播到达的各点的轨迹称为波前点的轨迹称为波前. 振动在介质中传播时，振动步调相同的点的轨迹，称为振动在介质中传播时，振动步调相同的点的轨迹，称为波面波前是各点振动相位都等于波源初相位的波面波面波前是各点振动相位都等于波源初相位的波

43、面 方向处处与该处波的传播方向一致的线，叫波线方向处处与该处波的传播方向一致的线，叫波线球面波球面波平面波平面波波面波面o波线波线波面波面波线波线波前波前波前波前介质中波动到达的各点，都可以看作是发射子波介质中波动到达的各点，都可以看作是发射子波的波源，在其后的任一时刻，这些子波的包迹就决定的波源，在其后的任一时刻，这些子波的包迹就决定新的波前新的波前 5253反射定律反射定律MNABABir A BvtABRt AA BRt ABBir 两种介质界面上的波现象两种介质界面上的波现象54折射定律折射定律MNABABirri12sinsinv tv tABir1212sinsinvinrv1v2

44、v55 驻波驻波两列沿相反方向传播的振幅相同、频率相同的波两列沿相反方向传播的振幅相同、频率相同的波叠加时，形成驻波叠加时，形成驻波 静止不动的波节和振幅最大的波腹相间，但波形静止不动的波节和振幅最大的波腹相间，但波形不向任何方向移动，不向任何方向移动， 从驻波的成因来看，驻波是一种干涉现象：波节与波从驻波的成因来看，驻波是一种干涉现象：波节与波腹分别是振动抵消与振动最强区域，它们的位置是不腹分别是振动抵消与振动最强区域，它们的位置是不变的；变的；从驻波上各质点的振动情况来看，实际上是有限从驻波上各质点的振动情况来看，实际上是有限大小的物体上有相互联系的无数质点整体的一种大小的物体上有相互联系

45、的无数质点整体的一种振动模式振动模式 弦线或空气柱以驻波的模式振动，成为声源，并弦线或空气柱以驻波的模式振动，成为声源，并将这种振动形式在周围空气中传播，形成声波将这种振动形式在周围空气中传播，形成声波 示例示例规律规律56 拍拍两个同方向的简谐运动合成时，由于频率两个同方向的简谐运动合成时，由于频率略有差别，产生的合振动振幅时而加强时略有差别，产生的合振动振幅时而加强时而减弱的现象叫拍在单位时间内合振幅而减弱的现象叫拍在单位时间内合振幅的极大值出现的次数叫做拍频的极大值出现的次数叫做拍频 12222ffT 121ffT 57tT/4t0,TtT/2t3T/458t0tT/2tT/4t3T/4

46、tT返回返回5960VVfTfV (1)VvVvvfVfVT VVfVTuTVfVu VvfVTuVvfuTV 设定：设定： 波源相对于介质的速度波源相对于介质的速度u；观察者相对于介质的速度观察者相对于介质的速度v；波在介质中速度波在介质中速度V；观察者接收到的频率观察者接收到的频率f ；波源频率波源频率f 波源固定，观察者以波源固定，观察者以v向着波源或背离波源运动向着波源或背离波源运动 波源以速度波源以速度u相对于介质向着或背离观察者运动，观察者静止相对于介质向着或背离观察者运动，观察者静止uT 如图，此时相当于波长如图，此时相当于波长缩短或增长为缩短或增长为，故，故 波源与观察者同时相

47、对介质运动波源与观察者同时相对介质运动 此时相当于波以速度此时相当于波以速度Vv通过观察者，故通过观察者，故 波源与观察者相对介质静止波源与观察者相对介质静止 多普勒效应多普勒效应u uT61 刚体刚体不发生形变的理想物体不发生形变的理想物体实际物体在外力作用下发生的形变效应不显著可被忽略实际物体在外力作用下发生的形变效应不显著可被忽略时时,即可将其视作刚体即可将其视作刚体刚体内各质点之间的距离保持不变刚体内各质点之间的距离保持不变 刚体的平动与转动刚体的平动与转动刚体运动时，其上各质点的运动状态（速度、加速度、刚体运动时，其上各质点的运动状态（速度、加速度、位移）总是相同，这种运动称为平动位

