聚类分析-模糊聚类分析

1、模糊聚类分析 设设R = (rij)mn，若，若0rij1，则称，则称R为模糊矩阵为模糊矩阵. 当当rij只取只取0或或1时，称时，称R为布尔为布尔(Boole)矩阵矩阵. 当模糊当模糊方阵方阵R = (rij)nn的对角线上的元素的对角线上的元素rii都为都为1时，称时，称R为模糊自反矩阵为模糊自反矩阵. 设设A=(aij)mn,B=(bij)mn都是模糊矩阵，定义都是模糊矩阵，定义相等：相等：A = B aij = bij；包含：包含：AB aijbij；并：并：AB = (aijbij)mn；交：交：AB = (aijbij)mn；余：余：Ac = (1- aij)mn.0.10.30.

2、20.1,0.20.10.30.20.20.30.10.10.90.7,0.30.20.20.10.80.9cABABABA例 设，则 设设A = (aik)ms，B = (bkj)sn，称模糊矩阵，称模糊矩阵A B = (cij)mn，为为A 与与B 的合成，其中的合成，其中cij = (aikbkj) | 1ks .模糊方阵的幂模糊方阵的幂 定义：若定义：若A为为 n 阶方阵，定义阶方阵，定义A2 = A A，A3 = A2 A，Ak = Ak-1 A.7 . 04 . 03 . 03 . 07 . 04 . 03 . 01 . 07 . 04 . 03 . 03 . 07 . 04 .

3、03 . 01 . 03 定义定义 设设A = (aij)mn, 称称AT = (aijT )nm为为A的转置的转置矩阵，其中矩阵，其中aijT = aji.转置运算的性质：转置运算的性质：性质性质1：( AT )T = A；性质性质2：( AB )T = ATBT， ( AB )T = ATBT；性质性质3：( A B )T = BT AT；( An )T =( AT )n ；性质性质4：( Ac )T = ( AT )c ；性质性质5：AB AT BT . 设设A = (aij)mn,对任意的对任意的 0, 1，称，称A = (aij( )mn,为模糊矩阵为模糊矩阵A的的 - 截矩阵截矩阵

4、, 其中其中 当当aij 时，时，aij( ) =1； 当当aij 时，时，aij( ) =0. 显然，显然，A的的 - 截矩阵为布尔矩阵截矩阵为布尔矩阵. 1110110010110011,18 . 03 . 008 . 011 . 02 . 03 . 01 . 015 . 002 . 05 . 013 . 0AA 与模糊子集是经典集合的推广一样，模糊关与模糊子集是经典集合的推广一样，模糊关系是普通关系的推广系是普通关系的推广. . 设有论域设有论域X，Y，X Y 的一个模糊子集的一个模糊子集 R 称称为从为从 X 到到 Y 的的模糊关系模糊关系. 模糊子集模糊子集 R 的隶属函数为映射的隶

5、属函数为映射R : X Y 0,1.并称隶属度并称隶属度R (x , y ) 为为 (x , y )关于模糊关系关于模糊关系 R 的的相关程度相关程度. 特别地，当特别地，当 X =Y 时，时，称之为称之为 X 上各元素之上各元素之间的间的模糊关系模糊关系. 由于由于模糊关系模糊关系 R就是就是X Y 的一个模糊子集，的一个模糊子集，因此模糊关系同样具有模糊子集因此模糊关系同样具有模糊子集的运算及性质的运算及性质.设设R，R1，R2均为从均为从 X 到到 Y 的的模糊关系模糊关系.相等相等：R1= R2 R1(x, y) = R2(x, y)；包含包含： R1 R2 R1(x, y)R2(x,

6、 y)；并并： R1R2 的隶属函数为的隶属函数为 (R1R2 )(x, y) = R1(x, y)R2(x, y)；交交： R1R2 的隶属函数为的隶属函数为(R1R2 )(x, y) = R1(x, y)R2(x, y)；余余：Rc 的隶属函数为的隶属函数为Rc (x, y) = 1- - R(x, y). (R1R2 )(x, y)表示表示(x, y)对模糊关系对模糊关系“R1或者或者R2”的相关程度，的相关程度， (R1R2 )(x, y)表示表示(x, y)对模糊对模糊关系关系“R1且且R2”的相关程度，的相关程度，Rc (x, y)表示表示(x, y)对对模糊关系模糊关系“非非R”

