第四章1 弯曲内力(图)

1、材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力1第第 4 章章1 弯曲应力弯曲应力4-1 对称弯曲的概念及梁的计算简图对称弯曲的概念及梁的计算简图4-2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图4-3 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图4-4 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力 梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力24-5 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力 梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件4-6 梁的合理设计梁的合理设计 I-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式惯性矩和惯性积的平行移轴公式 组合截面的惯

2、性矩和惯性积组合截面的惯性矩和惯性积材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力34-1 对称弯曲的概念及梁的计算简图对称弯曲的概念及梁的计算简图I. 关于弯曲的概念关于弯曲的概念 受力特点：受力特点： 杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线的横向外力或外力偶作用。于轴线的横向外力或外力偶作用。 变形特点：变形特点： 直杆的轴线在变形后变为曲线。直杆的轴线在变形后变为曲线。 梁梁以弯曲为主要变形的杆件称为梁。以弯曲为主要变形的杆件称为梁。材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力4弯曲变形动画演示弯曲变形动画演示材料力学材料力学()

3、电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力5弯曲动画演示弯曲动画演示材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力6工程实例工程实例材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力7工厂厂房的桁车大梁：工厂厂房的桁车大梁：FF材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力8楼房的横梁：楼房的横梁：阳台的挑梁：阳台的挑梁：材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力PaAB阳台梁阳台梁栏杆栏杆PABPaMeq材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力11 对称弯曲对称弯曲外力外力作用于梁的纵向对称面作用于梁的纵向对称面内

4、，因而变形后梁的轴内，因而变形后梁的轴线线(挠曲线挠曲线)是在该纵对是在该纵对称面内的平面曲线。称面内的平面曲线。 非对称弯曲非对称弯曲梁不具有纵对称面梁不具有纵对称面(例如例如Z形截形截面梁面梁)，因而挠曲线无与它对称的纵向平面；或梁，因而挠曲线无与它对称的纵向平面；或梁虽有纵对称面但外力并不作用在纵对称面内，从而虽有纵对称面但外力并不作用在纵对称面内，从而挠曲线不与梁的纵对称面一致。挠曲线不与梁的纵对称面一致。材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力常见构件的纵向对称面常见构件的纵向对称面材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力平面弯曲的条件平面弯曲的条件具有纵向对

5、称面；具有纵向对称面；外力都作用在纵向对称面内；外力都作用在纵向对称面内；梁的轴线变成对称面内的一条平面曲线。梁的轴线变成对称面内的一条平面曲线。材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力对称弯曲对称弯曲构件的几何形状、构件的几何形状、 材料性能、材料性能、 外力外力均对称于杆件的纵向对称面；均对称于杆件的纵向对称面；对称弯曲一定是平面弯曲；对称弯曲一定是平面弯曲； 但平面弯曲不一定是对称弯曲但平面弯曲不一定是对称弯曲材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力15本章讨论对称弯曲时梁的内力和应力。本章讨论对称弯曲时梁的内力和应力。 对称弯曲时和特定条件下的非对称弯曲时，梁对

6、称弯曲时和特定条件下的非对称弯曲时，梁的挠曲线与外力所在平面相重合，这种弯曲称为平的挠曲线与外力所在平面相重合，这种弯曲称为平面弯曲。面弯曲。材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力16II. 梁的计算简图梁的计算简图 对于对称弯曲的直梁，外力为作用在梁的纵对对于对称弯曲的直梁，外力为作用在梁的纵对称面内的平面力系，故在计算简图中通常就用梁的称面内的平面力系，故在计算简图中通常就用梁的轴线来代表梁。轴线来代表梁。 这里加这里加“通常通常”二字是因为简支梁在水平面内二字是因为简支梁在水平面内对称弯曲时不能用轴线代表梁。对称弯曲时不能用轴线代表梁。F材料力学材料力学()电子教案电子教案