48、移）总是相同，这种运动称为平动 刚体运动时，如果刚体的各个质点在运动中都绕同一刚体运动时，如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线做圆周运动，这种运动称为转动，而所绕直线便直线做圆周运动，这种运动称为转动，而所绕直线便称为轴若转轴是固定不动的，刚体的运动就是定轴称为轴若转轴是固定不动的，刚体的运动就是定轴转动转动 刚体内各质点角速度总相同刚体内各质点角速度总相同62 质心质心 质心运动定律质心运动定律能代表整个刚体的平动能代表整个刚体的平动,运动规律等效于全部质量及外运动规律等效于全部质量及外力集中于此的某一点力集中于此的某一点.从质心的等效意义出发从质心的等效意义出发:0 xx1x2m1m2i

49、iCiiiCiiiCimxxmmyymmzzm 以质心为坐标原点以质心为坐标原点r=0im =cFma 例讲例讲例讲例讲63xitan-1kH =Hhnn 2=iHHmkinn O1limniinicm xxV 212lim/3nniHHHkiinnnkH 34113limnniHin 34CxH 64xy0 =2nn Ri =2iin i 212lim2cos(cos)sin=niiiniCmRRRRxm 214limcossinniiniR 1limsin3sinniiniR 1limsin3sinniiniR 11sin3sin3sinsin2 32222lim23322sinsin22

50、nnnnnR 2 11lim23 22nR 43CxR 65OxymgF回回yFmgx 质心沿抛物线做往复运质心沿抛物线做往复运动动,回复力为重力之分力回复力为重力之分力: 2226xxxhmgLx 212mghxL 质心做谐振质心做谐振,周期为周期为 2212TLhg 66 转动惯量转动惯量量度刚体转动中惯性大小的物理量量度刚体转动中惯性大小的物理量,等于刚体中每个等于刚体中每个质点的质量质点的质量mi与该质点到转轴的距离与该质点到转轴的距离ri的平方的乘的平方的乘积的总和积的总和.2i iJm r 例讲例讲672Jmr 21limni iniJm r 221lim2nnimrrriin n

51、nr 23411lim2nnimrin 212Jmr 22122rrJm 212Jmr 68212Jmr 转轴214Jmr 22412m rm lJ 6921limni iniJm r xy0Ri i =2nn =2iin 214 limsin4ninimrn 2222211limsinsin 2sinsin22nnimrn n项项212Jmr 702cJJm d miRirid xCyiO 222112cosnni iiiiiiJm rmRddR 221112cosnnniiiiiiiiim Rm ddm R 1niiim x 071mR2cJJm d 由由22m Rm R 22m R 22

52、112 lim4222nnimmlJrinnn 22231lim44nnim rm lin 22412m rm l 72MM2a2aO22MaJ 圓圓 22cJJMa 杆杆C212 lim2ncniMaaJiann 其其 中中2243MaMa OJJJ 圓圓杆杆2296Ma 732132 limni iniJm r 22mr 223Jmr 球壳球壳实心实心球球2132 limni iniJm r 22312 lim44/ 3nnimrrriinnnr 245116limnnimrin 225Jmr 74解解: :xx 已知已知:Jx=J00yxJJJy202i iJm r y OxJ 求求:?

53、:?yxJJ 22xi iJm r 0 xJJ 75221ni iiJm rkma 转动惯量的表达式常表现为形式转动惯量的表达式常表现为形式m是刚体的质量，是刚体的质量，a是刚体相应的几何长度，只要确是刚体相应的几何长度，只要确定待定系数定待定系数k，转动惯量问题便迎刃而解，转动惯量问题便迎刃而解76O OaM2OOJkMa 设设则有则有22244244MaMakkMa 112k 212OOMaJ 77 描述转动状态的物理量描述转动状态的物理量0limtt 0limtt ar 2i i ii im v rmLrJ 2222111222i iikim vm rJEMFd AM IMt78 刚体的

54、定轴转动与质点的直线运动刚体的定轴转动与质点的直线运动角动量原理角动量原理MtJtJ0 动量定理动量定理 Ftm vtm v0 (恒恒 力力) 转动定律转动定律 M=J 牛顿运动定律牛顿运动定律Fma匀变速直线运动匀变速直线运动 匀速直线运动匀速直线运动: svt 加速度加速度a 角速度角速度 速度速度v角位移角位移位移位移s刚体的定轴转动刚体的定轴转动 质点的直线运动质点的直线运动0limtsvt 0limtt 0limtvat 角加速度角加速度 0limtt 匀角速转动匀角速转动: t 匀变速转动匀变速转动: 0tvvat2012Sv tat2012tt2202tvvaS0tt2202t