7、的相关程度的相关程度. 对于有限论域对于有限论域 X = x1, x2, , xm和和Y = y1, y2, , yn，则，则X 到到Y 模糊关系模糊关系R可用可用mn 阶模糊阶模糊矩阵表示，即矩阵表示，即R = (rij)mn，其中其中rij = R (xi , yj )0, 1表示表示(xi , yj )关于模糊关系关于模糊关系R 的相关程度的相关程度. . 又若又若R为布尔矩阵时为布尔矩阵时, ,则关系则关系R为普通关系为普通关系, ,即即xi 与与 yj 之间要么有关系之间要么有关系(rij = 1), ,要么没有关系要么没有关系( rij = 0 ). 设设 R1 是是 X 到到 Y

8、 的关系的关系, R2 是是 Y 到到 Z 的关系的关系, 则则R1与与 R2的合成的合成 R1 R2是是 X 到到 Z 上的一个关系上的一个关系.(R1 R2) (x, z) = R1 (x, y)R2 (y, z)| yY 当论域为有限时，模糊关系的合成化为模糊当论域为有限时，模糊关系的合成化为模糊矩阵的合成矩阵的合成. 设设X = x1, x2, , xm,Y = y1 , y2 , , ys, Z= z1, z2, , zn, ,且且X 到到Y 的的模糊模糊关系关系R1 = (aik)ms ，Y 到到Z 的的模糊模糊关系关系R2 = (bkj)sn ，则，则X 到到Z 的的模糊模糊关系

9、可表示为关系可表示为模糊模糊矩阵的合成：矩阵的合成：R1 R2 = (cij)mn 其中其中cij = (aikbkj) | 1ks. 若模糊关系若模糊关系R是是X上各元素之间的上各元素之间的模糊关系，且模糊关系，且满足：满足： (1)自反性：自反性：R(x, x) =1； (2)对称性：对称性：R(x, y) =R(y, x)； (3)传递性：传递性：R2 R, 则称则称模糊关系模糊关系R是是X上的一个上的一个模糊等价关系模糊等价关系. 当论域当论域X = x1, x2, , xn为有限时为有限时, X 上的一个上的一个模糊等价关系模糊等价关系R就是模糊等价矩阵就是模糊等价矩阵, 即即R满足

10、：满足：I R ( rii =1 )RT=R( rij= rji)R2R.R2R ( (rikrkj) | 1kn rij) . R R R 12345 ,10.40.80.50.50.410.40.40.40.80.410.50.50.50.40.510.60.50.40.50.61Uu u u u uR 例设 210.40.80.50.50.410.40.40.40.80.410.50.50.50.40.510.60.50.40.50.61RR RR( ,)1( ,1,2,3,4,5)ijijuuR u ui j元素 与归为一类的充要条件是 110.40.80.50.5100000.410

11、.40.40.4010000.80.410.50.5001000.50.40.510.6000100.50.40.50.6100001RR0.810.40.80.50.5101000.410.40.40.4010000.80.410.50.5101000.50.40.510.6000100.50.40.50.6100001RR12345: , , , , 5uuuuu相应的分类共分为 类13245: , 4u uuuu相应的分类共分为 类12345 , , uuuuu当 =1时，得到的分类为；13245 , , , u uuuu当 =0.8时，得到的分类为；13245 , , ,u uuu u

12、当 =0.6时，得到的分类为；13452 , u u u uu当 =0.5时，得到的分类为；12345 ,u u u u u当 =0.4时，得到的分类为； 若模糊关系若模糊关系 R 是是 X 上各元素之间的上各元素之间的模糊关系，模糊关系，且满足：且满足： (1) 自反性：自反性：R( x , x ) = 1； (2) 对称性：对称性：R( x , y ) = R( y , x ) ； 则称则称模糊关系模糊关系 R 是是 X 上的一个上的一个模糊相似关系模糊相似关系. 当论域当论域X = x1, x2, , xn为有限时，为有限时，X 上的一上的一个个模糊相似关系模糊相似关系 R 就是模糊相似

