第4章 模拟信号的数字化r3

1、1通信原理2通信原理第第4章模拟信号的数字化章模拟信号的数字化3第第4章章模拟信号的数字化l4.1 引言引言n数字化3步骤：抽样抽样、量化量化和编码编码抽样信号抽样信号量化信号t011011011100100100100编码信号4第第4章章模拟信号的数字化l4.2 模拟信号的抽样模拟信号的抽样n4.2.1 低通模拟信号的抽样定理p抽样定理抽样定理：设一个连续模拟信号m(t)中的最高频率 fH，则以间隔时间为T 1/2fH的周期性冲激脉冲对它抽样时，m(t)将被这些抽样值所完全确定。【证】设有一个最高频率小于fH的信号m(t) 。将这个信号和周期性单位冲激脉冲T(t)相乘，其重复周期为T，重复频

2、率为fs = 1/T。乘积就是抽样信号，它是一系列间隔为T 秒的强度不等的冲激脉冲。这些冲激脉冲的强度等于相应时刻上信号的抽样值。现用ms(t) = m(kT)表示此抽样信号序列。故有用波形图示出如下：)()()(ttmtmTs5第第4章章模拟信号的数字化(a)m(t)(e)ms(t)(c)T(t)0-3T-2T-TT2T3T6第第4章章模拟信号的数字化令M(f)、(f)和Ms(f)分别表示m(t)、T(t)和ms(t)的频谱。按照频率卷积定理，m(t)T(t)的傅里叶变换等于M(f)和(f)的卷积。因此，ms(t)的傅里叶变换Ms(f)可以写为：而(f)是周期性单位冲激脉冲的频谱，它可以求出

3、等于：式中，将上式代入 Ms(f)的卷积式，得到)()()(ffMfMsnsnffTf)(1)(Tfs/1nssnfffMTfM)()(1)(7第第4章章模拟信号的数字化上式中的卷积，可以利用卷积公式：进行计算，得到上式表明，由于M(f - nfs)是信号频谱M(f)在频率轴上平移了nfs的结果，所以抽样信号的频谱Ms(f)是无数间隔频率为fs的原信号频谱M(f)相叠加而成。 用频谱图示出如下：nssnfffMTfM)()(1)()()()()()(tfdtfttf)(1)()(1)(snssnffMTnfffMTfM8第第4章章模拟信号的数字化ffs1/T2/T0-1/T-2/T (f)f-

4、fHfH0fs|Ms(f)|-fHfHf|M(f)|9第第4章章模拟信号的数字化因为已经假设信号m(t)的最高频率小于fH，所以若频率间隔fs 2fH，则Ms(f)中包含的每个原信号频谱M(f)之间互不重叠，如上图所示。这样就能够从Ms(f)中用一个低通滤波器分离出信号m(t)的频谱M(f)，也就是能从抽样信号中恢复原信号。这里，恢复原信号的条件是：即抽样频率fs应不小于fH的两倍。这一最低抽样速率2fH称为奈奎斯特速率奈奎斯特速率。与此相应的最小抽样时间间隔称为奈奎斯特奈奎斯特间隔间隔。Hsff210第第4章章模拟信号的数字化恢复原信号的方法：从上图可以看出，当fs 2fH时，用一个截止频率

5、为fH的理想低通滤波器就能够从抽样信号中分离出原信号。从时域中看，当用抽样脉冲序列冲激此理想低通滤波器时，滤波器的输出就是一系列冲激响应之和，如下图所示。这些冲激响应之和就构成了原信号。理想滤波器是不能实现的。实用滤波器的截止边缘不可能做到如此陡峭。所以，实用的抽样频率fs必须比2fH 大一些。例如，典型电话信号的最高频率通常限制在3400 Hz，而抽样频率通常采用8000 Hz。t114.2.2 带通型连续信号的抽样l带通型信号带通型信号(频带受限于频带受限于(fL, fH)，B= fH fL )n fH = nB, n为整数fs = 2nBfs = 2B12l4.2.2 带通型连续信号的抽

6、样n fH = nB+kB, 0 k 1, n为小于 fH / B 的最大整数 fs =2B+2( fH - nB )/nfs = 2B13l4.2.2 带通型连续信号的抽样 fs = 2B+2( fH - nB ) /n带宽为带宽为B的高频窄带信号，其抽样频率近似等于的高频窄带信号，其抽样频率近似等于2B。n若 fH = nB+kB, 0 k 1, n为小于 fH / B 的最大整数，则带通信号的最小抽样频率为=2B( 1 + k/n )14l随机基带信号的抽样l一个宽平稳的随机信号，当其功率谱密度函数限于 fH 以内时，若以不大于 1/2fH 秒的间隔对其进行均匀抽样，则可得一随机样值序列

