理论力学-空间力系(机械11)

1、1第三章第三章空空 间间 2 本章本章主要讨论主要讨论：空间力系的空间力系的合成合成与与平衡平衡问题。问题。研究的方法与研究平面力系的方法类似。研究的方法与研究平面力系的方法类似。将平面力系中的一些概念在空间力系中将平面力系中的一些概念在空间力系中 推广。推广。3本章本章主要内容主要内容：43 - 1 空间汇交力系空间汇交力系本节的主要内容有：本节的主要内容有： 空间力的投影；空间力的投影； 空间汇交力系的合成与平衡。空间汇交力系的合成与平衡。1.1.力在直角坐标轴上的投影和力沿直角坐标轴的分解力在直角坐标轴上的投影和力沿直角坐标轴的分解(1) (1) 直接投影法直接投影法cosFX cosF

2、Y cosFZ 也称为一次投影法也称为一次投影法5 间接投影法间接投影法 sinFFyx sinxyFY cosFZ cosxyFX cossinF sinsinF 也称为二次投影法。也称为二次投影法。 在实际应用中，二次投影法用得较在实际应用中，二次投影法用得较多，应熟练掌握。多，应熟练掌握。显然，显然，由力的投影计算力的大小和方向由力的投影计算力的大小和方向,222ZYXF ,cosFX,cosFYFZcos6 与平面汇交力系类似，可将空间汇交力系合成为与平面汇交力系类似，可将空间汇交力系合成为一个合力。一个合力。2. 2. 空间汇交力系的合成力和平衡空间汇交力系的合成力和平衡nRFFFF

3、21,XFRxiF由合力投影定理，合力的投影为：由合力投影定理，合力的投影为：,YFRy ZFRz7合力的投影为：合力的投影为：, XFRx, YFRy ZFRz求出合力的投影后，即可得到合力的大小和方向求出合力的投影后，即可得到合力的大小和方向,cosRRxFF222RzRyRxRFFFF ,cosRRyFFRRzFFcos8空间汇交力系的平衡条件空间汇交力系的平衡条件空间汇交力系空间汇交力系的的平衡方程平衡方程受空间汇交力系作用的刚体，平衡受空间汇交力系作用的刚体，平衡0 RF0X0Y而而0 RF0Z空间汇交力系有空间汇交力系有3个个独立的独立的平衡方程平衡方程，可解，可解3个个未知量。未

4、知量。9例题例题1 1 已知已知：Q=20 kN，AB = 3 m, AE=AD=4m, ABC在在yAz平平面内，角度如面内，角度如图，杆重不计图，杆重不计。解解：ABCQEDxyz45454560FACFT求求：BE, BD绳中张力及绳中张力及AB杆的受力。杆的受力。1) 取取C铰链为研究对象，铰链为研究对象，受力如图受力如图10建立建立x(垂直垂直AC）坐标轴坐标轴如图。如图。列平衡方程：列平衡方程：0 x15sinTFABCQEDxyz45454560FACFTx451545sinQkN654. TF011列平衡方程：列平衡方程：0 x45sincosDFABCQEDxyz454545

5、60FACFT2) 取取B铰链铰链为研究对象，为研究对象，受力如图。受力如图。设设 角如图角如图EDFF 60sinTFFTFABFEFD45sincosEF0 y45coscosDF45coscosEF0因为因为54 coskN8 .41EDFF0 12ABCQEDxyz45454560 FACFTFTFABFEFD:0 zABF 60cosTF sinDF2 0因为因为53 sinkN922. ABF133-2 3-2 力对点的矩和力对轴的矩力对点的矩和力对轴的矩1.力对点的矩用矢量表示力对点的矩用矢量表示力矩矢力矩矢是是矢量矢量u 大小：大小：u 指指向：向：u 作用点作用点 在矩心在矩