13、矩阵，即就是模糊相似矩阵，即R满足：满足： (1) 自反性：自反性：I R ( rii =1 )； (2) 对称性：对称性：RT = R ( rij = rji ). 定理定理1 若若R 是模糊相似矩阵，则对任意的自然是模糊相似矩阵，则对任意的自然数数 k，Rk 也是模糊相似矩阵也是模糊相似矩阵. 定理定理2 若若R 是是n阶模糊相似矩阵，则存在一个阶模糊相似矩阵，则存在一个最小自然数最小自然数 k (kn )，对于一切大于，对于一切大于k 的自然数的自然数 l，恒有恒有Rl = Rk，即，即Rk 是模糊等价矩阵是模糊等价矩阵(R2k = Rk ). 此此时称时称Rk为为R的传递闭包，记作的传

14、递闭包，记作 t ( R ) = Rk . 上述定理表明，任一个模糊相似矩阵可诱导出上述定理表明，任一个模糊相似矩阵可诱导出一个模糊等价矩阵一个模糊等价矩阵.平方法求传递闭包平方法求传递闭包 t (R)：RR2R4R8R1610.10.2 0.110.30.20.31( )RRt R例设容易验证， 是模糊相似矩阵，用平方法求其传递闭包210.10.210.10.210.20.20.110.30.110.30.210.30.20.310.20.310.20.31R RR 22210.20.210.20.210.20.20.210.30.210.30.210.30.20.310.20.310.20

15、.31RRR 210.20.2( )0.210.30.20.31t RR故传递闭包（1）数据标准化）数据标准化 设论域设论域X = x1, x2, , xn为被分类对象为被分类对象,每个对每个对象又由象又由m个指标表示其形状个指标表示其形状:xi = xi1, xi2, , xim, i = 1, 2, , n于是于是,得到原始数据矩阵为得到原始数据矩阵为nmnnmmxxxxxxxxx.212222111211),.,2 , 1,.,2 , 1(mjnisxxxjjijij其中其中21111,()1nnjijjijjiixxsxxnnb 平移平移 极差变换极差变换1|min1|max1|min

16、nixnixnixxxijijijijija 相似系数法相似系数法 -夹角余弦法夹角余弦法mkjkmkikmkjkikijxxxxr12121mkjjkmkiikmkjjkiikijxxxxxxxxr12121)()(| |其中其中1111,mmiikjjkkkxxxxmmrij = 1 c d (xi, xj )其中其中c为适当选取的参数为适当选取的参数.海明距离海明距离mkjkikjixxxxd1|),(欧氏距离欧氏距离mkjkikjixxxxd12)(),(切比雪夫距离切比雪夫距离d (xi, xj ) = | xik- - xjk | , 1km 左图给出了左图给出了9只只Af和和6只

17、只Apf蠓的触角长和翼长蠓的触角长和翼长数据数据, , 其中其中“”表示表示Apf, ,“”表示表示Af. .根据触角根据触角长和翼长来识别一个标本是长和翼长来识别一个标本是Af还是还是Apf是重要的是重要的. . 给定一只给定一只Af族族或或Apf族的蠓族的蠓, ,如何如何正确地区分它属于正确地区分它属于哪一族？哪一族？ 将你的方法用将你的方法用于触角长和翼长分于触角长和翼长分别为别为(1.24,1.80), (1.28,1.84),(1.40,2.04)三个标本三个标本. .模糊判别方法模糊判别方法 先将已知蠓重新进行分类先将已知蠓重新进行分类. . 当当 = 0.919时时,分为分为3类

18、类1, 2, 3, 6, 4, 5, 7, 8, 9,10, 11, 12, 13, 14, 15,三类的中心向量分别为三类的中心向量分别为(1.395, 1.770),(1.560, 2.080),(1.227, 1.927).用平移极差变换用平移极差变换227. 108. 2227. 1xx将它们分别变为将它们分别变为A1 = (0.200, 0.637) (Af 蠓蠓),A2 = (0.390, 1.000) (Af 蠓蠓),A3 = (0.000, 0.821) (Apf 蠓蠓),再将三只待识别的蠓用上述变换分别变为再将三只待识别的蠓用上述变换分别变为B1= (0.015, 0.672),B2 = (0.062, 0.719),B3 = (0.203, 0.953 ). .采用贴近度采用贴近度 3 (A, B) =nkkkxBxAn1| )()(|11计算得：计算得： 3(A1, B1) = 0. 89, 3(A2, B1) = 0.65, 3(A3, B1) = 0.92.