7、弯曲应力弯曲应力17(1) 支座的基本形式支座的基本形式1. 固定端固定端实例如图实例如图a，计算简图如图，计算简图如图b, c。 材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力18 2. 固定铰支座固定铰支座实实例如图中左边的支座，计例如图中左边的支座，计算简图如图算简图如图b、e。 3. 可动铰支座可动铰支座实例如图实例如图a中右边的支座，中右边的支座，计算简图如图计算简图如图c、f。材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力19(2) 梁的基本形式梁的基本形式简支梁简支梁外伸梁外伸梁悬臂梁悬臂梁材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力悬臂梁悬臂梁材料力学材料力

8、学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力21 在竖直荷载作用下，图在竖直荷载作用下，图a、b、c所示梁的约束所示梁的约束力均可由平面力系的三个独立的平衡方程求出，力均可由平面力系的三个独立的平衡方程求出，称为静定梁。称为静定梁。(3) 静定梁和超静定梁静定梁和超静定梁 图图d、e所示梁及其约束力不能单独利用平衡方所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定，称为超静定梁。程确定，称为超静定梁。材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力22 试求图试求图a所示有中间铰所示有中间铰C的梁在的梁在A、B处的约处的约束力。束力。例题例题 4-1材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力2

9、31. 带中间铰的梁可用平衡方程求此反力。该梁左带中间铰的梁可用平衡方程求此反力。该梁左端端A为固定端，有为固定端，有3个未知约束力个未知约束力FAx，FAy和和MA；右端右端B处为可动铰支座，有处为可动铰支座，有1个未知约束力个未知约束力FBy。此梁总共有此梁总共有4个未知的约束力。个未知的约束力。(b)例题例题 4-1解解:材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力24 对于平面力系，虽然仅可列出对于平面力系，虽然仅可列出3个独立的平个独立的平衡方程，但此梁具有中间铰衡方程，但此梁具有中间铰C，根据铰不能传递，根据铰不能传递力矩的特点，作用在中间铰一侧力矩的特点，作用在中间铰一侧

10、( (梁的梁的AC或梁或梁CB段段) )梁上的外力梁上的外力( (荷载和约束力荷载和约束力) )对于中间铰对于中间铰C的力的力矩应等于零，还可列出矩应等于零，还可列出1个独立的平衡方程。这个独立的平衡方程。这样就可利用样就可利用4个平衡方程求解个平衡方程求解4个未知的约束力。个未知的约束力。故该梁是静定梁。故该梁是静定梁。例题例题 4-1(b)材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力252. 以以CB段（图段（图c）为分离体，求）为分离体，求FBy。 0m5mN105m2.5m3mN1020033 ByCFMkN29 ByF(c)例题例题 4-1材料力学材料力学()电子教案电子教案

11、弯曲应力弯曲应力26 0, 0AxxFF 0kN29m3mkN20kN50, 0 AyyFF kN81AyF3. 以整体（以整体（AB梁）（图梁）（图b）为分离体，求）为分离体，求FAx ，FAy ， MA 。(b)例题例题 4-1材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力27mkN5 .96 AM 0m5 . 61029mN105m4m3mN1020m1N105003333 AAMM(b)例题例题 4-1材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力28 该梁的约束力亦可将梁在中间铰该梁的约束力亦可将梁在中间铰C处拆开，先利处拆开，先利用用CB梁作为分离体求约束力梁作为分离体

12、求约束力FBy ，FCx和和FCy，其中，其中FCx，FCy为为AC梁对梁对CB梁的作用力，将梁的作用力，将FCx，FCy等值等值反向后加在反向后加在AC梁的梁的C截面处，然后利用截面处，然后利用AC梁作为分梁作为分离体求约束反力离体求约束反力FAx，FAy和和MA。这种先求副梁的支。这种先求副梁的支反力，再求主梁支反力的方法，简称为反力，再求主梁支反力的方法，简称为“先副后先副后主主”，这是求多跨静定梁支反力常用的方法。，这是求多跨静定梁支反力常用的方法。(d)(c)例题例题 4-1材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力29 作用在该梁作用在该梁CB段上的荷载是要通过中间铰传段