6、心O点点)(FMOFhl 力对点的矩的矢积表达式力对点的矩的矢积表达式)(FMOFr力对点之矩力对点之矩)(FM0按右手法则确定按右手法则确定, ,rF 是是定点矢量定点矢量)(FM014验证：验证：u大小：大小：u指指向：向：)(FMO sinFr Fh 按右手法则确定按右手法则确定, ,rF 力作用点的矢径力作用点的矢径r)(FMOFr15l 力对点的矩的解析表达式力对点的矩的解析表达式l（略）（略）2.2.力对轴的矩力对轴的矩161.1.力对轴的矩的定义力对轴的矩的定义)(FzM)(xyOMFhFxy 正负号规定正负号规定u 力对轴之矩是力对轴之矩是代数量。代数量。 力对轴之矩力对轴之矩

7、大小等于该大小等于该力在垂直于该轴的平面上力在垂直于该轴的平面上的投影对该平面与该轴交的投影对该平面与该轴交点的矩点的矩17u 讨论讨论(1) Fxy = 0)(FzM)(xyOMFhFxy(2) h=0什么情况下什么情况下0)(FzM 平行于平行于 z 轴轴F 的作用线通过的作用线通过 z 轴轴F 的作用线通过的作用线通过 z 轴轴F 平行于平行于 z 轴轴F 与与 z 轴共面轴共面F18l 力对轴的矩的解析式力对轴的矩的解析式zYyZMx)(FxZzXMy)(FyXxYMz)(FXxyFY193.3.力对点的矩与力对轴的矩的关系力对点的矩与力对轴的矩的关系 )()(FMFMzz 0 )()

8、(FMFMxx 0 )()(FMFMyy 0将矢量运算转变成代数运算将矢量运算转变成代数运算20l 这样，这样，力对点的矩的计算力对点的矩的计算可以利用力对轴的矩来计算。可以利用力对轴的矩来计算。222)()()()(FFFFMzyxOMMMkFjFiFFM)()()()(OzyxMMM,)()(cos0FMFMx,)()(cos0FMFMy)()(cos0FMFMz213-3 3-3 空间力偶系空间力偶系本节的主要内容有：本节的主要内容有： 1. 空间力偶用矢量表示，空间力偶等效定理；空间力偶用矢量表示，空间力偶等效定理； 2. 空间力偶系的合成与平衡。空间力偶系的合成与平衡。221.1.力

9、偶矩以矢量表示力偶矩以矢量表示- -力偶矩矢力偶矩矢 由由平面力偶平面力偶理论知：理论知： 力偶对刚体的作用效应取决于力偶的力偶对刚体的作用效应取决于力偶的力偶矩力偶矩； 同平面内的两个力偶等效的条件是：两力偶的同平面内的两个力偶等效的条件是：两力偶的力偶矩力偶矩的的代数值代数值相等；相等； 力偶的力偶矩的大小和力偶的转向不变条件下，力偶力偶的力偶矩的大小和力偶的转向不变条件下，力偶可在力偶平面内任意移转；可同时改变力偶中力的大小可在力偶平面内任意移转；可同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，不改变原力偶对刚体的作用效应。和力偶臂的长短，不改变原力偶对刚体的作用效应。 对于空间力偶，各力偶的作

10、用面可以不同，所对于空间力偶，各力偶的作用面可以不同，所以以, ,需讨论需讨论力偶作用面力偶作用面对力偶作用效果的影响。对力偶作用效果的影响。23l 性质性质 空间力偶除了具有平面力偶的性质外，还有如下空间力偶除了具有平面力偶的性质外，还有如下的性质的性质; ;空间力偶的空间力偶的作用面作用面可以可以平行移动平行移动，而不改变其对刚，而不改变其对刚体的作用效果。体的作用效果。24实例：实例：u 开门拧门把手，在门内或门外拧，效果相同；开门拧门把手，在门内或门外拧，效果相同；u 用螺丝刀拧螺丝，效果与起子柄的长短无关。用螺丝刀拧螺丝，效果与起子柄的长短无关。? ?问题：问题：在不平行的平面之间，