7、。如果让该随机样值序列通过一截止频率为 fH 的低通滤波器，那么其输出信号与原来的宽平稳随机过程的均方差在统计平均意义下为零。15第第4章章模拟信号的数字化由于原信号频谱的最低频率fL和最高频率fH之差永远等于信号带宽B，所以当0 fL B时，有B fH 2B。这时n = 1，而上式变成了fs = 2B(1 + k)。故当k从0变到1时，fs从2B变到4B，即图中左边第一段曲线。当fLB时，fH2B，这时n = 2。故当k0时，上式变成了fs = 2B，即fs从4B跳回2B。当B fL 2B时，有2B fH 0.183时，应按A律对数曲线段的公式计算x值。此时，由下式可以推出x的表示式：按照上

8、式可以求出在此曲线段中对应各转折点纵坐标y的横坐标值。当用A = 87.6代入上式时，计算结果见下表 yyyAAx1616 .876 .87ln1ln1xAAAxylnln111ln.1ln1)ln(lnln1ln1eAxAxy)ln(1lneAyxyeAx1145第第4章章模拟信号的数字化从表中看出，13折线法和A = 87.6时的A律压缩法十分接近。I 876543210y =1-i/801/82/83/84/85/86/87/81A律的x值01/1281/60.61/30.61/15.41/7.771/3.731/1.78113折线法的x=1/2i01/1281/641/321/161/

9、81/41/21折线段号12345678折线斜率161684211/21/446第第4章章模拟信号的数字化u压缩律和15折线压缩特性在A律中，选用A等于87.6有两个目的： 1）使曲线在原点附近的斜率等于16，使16段折线简化成仅有13段； 2）使在13折线的转折点上A律曲线的横坐标x值接近1/2i (i = 0, 1, 2, , 7)，如上表所示。若仅为满足第二个目的，则可以选用更恰当的A值。由上表可见，当仅要求满足x = 1/2i时，y = 1 i/8，则将此条件代入式得到：yeAx118/8/111121iiieAeAiieA8/12 , 28/1eA25628eA47第第4章章模拟信号

10、的数字化因此，求出将此A值代入下式，得到：若按上式计算，当x = 0时，y ；当y = 0时，x = 1/28。而我们的要求是当x = 0时，y = 0，以及当x = 1时，y = 1。为此，需要对上式作一些修正。在律中，修正后的表示式如下：由上式可以看出，它满足当x = 0时，y = 0；当x = 1时，y = 1。但是，在其他点上自然存在一些误差。不过，只在小电压(x 1/128)时，才有稍大误差。通常用参数表示上式中的常数255。这样，上式变成：18.94/256eA256ln256lnlnlnln1ln1xeAeAxAAxy2551ln2551lnxy48第第4章章模拟信号的数字化这就

11、是美国等地采用的压缩律的特性。由于律同样不易用电子线路准确实现，所以目前实用中是采用特性近似的15折线代替律。这时，和A律一样，也把纵坐标y从0到1之间划分为8等份。对应于各转折点的横坐标x值可以按照下式计算：计算结果列于下表中。 1ln1lnxy2551ln2551lnxy25512255125625512568/iiyx49第第4章章模拟信号的数字化将这些转折点用直线相连，就构成了8段折线。表中还列出了各段直线的斜率。由于其第一段和第二段的斜率不同，不能合并为一条直线，故当考虑到信号的正负电压时，仅正电压第一段和负电压第一段的斜率相同，可以连成一条直线。所以，得到的是15段折线，称为15折

12、线压缩特性。 i 012345678y = i/801/82/83/84/85/86/87/81x=(2i - 1) / 25501/2553/2557/25515/25531/25563/255127/2551斜率 2551/81/161/321/641/1281/2561/5121/1024段号1234567850第第4章章模拟信号的数字化在下图中给出了15折线的图形。51第第4章章模拟信号的数字化比较13折线特性和15折线特性的第一段斜率可知，15折线特性第一段的斜率（255/8）大约是13折线特性第一段斜率（16）的两倍。所以，15折线特性给出的小信号的信号量噪比约是13折线特性的两倍

13、。但是，对于大信号而言，15折线特性给出的信号量噪比要比13折线特性时稍差。这可以从对数压缩式看出，在A律中A值等于87.6；但是在律中，相当A值等于94.18。A值越大，在大电压段曲线的斜率越小，即信号量噪比越差。u恢复原信号大小的扩张原理，完全和压缩的过程相反。 52第第4章章模拟信号的数字化u均匀量化和均匀量化比较 若用13折线法中的（第一和第二段）最小量化间隔作为均匀量化时的量化间隔，则13折线法中第一至第八段包含的均匀量化间隔数分别为16、16、32、64、128、256、512、1024，共有2048个均匀量化间隔，而非均匀量化时只有128个量化间隔。因此，在保证小信号的量化间隔相