13、上的荷载是要通过中间铰传递到梁的递到梁的AC段上的，但作用在段上的，但作用在AC段上的荷载是不段上的荷载是不会传递给会传递给CB段的。故习惯上把梁的段的。故习惯上把梁的AC段称为段称为基本基本梁梁( (或称主梁或称主梁) )，把梁的，把梁的CB段称为段称为副梁（或称次副梁（或称次梁）梁）。具有中间铰的梁称为多跨静定梁。具有中间铰的梁称为多跨静定梁。例题例题 4-1材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力30思考：思考： 如果上述例题中所示的梁上，没有原来的荷如果上述例题中所示的梁上，没有原来的荷载，但另外加一个作用在中间铰载，但另外加一个作用在中间铰C上的集中荷载上的集中荷载F =

14、100 kN，试求该梁的约束力。，试求该梁的约束力。材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力314-2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图I. 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩(shearing force and bending moment) 图图a所示跨度为所示跨度为l的简支梁的简支梁其约束力为其约束力为 lFaFlalFFBA , 梁的左段内任一横截面梁的左段内任一横截面m-m上的内力，由上的内力，由m-m左左边分离体边分离体(图图b)的平衡条件的平衡条件可知：可知： xlalFxFMlalFFFAA ,S材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应

15、力32 它们的指向和转向如它们的指向和转向如图图b中所示。显然这些内中所示。显然这些内力是力是 m-m右边的梁段对于右边的梁段对于左边梁段的作用力和作用左边梁段的作用力和作用力矩。力矩。 故根据作用与反作用原理，故根据作用与反作用原理，m-m左边的梁段对左边的梁段对于右边梁段于右边梁段(图图c)的作用力和作用力矩数值应与上式的作用力和作用力矩数值应与上式所示相同，但指向和转向相反。这一点也可由所示相同，但指向和转向相反。这一点也可由m-m右边分离体的平衡条件加以检验：右边分离体的平衡条件加以检验： 0, 0SByFFFF材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力33 0, 0SByF

16、FFF 00 xlFxaFMMBC xlalFxllFaxaFxlFxaFMB 从而有从而有 lalFlFaFFFFB S从而有从而有材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力34 梁的横截面上位于横梁的横截面上位于横截面内的内力截面内的内力FS是与横截是与横截面左右两侧的两段梁在与面左右两侧的两段梁在与梁轴相垂直方向的错动梁轴相垂直方向的错动(剪切剪切)相对应，故称为相对应，故称为剪剪力力；梁的横截面上作用在；梁的横截面上作用在纵向平面内的内力偶矩是纵向平面内的内力偶矩是与梁的弯曲相对应，故称与梁的弯曲相对应，故称为为弯矩弯矩。材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力3

17、5 为使无论取横截面左边或右边为分离体，求为使无论取横截面左边或右边为分离体，求得同一横截面上的剪力和弯矩其正负号相同，剪得同一横截面上的剪力和弯矩其正负号相同，剪力和弯矩的正负号要以其所在横截面处梁的微段力和弯矩的正负号要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定。的变形情况确定。材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力36 综上所述可知：综上所述可知： (1) 横截面上的剪力在数值上等于截面左侧或横截面上的剪力在数值上等于截面左侧或右侧梁段上外力的代数和。左侧梁段上向上的外力右侧梁段上外力的代数和。左侧梁段上向上的外力或右侧梁段上向下的外力将引起正值的剪力；反之，或右侧梁段上向下的

