机械设计仿真软件（课堂PPT）

1、.1机械系统设计建模与仿真主讲人：张玉华 机械工程学院 车辆工程系 教学安排教学安排计划学时计划学时 48 其中其中 20学时实验学时实验教材：教材：机械系统设计建模与仿真（兼上机实验指导书）机械系统设计建模与仿真（兼上机实验指导书） 张玉华张玉华 主编主编 上课时间：上课时间：119周周 20周考试周考试实验安排：实验实验安排：实验1 ADAMS基本操作基本操作 第第14周周 实验实验2 几何建模与参数化几何建模与参数化 第第15周周 实验实验3 机构约束与施加载荷机构约束与施加载荷 第第16周周 实验实验4 编辑样机模型编辑样机模型 第第17周周 实验实验5 样机仿真分析样机仿真分析 第第

2、18周周 地点：地点：机械楼机械楼 2层层 CAD中心中心 胡老师指导胡老师指导 上课要点上课要点 上课精力集中，上课精力集中， 认真思考认真思考 认真做好笔记，按时完成作业认真做好笔记，按时完成作业 遵守课堂纪律遵守课堂纪律 （不迟到，不早退，不开手机）（不迟到，不早退，不开手机） 第一章 绪论11 机械系统的设计机械系统的设计12 多刚体系统动力学多刚体系统动力学13 牛顿牛顿-欧拉方法欧拉方法14 虚拟样机技术虚拟样机技术 1 11 1 机械系统的设计机械系统的设计机器机器传动传动机构机构零件零件单缸内燃机单缸内燃机 牛头刨床机器机器传动传动机构机构零件零件 机器、机构、机械系统机器、机

3、构、机械系统机构：机构： 是由两个以上具有相对运动的构件是由两个以上具有相对运动的构件组成的系统，机构的作用在于传递运动组成的系统，机构的作用在于传递运动或改变运动的形式。或改变运动的形式。机器：是由若干机构组成的系统。例如，内机器：是由若干机构组成的系统。例如，内燃机包含曲柄滑块机构、齿轮机构和控燃机包含曲柄滑块机构、齿轮机构和控制进气与排气的凸轮机构。制进气与排气的凸轮机构。机械系统：是机构与机器的总称。它由许多机械系统：是机构与机器的总称。它由许多构件和零件组成。构件和零件组成。 构件与构件与零件的区别零件的区别构件是运动的单元；构件是运动的单元；零件是制造的单元。零件是制造的单元。构件

4、构件：组成机构的各个组成机构的各个相对运动部分相对运动部分称为称为构件构件。构件构件 可以是单一的整体，也可以是几个元件的可以是单一的整体，也可以是几个元件的刚性组合刚性组合。零件零件：组成构件的元件则称为：组成构件的元件则称为零件零件。 机械系统设计的基本问题 机械系统设计的基本问题是机构机械系统设计的基本问题是机构的的综合综合、运动学运动学和和动力学动力学分析与设分析与设计。计。机构综合机构综合着重研究创造性构思、着重研究创造性构思、发明、创新设计新机构的理论和发明、创新设计新机构的理论和方法。方法。而而机构的运动学机构的运动学和和动力学分析动力学分析，一方面是用于现有机械系统，一方面是用

5、于现有机械系统的性能分析与改进，另一方面是为机构的综合提供理论依据。的性能分析与改进，另一方面是为机构的综合提供理论依据。因而它们是机械系统设计中重点研究的内容，也是本书要重因而它们是机械系统设计中重点研究的内容，也是本书要重点介绍的内容。点介绍的内容。 本课程的任务本课程的任务熟悉熟悉多刚体系统动力学多刚体系统动力学的基本概念、基本理论，掌握的基本概念、基本理论，掌握建立机构的运动分析和动力分析数学模型的方法。建立机构的运动分析和动力分析数学模型的方法。以多刚体系统动力学为理论指导，以多刚体系统动力学为理论指导，虚拟样机技术虚拟样机技术为设为设计手段，研究机械系统的建模方法。计手段，研究机械

6、系统的建模方法。 熟悉熟悉ADAMS软件的基本操作，掌握机械系统虚拟样软件的基本操作，掌握机械系统虚拟样机的建模和仿真分析方法，提高机械系统的设计质量，机的建模和仿真分析方法，提高机械系统的设计质量，提高机械产品的性能，提高自主知识产权产品的核心提高机械产品的性能，提高自主知识产权产品的核心竞争力。竞争力。 12 多刚体系统动力学多刚体系统动力学 关于刚体的假设是不考虑物体的变形。但是物体总是有变形关于刚体的假设是不考虑物体的变形。但是物体总是有变形的，而物体的变形对系统的运动也是有影响的，有时则有决定性的，而物体的变形对系统的运动也是有影响的，有时则有决定性的影响，因此，严格地讲多刚体系统应

7、为的影响，因此，严格地讲多刚体系统应为多体系统即柔性体系多体系统即柔性体系统统。目前，国内外已从多刚体系统的研究扩展到。目前，国内外已从多刚体系统的研究扩展到多体系统多体系统( (包括包括柔体系统柔体系统) )的研究的研究。但是，在某些情况，比如构件的变形很小，。但是，在某些情况，比如构件的变形很小，且构件的变形对系统的动力学特性影响不大，仍然可以将这类系且构件的变形对系统的动力学特性影响不大，仍然可以将这类系统视为多刚体系统。我们仅研究多刚体系统并以此作为研究多体统视为多刚体系统。我们仅研究多刚体系统并以此作为研究多体系统动力学的基础。系统动力学的基础。 工程中的机械系统大多由许多构件组成，

