第六讲 非稳态导热分析解

1、第六讲第六讲 非稳态导热的分析解非稳态导热的分析解3-3 一维非稳态导热的分析解=const a=consth=const因两边对称，只研究半块平壁此半块平板的数学描写：xtat22)0,x0(0tt00 x0 xtx)tt (hxt( (对称性对称性) )3-3 一维非稳态导热的分析解引入变量过余温度t), x( t), x(xhx0 x0 x00,x0 xa022上式化为：上式化为：3-3 一维非稳态导热的分析解eannnnnnnxx210)cos()sin()cos()sin(2),(e22nan1nnnnn0)xcos(cossinsin2), x(nnhctgnnh一些一些Bi数值下

2、的数值下的ieannnnnnnxx210)cos()sin()cos()sin(2),(eannnnnnnxx22)(10)cos()sin()cos()sin(2),(因此因此是是F0, Bi 和和 函数，即函数，即0),x(x)x,B,F(f),x(i00注意：特征值注意：特征值 特征数（准则数）特征数（准则数） 区别n20aF2 . 0F0eFxx021)cos(cossinsin2),(111110eFm021111100cossinsin2)(),0(eFxx021)cos(cossinsin2),(111110eFm021111100cossinsin2)(), 0()cos()(

3、),(1xxm平板中任意处与平板中心处过于温度之比)(00ttcVQ00001)(),(ttcVdVxttcQQVe11021sin)F(11110vcossinsin2dvv1,0考察热量的传递考察热量的传递Q0 -非稳态导热所能传递的最大热量非稳态导热所能传递的最大热量对无限大平板，长圆柱体及球： 及 可用一通式表达i021010210B)Fexp(A)y(f)Fexp(A0无限大平板长圆柱体及球此处的此处的A A，B B及函数及函数 见见P P127127表表3-13-120i20iRazFhRBRxyazFhBxy1()fy此处此处3 正规热状况的实用计算方法拟合公式法320iicBi

4、1i21xdx cxba)x(JbB1cBaB)e1(baA)Bba(),()cos(cossinsin2),(111110021xBiFofxxeF3 正规热状况的实用计算方法线算图法诺谟图诺谟图三个变量，因此，需要分开来画三个变量，因此，需要分开来画以无限大平板为例，以无限大平板为例，F00.2 时，取其级数首项即可时，取其级数首项即可(1)先画先画),(0BiFofm(2) 再根据公式再根据公式(3-28) 绘制其线算图绘制其线算图),()cos()(),(1xBifxxm(3) 于是，平板中任一点的温度为于是，平板中任一点的温度为00mm同理，非稳态换热过程所交换的热量也可以利用同理，

5、非稳态换热过程所交换的热量也可以利用（331）-（333）绘制出。）绘制出。解的应用范围解的应用范围书中的诺谟图及拟合函数仅适用恒温介质的第书中的诺谟图及拟合函数仅适用恒温介质的第三类边界条件或第一类边界条件的加热及冷却三类边界条件或第一类边界条件的加热及冷却过程，并且过程，并且F00.2求解非稳态导热问题的一般步骤：求解非稳态导热问题的一般步骤：1、先校核、先校核Bi是否满足集总参数法条件，若满足，则优先考是否满足集总参数法条件，若满足，则优先考虑集总参数法；虑集总参数法；2、如不能用集总参数法，则尝试用诺谟（、如不能用集总参数法，则尝试用诺谟（Heisler）图或近）图或近似公式；似公式；

6、3、若上述方法都不行则采用数值解。、若上述方法都不行则采用数值解。4、最终确定温度分布、加热或冷却时间、热量。、最终确定温度分布、加热或冷却时间、热量。五、非稳态导热求解方法五、非稳态导热求解方法诺谟（诺谟（Heisler）图是将前述分析解绘制成图线供确定温度）图是将前述分析解绘制成图线供确定温度分布时查取。该方法的基本步骤如图所示分布时查取。该方法的基本步骤如图所示。 例例 题题例例 题题给钢板单面加热，相当于一块厚给钢板单面加热，相当于一块厚2le=20cm的钢板的钢板两面对称加热，两面对称加热，le=0.1m。 热扩散率为热扩散率为 例例 题题查图得：查图得： ，则钢板中心的相对过余温度