55、动能定理动能定理转动动能定理转动动能定理2201122tFSmvmv2201122tMJJ 动量守恒定律动量守恒定律mv 恒恒量量 角动量守恒定律角动量守恒定律J 恒恒量量7980 统计方法统计方法对大量偶然事件起作用的规律对大量偶然事件起作用的规律对大量偶然事件呈现稳定性对大量偶然事件呈现稳定性永远伴随有局部与统计平均的涨落永远伴随有局部与统计平均的涨落 统计方法就是要找出由大量粒子组成的系统在一定条件统计方法就是要找出由大量粒子组成的系统在一定条件下服从的统计规律，找出系统的宏观性质及其变化规律下服从的统计规律，找出系统的宏观性质及其变化规律 统计方法不是力学研究方法的延续或极端统计方法不

56、是力学研究方法的延续或极端!统计方法不是在力学规律对客观事物的精确研究统计方法不是在力学规律对客观事物的精确研究无能为力的情况下采取的一种近似方法无能为力的情况下采取的一种近似方法统计方法适用的特征条件是所研究对象包含的基统计方法适用的特征条件是所研究对象包含的基本粒子为数极众本粒子为数极众81压强之统计意义压强之统计意义单位时间对器壁单位时间对器壁单位面积碰撞的单位面积碰撞的分子数分子数每次碰撞分子动量每次碰撞分子动量的改变量的改变量(2mv)82avzvxvy 设想在如图所示边设想在如图所示边长为长为a的立方体内盛有质量为的立方体内盛有质量为m、摩尔质量、摩尔质量为为M的单原子分子理想气体

57、，设气体的温的单原子分子理想气体，设气体的温度为度为T，气体分子平均速率为，气体分子平均速率为v，它在，它在x、y、z三维方向速度分量以三维方向速度分量以vx、vy、vz表示，对表示，对大量分子而言，这三个方向速率大小是均大量分子而言，这三个方向速率大小是均等的，则由等的，则由 2222xyzvvvv22223xyzvvvv观察分子观察分子x方向的运动方向的运动,每个分每个分子每对器壁的一次碰撞中有子每对器壁的一次碰撞中有 02xFtm v 2xav20 xmaFv 气体压强是大量气体分子对器壁的持续碰撞引起的，即气体压强是大量气体分子对器壁的持续碰撞引起的，即 202xFNm vpSa a

58、203Nm vV 202132AmNm vMVpVnRT 201322m vkT 83n单位体积单位体积摩尔数摩尔数单位时间向单位时间向S S面运动的分面运动的分子体积子体积6Sv AN单位时间向单位时间向S运动运动的分子的摩尔数的分子的摩尔数 N 单位时间撞击单位时间撞击S面面的分子数（个的分子数（个/ /t）由动量定理：由动量定理：2FNmv AN 23Snv 在宇宙飞船的实验舱内充满在宇宙飞船的实验舱内充满CO2气体，且一段时间内气体的压强不变，舱内有一气体，且一段时间内气体的压强不变，舱内有一块面积为块面积为S的平板紧靠舱壁如果的平板紧靠舱壁如果CO2气体对平板的压强是由气体分子垂直撞

59、击平板气体对平板的压强是由气体分子垂直撞击平板形成的，假设气体分子中分别向上、下、左、右、前、后六个方向运动的分子数各形成的，假设气体分子中分别向上、下、左、右、前、后六个方向运动的分子数各有有1/6，且每个分子的速率均为，且每个分子的速率均为v，设气体分子与平板碰撞后仍以原速反弹已知实，设气体分子与平板碰撞后仍以原速反弹已知实验中单位体积内验中单位体积内CO2的摩尔数为的摩尔数为n，CO2的摩尔质量为的摩尔质量为，阿伏加德罗常数为，阿伏加德罗常数为N，求，求单位时间内打在平板上的单位时间内打在平板上的CO2的分子数；的分子数；CO2气体对平板的压力气体对平板的压力 84 2322242mvk

60、TmfvevkT 麦克斯韦分子速率分布规律麦克斯韦分子速率分布规律v nf vNv气体分子速率麦克斯韦分布气体分子速率麦克斯韦分布三种分子速率三种分子速率 vv方均根速率方均根速率 2033k TR TvmM平均速率平均速率 088k TR TvmM 最可几速率最可几速率 022pk TR TvmMpv2v85 在半径为在半径为r的球形容器中装有的球形容器中装有N个理想气体分子考察其中个理想气体分子考察其中一个分子划着长为一个分子划着长为l的弦而与容器壁做弹性碰撞的情形假设分子质量为的弦而与容器壁做弹性碰撞的情形假设分子质量为m，平均速率为，平均速率为v如果不考虑分子之间的碰撞，分子的这种运动