矩阵的概念及其运算-ppt课件

1、一、矩阵的引入一、矩阵的引入11121212221211212122nnnmmnnnmmbbxxxaaabxxaaaaxaaxxx1. 线性方程组线性方程组m n当当 时时,上式称为上式称为 元线性方程组元线性方程组mnn方程组的解取决于方程组的解取决于系数系数(1,2,;1,2,)ija im jn常数项常数项(1,2,)ib im将方程组的未知量系数将方程组的未知量系数与常数项按原来的位置与常数项按原来的位置可以排成一个矩形数表可以排成一个矩形数表12111212122212nnmmmnmaaaaaaaaabbb对线性方程组的对线性方程组的研讨可转化为对研讨可转化为对这张矩形数表的这张矩形

2、数表的研讨研讨11121212221211212122nnnmmnnnmmbbxxxaaabxxaaaaxaaxxx2.某航空公司在某航空公司在A,B,C,D四城市四城市之间开辟了假设干航线之间开辟了假设干航线 ,如下图如下图表示了四城市间的航班图表示了四城市间的航班图,假设假设从从A到到B有航班有航班,那么用带箭头的那么用带箭头的线从线从 A 指向指向BABCD发站发站到站到站ABCDABCD为了便于计算为了便于计算,把表中的把表中的 改为改为1,而空白处填而空白处填0,那就得到了如下的数表那就得到了如下的数表1111111000000000这个数表反映了四个城市之间的交通衔接情况这个数表反

3、映了四个城市之间的交通衔接情况二、矩阵的概念定义定义111212122212nnmmmnaaaaaaaaaA其中其中 称为矩阵的第称为矩阵的第 行行 列列(1,2,;1,2,).im jnijaij元元矩阵矩阵 也记为也记为m nAAm n或者或者 .ijm na称为一个称为一个 矩阵矩阵,m n由由 个数排成的一个个数排成的一个m行行n列的的数表列的的数表m n111212122212nnnnnnaaaaaaaaaA当当 时时,即矩阵的行数等于列数时即矩阵的行数等于列数时,称称 为为n阶方阵阶方阵mnA其中其中 称为方阵称为方阵A的主对角线元的主对角线元.1122,nnaaa当当 矩阵矩阵

4、中一切的元均为零时中一切的元均为零时,称称 为为 m nAA零矩阵零矩阵,记为记为 . 假设不引起混淆假设不引起混淆,记为记为 .m nOO留留意意不同阶数的零矩阵是不相等的不同阶数的零矩阵是不相等的.三、几种特殊的方阵一阶方阵一阶方阵 视同普通的数视同普通的数 . Aaa1122,nndiag aaa通常对角矩阵记为通常对角矩阵记为对角矩阵：假设对角矩阵：假设 阶方阵阶方阵 中的元满足中的元满足n0,ija ( ,1,2,),ij i jn那么称那么称 是对角矩阵是对角矩阵AijAa1122000000nnaaAa数量矩阵：假设数量矩阵：假设 阶对角矩阵阶对角矩阵 中元中元nA1122,nn

5、aaaa很多书也记为很多书也记为 或或 .特别的特别的,当当 时时,该数量矩阵称为单位矩阵该数量矩阵称为单位矩阵,记为记为 或或1a nEEnII000000aaAa上上(下下)三角矩阵：假设三角矩阵：假设 阶方阵阶方阵 中的元满足中的元满足nijAa0,( ,1,2, ),ijaij i jn那么称那么称 为上三角矩阵为上三角矩阵A假设假设 阶方阵阶方阵 中的元满足中的元满足nijAa0,ijaij那么称那么称 为下三角矩阵为下三角矩阵.A( ,1,2, ),i jn下11212212000nnnnaaaAaaa上11121222000nnnnaaaaaAa111211222212nnnnn

6、naaaaaaAaaa其实其实,引例中航班只需单程的情况比较少见引例中航班只需单程的情况比较少见,国内航班国内航班大多为双程大多为双程,也就是说也就是说,其道路矩阵为对称矩阵其道路矩阵为对称矩阵.对称矩阵：假设对称矩阵：假设 阶方阵阶方阵 中的元满足中的元满足nA( ,1,2,)ijjiaai jn那么称那么称 为对称矩阵为对称矩阵ijAa反称矩阵：假设反称矩阵：假设 阶方阵阶方阵 中元满足中元满足nijAa( ,1,2, )ijjiaai jn 那么称那么称 为反称矩阵为反称矩阵.A由定义可以推出由定义可以推出,假设假设 为反称矩阵为反称矩阵,那么那么 ,即即Aiiiiaa 0(1,2, )

7、iiain因此反称矩阵的主对角线元全为零因此反称矩阵的主对角线元全为零12112212000nnnnaaaaAaa2.2 矩阵的运算矩阵的运算定义定义(1,2,;1,2,)ijijab im jn且满足且满足假设假设 是两个是两个 矩阵矩阵, ,ijijAaBbm n那么称矩阵那么称矩阵 与矩阵与矩阵 相等相等,记为记为ABAB对比行列式相等的概念对比行列式相等的概念只需两个行列式值相等，就说这两个行列式相等只需两个行列式值相等，就说这两个行列式相等行数列数对应相等的矩阵为同型矩阵行数列数对应相等的矩阵为同型矩阵 ijijijijm nm nm nABabab两个两个 矩阵矩阵 的和的和,ij