14、等的条件下，均匀量化需要11比特编码，而非均匀量化只要7比特就够了。 534.4脉冲编码调制脉冲编码调制(PCM)n将模拟信号抽样量化，然后将已量化值变换成代码的过程，称之将模拟信号抽样量化，然后将已量化值变换成代码的过程，称之为脉冲编码调制为脉冲编码调制(PCM)。 .4V,16.sm trM例例抽抽样样速速率率0.5Vv 40.5 ,0,1,16imii 3.750.5 ,0,1,15iqii 抽样值抽样值qi2.12.25量化级序号量化级序号12二进制编码二进制编码四进制编码四进制编码3.23.2514-0.75-0.756符号速率符号速率数字数字PAM(16电平电平)rs二进制二进制P

15、CM四进制四进制PCM比特速率比特速率4rs54PCM通信系统的组成通信系统的组成n编码：把模拟信号的抽样量化值变换成代码编码：把模拟信号的抽样量化值变换成代码n译码：编码的逆过程译码：编码的逆过程55PCM编码码型的选择编码码型的选择n最高位表示信号极最高位表示信号极性，其余码表示绝性，其余码表示绝对值，可简化编码对值，可简化编码过程过程n误码对小信号影响误码对小信号影响较小较小56PCM编码码位的选择编码码位的选择n位数的选择：位数越多，量化分层越细，量位数的选择：位数越多，量化分层越细，量化噪声越小。化噪声越小。(语音：语音：78位位)n码位的安排码位的安排n极性码：第一位极性码：第一位

16、n段落码：第二至四位，代表段落码：第二至四位，代表13折线中的折线中的8个段落个段落n段内码：第五至八位，代表每一段落内的段内码：第五至八位，代表每一段落内的16个均个均匀划分的量化间隔匀划分的量化间隔压缩、量化、编码一体化压缩、量化、编码一体化57段落码与段内码段落码与段内码1112816 12048 量化单位量化单位n最小量化间隔：最小量化间隔： 2 4 8 16 32 64 n非线性码：非线性码：7位位(正极性正极性)n线性码：线性码：11位位016 32 64 128 256 512 1024 58第第4章模拟信号的数字传输章模拟信号的数字传输【例例】设输入电话信号抽样值的归一化动态范

17、围在设输入电话信号抽样值的归一化动态范围在-1至至+1之之间，将此动态范围划分为间，将此动态范围划分为4096个量化单位，即将个量化单位，即将1/2048作为作为1个量化单位。当输入抽样值为个量化单位。当输入抽样值为+1270个量化单位时，试将其个量化单位时，试将其按照按照13折线折线A律特性编码。律特性编码。(逐次比较法编码逐次比较法编码)【解解】设编出的设编出的8位码组用位码组用c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 c8表示，表示，则：则：1) 确定极性码确定极性码c1：因为输入抽样值：因为输入抽样值+1270为正为正极性，所以极性，所以c1 = 1。2) 确定段落码确定段落码c2 c

18、3 c4：由段落码编码规则表可：由段落码编码规则表可见，见，c2值决定于信号抽样值大于还是小于值决定于信号抽样值大于还是小于128，即此时的权值，即此时的权值电流电流Iw128。现在输入抽样值等于。现在输入抽样值等于1270，故，故c21。在确定在确定c21后，后，c3决定于信号抽样值大于还是决定于信号抽样值大于还是小于小于512，即此时的权值电流，即此时的权值电流Iw512。因此判定。因此判定c31。 59第第4章模拟信号的数字传输章模拟信号的数字传输同理，在同理，在c2 c311的条件下，决定的条件下，决定c4的权值电流的权值电流Iw1024。将。将其和抽样值其和抽样值1270比较后，得到

19、比较后，得到c41。这样，就求出了这样，就求出了c2 c3 c4111，并且得知抽样值位于第，并且得知抽样值位于第8段落内。段落内。60第第4章模拟信号的数字传输章模拟信号的数字传输3) 确定段内码确定段内码c5 c6 c7 c8：段内码是按量化间隔均匀编码的，每：段内码是按量化间隔均匀编码的，每一段落均被均匀地划分为一段落均被均匀地划分为16个量化间隔。但是，因为各个段落的个量化间隔。但是，因为各个段落的斜率和长度不等，故不同段落的量化间隔是不同的。对于第斜率和长度不等，故不同段落的量化间隔是不同的。对于第8段落，段落，其量化间隔示于下图中。其量化间隔示于下图中。由编码规则表可见，决定由编码

20、规则表可见，决定c5等于等于“1”还是等于还是等于“0”的权值电流值在的权值电流值在量化间隔量化间隔7和和8之间，即有之间，即有Iw = 1536。现在信号抽样值。现在信号抽样值Is = 1270，所以，所以c5=0。同理，决定。同理，决定c6值的权值电流值在量化间隔值的权值电流值在量化间隔3和和4之间，故之间，故Iw = 1280，因此仍有，因此仍有Is Iw，所以，所以c7=1。最后，决定最后，决定c8值的权值电流值的权值电流Iw = 1216，仍有，仍有Is Iw，所以，所以c8=1。抽样值127010241536204811521280012345678910 1112131415121661第第4章模拟信号的数字传输章模拟信号的数字传输这样编码得到的这样编码得到的8位码组为位码组为c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 c8 11110