8、研究这些复杂系工程中的机械系统大多由许多构件组成，研究这些复杂系统时，往往可以将构成系统的各构件简化为统时，往往可以将构成系统的各构件简化为刚体刚体，而刚体之间，而刚体之间靠靠运动副运动副连接，从而得到连接，从而得到“多刚体系统多刚体系统”。例如自行车、曲柄滑块机构、汽车中的转向机构、飞机的例如自行车、曲柄滑块机构、汽车中的转向机构、飞机的起落架、工业机器人等起落架、工业机器人等说明：说明： 运动副运动副 连接构件的运动副，可以是连接构件的运动副，可以是圆柱铰链圆柱铰链( (两刚体之间有一个相对转动的自由度两刚体之间有一个相对转动的自由度) )，万向联轴节万向联轴节( (两个相对转动自由度两个

9、相对转动自由度) )，球铰球铰( (三个相对转动的自由度三个相对转动的自由度) )，也可以是其它形式的也可以是其它形式的运动学约束运动学约束( (如棱柱形约束允许一个相对如棱柱形约束允许一个相对滑动的自由度滑动的自由度) )，甚至没有物理意义上的运动学约束，而只有，甚至没有物理意义上的运动学约束，而只有力的作用力的作用( (如弹簧连接如弹簧连接) )，即所谓的，即所谓的广义铰广义铰。 多刚体系统类型 多刚体系统从结构上可以分为两类：多刚体系统从结构上可以分为两类：树状结构树状结构和和非树状非树状结构结构。两类结构的区分取决于。两类结构的区分取决于“通路通路”的概念。的概念。如果系统中任意两刚体

10、之间都只有一个通路存在，则称系统为如果系统中任意两刚体之间都只有一个通路存在，则称系统为树状结构树状结构，图中的，图中的(a)(a)、(c)(c)。如果系统中至少有两个刚体之间。如果系统中至少有两个刚体之间存在两个存在两个( (或更多的或更多的) )通路，则称系统为通路，则称系统为非树状结构非树状结构，图中的，图中的(b)(b)，这时，从这时，从BiBi到到BjBj的两个通路构成一个闭合链。的两个通路构成一个闭合链。 多刚体系统结构示例 机械系统中，机械手，空间飞行器以及人体步行时的摆机械系统中，机械手，空间飞行器以及人体步行时的摆动相都可以视为树状结构系统。动相都可以视为树状结构系统。自行车

11、、曲柄滑块机构以及人体站立时的支撑相则可视自行车、曲柄滑块机构以及人体站立时的支撑相则可视为非树状结构系统。为非树状结构系统。 树状结构的分类树状结构的分类 树状结构树状结构是研究多体系统动力学的基础，因为任何非树是研究多体系统动力学的基础，因为任何非树状结构均可将其闭合链打开加上某些附加约束而视为树状结状结构均可将其闭合链打开加上某些附加约束而视为树状结构。树状结构又可以分为两类：构。树状结构又可以分为两类： 系统中某刚体系统中某刚体( (编号为编号为B1)B1)与一运动已知的刚体与一运动已知的刚体( (通常称通常称之为基座，编号为之为基座，编号为B B0 0) )相铰接，此类称为相铰接，此

12、类称为有根树有根树。典型的如工。典型的如工业机械手。业机械手。 系统中任一刚体都不与基座相连此类称为系统中任一刚体都不与基座相连此类称为悬空树悬空树。如卫星、腾空的运动员等。如卫星、腾空的运动员等。 多刚体动力学的特点多刚体动力学的特点 多刚体动力学的研究内容同样也分为运动学和动力学两多刚体动力学的研究内容同样也分为运动学和动力学两部分，与经典力学的区别之处在于多刚体系统是十分复杂的部分，与经典力学的区别之处在于多刚体系统是十分复杂的系统，其系统，其自由度数大自由度数大，且各构件的运动一般都有，且各构件的运动一般都有大位移变化大位移变化，因此，不但运动因此，不但运动微分方程数多微分方程数多，且

13、有大量的，且有大量的非线性项非线性项，一般，一般很难求得很难求得解析解解析解，而必须借助计算机作数值计算。，而必须借助计算机作数值计算。 多刚体动力学的主要研究多刚体动力学的主要研究 寻求建立多刚体系统运动微分方程的解析方法。这种寻求建立多刚体系统运动微分方程的解析方法。这种方法应是一种规格化的方法，能方便、快捷地统一处理各类方法应是一种规格化的方法，能方便、快捷地统一处理各类问题、面向计算机的分析方法。问题、面向计算机的分析方法。 发展与各种分析方法配套的算法，以实现复杂非线性发展与各种分析方法配套的算法，以实现复杂非线性常微分方程常微分方程(ODE)(ODE)或微分或微分代数方程代数方程(

14、DAE)(DAE)的数值积分。的数值积分。 根据计算结果提供易于分析的各种输出形式，如曲线、根据计算结果提供易于分析的各种输出形式，如曲线、图象、动画等。图象、动画等。 应用以上方法对具体系统进行分析，并解决力学性能应用以上方法对具体系统进行分析，并解决力学性能分析、参数优化、寻求最优控制规律等力学问题。分析、参数优化、寻求最优控制规律等力学问题。 13 牛顿-欧拉方法 牛顿牛顿欧拉法是一种规格化的方法，能方便、欧拉法是一种规格化的方法，能方便、快捷地统一处理各类问题、面向计算机的分析快捷地统一处理各类问题、面向计算机的分析方法。虽然方程数较多，但建立方程的过程却方法。虽然方程数较多，但建立方

15、程的过程却十分简单，而且易于编程上机计算。十分简单，而且易于编程上机计算。 下面讨论如何采用牛顿下面讨论如何采用牛顿欧拉方法对曲柄滑欧拉方法对曲柄滑块机构进行动力学建模方法。块机构进行动力学建模方法。 曲柄滑块机构动力学建模曲柄滑块机构动力学建模将曲柄滑块机构看作由将曲柄滑块机构看作由B B1 1和和B B2 2组成的系统，解除约束，组成的系统，解除约束，如图所示，如图所示，X X1 1，Y Y1 1，-X-X1 1，-Y-Y1 1与与Y Y2 2均为约束反力。均为约束反力。列出列出B B1 1、B B2 2的运动微分方程。的运动微分方程。B B1 1只有转动只有转动 B B2 2既有移动又有