8、ijAaBb定义定义指的是指的是 矩阵矩阵 ,即即ABmnmn()ijijab只需同型矩阵才干相加，结果也是同型矩阵只需同型矩阵才干相加，结果也是同型矩阵ABBA交换律交换律()()ABCABC结合律结合律AOA其中其中 , 是同类型矩阵是同类型矩阵OA负矩阵负矩阵记记 ,那么称其为那么称其为 的负矩阵的负矩阵ijm nAa AAAO ijijijijm nm nm nABabab 定义减法定义减法()ABAB 减法同样也要求同型矩阵减法同样也要求同型矩阵加减法其实是两个矩阵的对应位置上的元分别相加相减加减法其实是两个矩阵的对应位置上的元分别相加相减111212122212nnmmmnkaka

9、kakakakakAkakaka设设 是是 矩阵矩阵, 是常数是常数,数数 与矩阵与矩阵ijAa定义定义的乘积指的是矩阵的乘积指的是矩阵 ,记为记为 ,即即m n()ijkakkAkA数数 与矩阵与矩阵 的乘积就是把的乘积就是把 中的每个元都乘以中的每个元都乘以 .kkAA数乘后的矩阵与原矩阵为同型矩阵数乘后的矩阵与原矩阵为同型矩阵()k ABkAkB1AA数乘法那么数乘法那么假设假设 ,那么那么kAO0,kAO()kl AkAlA()()()kl Ak lAl kA0AO矩阵相加与数乘矩阵合起来矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算统称为矩阵的线性运算.矩阵矩阵 完全由矩阵完全由矩阵

10、 和矩阵和矩阵 决议决议, 中第中第 行第行第 列元列元 是由是由 中第中第 行的每一个元与行的每一个元与 中第中第 列的对应元相列的对应元相乘然后再相加得到的乘然后再相加得到的ijcjiAACBCBij设设 是是 矩阵矩阵, 是是 矩阵矩阵 ijAa定义定义m s ijBbs n1 122(1,2,;1,2, )ijijijissjca ba ba bim jn那么由元那么由元构成的构成的 矩阵矩阵m n ijCcCAB称为矩阵称为矩阵 与矩阵与矩阵 的乘积的乘积,记为记为ABS列S行 与与 乘积的第乘积的第 行行 列元列元 是由是由 中的第中的第 行的每一个元行的每一个元与与 中的第中的第

11、 列的对应元相乘然后得到列的对应元相乘然后得到BAAijcijijBi 行j 列乘积矩阵乘积矩阵 的行数等于的行数等于 的行数，列数等于的行数，列数等于 的列数的列数ABCAB位于左边的矩阵位于左边的矩阵 的列数与位于右边的矩阵的列数与位于右边的矩阵 的行数一样的行数一样ABABC=ABm ssnm n2 22 27428?1233动动笔动动笔2 22 22874?33122 2682418矩阵乘法不满足交换律矩阵乘法不满足交换律,BAAB 即即：留意：留意：2 2268414矩阵乘法的运算规那矩阵乘法的运算规那么么 1AB CA BC 2 A BCABACBC ABACA 3 k ABkA

12、BA kB其中其中 为常数为常数;k 4;m nnmm nm nn pm pq mm nq nAEE AA AOOOAO设设A是是 阶矩阵，称阶矩阵，称 为为A的的 次幂，即次幂，即 5nkAkkkAA AA 个.kmmkAA,m k为正整数,mkm kA AA并且并且不一样的乘法不一样的乘法 1 AB存在不一定 存在BA 2,AB BA都存在也不一定相等 3,AO BO ABO却能够等于 4,ACBC CO并不能推出AB 225;()()kkkABA BABABAB222()2ABAABB并不能推出AOkAO并不能推出AE 2AE方程组可用矩阵表示为 用矩阵表示线性方程组用矩阵表示线性方程组

13、11121212221211212122nnnmmnnnmmbbxxxaaabxxaaaaxaaxxx111212122212nnmmmnaaaaaaaaaA12nxXxx12mbBbbAXB定义定义111212122212nnmmmnaaaaaaaaaA将矩阵将矩阵 的行取作列或列取作行，的行取作列或列取作行， ijm nAa n m可得到一个可得到一个 矩阵，称此矩阵为矩阵，称此矩阵为 的转置矩阵，的转置矩阵，A112111222212mmnnnmaaaaaaaaaA 的转置，记为的转置，记为AA简称简称矩阵转置的性质矩阵转置的性质 1AA 2ABAB 3kAkA其中其中 为常数为常数;k 4ABB A 阶方阵阶方阵 是对称矩阵的充要条件是是对称矩阵的充要条件是 5 nAAA 阶方阵阶方阵 是反称矩阵的充要条件是是反称矩阵的充要条件是nAAA