18、外力将引起正值的剪力；反之，则引起负值的剪力。则引起负值的剪力。 (2) 横截面上的弯矩在数值上等于截面左侧或横截面上的弯矩在数值上等于截面左侧或右侧梁段上外力对该截面形心的力矩之代数和。右侧梁段上外力对该截面形心的力矩之代数和。 (a) 不论在左侧梁段上或右侧梁段上，向上的不论在左侧梁段上或右侧梁段上，向上的外力均将引起正值的弯矩，而向下的外力则引起外力均将引起正值的弯矩，而向下的外力则引起负值的弯矩。负值的弯矩。材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力37 (b) 截面左侧梁段上顺时针转向的外力偶引起截面左侧梁段上顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩，而逆时针转向的外力偶则引起负值

19、正值的弯矩，而逆时针转向的外力偶则引起负值的弯矩；截面右侧梁段上的外力偶引起的弯矩其的弯矩；截面右侧梁段上的外力偶引起的弯矩其正负与之相反。正负与之相反。材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力例例 简支梁在中点处受集中力偶作用，左半段有均布载荷，简支梁在中点处受集中力偶作用，左半段有均布载荷，试求试求A A+ +，C C- -，C C+ +，B B- - 各面上的内力。各面上的内力。ABq2qaaCaAFBFx解：解：(1) 求支座约束力：求支座约束力：)(45223022qaaqaqaFMAB)(410qaqaFFFABy材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力(2

20、) 求指定截面的内力：求指定截面的内力：面：面：AFSFM045MqaFFASABq2qaaCaAFBFx材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力面：面：AFMSF面：面：AFSFM2qa面：面：ABq2qaaCaAFBFxBFSFM041MqaFFBS222412141qaqaqaaFMqaqaFFAAS22432141qaqaaFMqaqaFFAAS材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力解解（一）求支座反力（一）求支座反力 0,44360,70,40,3ABBABAMRMqPRKNYRRPqRKN 例例 求图示梁求图示梁 C、B 截面上的剪力和弯矩。截面上的剪力和

21、弯矩。 材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力0,1110,2132CACCAYQRqKNMMRMqKN （二二）C 截面的剪力和弯矩，取脱离体图如图截面的剪力和弯矩，取脱离体图如图 a 所示。所示。 图图 a材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力（三）（三）B 截面的剪力和弯矩，分别取截面的剪力和弯矩，分别取 B左左 截面和截面和 B右右 截面脱离体图如图截面脱离体图如图 b、c 所示。所示。 图图 b33:33352BABAQRqKNBMRMqKN m 右右左左左左材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力14:12152BBQPqKNBMPqKN m

22、 右右左左右右图图 c材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力例：例：求图求图（a）所）所示梁示梁1-1、2-2截面处的内力。截面处的内力。xyqLQQqLY11 0解：解：截面法求内力。截面法求内力。 1 1-1 1截面处截取的分离体截面处截取的分离体 如图（如图（b b）示。示。图（图（a）1111 0)(qLxMMqLxFmiAqqLab1122qLQ1AM1图（图（b）x1材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力L)axq Q22( axqMqLxFmiB0)(21, 0)(22222-2截面处截取的分离体如图（截面处截取的分离体如图（c） )ax( qQqLY

23、0222222)(21qLxaxqMxy图（图（a）qqLab1122qLQ2BM2x2图（图（c）材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力L)axqaxqqL Q222()(梁任一截面上的剪力梁任一截面上的剪力, , 在数值上在数值上等于该截面一侧所有横向外力的等于该截面一侧所有横向外力的代数和代数和. .2222)(21qLxaxqMqqLab1122x2梁任一截面上的弯矩梁任一截面上的弯矩, , 在数值上在数值上等于该截面一侧所有外力等于该截面一侧所有外力( (包括力包括力偶偶) )对该截面形心之矩的代数和对该截面形心之矩的代数和. .材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲

