位移影响线_13

1、13结构位移影响线的计算及应用结构力学教科书中对静定结构的的内力和支座反力作法及计算有详尽的叙述，对超静定结构的内力和支座反力影响线的计算也作了简要的介绍，但是对结构位移影响线的计算却没有提及。本文推导了简支梁和多跨超静定连续梁截面位移和转角影响线的计算公式，并介绍了结构位移影响线在工程中的应用。1、简支梁在支座移动和杆端弯矩作用下的位移简支梁AB在支座移动yB以及杆端弯矩Ma、Mb作用下，距A点为x处截面的竖向位移由四部分组成(如图13-1所示)，即：4y(x)=£y,(x)(13-1)i4式中：、y2分别为支座移动yA和yB产生的位移，5y,分别为ma和Mb产生的位移。图13-1

2、在x处作用单位力，简支梁的支座反力和弯矩图见图13-2(a),则可得y1(x)、y2(x)分别为：_L-xxy1(x)=-FraVa=-(-)yA=(11)yA(13-2)x、xV2(x)=FrbVb=一(一)丫8=丫人(13-3)在简支梁A、B两端分别作用Ma和Mb,梁的弯矩图分别见图13-2(b)、(c),弯矩图13-2(a)与图13-2(b)进行图乘得y3(x),弯矩图13-2(a)与图13-2(c)进行图乘得y/x),即:y3(X)=12EIx(L-x)2L-xL-L3LMA=My4(x)=12eix(L-x)L3LMb=(13-4)(13-5)把式(13-2)(13-5)代入式(13

3、-1)得:y(x)=yA%(x)+yB%(x)十告我(乂)+鲁%(乂)(13-6)式中：xxQ(x)=1F，%(x)=(中3(x)=L2p：-3(92+(令3I,Q(x)="-：+(令3I6_LLL6_LL(a)(b)图13-22、简支梁任意截面竖向位移的影响线简支梁AB在移动荷载FP=1作用下，C点的挠度为y°(x,x*),见图13-3(a)y0(x,x")就是C截面竖向位移的影响线。(a)L(b)(1)当Fp=1作用在AC之间(即0MxMx,见图13-3(a)此时，简支梁AB的DB段与图13-3(b)所示的简支梁等价，可以很容易算出图中的Yd=22x(L-x)

4、3EILMdx(L-x)、Yb=0、Mb=0。C点的竖向位移可以用公式(13-6)计算:Y0(x,x)=YdT(x,x)MdEI3(x,x)x2(L-x)23EIL-1(x,x)x(L-x)EIL3(x,x)式中：1(x,/x-x=13(x,x)=(L-x)2*2x-x把i(x,x*)和%(x,x*)的具体表达式代入上式得Y°(x,x)22_x(L-x)3EILi(x,x)x(L-x)EIL；(x,x)_x2(L-x)2(1x-x),x(L-x)(L-x)23EILL-xEIL6一x*-xL-x-3J-XL3x(1-x)(1x-x3.x(1-x)一冲x、'1-xf*W.3xl

5、L-xJ(13-7)1-xJ1-x(2)当Fp=1作用在CB之间(即x<x<L,见图13-4(a)Fp=1Y(x,x)、Yd*(b)(a)图13-4此时，简支梁AB的CB段与图13-4(b)所示的简支梁等价，C点的竖向位移仍可y(x,x)Yd：2(x,x)MdEI：4(x,x)x2(L-x)23EIL2(x,x)x(LILx)4(x,x)式中：2(x,x)=Jx2dxI.,54(x,x*)=6I把%(x,x)和54(x,x)的具体表达式代入上式得22EILy0(x,x)=x(L-x);；2(x,x)x(L-x)4(x,x)3EIL22x(L-x)3EIL(-)x(L-x)x2EIL

6、6(13-8)L3fx(1-x)(土)x-3x(1-x)'从式(13-7)、式(13-7)、(13-8)就是在单位移动荷载作用下C点竖向位移的影响线(13-8)还可以求得C截面转角的影响线:.y(x,x).xL2x2(1-x)EI2(1X(i-x)3一1-x6I2=-6(x-x)21-x(1-x)(1.)3(0<x<x)2-2-3Lx(1-x)x(1-x)IIEI(13-9)3、多跨连续梁任意截面位移的影响线卜面以图13-5所示三跨连续梁为例说明若要计算BC跨截面E的竖向位移的影响线y(x,x*),首先利用位移法计算杆端弯矩MBC(x)和Mcb(x)的影响线。*xABEDC

7、(1)当FP=1在AB和CD段上移动此时，y(x,x*)可以利用公式(13-6)计算:y(x,x)Mrc(x)M(x)BE=3(xCB；4(x”)EIEI(13-10)式中:(x)一二-4(x)-6LL2一|一x6*3x.2-*.2中3(x)=L2-3()2+(±)3LL?2x-3x2+x*3I,6LLL61(2)当Fp=1在BC段上移动取BC跨为隔离体，其受力如图13-6(a)所示，它可以分解成图13-6(b)和图13-6(c)两种情况的叠加。其中图13-6(b)中E截面的竖向位移影响线可由式13-计算，图13-6(c)就是简支梁E截面的竖向位移影响线，两者叠加得:(a)(c)(b