11、力偶可否等效移动？在不平行的平面之间，力偶可否等效移动？ 25空间力偶三要素：空间力偶三要素：所以：所以：力偶力偶作用面作用面的的方位方位也是决定力偶作用效果的要素也是决定力偶作用效果的要素. .力偶矩的力偶矩的大小大小， 力偶的力偶的转向转向， 力偶作用面的力偶作用面的方位方位. .大小：大小：方位：方位：沿力偶作用面的法线沿力偶作用面的法线转向：转向：由右手法则决定由右手法则决定l 力偶矩矢量力偶矩矢量M =F dM26u研究表明，力偶对刚体的作用完全研究表明，力偶对刚体的作用完全可以由力偶矩矢量决定。可以由力偶矩矢量决定。u 力偶矩矢量是力偶矩矢量是自由矢量自由矢量。u 力偶力偶对空间中

12、任一点的矩对空间中任一点的矩都等于其都等于其力偶矩矢量力偶矩矢量。27由由平面力偶等效定理平面力偶等效定理和上面介绍的性质，可以和上面介绍的性质，可以得到一般情况下的得到一般情况下的力偶等效定理。力偶等效定理。2.2.力偶等效定理力偶等效定理两力偶等效两力偶等效两力偶矩矢量相等两力偶矩矢量相等3.3.空间力偶系的合成与平衡条件空间力偶系的合成与平衡条件l 空间力偶系的合成空间力偶系的合成力偶矩矢量是力偶矩矢量是自由矢量自由矢量。所以。所以: :空间力偶系的合成与空间力偶系的合成与空间汇交力系空间汇交力系的合成的方法相同。的合成的方法相同。28, ixxMM, iyyMM izzMM,cosMx

13、M,222zyxMMMM ,cosMyMMzMcos29l 空间力偶系的平衡条件空间力偶系的平衡条件空间力偶系空间力偶系的的平衡方程平衡方程受空间力偶系作用的刚体，平衡受空间力偶系作用的刚体，平衡0M0 xM0yM而而0M0zM空间力偶系有空间力偶系有3个个独立的独立的平衡方程平衡方程，可解，可解3个个未知量。未知量。303-4 3-4 空间任意力系向一点的简化，主矢和主矩空间任意力系向一点的简化，主矢和主矩空间任意力系的简化方法与平面任意力系的简空间任意力系的简化方法与平面任意力系的简化方法相同。化方法相同。力的平移定理中的力的平移定理中的附加力偶附加力偶用用矢量矢量表示。表示。空间任意力系

14、的简化空间任意力系的简化将各力向简将各力向简化中心平移化中心平移任选一个任选一个简化中心简化中心OO31其中：其中：,11FF,22FFnnFF,),(11FMMO空间任意力系的简化空间任意力系的简化将各力向简将各力向简化中心平移化中心平移任选一个任选一个简化中心简化中心OO,),(22FMMO)(nOnFMM32+ + +合力合力 iRFF作用于作用于O点点合力偶合力偶)(FMMM 00O33结论结论 空间任意力系向一点空间任意力系向一点O O简化，可得简化，可得一力一力和和一一力偶力偶，该力的大小和方向等于力系的，该力的大小和方向等于力系的主矢主矢，作用作用于简化中心于简化中心；该力偶的力

15、偶矩等于；该力偶的力偶矩等于力系对力系对O O点的点的主矩主矩。 向向不同的点不同的点简化时，所得的简化时，所得的主矢的大小、方向同；主矢的大小、方向同； 向向不同的点不同的点简化时，所得的简化时，所得的主矩一般不同主矩一般不同。342. 2. 空间任意力系的简化结果分析空间任意力系的简化结果分析 此时，原力系与一个力偶等效，合成为此时，原力系与一个力偶等效，合成为合力偶合力偶。在这种情况下，在这种情况下，主矩主矩与简化中心的位置与简化中心的位置无关无关。000 MFR,1）.000 MFR,2）.此时，原力系与一个力等效，合成为此时，原力系与一个力等效，合成为合力合力。35这时，需进一步讨论

16、。这时，需进一步讨论。RoFMd (1)0MFR 000 MFR,3.36 此时无法再进一步简此时无法再进一步简化，这种化，这种共线的共线的一个一个力力与与一个力偶一个力偶的的集合集合称为称为力螺旋力螺旋。右手右手力螺旋力螺旋左手左手力螺旋力螺旋(2)0MFR/ 000 MFR,3）.(1)0MFR 37实例实例：用螺丝刀拧螺丝：用螺丝刀拧螺丝：钻床对钻头的作用；钻床对钻头的作用；气流对飞机螺旋桨的作用。气流对飞机螺旋桨的作用。38RoFdM RoFM sin 简化为简化为力螺旋力螺旋(3) 与与 成任角度成任角度 RF 0M (2)0MFR/ 000 MFR,3）.(1)0MFR 39合力矩