24、应力弯曲应力1.2kN/m0.8kNAB1.5m 1.5m3m2m1.5m1122例：例：梁梁1-11-1、2-22-2截面处的内力。截面处的内力。解解：（：（1 1）确定支座反力）确定支座反力RARB032 . 18 . 0, 0BARRY)(9 . 2),(5 . 1kNRkNRBA8 . 01AsRF(2) 1(2) 1-1-1截面左段右侧截面：截面左段右侧截面：065 . 48 . 05 . 132 . 1, 0ABRM5 . 08 . 021ARM8 . 05 . 1)(7 . 0kN5 . 08 . 025 . 1)(6 . 2mkN 2 2-2-2截面右段左侧截面：截面右段左侧截

25、面：9 . 25 . 12 . 12sF)( 1 . 1kN75. 05 . 12 . 15 . 12BRM75. 05 . 12 . 15 . 19 . 2)(0 . 3mkNRA1sF1M8 . 02sF2MBRq材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力49II. 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 剪力方程和弯矩方程实际上是表示梁的横截剪力方程和弯矩方程实际上是表示梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函数式，它面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函数式，它们分别表示剪力和弯矩随截面位置的变化规律。们分别表示剪力和弯矩随截面位置的变化规律。显示这种

26、变化规律的图形则分别称为显示这种变化规律的图形则分别称为剪力图剪力图和和弯弯矩图矩图。材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力50 图图a所示悬臂梁受集度为所示悬臂梁受集度为q的均布荷载作用。的均布荷载作用。试写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和试写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。弯矩图。例题例题 4-2材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力51 lxqxxqxxMlxqxxF 02202S1. 列剪力方程和弯矩方程列剪力方程和弯矩方程 由分离体（图由分离体（图b）的平衡，得剪力方程和弯矩）的平衡，得剪力方程和弯矩方程分别为方程分别为(b)FS(x)

27、M(x)例题例题 4-2解解:材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力522. 作剪力图和弯矩图作剪力图和弯矩图由由(1)式可知式可知FS图为斜直线，由图为斜直线，由 x=0， FS =0；x=l， FS =ql可画出可画出FS图如图图如图c所示。所示。由由(2)式可知，式可知，M图为二次抛物线，由图为二次抛物线，由x=0， M=0；x=l/2， M =-ql2/8； x=l， M =-ql2/2可画出可画出M图如图图如图d所示所示 )1(0SlxqxxF lxqxxqxxM 0 )2(222 (c)(d) 例题例题 4-2材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力53

28、按照习惯，剪力图中正值的剪力值绘于按照习惯，剪力图中正值的剪力值绘于x轴上方，弯矩图中正值的弯矩值则绘于轴上方，弯矩图中正值的弯矩值则绘于x轴的轴的下方下方(即弯矩值绘于梁的受拉侧即弯矩值绘于梁的受拉侧)。 (c)(d) 例题例题 4-2材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力54 由图可见，该梁由图可见，该梁横截面上的最大剪力横截面上的最大剪力为为FS,max=ql，最大弯矩，最大弯矩( (按绝对值按绝对值) ) 为为 ，它们，它们都发生在固定端右侧都发生在固定端右侧横截面上。横截面上。22maxqlM (c)(d) 例题例题 4-2材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯

29、曲应力55 图图a所示简支梁受集度为所示简支梁受集度为q的均布荷载作用。的均布荷载作用。写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作梁的剪力图写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作梁的剪力图和弯矩图。和弯矩图。例题例题 4-3材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力561. 求约束力求约束力2qlFFBA 例题例题 4-32. 列剪力方程和弯矩方程列剪力方程和弯矩方程 )1(02SlxqxqlqxFxFA )2(02222lxqxqlxxqxxFxMA 由分离体（图由分离体（图b）的平衡，得）的平衡，得FS(x)M(x)(b)材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力573. 作剪力图和弯

30、矩图作剪力图和弯矩图 )1(02SlxqxqlxF )2(0222lxqxqlxxM 由由(1)式可知，式可知，FS图为斜直线，由图为斜直线，由x=0，x=l的的FS值可画出值可画出FS图。图。 由由(2)式可知，式可知，M图为二次抛物线，由图为二次抛物线，由x=0，l/4，l/2，的，的M值可画出值可画出M图。图。例题例题 4-3材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力58 由图可见，此梁横截面上的最大剪力由图可见，此梁横截面上的最大剪力( (按按绝对值绝对值) )其值为其值为 ，发生在两个支座各，发生在两个支座各自的内侧横截面上；最大弯矩其值为自的内侧横截面上；最大弯矩其值为