16、转动既有移动又有转动 cossin111rYrXLJ (1.1)(1.1)cossincos)(1111112212212lYlXllYJgmYYymXxmcc (1.2)(1.2) 曲柄滑块机构动力学建模曲柄滑块机构动力学建模 从从(1.2)(1.2)式至式至(1.3)(1.3)式，前四个为微分方程，后三个为代数方式，前四个为微分方程，后三个为代数方程，共七个方程构成一封闭方程，可求得七个未知量程，共七个方程构成一封闭方程，可求得七个未知量 约束条件是约束条件是A A1 1与与A A2 2点重合以及点重合以及D D点在点在x x轴上，轴上，由此得到约束方程为由此得到约束方程为 0sin)(0

17、)sin(sin0)cos(cos111llylyrlxrccc(1.3) 所以，采用这种方法将使微分代数方程组中的方程数目所以，采用这种方法将使微分代数方程组中的方程数目增多，但每个方程的建立则要简单得多。增多，但每个方程的建立则要简单得多。 211,YYXyxcc 14 虚拟样机技术虚拟样机技术 虚拟样机技术又称为虚拟样机技术又称为机械系统动态仿真技术机械系统动态仿真技术，是国，是国际上际上2020世纪世纪8080年代随着计算机技术的发展而迅速发展起年代随着计算机技术的发展而迅速发展起来的一项计算机辅助工程（来的一项计算机辅助工程（CAECAE）技术。工程师在计算机）技术。工程师在计算机上

18、上建立样机模型建立样机模型，对模型进行各种，对模型进行各种动态性能分析动态性能分析，然后，然后改进改进样机设计方案样机设计方案，用数字化形式代替传统的实物，用数字化形式代替传统的实物样机样机实验。实验。 运用虚拟样机技术，可以运用虚拟样机技术，可以大大简化大大简化机械产品的设计机械产品的设计开发过程，开发过程，大幅度缩短大幅度缩短产品开发周期，产品开发周期，大量减少大量减少产品开产品开发费用和成本，明显发费用和成本，明显提高提高产品质量，产品质量，提高提高产品的系统级产品的系统级性能，获得最优化和创新的设计产品。性能，获得最优化和创新的设计产品。 机械系统动力学自动分析软件机械系统动力学自动分

19、析软件ADAMSADAMS (Automatic Dynamic Analysis of Mechanical Systems) (Automatic Dynamic Analysis of Mechanical Systems)是美国是美国MDIMDI公司公司(Mechanical Dynamics lnc.)(Mechanical Dynamics lnc.)开发的著名的开发的著名的虚拟样机分析软件。虚拟样机分析软件。 ADAMSADAMS一方面是虚拟样机分析的应用软件，用户可以运一方面是虚拟样机分析的应用软件，用户可以运用该软件非常方便地对虚拟机械系统进行用该软件非常方便地对虚拟机械系统

20、进行静力学静力学、运动学运动学和和动力学动力学分析分析; ;另一方面，它又是虚拟样机分析另一方面，它又是虚拟样机分析开发工具开发工具，其开放性的程序结构和多种接口，可以成为特殊行业用户其开放性的程序结构和多种接口，可以成为特殊行业用户进行特殊类型虚拟样机分析的进行特殊类型虚拟样机分析的二次开发工具平台二次开发工具平台。 虚拟样机虚拟样机仿真分析基本步骤仿真分析基本步骤如图如图1-31-3所示。所示。 仿真分析基本步骤仿真分析基本步骤虚拟样机仿真分析虚拟样机仿真分析机械系统机械系统建模建模l几何建模几何建模l施加约束施加约束运动副和运动参数运动副和运动参数l施加载荷施加载荷仿真仿真分析分析l设置

21、测量和仿真输出设置测量和仿真输出l进行仿真分析进行仿真分析仿真结果仿真结果分析分析l回放仿真结果回放仿真结果l绘制仿真结果曲线绘制仿真结果曲线 仿真分析基本步骤仿真分析基本步骤否否是是改进机械改进机械系统模型系统模型l增加摩擦力，改进载荷函数增加摩擦力，改进载荷函数l定义柔性物体和连接定义柔性物体和连接l定义控制定义控制验证仿真验证仿真分析结果分析结果分析分析l输入实验数据输入实验数据l添加实验数据曲线添加实验数据曲线与实验结果一致与实验结果一致重复仿真重复仿真分析分析l设置可变参数点设置可变参数点l定义设计变量定义设计变量机械系统机械系统优化分析优化分析l进行主要设计影响因素研究进行主要设计

22、影响因素研究l进行试验设计研究进行试验设计研究l进行优化研究进行优化研究 第二章第二章 动力学动力学基本概念基本概念 2 21 1 非自由系统的约束非自由系统的约束 2 21 11 1 完整约束与非完整约束完整约束与非完整约束 2 21 12 2 定常约束与非定常约束定常约束与非定常约束 2 22 2 广义坐标和自由度广义坐标和自由度 2 22 21 1 广义坐标广义坐标 2 22 22 2 用广义坐标表示的非完整约束方程用广义坐标表示的非完整约束方程 2 22 23 3 坐标变分和自由度坐标变分和自由度 21 非自由系统的约束 多个质点的集合可以组成一个质点系多个质点的集合可以组成一个质点系