17、定理合力矩定理)()(FMFMoRo 合力矩定理合力矩定理平衡平衡000 MFR,3）. 若力系有合力，则合力对任一若力系有合力，则合力对任一点点( (轴轴) )的的矩等于各分力对同一点矩等于各分力对同一点( (轴轴) )的矩的的矩的矢量和矢量和( (代数和代数和) )。 对轴的合力矩定理对轴的合力矩定理)()(FFzRzMM40力系简化结果力系简化结果小结小结力系简化的可能结果：力系简化的可能结果：1 1平衡平衡2 2合力偶合力偶只有只有当主矢为零当主矢为零 时，才可能为合力偶。时，才可能为合力偶。3 3合力合力只有只有当主矢不为零当主矢不为零 时，才可能为合力。时，才可能为合力。如主矢和主

18、矩都不为零，则只有当主矢与主如主矢和主矩都不为零，则只有当主矢与主矩垂直时，才能合成为合力。矩垂直时，才能合成为合力。4 4力螺旋力螺旋当主矢和主矩都不为零，且不垂直时，简化当主矢和主矩都不为零，且不垂直时，简化结果为力螺旋。这是最一般的情况。结果为力螺旋。这是最一般的情况。413-5 3-5 空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程受受空间任意力系空间任意力系作用的作用的刚体刚体，平平 衡衡0RF0OM空间任意力系有空间任意力系有六个独立的平衡六个独立的平衡方程，方程，可解六个可解六个未知量。未知量。平衡方程也有四平衡方程也有四矩式、五矩式、矩式、五矩式、六矩式。六矩式。1.1.平衡方程

19、平衡方程0X0)(FxM0Y0Z0)(FyM0)(FzM42空间任意力系的平衡方程，是平衡方程的最空间任意力系的平衡方程，是平衡方程的最一般的形式。一般的形式。其它各种力系的平衡方程，都是空间任意力系平其它各种力系的平衡方程，都是空间任意力系平衡方程的特例。衡方程的特例。u 空间空间平行力系平行力系的平衡方程的平衡方程设各力平行设各力平行z轴，则在空间轴，则在空间任意力系的六个方程中任意力系的六个方程中则平衡方程仅则平衡方程仅0X0Y0)(FzM0)(FxM0Z0)(FMy432.2.空间约束类型举例空间约束类型举例FAyFAz44FAyFAzFAxFAyFAzFAx4546求皮带张力及求皮带

20、张力及 轴承轴承A、B的约束反力。的约束反力。2/21TT3.3.空间力系平衡问题举例空间力系平衡问题举例47FAxFAzFBxFBz0X0Z030cos)(21TTFFBxAx030sin)(21GTTFFBzAz48FAxFAzFBxFBz0)(FMy021 GrRTT)(0)(FxM0306030121 GTTFBz.sin)(0)(FzM06030121 .cos)(TTFBx49KNT101 KNT52 KNFAx25. KNFAz8 KNFBz54. KNFBx87. 50 xyABCQr2r11m 1m1mPzxy PACr2r1例题例题已知已知：P=1kN , = =60, r

21、1=0.2 m , r2=0.5 m, 不计轴的自重不计轴的自重。求：求：平衡时平衡时 Q=? 及及A, B处的约束反力处的约束反力。 解解： 取整体，受力如图。取整体，受力如图。FBxFByFBzFAxFAyFTFT1rFT0)(FzM2cosrP0Pxy51xyABCQr2r11m 1m1mPzFBxFByFBzFAxFAyFTxy PACr2r1FTPyPxN1250TFQ0)(FyM3AxFN3 .208AxF0XsinPsin2r 1coscosP0PzPxy AxFcoscosPBxF0N7 .41BxF523AyFN5 .905AyF0)(FxM1sincosP2TFcossin

