量子力学作业习题

1、第1章 量子力学的诞生1 在宏观世界里，量子现象常常可以忽略对下列诸情况，在数值上加以证明：( l ）长l=lm ，质量M=1kg 的单摆的零点振荡的振幅；( 2 ）质量M=5g ，以速度10cm/s 向一刚性障碍物（高5cm ，宽1cm ）运动的子弹的透射率；( 3 ）质量M= 0.1kg ，以速度0.5m/s 运动的钢球被尺寸为1×1.5m2时的窗子所衍射2 用h,e,c,m（电子质量）, M （质子质量）表示下列每个量，给出粗略的数值估计：( 1 ）玻尔半径（cm ) ; ( 2 ）氢原子结合能（eV ) ; ( 3 ）玻尔磁子；( 4 ）电子的康普顿波长（cm ) ; ( 5

2、 ）经典电子半径（cm ) ; ( 6 ）电子静止能量（MeV ) ; ( 7 ）质子静止能量( MeV ) ; ( 8 ）精细结构常数；( 9 ）典型的氢原子精细结构分裂3导出、估计、猜测或背出下列数值，精确到一个数量级范围内，( 1 ）电子的汤姆逊截面；( 2 ）氢原子的电离能；( 3 ）氢原子中基态能级的超精细分裂能量；( 4 ）37Li ( z=3 ）核的磁偶极矩；( 5 ）质子和中子质量差；( 6 )4He 核的束缚能；( 7 ）最大稳定核的半径；( 8 ）0介子的寿命；( 9 ）-介子的寿命；( 10 ）自由中子的寿命4指出下列实验中，哪些实验表明了辐射场的粒子性？哪些实验主要证明

3、能量交换的量子性？哪些实验主要表明物质粒子的波动性？简述理由( 1 ）光电效应；( 2 ）黑体辐射谱；( 3 ) Franck Hertz实验；( 4 ) Davisson -Ger - mer 实验；( 5 ) Compton 散射5考虑如下实验：一束电子射向刻有A 、B 两缝的平板，板外是一装有检测器阵列的屏幕，利用检测器能定出电子撞击屏幕的位置在下列各种情形下，画出入射电子强度随屏幕位置变化的草图，给出简单解释( 1 ) A 缝开启，B缝关闭；( 2 ) B 缝开启，A 缝关闭；( 3 ）两缝均开启6验算三个系数数值：（1）；（2）；（3）hc第二章 波函数与Schröding

4、er方程1 试用量子化条件,求谐振子的能量谐振子势能2 一维运动的粒子处在的状态，其中，求：（1）粒子动量的几率分布函数；（2）粒子动量的平均值。3 平面转子的转动惯量为,求能量允许值4. 有一带电荷质量的粒子在平面内运动,垂直于平面方向磁场是B,求粒子能量允许值.5 对高速运动的粒子(静质量)的能量和动量由下式给出 (1) (2)试根据哈密顿量 (3)及正则方程式来检验以上二式.由此得出粒子速度和德布罗意的群速度相等的关系.计算速度并证明它大于光速.6. （1）试用Fermat最小光程原理导出光的折射定律 （2）光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出下述非难： 如认为光是粒子，则其运动遵守最

5、小作用量原理 认为则这将导得下述折射定律这明显违反实验事实，即使考虑相对论效应，则对自由粒子：仍就成立，E是粒子能量，从一种媒质到另一种媒质E仍不变，仍有，你怎样解决矛盾？7. 当势能改变一常量C时,即,粒子的波函数与时间无关部分变否?能量本征值变否?8. 试证粒子势能的极小值是9. 设与是薛定谔方程式两个解，证明与时间无关。10. 考虑单粒子的薛定谔方程式： V1，V2为实函数，证明粒子的几率不守恒。求出在空间体积内，粒子几率“丧失”或“增加”的速率。11. 对于一维自由运动粒子，设求。12. 证明从单粒子的薛定谔方程式得出的速度场是非旋的，即 第三章 一维定态问题1. 对于无限深势阱中运动