23、统，根据系统的运动是否受到预先规定的统，根据系统的运动是否受到预先规定的几何及运动条件的几何及运动条件的制约制约，可以分为，可以分为自由系自由系统统和和非自由系统非自由系统。 对于非自由系统，那些预先规定的、对于非自由系统，那些预先规定的、与初始条件及受力条件无关的、限制系统与初始条件及受力条件无关的、限制系统的几何位置或的几何位置或( (和和) )速度的速度的运动学条件运动学条件称为称为约束约束。约束有多种形式，这里只介绍其中。约束有多种形式，这里只介绍其中两类。两类。 2 21 11 1 完整约束与非完整约束完整约束与非完整约束 仅仅限制系统的几何位置仅仅限制系统的几何位置( (也称位形也

24、称位形) )的约束的约束称为称为完整约束。完整约束。完整约束又称为完整约束又称为几何约束几何约束。若不仅限制系统的若不仅限制系统的位形位形而且还限制系统的而且还限制系统的运动运动速度速度，这样的约束称为，这样的约束称为非完整约束非完整约束。 完整约束与非完整约束的表达完整约束与非完整约束的表达 约束方程的一般表达约束方程的一般表达式式 若用若用x xi i、y yi i、z zi i表示系统中某质点的笛卡尔直角表示系统中某质点的笛卡尔直角坐标，那么坐标，那么N N个质点组成的质点系统的完整约束的个质点组成的质点系统的完整约束的约束方程约束方程可写作可写作 0),(111111tzyxzyxzy

25、xzyxfNNNNNNk非完整约束的约束非完整约束的约束方程取微分的形式。一个由方程取微分的形式。一个由N N个个质点组成的系统的非完整约束方程可写作质点组成的系统的非完整约束方程可写作(2.1.2)(2.1.2)3;3, 2, 1 (Nrrkf fk k(x(x1 1，y y1 1,z,z1 1, x, x2 2，y y2 2,z,z2 2, x, xN N，y yN N,z,zN N,),)0 0 （k k1 1，2 2，3,3,r r r r3N3N） (2.1.1) (2.1.1) 图2-1 轮子的约束例例2.1 一个半径为一个半径为r r的轮子沿斜面向下作纯滚动，分析的轮子沿斜面向下

26、作纯滚动，分析轮子所受的约束。轮子所受的约束。 解：轮子所受的解：轮子所受的几何约束几何约束为为 (2.1.3)(2.1.3)又又运动条件的限制运动条件的限制是轮子作纯滚动时是轮子作纯滚动时P P点的速度为零点的速度为零, ,即即 (2.1.4)(2.1.4)或或 (2.1.5)(2.1.5)这一约束方程显然是可积分的，即这一约束方程显然是可积分的，即 (2.1.6)(2.1.6)故而轮子仍受故而轮子仍受完整约束完整约束，其约束方程为，其约束方程为(2.1.3)(2.1.3)式和式和(2(21 16)6)式。式。 纯滚动时轮子的约束纯滚动时轮子的约束ryc0rvc0crxc0rxc 例例2.2

27、 质点质点m1和和m2由一长由一长为为l的刚性杆相连，设的刚性杆相连，设该系统在图该系统在图2-22-2所示所示xoy平面内运动。若要平面内运动。若要求杆中点求杆中点C的速度保持的速度保持沿杆轴方向，分析该沿杆轴方向，分析该系统的约束情况。系统的约束情况。 图图2-2 平面运动杆的约束平面运动杆的约束 解：由于杆是刚性的，所以解：由于杆是刚性的，所以m1与与m2必须满足的必须满足的几何约几何约束束是是 (x1x2)2十十(y1y2)2l2 (217)而而运动约束运动约束是是C点的速度必须沿杆轴方向，即点的速度必须沿杆轴方向，即平面运动杆的约束平面运动杆的约束12121212xxyyxxyy(2

28、(21 18)8)(2(21 18)8)式说明系统受到一个式说明系统受到一个非完整约束非完整约束。 tgxxyyxycc1212代入代入Ml，M2 2的坐标即为的坐标即为 我们经常遇到的系统一般我们经常遇到的系统一般是非完整系统是非完整系统。非完整约束。非完整约束又分为又分为一阶线性非完整约束一阶线性非完整约束、一阶非线性非完整约束一阶非线性非完整约束、二二阶非完整约束阶非完整约束等。等。 N N个质点的系统受到个质点的系统受到k k个一阶线性非完整约束时，其约束个一阶线性非完整约束时，其约束方程可以写作方程可以写作 非完整约束的类型非完整约束的类型或写成或写成 (2.1.10)(2.1.10

29、)0)(dtdzcdybdxaiiiiiNii(2.1(2.19) 9) 0)(dzcybxaiiiiiNii), 2 , 1(k 2 21 12 2 定常约束与非定常约束定常约束与非定常约束 约束方程中约束方程中不显含不显含时间时间t t的约束称为的约束称为定常约束定常约束。约束方程中约束方程中显含显含时间时间t t的约束称为的约束称为非定常约束非定常约束。 例如由方程例如由方程 所确定的约束为所确定的约束为非定常约束。非定常约束。 )(2222tlzyx(2(21 112)12)2222lzyx (2 (21 111)11)例如由方程例如由方程 所确定的约束为所确定的约束为定常约束定常约束

30、。 例例2.3 例2.3 设质点设质点M所系绳子穿过所系绳子穿过o点，如图点，如图2-3所示，绳子另一端以一匀速所示，绳子另一端以一匀速v拉动拉动使使M在在xy平面内运动。试讨论平面内运动。试讨论M的约的约束。束。图图2-3 质点质点M的非定常约束的非定常约束解解: :设设M的起始位置为的起始位置为l0 0，则它到，则它到o点的距离点的距离l将随时间变化。其约束将随时间变化。其约束方程为方程为 x2 2+ +y2 2( (l0 0- -vt) )2 2 (2 (21 113)13)显然，显然，M M所受的约束所受的约束是非定常约束是非定常约束。 .362 22 2 广义坐标和自由度广义坐标和自