7、为则钢板中心的相对过余温度为 ， 例例 题题两面加热。两面加热。 此时，引用尺寸此时，引用尺寸l e=0.05m 仍需要采用诺谟（仍需要采用诺谟（Heisler）图方法。）图方法。 例例 题题由和 ，查图得两面加热时中心处达两面加热时中心处达970所需时间为所需时间为 3-4 二维及三维问题的求解22123-4 二维及三维问题的求解2122ft00),(fftttyxt)(2222yxa10 xyxyhx),(),(11yyxxhy),(),(220),(00 xxyxx0),(00yyyxy),(),(0),(01)0 ,(02022hxxxxxxxxaxxx 利用以下两组方程便可证明),(

8、),(yx),(),(),(yxyx其中其中其中其中及及ffxtttxt0),(),(),(0),(01)0 ,(022022hyyyyyyyyayyyffytttyt0),(0), x(0), v(Rl 2221232 21),(),(),(PPyxyx 321),(),(),(),(PPPzyxzyx cPyxyx),(),(),(限制条件：限制条件：（1） 一侧绝热，另一侧三类一侧绝热，另一侧三类（2） 两侧均为一类两侧均为一类（3） 初始温度分布必须为常数初始温度分布必须为常数3-5 半无限大的物体0tt0 xttxtat0w22)a4x(erfdy2tta4x0y0we2 误差函数误

9、差函数 无量纲变量无量纲变量wtt0tx误差函数：误差函数：1)(1)(2)(02xerfxxerfxdvexerfxv有限大小时，)(0erf令令ax4说明：说明：(1) 无量纲温度仅与无量纲坐标无量纲温度仅与无量纲坐标 有关有关 (2) 一旦物体表面发生了一个热扰动，无论经历多么短的一旦物体表面发生了一个热扰动，无论经历多么短的 时间无论时间无论x有多么大，该处总能感受到温度的变化。有多么大，该处总能感受到温度的变化。？ (3) 但解释但解释Fo,a 时，仍说热量是以一定速度传播的，这时，仍说热量是以一定速度传播的，这 是因为，当温度变化很小时，我们就认为没有变化。是因为，当温度变化很小时

10、，我们就认为没有变化。无量纲无量纲坐标坐标)y(erfa4xy 令 若 即 可认为该处温度没有变化9953. 09953. 0)2(erf2ya4xy0a4x2ya16x22y2a4两个重要参数两个重要参数:即任一点的热流通量：2401xaxqxae 002cdzqqw吸热系数吸热系数0 x0wqa 思考题：思考题：非稳态导热的分类及各类型的特点。非稳态导热的分类及各类型的特点。Bi 准则数准则数, Fo准则数的定义及物理意义。准则数的定义及物理意义。Bi0 和和Bi 各代表什么样的换热条件各代表什么样的换热条件?集总参数法的物理意义及应用条件。集总参数法的物理意义及应用条件。使用集总参数法，物体内部温度变化及换热量的计算方使用集总参数法，物体内部温度变化及换热量的计算方法。时间常数的定义及物理意义法。时间常数的定义及物理意义.非稳态导热的正规状况阶段的物理意义及数学计算上的特非稳态导热的正规状况阶段的物理意义及数学计算上的特点。点。非稳态导热的正规状况阶段的判断条件。非稳态导热的正规状况阶段的判断条件。无限大平板和半无限大平板的物理概念。半无限大平板的无限大平板和半无限大平板的物理概念。半无限大平板的概念如何应