8、)图13-6Mbc(x).Mcb(x)./“,八y(x,x*)="，(x*)+CB：”4(x*)+y(x,x*)(13-11)上式中y°(x,x")由式(13-7)、(13-8)计算。式(13-1。、(13-11)就是多跨连续梁任意截面竖向位移的影响线计算公式。还可以求出任意截面转角的影响线:.*.i(x,x);土卫二x-MQ'(x+M%'(x9(Fp=1在AB和CD段上移动)(13-12)二EIEI*、M%'(x个+MQ'(x>+y(x：x)(Fp=1在BC段上移动)EIEI：x122式中：Q(x")=-(26L*

9、2x、L3*26+牛)=£(2-6-+3-),中4(x")=LL6L_*2=(_1+3x),yy(x,x)/£x同式(13-9)。64、计算实例例13-1求简支梁跨中截面C竖向位移影响线及转角影响线。按公式(13-7)(13-8),取x*=L/2或x*=1/2,可得截面C的竖向位移影响线及转角影响线:当0_x_或0_x时yC(x,L)二,2EI2x(1-x)32-(11-一2-j)+x(1-x)31-x61-一x221-x-31-一x21-x'21-3rx21-xJ一-2-22x(1-x)1c()31-xx(1x)36-2=-61-x1一-x2_(1-x)

10、2(2-x)211(1-x)3当LMxML或1MxM1时°,LL3yc(xm=Ex2"为233+x(1-x)+2、3Y(x,L)=L2EI_x(1-x)2331、2Tx(1一x)6-3x截面C竖向位移影响线及转角影响线如图13-7所示x(L)x(L)图13-7Matlab若要计算距A点为x*的任意截面的竖向位移影响线及转角影响线可用以下程序实现。clearx=0:0.01:1;%x表示文中的x早xx=0.25;%xx表示文中的xfori=1:length(x)ifx(i)<=xxy(i)=x(i)A2*(1-x(i)A2/3*(1-(xx-x(i)/(1-x(i)+x

11、(i)*(1-x(i)A3/6*.(2*(xx-x(i)/(1-x(i)-3*(xx-x(i)/(1-x(i)A2+(xx-x(i)/(1-x(i)A3);st(i)=x(i)A2*(1-x(i)A2/3*(-1)/(1-x(i)+x(i)*(1-x(i)A3/6*.(2/(1-x(i)-6*(xx-x(i)/(1-x(i)A2+3*(xx-x(i)A2/(1-x(i)A3);elsey(i)=x(i)A2*(1-x(i)A2/3*xx/x(i)-x(i)A3*(1-x(i)/6*(-xx/x(i)+(xx/x(i)A3);st(i)=x(i)*(1-x(i)A2/3-x(i)A3*(1-x(

12、i)/6*(-1/x(i)+3*xxA2/x(i)A3);endend%figureplot(x,y)figureplot(x,st)利用以上Matlab程序，图13-8中给出了x*=L/4,L/2,3L/4截面的竖向位移影响线及转角影响线。x(L)0。x(L)13-8例13-2求图13-9所示三跨连续梁截面E、F竖向位移影响线。（1）截面E竖向位移影响线及转角影响线当FP=1在AB段上移动，由公式（13-11）得Ye(x,L)=2MAB(x)EIMBA(x)EI3(L)MiA；4()yE(x')2EI22中4(：)+yEg22式中：4L2*3xx上_1*62L;yE(x,L)可由16

13、2以上所给的Matlab程序实现;MBA（x）已由前面章节计算，为Mba(x)=4324L3前(x-Lx)=-(x-x)当Fp=1在BCCD段上移动，由公式（10）得ye(x,2)=MAB(x)3(2)M-EApXL”MBA(X)唠）式中：MBA（x）以由前面章节计算，为1-一,、15L2MBA(x),322、L,一3一2一、(5x-12Lx7Lx=一(5x-12x7x-y(x3-3Lx22L2x)=15L215L-3-2-一一(x-3x2x)15（FP=1在BC段上移动）（FP=1在CD段上移动）截面E竖向位移影响线影响线如图13-10所示。图13-10若要计算距A点为x*的任意截面的竖向位

14、移影响线可用以下Matlab程序实现clearx=0:0.01:1;%x表示文中的xxx=0.25;%xx表示文中的Xfori=1:length(x)ifx(i)<=xxy(i)=x(i)A2*(1-x(i)A2/3*(1-(xx-x(i)/(1-x(i)+x(i)*(1-x(i)A3/6*.(2*(xx-x(i)/(1-x(i)-3*(xx-x(i)/(1-x(i)A2+(xx-x(i)/(1-x(i)A3);elsey(i)=x(i)A2*(1-x(i)A2/3*xx/x(i)-x(i)A3*(1-x(i)/6*(-xx/x(i)+(xx/x(i)F3);endend%fai4=(-