31、由度 图图2-4 动点动点M的位置的位置2 22 21 1 广义坐标广义坐标 我们习惯于用笛卡尔直角坐标系来描述系统的几何位置即我们习惯于用笛卡尔直角坐标系来描述系统的几何位置即位形。然而，根据问题的不同，位形。然而，根据问题的不同，不一定非得不一定非得采用长度坐标参数采用长度坐标参数来描述系统的几何位置。来描述系统的几何位置。例如，描述作平面运动的例如，描述作平面运动的动点动点M的的几何位置几何位置的参数可以用：的参数可以用： 直角坐标直角坐标( (x，y) )， 极坐标极坐标( (，r) )， 参数参数( (A，) )，等等。，等等。 这就是说，动点这就是说，动点M的几何位置可以的几何位置

32、可以用用不同的参数组来描述不同的参数组来描述，即有了选，即有了选择参数的余地。为此，引入择参数的余地。为此，引入广义坐广义坐标标的概念。的概念。 广义坐标的概念广义坐标的概念 所谓所谓广义坐标广义坐标，就是选择，就是选择一组互相独立的参数一组互相独立的参数q1 1，q2 2,，qn只要它们能够确定系统的位形，而不管这只要它们能够确定系统的位形，而不管这些参数的几何意义如何。这样的一组参数就称为广义些参数的几何意义如何。这样的一组参数就称为广义坐标。因此，上述中的坐标。因此，上述中的( (x，y) )，( (，r) )，( (A，) )等等都可以作为描述都可以作为描述M点的位形的广义坐标。可见，

33、广义点的位形的广义坐标。可见，广义坐标对于某一系统来讲坐标对于某一系统来讲不是唯一不是唯一的，或者说，可以任的，或者说，可以任意选取。广义坐标可以用下面的意选取。广义坐标可以用下面的通式通式表示表示 ri iri i( (q1 1，q2 2，qn, ,t) (2) (22 21)1)式中，式中，ri表示系统中第表示系统中第i个质点的位形个质点的位形；qj( (j1 1，2,2,n) )和和t是广义坐标。是广义坐标。 2 22 22 2 用广义坐标表示的非完整约束方程用广义坐标表示的非完整约束方程 一个由一个由N N个质点组成的系统的非完整约束方程可写作微分形个质点组成的系统的非完整约束方程可写

34、作微分形式。式。0),(111111tzyxzyxzyxzyxfNNNNNNkxi ixi i( (q1 1，q2 2，qn, ,t) ) yi iyi i( (q1 1，q2 2，qn, ,t) ) zi izi i( (q1 1，q2 2，qn, ,t) ) 速度的广义坐标表示速度的广义坐标表示 (1)速度的广义坐标表示 设设N个质点组成的系统有个质点组成的系统有n个广义坐标个广义坐标qj( (j1,1,n),),且且qjqj( (t) )，则系统中第，则系统中第i个质点的速度是个质点的速度是式中，相应地式中，相应地 称为称为广义速度广义速度。v可以写作如下投影形式可以写作如下投影形式tr

35、qqrrvijnjjii1(2(22 22)2)tzqqzzrvtyqqyyrvtxqqxxrvijnjjiiizzijnjjiiiyyijnjjiiixx111(2(22 23)3) jq 定常系统定常系统对于定常系统，因对于定常系统，因 (2(22 24)4)0tri所以，所以， (2(22 25)5)jnjjiiqqrrv1 图图2-5 点点M的速度的速度例2.4 空间中的一动点空间中的一动点M，若选取极坐标，若选取极坐标r、为广义坐为广义坐标，如图标，如图2-52-5所示，求所示，求M点在笛卡尔直角坐标系中的点在笛卡尔直角坐标系中的位置位置和速度。和速度。(2(22 27)7)coss

36、insincossinrzryrx(2(22 26)6)M点的位置是点的位置是222222222sinrrrzyxv(2(22 28)8)M点的速度为点的速度为sincoscossinsincossinsinsinsincoscoscossinrrzrrryrrrx于是于是M点的速度为点的速度为 (2)(2)用广义坐标表示的非完整约束方程用广义坐标表示的非完整约束方程 一阶线性非完整约束方程已由一阶线性非完整约束方程已由(2(21 19)9)式给出：式给出：把第把第i个质点的速度的广义坐标分量代入该式得到个质点的速度的广义坐标分量代入该式得到0)(dzcybxaiiiiiNii), 2 , 1

37、(k0)(111dtzqqzctyqqybtxqqxaijnjjiiijnjjiiijnjjiNii0)()(1dtzctybtxaqqzcqybqxaiiiiiNiinjjjiijiijiNiidtzctybtxaBqzcqybqxaAiiiiiNiiNijiijiijiij)()(101BqAnjjj01dtBdqAnjjj 图图2-6 微分和变分微分和变分2 22 23 3 坐标变分和自由度坐标变分和自由度 坐标的变分与坐标的微分是两个不同的概念。坐标的变分与坐标的微分是两个不同的概念。设某系统运动的微分方程的解是设某系统运动的微分方程的解是)(,),(11tqqtqqnn坐标的变分坐标

38、的变分则是指在某一时刻则是指在某一时刻t，qj本身在约束许可条件下的任意本身在约束许可条件下的任意的无限小增量。也就是系统的可的无限小增量。也就是系统的可能运动能运动( (图中的虚线所示图中的虚线所示) )与真实与真实运动在某时刻的差，记作运动在某时刻的差，记作qj 既有既有不同点不同点，也有，也有共同点共同点。 所谓坐标的微分是指在上式所描所谓坐标的微分是指在上式所描述的真实运动中坐标的无限小变述的真实运动中坐标的无限小变化，即经过化，即经过dtdt时间之后发生的坐时间之后发生的坐标变化标变化dqdqj j ( (图中实线部分图中实线部分) )由于都是坐标的无限小由于都是坐标的无限小变化，故

