人教版高中数学【选修4】知识点整理及重点题型梳理

1、人教版高中数学选修4-4知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习直线的参数方程【学习目标】1 .能选择适当的参数写出直线的参数方程.2 .会运用直线的参数方程解决有关问题。【要点梳理】要点一、直线的参数方程的标准形式1 .直线参数方程的标准形式：经过定点M0（R,y0）,倾斜角为的直线l的参数方程为:xX0tcosyyotsin（t为参数）；我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式。2 .参数t的几何意义：参数t表示直线l上以定点Mo为起点，任意一点M（x,y）为终点的有向线段的长度再加上表示方向的正负号，也即|MM|t|,|t|表示直线上任一点M到定点Mo的距离。当点M在M0上方时，t0;当

2、点M在M0下方时，t0;当点M与M。重合时，t0;,、一、xX0t要点注释：若直线l的倾角0时，直线l的参数方程为yy0要点二、直线的参数方程的一般形式过定点P0（x0,y0）斜率k=tga=b的直线的参数方程是axxyv。at（t为参数）bt在一般式中，参数t不具备标7B式中t的几何意义。若a2+b2=1,则为标准式，此时，|t|表示直线上动点P到定点P的距离；若a2+b）1,则动点P到定点P的距离是后一b2ItI要点三、化直线参数方程的一般式为标准式般地，对于倾斜角为、过点M（xo,y0）直线l参数方程的一般式为,XX0at(tyobt为参数），斜率为ktg-a(2)b2=1时，则W1时，

3、则Xoyoat可bt的几何意义是有向线段MoM的数量.不具有上述的几何意义XoV。a-22,abb-22ab(a2b2t)(a2b2t)0t=a2b2t则可得到标准式XoV。aa2bba2b二t2t的几何意义是有向线段MoM的数量.要点四、直线参数方程的应用1 .直线参数方程中参数的几何意义几种常见用法:设过点PXyo）,倾斜角为a的直线l的参数方程是xotcosayotsina（t为参数）(1)Pl、Pi、P2是l上的两点，它们所对应的参数分别为P2两点的坐标分别是:(xo+t1COSa,yo+t1Sintl,t2,则a),(Xo+t2COSa,yo+t2Sina)；IP1P2I=I11-t

4、2I;t1线段P1P2的中点P所对应的参数为t,则t=中点P到定点Po的距离|PB|=|t|若Po为线段RF2的中点，则t1+t2=o.2 .用直线参数方程解直线与圆锥曲线相交的几种题型:（1）有关弦长最值题型过定点的直线标准参数方程，当直线与曲线交于AB两点。则A、B两点分别用参变量t1、t2表示。般情况A、B都在定点两侧，t1,t2符号相反，故|AB|=|t1-t2|,即可作分公式。且因正、余弦函数式最大（小）值较容易得出，因此类型题用直线标准参数方程来解，思路固定、解法步骤定型，计算量不大而受大家的青睐。（2）有关相交弦中点、中点轨迹的题型直线标准参数方程和曲线两交点A（t1）、B（t2

5、）的中点坐标相应的参数t中二L0；若定点恰为AB为2中点，则t1+t2=0.这些参数值都很容易由韦达定理求出。因此有关直线与曲线相交，且与中点坐标有关的问题，用直线标准参数方程解决较为容易得出结果。（3）有关两线段长的乘积（或比值）的题型若F为定点，P、Q为直线与曲线两交点，且对应的参数分别为t1、t2.则|FP|FQ|=|t1t2|,由韦达定理极为容易得出其值。因此有关直线与曲线相交线段积（或商）的问题，用直线的标准参数方程解决为好【典型例题】类型一、直线的参数方程x例1.（2016春福州校级期中）直线y-tcos20（t为参数）的倾斜角是（3tsin20A. 20B. 70C.110D.1

6、60【思路点拨】因为不是标准形式，不能直接判断出倾斜角，有两种方法：化为普通方程，化标准形式。【答案】D【解析】第一种方法：化为普通方程，求倾斜角.-xtcos20把参数方程改写成y-3tsin20消去t,有y-3-xtan20=xtan160,即yxtan160+3,所以直线的倾斜角为160。.第二种方法：化参数方程为直线的标准参数方程xtcos160y3tsin160所以直线的倾斜角为160。，选D.【总结升华】根据参数方程判断倾斜角，首先要看参数方程的形式是不是标准形式，如果是标准形式,，、一，、，,x2tcos20，一一人衿根据方程就可以判断出倾斜角，例如（t为参数），可以直接判断出直