15、xx+xxA3)/6;%fai4表示文中的中4(x冲)yE_AB=fai4.*(-4/15).*(x.A3-x)+y;yE_BC=fai4.*(1/15).*(5.*x.A3-12.*x.A2+7.*x);yE_CD=fai4.*(-1/15).*(x.A3-3.*x.A2+2.*x);%figureplot(x,x+ones(1,101),x+2.*ones(1,101),yE_AB,yE_BC,yE_CD)%利用以上Matlab程序，图13-11中给出了距A点为x*=L/4,L/2,3L/4截面的竖向位移影响线。0yx(L)图13-11(2)截面F竖向位移影响线及转角影响线当FP=1在AB

16、和CD段上移动，由公式(13-10)得LyF(x，2)=MBC(x)EI;3(2)-MCB(x)式中：3L2L而；“万）L216MBc（x）和MCB（x）已由前面章节计算，为MBC(x),115L2(x3-L2x)4L-3一明(x-x)15（FP=1在AA段上移动）15L2ccc1-3-2,(x3-3Lx2+2L2x)=(x-3x+2x)(FP=1在CD段上移动)15Mcb(x)=415L2(x3-L2x)山一315-X)（FP=1在AA段上移动）15L2(x3-3Lx22L2x)=4L.3(x15一2-3x+2x）（FP=1在CD段上移动）当FP=1在BC段上移动，由公式（13-11）得yF

17、(x,2)=MBC(x)3(2)M4(L)y0(x,-2)式中：yE（x,，）可由以上所给的Matlab程序实现；Mba（x）已由前面计算，为Mbc(x)=MCB(x)=15L21/322、L/132一、(5x3-12Lx27L2x)=-一(5x-12x7x)1515L21322、L,一32(5x-3Lx_2Lx)=(5x-3x2x)15截面F竖向位移影响线如图13-12所示。clearx=0:0.01:1;xx=0.25;图13-12若要计算距B点为x*的任意截面的竖向位移影响线可用以下Matlab程序实现%x表示文中的x一冲%xx表示文中的xfori=1:length(x)ifx(i)&l

18、t;=xxy(i)=x(i)A2*(1-x(i)A2/3*(1-(xx-x(i)/(1-x(i)+x(i)*(1-x(i)A3/6*.(2*(xx-x(i)/(1-x(i)-3*(xx-x(i)/(1-x(i)A2+(xx-x(i)/(1-x(i)A3);elsey(i)=x(i)A2*(1-x(i)A2/3*xx/x(i)-x(i)A3*(1-x(i)/6*(-xx/x(i)+(xx/x(i)F3);endend%fai3=(2*xx-3*xxA2+xxA3)/6;%fai3表示文中的邛3(x州)fai4=(-xx+xxA3)/6;%fai4表示文中的中4(x*)yF_AB=fai3.*(4

19、/15).*(x.A3-x)+fai4.*(1/15).*(x.A3-x);yF_BC=fai3.*(-1/15).*(5.*x.A3-12.*x.A2+7.*x)+fai4.*(-1/15).*(5.*x.A3-3.*x.A2-2.*x)+y;yF_CD=fai3.*(1/15).*(x.A3-3.*x.A2+2.*x)+fai4.*(4/15).*(x.A3-3.*x.A2+2.*x);%figureplot(x,x+ones(1,101),x+2.*ones(1,101),yF_AB,yF_BC,yF_CD)利用以上Matlab程序，图13-13中给出了距B点为x=L/4,L/2,3L/

20、4截面的竖向位移影响线。图13-135、位移影响线的应用随着城市建设的快速发展，城市道路网中高架路和立交桥日益增多，同时车辆载重日益加大，且数量也日益增多，很多现役桥梁出现安全隐患，桥梁损伤检测成为桥梁发展过程中必不可少的一部分，以保证桥梁在使用期限内有足够的安全储备。本文针对某区间存在局部损伤的简支梁，利用有限元分析软件ANSYS马至U任意对称测点的竖向位移影响线。利用两条位移影响线上关于跨中对称荷载位置差值(SDDIL),可用判断简支梁发生局部损伤的位置。5.1SDDIL指标建立如图13-14所示存在局部损伤的简支梁结构模型：该结构观测点为s,t,点s和点t关于跨中截面对称，损伤区间为(a,b),荷载加载位置x。整体刚度为EI,损伤区间(a,b)处的刚度为kEI,其中k为刚度折减系数。L图13-14设对称测点s,t的位移影响线方程分别为ys(x)、yt(x),将ys(x)在荷载位置x处的值ys(x)减去yt(x)在荷载位置L-x处的值yt(L-x),即可得到对称测点位移位移影响线上关于跨中对称荷载位置差值SDDILSDDIL(x)