39、变分也表现出变化，故变分也表现出微分的形式，并且和微微分的形式，并且和微分分具有相同的运算规则具有相同的运算规则。 自由度计算 我们把系统独立的坐标变分数称为我们把系统独立的坐标变分数称为系统的自由度系统的自由度。如果系统是如果系统是自由的自由的，则其位形的确定要，则其位形的确定要3N3N个坐标。这些坐标自个坐标。这些坐标自然相互独立，其变分也相互独立，故然相互独立，其变分也相互独立，故自由度为自由度为3N3N。对于对于N N个质点组成的力学系统，如何计算自由度呢？个质点组成的力学系统，如何计算自由度呢？如果系统受到如果系统受到k k个完整约束个完整约束，那么在，那么在3N3N个坐标中，只有个

40、坐标中，只有3N-k3N-k个个相互独立，并且它们的变分也相互独立，故其相互独立，并且它们的变分也相互独立，故其自由度为自由度为3N-k3N-k个。个。如果系统为如果系统为非完整系统非完整系统、假设该系统除了、假设该系统除了k个完整约束个完整约束之外，之外，还受到还受到l个非完整约束个非完整约束，该系统独立的坐标数为，该系统独立的坐标数为3N-k个，但其个，但其独立的坐标变分数只有独立的坐标变分数只有3N-k-l个个 (由于由于l个微分形式约束的存个微分形式约束的存在在)，故，故系统的自由度为系统的自由度为3N-k-l个个。广义坐标数为广义坐标数为n，独立的坐标数，独立的坐标数, 独立的独立的

41、坐标变分数坐标变分数,系统的自由度之间的关系。系统的自由度之间的关系。 自由度计算综上所述，若一个系统的综上所述，若一个系统的广义坐标数为广义坐标数为n，则：，则：完整系统完整系统: n =独立的坐标数独立的坐标数 独立的坐标变分数独立的坐标变分数 系统的自由度。系统的自由度。非完整系统：非完整系统：n独立的坐标数独立的坐标数 独立的坐标变分数系统的自由度。独立的坐标变分数系统的自由度。 n 系统的自由度系统的自由度 例例25 一平面曲柄滑块机构，一平面曲柄滑块机构，A、B两点的位置可确定系统的位两点的位置可确定系统的位形，分析其自由度。形，分析其自由度。图图2-7 例例25 解：解： 这是一

42、个平面机构，这是一个平面机构，A、B共有共有2 2N4个坐标，系统要满足个坐标，系统要满足3 3个完整约束个完整约束 该系统没有非完整约束，因此是一个完整系统，其自由度数为该系统没有非完整约束，因此是一个完整系统，其自由度数为43431 1，独立的坐标数也是，独立的坐标数也是1 1。若选取。若选取为广义坐标，当为广义坐标，当给给定时，整个系统的位形也就确定了。定时，整个系统的位形也就确定了。0)()(222222BBABAAAylyyxxryx（2.2.152.2.15）0sincossincos222BBAAyrlrxryrx（2.2.162.2.16） 作业P12 习题习题2-1，2-4

43、3 31 1 刚体绕定点转动的欧拉定理刚体绕定点转动的欧拉定理 3 32 2 描述刚体定点转动的解析法描述刚体定点转动的解析法第三章 刚体定点转动运动学 刚体定点转动的方向余弦描述刚体定点转动的方向余弦描述 刚体定点转动的欧拉角描述刚体定点转动的欧拉角描述 刚体定点转动的广义欧拉角描述刚体定点转动的广义欧拉角描述 3 31 1 刚体绕定点转动的欧拉定理刚体绕定点转动的欧拉定理 方位和方位变化方位和方位变化设设o为刚体的固定点，刚体上某为刚体的固定点，刚体上某ABo可可完全确定刚体的方位。完全确定刚体的方位。 今今ABo转到转到ABO，存在一通过固定点，存在一通过固定点的轴的轴OC，当，当0A绕

44、绕OC转过一转过一角到达角到达0A时，时，ABO与与ABO一定完全重合，一定完全重合，这种这种转动通常称为转动通常称为刚体的一次转动刚体的一次转动或或欧拉转欧拉转动动，OC即为即为一次转轴一次转轴或或欧拉转轴欧拉转轴。 具有具有固定点的刚体固定点的刚体由某一由某一方位方位到另一方位的到另一方位的方位变方位变化化永远等价于永远等价于绕通过固定点的某轴绕通过固定点的某轴的一个的一个有限有限(转角转角)的的转动转动，这就是，这就是刚体绕定点转动的欧拉定理刚体绕定点转动的欧拉定理。 静锥和动锥如果将刚体的转动过程分为如果将刚体的转动过程分为若干时间间隔若干时间间隔，每一时刻，每一时刻欧拉转轴的位置显然

45、是不同的欧拉转轴的位置显然是不同的 。在某一时刻在某一时刻t ti i，当时间间隔，当时间间隔t00时时, ,oci称为刚体在称为刚体在ti时刻的时刻的瞬时转动轴瞬时转动轴，平均角速度向量的极值，平均角速度向量的极值i称为称为瞬时角速度向量瞬时角速度向量。瞬时转轴位置的不断变化瞬时转轴位置的不断变化在空间形成了以定点在空间形成了以定点O为顶为顶点的锥面，称之为点的锥面，称之为静瞬时锥面静瞬时锥面，简称，简称静锥静锥。 同时它同时它在刚体内部留下了轨迹，构成了在刚体内部留下了轨迹，构成了动瞬时锥面动瞬时锥面，它也是，它也是以以O为顶点的锥面，简称为顶点的锥面，简称动锥动锥。 刚体绕定点转动的过程

