高等数学课件：1-5 函数的连续性

1、1.5 函数的连续性函数的连续性n函数的连续性函数的连续性n连续函数的运算连续函数的运算n闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质n小结小结一、函数的连续性一、函数的连续性1.函数的增量函数的增量0000( )(, ),(, ),.xf xU xxU xxxx 设函数在内有定义称为自变量在点的增量0( )(),( ).f xf xyf xx称为函数相应于的增量xy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x y y )(xfy 2.连续的定义连续的定义0,xxx设0( )(),yf xf x 00,xxx 就是00( )().yf xf x 就是:)(0条件条件处连续必须满足

2、的三个处连续必须满足的三个在点在点函数函数xxf;)()1(0处处有有定定义义在在点点xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或间断点或间断点的不连续点的不连续点为为并称点并称点或间断或间断处不连续处不连续在点在点函数函数则称则称要有一个不满足要有一个不满足如果上述三个条件中只如果上述三个条件中只xfxxxf3.单侧连续单侧连续00000( )(, (0)( ),( );f xxxf xf xf xx若函数在内有定义，且则称在点 处左连续定理定理100( )( ).f xxf xx函数在处连续函数在处既左连续又右连续0000

3、0( ) ,),(0)( ),( ).f xx xf xf xf xx若函数在内有定义且则称在点 处右连续例例1 1.0, 0, 2, 0, 2)(连续性连续性处的处的在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf注意：讨论分段函数的连续性时，在分段点处，注意：讨论分段函数的连续性时，在分段点处，一定要分别考虑函数的左右连续性问题一定要分别考虑函数的左右连续性问题例例2 2.0, 0, 0, 0,1sin)(处连续处连续在在试证函数试证函数 xxxxxxf4.连续函数与连续区间连续函数与连续区间在区间在区间(a,b)内每一点都连续的函数内每一点都连续的函数,叫做在该区叫做在该区间内的间内的连续函数连续函

4、数,或者说函数在或者说函数在(a,b)内连续内连续.,)(,),(上连续上连续在闭区间在闭区间函数函数则称则称处左连续处左连续在右端点在右端点处右连续处右连续并且在左端点并且在左端点内连续内连续如果函数在开区间如果函数在开区间baxfbxaxba 连续的几何意义：连续函数的图形是一条连续连续的几何意义：连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线而不间断的曲线.例如例如,(,).xye 函数在区间内是连续的二、连续函数的运算法则二、连续函数的运算法则1.1.函数的和、差、积、商的连续性函数的和、差、积、商的连续性000( ),( ),( )( )( ),( )( ),( ()0)( ).f xg x

5、xf xf xg xf xg xg xg xx若函数在点处连续则在点处定1：也连续理例如例如,),(cos,sin内连续内连续在在xx.csc,sec,cot,tan在其定义域内连续在其定义域内连续故故xxxx定理说明：连续函数的和、差、积、商（分母不为定理说明：连续函数的和、差、积、商（分母不为 零）都是连续函数零）都是连续函数. . 2.2.反函数与复合函数的连续性反函数与复合函数的连续性定理定理2 2 严格单调的连续函数必有严格单调的连严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数续反函数. .例如例如,2,2sin上单调增加且连续上单调增加且连续在在 xy. 1 , 1arcsin上也是单

6、调增加且连续上也是单调增加且连续在在故故 xy.)(,)(,)(,)(00000也连续也连续在点在点则复合函数则复合函数连续连续在点在点而函数而函数且且连续连续在点在点设函数设函数xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理3 3在此定理条件下，复合函数的符号与极限在此定理条件下，复合函数的符号与极限符号可以交换次序符号可以交换次序3.3.初等函数的连续性初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的连续的.)1, 0( aaayx指数函数指数函数;),(内单调且连续内单调且连续在在)1, 0(log aaxya对数函数对数函数;), 0(内单

7、调且连续内单调且连续在在 xy ,不同值不同值讨论讨论 (均在其定义域内连续均在其定义域内连续 )定理定理4 4 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连内都是连续的续的. .定义区间是指有定义的区间定义区间是指有定义的区间. .求初等函数定义区间内各点的极限时，只求初等函数定义区间内各点的极限时，只要计算它在该点的函数值要计算它在该点的函数值)()()(lim000定义区间定义区间 xxfxfxx例例2 220ln()lim.cosxxexax求例例3ln(12 )xyx求函数的连续区间和间断点.21cos(1)lim.21xxexx例1 求000( ),( )()()( )

8、.If xxIxIf xf xf xf xI对于在区间 上有定义的函数如果存在如果使得对于任一都有则称是函数在区间 上定：的最大值义(一一) 最大最小值定理最大最小值定理000,( )()()( ).xIxIf xf xf xf xI 相反地，如果存在使得对于任一都有则称是函数在区间 上的最小值三、闭区间上连续函数的性质三、闭区间上连续函数的性质例如例如, 2max y,sin1xy ,2 , 0上上在在 ; 0min y , , , , C a ba bB a ba b记号：表示闭区间上的连续函数 表示闭区间上的有界函数最小值定理定理1(1(最大最小值定理最大最小值定理) ) 在闭区间上连续

9、的函在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值数一定有最大值和最小值. .ab2 1 xyo)(xfy 1212( ) , , , , , ,( )( ),()( ).f xC a ba bxa bff xff x 即：若则使得有且最大值.)(, 0)(000的零点的零点称为函数称为函数则则使使如果如果xfxxfx (二二) 零点定理与介值定理零点定理与介值定理定义定义: :( )0( , ).f xa b即方程在内至少存在一个实根零点定理零点定理方程根的讨论问方程根的讨论问题题 ab3 2 1 几何解释几何解释:.,)(轴至少有一个交点轴至少有一个交点线弧与线弧与则曲则曲轴的不同侧轴的不同侧端点位于端点位于的两个的两个连续曲线弧连续曲线弧xxxfy xyo)(xfy ( ).yf xyC连续曲线弧与水平直线至少有一个交点几何解释几何解释:例例1 132410(0,1).xx 证明方程在区间内至少有一根sin (0,0).xabx abab例2 证明方程至少有一个正根，且不超过1Mm闭区间上的连续函数必取得最大值与最小值 之间推论 ：的任何值.例例3 3.)()