7、线的倾斜角是20。，y4tsin20但是如果不是标准形式，就不能直接判断出倾斜角了。x【变式1】已知直线l的参数方程为y、3t（t为参数），求直线l的倾斜角.【答案】关键是将已知的参数方程化为X0y0tcos的形式。tsin若化成另一种形式若2t为一个参数cossinx而化成y(2t)故直线l的倾斜角为【变式2】求直线x34ty45t4t5tk【变式3】为锐角,【变式4】置关系.35(2t)12(2t)2t)时,0,cossin（t为参数）的斜率。（t为参数）5t4t直线1tcos(2tsin(tcos(tsin(（一，），倾角为一22已知直线1i的参数方程为）内无解;4t5t）的倾斜角tan

8、()tan(12t,12的参数方程为14ty12t5.试判断11与12的位-t21解法一：将直线li化为普通方程，得y=2x+1,将I2化为普通方程，得y-x2.21因为k1k221,所以两直线垂直.1 22解法二:由参数方程可知11的方向向量是a1=(2,4),l2的方向向量是a2=(2,1),又2X2+4X(即两条直线垂直.【直线的参数方程406451例题1】-一八”一、x53t例2.设直线的参数方程为y104t(1)求直线的直角坐标方程;(2)化参数方程为标准形式.【思路点拨】在直线的参数方程的标准形式中参数t的系数具有明确的意义，分别是直线的倾斜角的正、余弦值,且y值中t的系数一定为正

9、.x5【解析】(1)把t代入y的表达式，3得y104(x5),3化简得4x+3y50=0.所以直线的直角坐标方程为4x+3y50=0.把方程变形为10、3242_3_-32._432=t423-(5t)54210(5t)令u=-5t,则方程变为103-u54u5记cos直线参数方程的标准形式是:ucos10usin【总结升华】x已知直线的参数方程为yxx。yy。,0Tt再令cos.a2b2ta-ai=b2，sin,b,由直线倾斜角的范围，使,PV在0,兀）范围内取值，并且把4a2b2t看成标准方程中的参数t,即得标准式的参数方程为xx。tcosyy。tsin（t为参数）.由上述过程可知,般参数

10、方程中的Ja2b2t具有标准形式参数方程中参数t的几何意义。【变式1】写出经过点Mo（2,3）,倾斜角为3的直线l的标准参数方程，并且求出直线l上与点Mo相距为2的点的坐标.【答案】直线l的标准参数方程为x3tcos43tsin一4c2，一2（t为参数）（1）3二t2设直线l上与已知点M。相距为的点为M点，且M点对应的参数为t,x0at，一xx0tcos-（t为参数），由直线的参数方程的标准形式0可知V。btyyotsin参数t前的系数分别是其倾斜角的余弦值和正弦值，二者的平方和为1,故可将原式转化为的值代入（1）式则|MqM|=|t|=2,.-.t=2将t当t=2时，M点在M。点的上方，其坐

11、标为（22,3+豆）;当t=-2时，M点在M。点的下方，其坐标为（一2+J2,3J2）.x1t【变式2】直线的参数方程:能否化为标准形式？y33t【答案】是可以的，只需作参数t的代换.（构造勾股数，实现标准化）x1；21,_2（小2（卫）2t）,m（?，3）令tq12（3）2ty3-3-（12（3）2t）12（、3）2得到直线l参数方程的标准形式x1-123r3t2t的几何意义是有向线段M0M的数量.【变式3】化直线l1的普通方程xJ3y1=。为参数方程，并说明参数的几何意义几何意义.【答案】令y=。,得x=1,.直线l1过定点（1,。）.k=-33设倾斜角为tg11的参数方程为3二t25,c

12、os6(t为参数)t是直线11上定点M0(1,0)到对应的点M(X.一、.一.一2(1)、(2)两式平万相加，得(X1)2.2yt22I11=(x1)yI11=-3sin=122,y)的有向线段M0M的数量.由X2t是定点Mo(1,0)到t对应的点M(x,y)的有向线段M0M的长.类型二、直线的标准参数方程的初步应用例3.设直线11过点A(2,4),倾斜角为(1)求11的参数方程;(2)设直线12：xy10,12与11的交点为B,求点B与点A的距离.【思路点拨】(2)中，若使用直线的普通方程利用两点间的距离公式求参数方程，充分利用参数t的几何意义求较容易.M点的坐标较麻烦，而使用直线的x【解析

13、】(1)直线的参数方程为c52tcos6/154tsin一63t2(t为参数).1t2(2)如图所示，B点在11上，只要求出B点对应的参数值t,把11的参数方程代入12的方程中,1一t10,2.31t27,.t14317(31)-由t为正值，知|AB|7(61).【总结升华】(1)求直线上某一定点到直线与曲线交点的距离时，通常要使用参数的几何意义，宜用参数方程的标准形式.而对于某些比较简单的直线问题，比如求直线和坐标轴或者与某条直线的交点时宜用直线的普通方程.(2)本类题常见错误是转化参数方程时不注意题目内容，随便取一个定点.举一反三：.、，.x13t【变式1】已知直线11：24t0为参数)与