46、刚体绕定点转动的过程 刚体绕定点转动的过程刚体绕定点转动的过程可以看成是可以看成是一系列以角速度一系列以角速度i绕瞬时转动轴转动的合成绕瞬时转动轴转动的合成。也可以说，刚体做定点转动也可以说，刚体做定点转动时，动瞬时锥面在静瞬时锥时，动瞬时锥面在静瞬时锥面上以角速度面上以角速度( (t) )作无滑作无滑动的滚动，见图动的滚动，见图3232。 定点转动刚体上点的速度和加速度当刚体相对某动参考系以当刚体相对某动参考系以1转动而此动参考系又以转动而此动参考系又以2相相对定参考系转动，则刚体的运动可以看成绕某个对定参考系转动，则刚体的运动可以看成绕某个OC轴以角轴以角速度速度1 1十十2 2作转动，作

47、转动，OC即为即为的方向。这就是说，刚的方向。这就是说，刚体绕相交轴转动合成时，角速度的合成服从向量加法。体绕相交轴转动合成时，角速度的合成服从向量加法。 设刚体的瞬时角速度为设刚体的瞬时角速度为，则刚体上相对定点的向径为，则刚体上相对定点的向径为r的点的速度为的点的速度为rrvdtd(3.1.1)(3.1.1) (3.1.2)(3.1.2) vrdtdva其中，其中， 为刚体的角加速度；为刚体的角加速度； 称为转动加速称为转动加速度；度； 称为向心加速度。称为向心加速度。 dtd ratnav 32 描述刚体定点转动的解析法 上一节的讨论实际上是刚体定点转动的一种简上一节的讨论实际上是刚体定

48、点转动的一种简单的、几何的、定性的描述，本节详细介绍刚体单的、几何的、定性的描述，本节详细介绍刚体定点转动的定量的描述。定点转动的定量的描述。 刚刚体定点转动的方向余弦描述刚刚体定点转动的方向余弦描述 刚刚体定点转动的欧拉角描述刚刚体定点转动的欧拉角描述 刚刚体定点转动的广义欧拉角描述刚刚体定点转动的广义欧拉角描述 图图 3-3 i和和j 坐标系坐标系(1)方向余弦矩阵 假设以参考空间某一点假设以参考空间某一点O为原点，有两个笛卡尔直角坐标系为原点，有两个笛卡尔直角坐标系 o (简称简称i系系)和和oxyz(简称简称j系系)， 各坐标轴之间夹角的余弦值构成了一个方向余弦各坐标轴之间夹角的余弦值

49、构成了一个方向余弦矩阵矩阵A，它可以表示两坐标系之间的，它可以表示两坐标系之间的空间关系空间关系。 图图 3-3 i和和j 坐标系坐标系两坐标系之间的两坐标系之间的空间关系空间关系 如果以如果以j j系为参考系，系为参考系， i i系是由系是由j j系系绕绕O O点转动后的结果；同理，如果以点转动后的结果；同理，如果以i i系系为参考系，为参考系，j j系是由系是由i i系绕系绕O O点转动后的点转动后的结果结果. .)(jiee jiA)(ijijAee i相对相对j系的方系的方向余弦矩阵向余弦矩阵j相对相对i系的方系的方向余弦矩阵向余弦矩阵zyxji,zyxzyxzyxjieeeeeeee

50、eeeeeeeeeeA x y zeeeeeeeeeeeeeeeeeezyxAzzzyyyxxxij 展开：展开： 两矩阵之间的两矩阵之间的关系关系321321321)(nnnmmmllleeeeeeeeeeeeeeeeeeAzyxzyxzyxjijiee333222111)(nmlnmlnmleeeeeeeeeeeeeeeeeeAzzzyyyxxxijijee它们是两个正交矩阵，即它们是两个正交矩阵，即TjijiijAAA)()(1 矢量Q在不同空间中的表达和转换 假设在假设在j系和系和i系的原点有一系的原点有一空间向量空间向量Q( (见见图图3-3)3-3)。用。用Qi( (Q，Q，Q)表

51、示表示Q在在i系系中的位置，用中的位置，用Qj( (Qx，Qy，Qz) )表示表示Q在在j系中系中的位置的位置, ,则则Qj可用可用Qi来表示为来表示为 QnQmQlQQnQmQlQQnQmQlQzyx333222111三个分量在某轴三个分量在某轴上的投影之和上的投影之和iijzyxjQAQQQnmlnmlnmlQQQQ333222111其中其中l1、m1、n1分分别为别为j系的系的x轴与轴与i系的系的、三个轴夹角的余三个轴夹角的余弦值。其余类推。弦值。其余类推。 矩阵形式：矩阵形式：同理，同理，Qi可用可用Qj来表示为来表示为 jjiiQAQ (3.2.4)(3.2.4) 图图 3-3 i和

52、和j 坐标系坐标系 例3.1例例31 设在惯性空间有一固定不动的向量设在惯性空间有一固定不动的向量Q，在，在i系中的位置为系中的位置为ri(0，1，0)T当坐标系统当坐标系统轴转动轴转动90之后得到之后得到j系系oxyz(见图见图3-4)求求Q在在j系中的位置系中的位置rj。 图3-4解：因为解：因为j系相对系相对i系的方向余弦矩阵系的方向余弦矩阵 010100001333222111nmlnmlnmlAij100010010100001iijjrAr 图3-5例3.2例例3 32 2 在上例中，若在上例中，若Q与与j系固连，当系固连，当j系从与系从与i系重合状态绕系重合状态绕轴正向转动轴正向