22、2rP00YAyFTFByFsincosP0N5 .777ByF0ZBzFN866BzFsinP0 xyABCQr2r11m 1m1mPzFBxFByFBzFAxFAyFTxy PACr2r1FTPyPxPzPxy 533-6 3-6 重心重心重心重心 物体各部分所受重力的物体各部分所受重力的合力合力作用点作用点。重力场：重力场： 近似的平行力场。近似的平行力场。重心：平行力系的合力作用点。重心：平行力系的合力作用点。重心在重心在工程中工程中的的意义意义：(1)重心位置影响物体的平衡与稳定性；重心位置影响物体的平衡与稳定性；(2)对于高速旋转机械，若重心不在转轴上，将对于高速旋转机械，若重心不

23、在转轴上，将会引起剧烈振动，甚至引起破坏。会引起剧烈振动，甚至引起破坏。所以，确定重心的位置很重要。所以，确定重心的位置很重要。1 重心的概念重心的概念542 重心坐标公式重心坐标公式设坐标系与物体固连设坐标系与物体固连,iPP用合力矩定理求重心坐标。用合力矩定理求重心坐标。重心坐标为重心坐标为xc , yc , zc 。总的重力为总的重力为 P，显然：，显然：小微块的重力为小微块的重力为 Pi ，求求 xc ，用对用对y轴的合力矩定理轴的合力矩定理CxPPxPciixiixP55求求 yc ，用对用对x轴的合力矩定理轴的合力矩定理PyPciiy CyP iiyP求求 zc ，将各力的方向转过

24、将各力的方向转过9090度，度，然后用对然后用对x轴的合力矩定理轴的合力矩定理PzPciizCzP iizPPPi56重心坐标公式为：重心坐标公式为：PxPciix PyPciiy PzPciiz u 重心坐标用积分表示重心坐标用积分表示设物体的单位体积的重量为设物体的单位体积的重量为 ，则有：，则有：,dd VVVVxcx ,dd VVVVycy VVVVzczdd 57u 均质物体均质物体的重心的重心对均质物体，其对均质物体，其单位体积的重量单位体积的重量 为为常数常数，有：，有：,VPiiVP代入求和形式的重心坐标公式代入求和形式的重心坐标公式，得到：，得到：形心坐标形心坐标公式。公式。

25、均质物体的重心均质物体的重心与形心重合与形心重合。VVxciixVVyciiyVVzciizVVxVdVVyVdVVzVd58u 均质等厚薄板均质等厚薄板( (壳壳) )的重心的重心设厚度为设厚度为t t，则有：，则有：,StV iiStV所以均质等厚薄板所以均质等厚薄板( (壳壳) )的重心为的重心为：SSxciixSSyciiySSzciizSSxSdSSySdSSzSd59u 均质等截面线段均质等截面线段的重心的重心设截面为设截面为 S，则有：，则有：, lSV iilSV所以均质等截面线段的重心为所以均质等截面线段的重心为：llxciixllyciiyllzciizllxldllyld

26、llzld60重力可以表示为：重力可以表示为：,mgP gmPii代入重心坐标公式，有：代入重心坐标公式，有：认为重力加速度为常数时，有：认为重力加速度为常数时，有： 质心坐标公式质心坐标公式在重力场中，在重力场中，认为重认为重力加速度为常数时，力加速度为常数时，质心与重心重合质心与重心重合。u 质心坐标公式质心坐标公式mxmciixmymciiymzmciizPxPciixmgxgmii613 3 确定物体重心的方法确定物体重心的方法(1) (1) 简单几何形体的重心简单几何形体的重心用定积分计算。用定积分计算。 高等数学高等数学定积分的应用定积分的应用中已介绍。中已介绍。见书上表见书上表4 -2 4 -2 简单形体重心表简单形体重心表(P(P9595) )。(2) (2) 均质对称物体的重心均质对称物体的重心若若均质均质物体具有物体具有对称对称面面, , 则重心必在此则重心必在此对称对称面面上上; ;若若均质均质物体具有物体具有对称对称轴轴, , 则重心必在此则重心必在此对称对称轴轴上上; ;若若均质均质物体具有物体具有对称对称中心中心, , 则重心必在此则重心必在此对称对称中中心心上。上。62(