31、发生在跨中横截面上。发生在跨中横截面上。2max,SqlF 82maxqlM 例题例题 4-3材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力59 图图a所示简支梁受集中荷载所示简支梁受集中荷载F 作用。写出梁的作用。写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作梁的剪力图和弯矩图。剪力方程和弯矩方程，并作梁的剪力图和弯矩图。例题例题 4-4F材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力601. 列剪力方程和弯矩方程列剪力方程和弯矩方程AC和和CB两段的剪力方程和弯矩方程均不相同，两段的剪力方程和弯矩方程均不相同，因此需分段列出。因此需分段列出。求约束力为求约束力为lFaFlFbFBA ,例题例

32、题 4-4解解:F材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力61AC段梁段梁 )2(0 )1(0 SaxxlFbxFxMaxlFbFxFAA FS(x)M(x)例题例题 4-4材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力62CB段梁段梁 )3(SlxalFalblFFlFbxF )4( lxaxllFaaxFxlFbxM FS(x)M(x)例题例题 4-4材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力632. 作剪力图和弯矩图作剪力图和弯矩图 由由(1)和和(3)式可见式可见FS图为平行于图为平行于x轴的水平线，轴的水平线，如图如图b所示所示 )1(0SaxlFbxF

33、)3(SlxalFaxF 例题例题 4-4材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力64 )4()(lxaxllFaxM )2(0axxlFbxM 由由(2)和和(4)式可见式可见M图为斜直线如图图为斜直线如图c所示所示例题例题 4-4材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力65由图由图b和图和图c可见，在可见，在b a的情况下，的情况下，lFbF max,SlFabM max例题例题 4-4材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力66 在集中力在集中力F作用（作用（C截面）处，其左、右两侧截面）处，其左、右两侧的剪力发生突变，且二者的差值等于的剪力发生突变，

34、且二者的差值等于F，即，即FlFblFbFFlFbFlFbFCCCC )(,S,S,S,S，右右左左右右左左 其原因是把分布在小范围的分布力，抽象成其原因是把分布在小范围的分布力，抽象成为集中力所造成的。若集中力为集中力所造成的。若集中力F视为作用在视为作用在D Dx段段上的分布力，就不存在突变现象了（图上的分布力，就不存在突变现象了（图d）。）。例题例题 4-4材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力67 图图a所示简支梁，在所示简支梁，在C截面受集中力偶矩截面受集中力偶矩Me作作用。试写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作梁的用。试写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作梁的剪力图和弯矩图。

35、剪力图和弯矩图。例题例题 4-5材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力681. 求约束力求约束力 lMFlMFBAee,例题例题 4-5解解:2. 列剪力方程和弯矩方程列剪力方程和弯矩方程由分离体图可见，作用由分离体图可见，作用于于AC段和段和BC段上的集段上的集中力相同，从而两段梁中力相同，从而两段梁的剪力方程相同，即的剪力方程相同，即 lxlMFxFA 0eS材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力69至于两段梁的弯矩方程则不同：至于两段梁的弯矩方程则不同：AC段梁：段梁： axxlMxFxMA 0e例题例题 4-5材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲

36、应力70CB段梁：段梁： lxaxllMMxlMMxFxMA eeee 例题例题 4-5材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力713. 作剪力图和弯矩图作剪力图和弯矩图 axxlMxM 0 e lxaxllMxM e lxlMxF 0eS由由FS，M方程画出方程画出FS图和图和M图，分别图，分别如如(b)，(c)所示所示例题例题 4-5材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力72 由图由图b和图和图c可见，梁的所有横截面上的剪力相可见，梁的所有横截面上的剪力相同，均为同，均为FS=Me/ l 。在。在ba的情况下，的情况下，C截面右侧截面右侧(x=a+)横截面上的弯矩