53、转动9090后，求后，求Q在在i系中的位置系中的位置ri( (见图见图3-5)3-5)。 解：因解：因Q与与j系固连，所以系固连，所以 rj(0(0，1 1，0)0)T T由上例已知，由上例已知，j系绕系绕轴正向转动轴正向转动9090之后，之后，也意味着也意味着i系绕系绕x轴负向转动轴负向转动9090，即，即 010100001ijA010100001jiA100010010100001jjiirAr 分析结论由上面的例子可以看出，刚体由上面的例子可以看出，刚体作定点转动时，如果我们在定作定点转动时，如果我们在定点点O建立两个坐标系建立两个坐标系: :一个为惯一个为惯性参考系即性参考系即定参考

54、系定参考系，以下简，以下简称称定系定系；另一个为与刚体固连；另一个为与刚体固连的坐标，即的坐标，即动坐标系动坐标系，以下简，以下简称称动系动系，那么，那么刚体的空间位刚体的空间位置可以通过两个坐标之间的方置可以通过两个坐标之间的方向余弦矩阵来描述向余弦矩阵来描述。由于方向。由于方向余弦矩阵余弦矩阵9 9个元素中只有个元素中只有3 3个是个是独立的，因此，独立的，因此，刚体定点转动刚体定点转动具有具有3 3个自由度个自由度。 图图3-6 定点转动的刚体坐标系定点转动的刚体坐标系 (2)连续转动的合成 根据前面的讨论，刚体的每次转动都可以用后次相对前根据前面的讨论，刚体的每次转动都可以用后次相对前

55、次的坐标变换即次的坐标变换即方向余弦方向余弦来描述，那么多次转动的合成如何来描述，那么多次转动的合成如何用用方向余弦矩阵方向余弦矩阵来描述？来描述？ 用用Q表示刚体，假设开始时表示刚体，假设开始时动系动系oxyz与定系与定系o重合，重合，刚体第一次转动之后动系为刚体第一次转动之后动系为ox1y1z1 (1 (1系系) )，第二次转动之后，第二次转动之后动系为动系为ox2 2y2 2z2 2 (2 (2系系) )，Q相对定相对定系为系为ro o，相对，相对1 1系为系为r1 1；相对；相对2 2系系为为r2 2，1 1系相对定系、系相对定系、2 2系相对系相对1 1系的方向余弦矩阵分别为系的方向

56、余弦矩阵分别为1 1A0 0和和2 2A1 1， 图图3-7 3-7 刚体的连续转动刚体的连续转动 连续转动矩阵0011rAr 1122rAr 002001122rrrAAA011202AAA 211020AAA 2 2A0 0表示表示2 2系相对定系的空间关系，系相对定系的空间关系，0 0A2 2表示定系相对表示定系相对2 2系的空间关系。系的空间关系。 由此可见，由此可见，若把刚体若把刚体( (动系动系) )的每次绕定点的有限转动视为的每次绕定点的有限转动视为动系的一次坐标变换，则刚体两次有限转动时，其合成转动系的一次坐标变换，则刚体两次有限转动时，其合成转动的方向余弦矩阵为两次分转动的方

57、向余弦矩阵的顺次乘动的方向余弦矩阵为两次分转动的方向余弦矩阵的顺次乘积。多次转动也具有同样的变换规律积。多次转动也具有同样的变换规律。 例33 空间中一固定不动的向量空间中一固定不动的向量Q，在定系，在定系o中为中为r0 0(0,1,0)(0,1,0)T T。动系动系0 xyz开始时与定系重合。开始时与定系重合。第一次第一次绕绕轴转轴转9090，得到动系，得到动系ox1 1y1 1z1 1；第二次第二次接着绕接着绕y1 1轴转轴转9090，得到动系，得到动系ox2 2y2 2z2 2。求合。求合成转动的成转动的方向余弦矩阵方向余弦矩阵2 2A0 0，并求，并求Q在在ox2 2y2 2z2 2中

58、的位置中的位置( (见图见图3-8)3-8)。 图3-8 例3.3 解： 由两次给定的转动，可以求得由两次给定的转动，可以求得ox1 1y1 1z1 1系相对定系和系相对定系和ox2 2y2 2z2 2系相对系相对ox1 1y1 1z1 1系的方向余弦矩阵分别为系的方向余弦矩阵分别为 01010000101A00101010012A001100010010100001001010100011202AAA0010100011000100022rrAQ Q在在oxox2 2y y2 2z z2 2中得位置中得位置r2 2需要强调的是，需要强调的是，刚体连续转动刚体连续转动时，其时，其方向余方向余弦

59、矩阵的合成弦矩阵的合成与转动的顺序与转动的顺序是有关的是有关的。也。也就是说，在一就是说，在一般情况下，顺般情况下，顺序是不可交换序是不可交换的，即的，即 B B1 1B B2 2BB2 2B Bl l 三次连续转动三次连续转动假设：假设：第一次绕第一次绕x轴转过轴转过角，角，第二次绕第二次绕y1 1轴转过轴转过角，角，第三次绕第三次绕z2 2轴转过轴转过角角每次动系相对前一次动系每次动系相对前一次动系的变换矩阵：的变换矩阵： 考虑更一般的情况，具有固定点的刚体作考虑更一般的情况，具有固定点的刚体作三次连续转动三次连续转动csscA00001csscA0010010000csscA三次合成的结

60、果三次合成的结果A 角度角度( (如如角角) )的正弦和余弦记为的正弦和余弦记为s和和c 绕动系坐标轴转动的三次合成cccssssccssssccsccscsscssscccAAAA以上讨论的三次转动都是以上讨论的三次转动都是绕动系的当时坐标轴即绕动系的当时坐标轴即“体轴体轴”进行进行的。如果转动是的。如果转动是绕定系的坐标轴绕定系的坐标轴即参考轴进行的，结果会是什即参考轴进行的，结果会是什么样的呢么样的呢? ?绕静系坐标轴转动的二次合成绕静系坐标轴转动的二次合成 绕静系坐标轴转动的二次合成 为了使讨论简单又能得到明确的结论，仅考虑两次对应的为了使讨论简单又能得到明确的结论，仅考虑两次对应的转