14、直线l2：2x4y5相交于点B,又点A(1,2),则AB&x13t_15将代入2x4y5得t,则B(,0),而A(1,2),得ABy24t224【变式2】已知直线11过点P(2,0),斜率为-3(1)求直线1i的参数方程；(2)若直线l2的方程为x+y+5=0,且满足11nl2=Q,求|PQ|的值.【答案】(1)设直线的倾斜角为，由题意知tan=4,3所以sin=45x=2+-tcos=3,故11的参数方程为5(t为参数).54y=-t5x=2+3t34t+-t+5=0,解得t=5,即Q(-1,-4),所以|PQ|=5.555(2)将代入12的方程得：2+4,yt5【变式3】求点A(-1,-2

15、)关于直线1:2x-3y+1=0的对称点A的坐标。由条件，设直线AA的参数方程为_2_x=-1-向y=-2+#(t是参数),A到直线1的距离d=,1310t=AA=口,13代入直线的参数方程得A(-H，今)。【变式4】已知直线1过点P(3,2),且与x轴和y轴的正半轴分别交于A、B两点，求|PA|PB|的值为最小时的直线1的方程.【答案】设直线的倾斜角为，x3tcos.,则它的参数方程为(t为参数).y2tsin由A、B分别是x轴、y轴上的点知yA=0,xb=0,.0=2+tsin,即|PA|t|0=3+tcos,即|PB|t|2sin3cos一一一2故|PA|PB|一sin3cos12sin

16、2.-900恒成立.55，方程必有相异两头根t1、t2,且t+t2=3(2cos+sin),t1t2.4(1) |BC11tlt2|J(Lt2)24t1t2J9(2cossin)255.(2) A为BC中点，t1+t2=0,即2cos+sin=0,tan=2.3故直线BC的万程为y-2(x3),即4x+2y+15=0.(3) |BC|J9(2cossin)2558,(2cos+sin)2=1,cos=0或tan直线BC的方程是x=3或3x+4y+15=0.(4)t1t2BC的中点M对应的参数是t-一223一(2cossin),2，点M的轨迹方程为3.-sin23.sin2(2cos(2cos3

17、一cos223sin22即点M的轨迹是以sinsin)(0),1sin221cos2245163为圆心，以3y5为半径的圆.44【总结升华】利用直线的参数方程可以研究直线与圆的位置关系，求直线方程、求弦长、求动点轨迹等问题，也十分方便.【变式1】直线33(3,3)l(t为参数)和圆x2y232B.(73,3)C.他,16交于A,B两点,AB的中点坐标为3,3-t)216,得t28t80,t12x1-4,2中点为2_y3.3吏42t为参数）被双曲线x2y21截得的弦长。x2t【变式2】求直线Ly、3t【答案】把直线参数方程化为标准参数方程12-t2（t为参数）22代入x2y21,得：21tt12

18、22整理，得：t24t60设其二根为t1,t2,则t1t24:t1t26从而弦长为ABt1t2ft1t224t1t2v4246402师【变式3】过点P（3,0）且倾斜角为30的直线和曲线1,1（t为参数）相交于A、tB两点，求线段AB的长.【答案】直线的参数方程为,33 s2(s为参数)曲线1s21卜t为参数）可以化为x2t6s10。.设A、B对应的参数分别为s1,s2,s2v(sis2)24ss=2布2将直线的参数方程代入上式，得s.ss6J3,ss210ABs例5（2016鞍山一模）直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程为p=4cos,9直线1的方程

19、为炉-2十近214（t为参数），直线l与曲线C的公共点为T.（1）求点（2）过点T的极坐标；T作直线li,若li被曲线C截得的线段长为2,求直线11的极坐标方程.【解析】（1）曲线C的直角坐标方程为x2-4x+y2=0.K=-2+4tz代入上式并整理得-认尿+12RJ解得t=24耳点T的坐标为（上诟）.7T一其极坐标为（2,）（5分）3（2）设直线1的方程为了一仃二k（耳一1）I即L内行一白。.-由（I）得曲线C是以（2,0）为圆心的圆，且圆心到直线1的距离为示则，嗅解得卜=0,或k二6.VjTh直线1的方程为尸R,或尸质也其极坐标方程为psn9=75或岩3(PCR)【直线的参数方程406451例题2】【变式1】已知直线1经过点P（1,1）,倾斜角一6（1）写出直线1的参数方程。设1与圆x2y24相交与两点A,B,求点P到A,B两点的距离之积。【答案】（1）直线的参数方程为1tcos-x1t6,即21tsiny11t62x（2）把直线