37、绝对值最大，且值为横截面上的弯矩绝对值最大，且值为Mmax=Meb/l。在集中力偶作用处弯矩图有突变，也。在集中力偶作用处弯矩图有突变，也是因为集中力偶实际上只是作用在微范围内的分是因为集中力偶实际上只是作用在微范围内的分布力偶的简化。布力偶的简化。例题例题 4-5材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力73思考思考1：一简支梁受移动荷载：一简支梁受移动荷载F作用，如图所示。作用，如图所示。试问：试问： (a) 此梁横截面上的最大弯矩是否一定在移动此梁横截面上的最大弯矩是否一定在移动荷载作用处？为什么？荷载作用处？为什么？ (b) 荷载荷载F 移动到什么位置时此梁横截面上的移动到什

38、么位置时此梁横截面上的最大弯矩比荷载在任何其它位置时的最大弯矩都最大弯矩比荷载在任何其它位置时的最大弯矩都要大？该最大弯矩又是多少？亦即要求求出对于要大？该最大弯矩又是多少？亦即要求求出对于弯矩的最不利荷载位置和绝对值最大弯矩值。弯矩的最不利荷载位置和绝对值最大弯矩值。材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力74思考思考2：对于图示带中间铰：对于图示带中间铰C的梁，试问：的梁，试问： (a) 如果分别在中间铰左侧和右侧作用有向下如果分别在中间铰左侧和右侧作用有向下的同样的集中力的同样的集中力F，这两种情况下梁的剪力图和弯，这两种情况下梁的剪力图和弯矩图是否相同？矩图是否相同？ (b

39、) 如果分别在中间铰左侧和右侧作用有同样如果分别在中间铰左侧和右侧作用有同样大小且同为顺时针的力偶矩大小且同为顺时针的力偶矩Me的力偶，这两种情况的力偶，这两种情况下梁的剪力图和弯矩图是否相同？下梁的剪力图和弯矩图是否相同？C材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力75思考思考3：根据对称性与反对称性判断下列说法是否正确。根据对称性与反对称性判断下列说法是否正确。(a) 结构对称、外力对称时，弯矩图为正对称，结构对称、外力对称时，弯矩图为正对称，剪力图为剪力图为 反对称；反对称；(b) 结构对称、外力反对称时，弯矩图为反对称，结构对称、外力反对称时，弯矩图为反对称，剪力图为正对称。

40、剪力图为正对称。材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力76 简支梁受力如图简支梁受力如图a所示。试写出梁的剪力方所示。试写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。(a) xBAl/2l/2CqFAFB例题例题 4-6材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力771. 求支座的约束力求支座的约束力得得和和由由 00ABMMqlFqlFBA81 ,83 可利用平衡方程可利用平衡方程 对所求约束力进对所求约束力进行校核。行校核。 0yF例题例题 4-6解解:(a) xBAl/2l/2CqFAFB材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应

41、力弯曲应力782. 分段建立剪力方程和弯矩方程分段建立剪力方程和弯矩方程 AC段段： 22183)(qxqlxxM )20(lx qxqlxF 83)(S)20(lx (a) xBAl/2l/2CqFAFB例题例题 4-6材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力79CB段：段：（以（以x截面右截面右边为分离）边为分离） qlxF81)(S )2(lxl )(81)(xlqlxM )2(lxl (a) xBAl/2l/2CqFAFB例题例题 4-6材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力803求控制截面的内力，绘求控制截面的内力，绘FS 、M图图 FS图图：AC段内段内

42、剪力方程是剪力方程是x的一次函数，剪力图为斜直的一次函数，剪力图为斜直线，故只需求出线，故只需求出A和和C端截面的剪力值端截面的剪力值qlFA83S 右右qlFC81S 左左(a) xBAl/2l/2CqFAFB例题例题 4-6材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力81 CB段内剪力方程为常数，剪力图为水平线。段内剪力方程为常数，剪力图为水平线。由由FSC可画出可画出该段剪力图。梁的剪力图如图该段剪力图。梁的剪力图如图b所所示示 (b) FSx38 l18 ql38 ql(a) xBAl/2l/2Cq例题例题 4-6qlxF81)(S)2(lxl 材料力学材料力学()电子教案电子

43、教案弯曲应力弯曲应力82M图：图：AC段内弯矩方程是段内弯矩方程是x的二次函数，弯矩的二次函数，弯矩图为二次抛物线，图为二次抛物线，需求出三个截面的需求出三个截面的弯矩。弯矩。0 AM2161qlMC (b) FSx38 l18 ql38 ql(a) xBAl/2l/2Cq例题例题 4-6材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力83此外，尚需考察该段内弯矩有无极值，由此外，尚需考察该段内弯矩有无极值，由)0)(0d)(d1S xFxxM21289)83(qllM lx83 得得(b) FSx38 l18 ql38 ql极值弯矩为极值弯矩为(a) xBAl/2l/2Cq例题例题 4-

44、6材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力84CB段内弯矩方程段内弯矩方程是是x的一次函数，的一次函数，只需求出两个端只需求出两个端点的弯矩。点的弯矩。0 BM2161qlMC (b) FSx38 l18 ql38 ql(c) Mx9128ql2116ql2梁的弯矩图如图梁的弯矩图如图c c所示。所示。(a) xBAl/2l/2Cq例题例题 4-6材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力M(x1)(1xFSBF)(2xFSM(x2)1. 列内力方程分为两段列内力方程分为两段AFx1x2AC段：段：)0(245)()0(45)(12111111axqxqaxxMaxqxq

45、axFSCB段：段：)2()2 (4)2 ()()2(4)(222222axaxaqaxaFxMaxaqaxFBS例例7 7 列出例列出例3 3剪力和弯矩方程，绘制剪力和弯矩方程剪力和弯矩方程，绘制剪力和弯矩方程。ABq2qaaCa54AFqa14BFqax材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力ABq2qaaCa54AFqa14BFqax54qa14qa214qa234qamax54SqaF2max34Mqa2. 绘制内力图绘制内力图3. 最大内力最大内力材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力87解解：1 1、支反力、支反力2 2、写出内力方程、写出内力方程),(2

46、)(:1kNFxFACAYs1kN/m2kNABC D1m1m2mx1x3x2FAYFBY)( 2);( 20432121, 00212, 0kNFkNFFMFFYBYAYAYBBYAY 例例 画出梁的内力图。画出梁的内力图。),.(2)(111mkNxxFxMAY, 0222)(:2AYsFxFCD,21)(:333xxFxFBCBYs),.(2) 1(2)(222mkNxxFxMAY,2221)(2333333xxxxxFxMBY材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力883 3、根据方程画内力图、根据方程画内力图1kN/m2kNABC DFAYFBYxFs(x)x2kN2kN

47、)20(22)()20(2)(:)21 (2)()21 (0)(:) 10(2)() 10(, 2)(:32333333222211111xxxxMxxxFBCxxMxxFCDxxxMxxFACsss，2kN.m2kN.mM(x)仔细观察内力图的特点仔细观察内力图的特点材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力外力规律发生变化的截面外力规律发生变化的截面控制截面：控制截面：集中力作用点、集中力作用点、外力偶作用面、外力偶作用面、分布载荷的起点、分布载荷的起点、终点等。终点等。总结总结材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力写内力方程时注意事项写内力方程时注意事项3 3、x x截面处必须是任意截面；截面处必须是任意截面；4 4、x x截面处必须是远离外力的作用点；截面处必须是远离外力的作用点；5 5、写出、写出x x截面处的内力就是内力方程，