6、的粒子（见图3-1）证明 并证明当时上述结果与经典结论一致。2. 试求在不对称势力阱中粒子的能级。3. 设质量为的粒子在下述势阱中运动： 求粒子的能级。4. 考虑粒子在下列势阱壁（）处的反射系数5. 试证明对于任意势垒，粒子的反射系数满足。6. 设在一维无限深势阱中运动的粒子的状态用： 描述，求粒子能量的可能植及相应的几率。7. 设一谐振子处于基态，求它的并验证测不准关系：8. 设粒子处于无限深势阱中，状态用波函数描述，是归一化常数，求（1）粒子取不同能量几率分布。（2）能量平均值及涨落。9. 一维无限深势阱中求处于态的粒子的动量分布几率密度。10. 写出动量表象中谐振子的薛定谔方程式，并求出

7、动量几率分布11. 一维谐振子处在基态，求： (1)势能的平均值； (2)动能的平均值； (3)动量的几率分布函数。12. 氢原子处在基态，求： (1)r的平均值； (2)势能的平均值； (3)最可几半径； (4)动能的平均值； (5)动量的几率分布函数。13. 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是 14. 一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是，L为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数：(1) 转子绕一固定轴转动：(2) 转子绕一固定点转动：15. 设t=0时，粒子的状态为 求此时粒子的平均动量和平均动能。16. 一维运动粒子的状态是 其中，

8、求： (1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的平均动量。第四章 力学量和表象变化1指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。 ； ； 2 指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。 3 下列函数哪些是算符的本征函数，其本征值是什么？ ， ， ，4 试求算符的本征函数。5 设波函数，求6 证明：如果算符和都是厄米的，那么(+)也是厄米的。7 问下列算符是否是厄米算符：； 。8 如果算符满足关系式，求证9 求 ； ； 10 设是的可微函数，证明下述各式：（1）（2）（3）（4）（5）（6）11 证明以下诸式成立： (1) (2) (3) (4) 12为粒子角动量。F为另一力学量，证明： 其中表示空间

9、坐标的梯度，表示动量空间的梯度。13 设算符A，B与它们的对易式A，B都对易。证明(1) (2)14 证明 15 证明 是厄密算符16 证 (A 等是实数)是厄密算符17 证明（实数）是厄密算符。18证明，若 当大时并不趋于0，则 不一定是厄密算符。19 证明 其中A(p,q),B(p,q)是正则动量和坐标的函数，上式左方是相应的算符。A,B是经典力学中的poisson括弧在多变量情形i=1,2,3.i自由度20 设F(x，p)是xk，pk的整函数，证明： ; 整函数是指，是数值系数第五章 力学量随时间的演化与对称性1. 证明力学量（不显含）的平均值对时间的二次微商为：（是哈密顿量）2. 证明

10、，在不连续谱的能量本征态（束缚定态）下，不显含的物理量对时间的导数的平均值等于零。3. 设粒子的哈密顿量为。（） 证明。（） 证明：对于定态4. 证明，对于一维波包：5. 求海森伯表象中自由粒子的座标的算符。6. 求海森伯表象中中谐振子的坐标与动量算符。7. 多粒子系若不受外力，则其哈密顿算符可表成：证明：总动量为守恒。8. 多粒子系如所受外力矩为0，则总动量为守恒。9. 证明：对经典力学体系，若A，B为守恒量，则A，B即泊松括号也为守恒量，但不一定是新的守恒量，对于量子体系若，是守恒量，则也是守恒量，但不一定是新的守恒量。10. 对于平面转子（转动惯量I），设：（1） 试求11. 证明周期场

11、中的Bloch波函数 ，是的本征函数，相应的本征值是。第六章 中心立场1 质量分别为 m,m的两个粒子组成的体系，质心座标及相对坐标为：= (1) ；r (2)试求总动量及总角动量在, 表象中的算符表示。2 证明 ，3 中心力场中的经典粒子的哈密顿量是其中。当过渡到量子力学时，要换为 问是否厄米算符？是否厄米算符。4 经典力学中在量子力学中此式是否成立？在什么条件下此式成立？5 求出氢原子基态波函数在动量表象中的表示式。利用所得结果，计算。用x表象中的氢原子波函数计算,并验证测不准关系式。6 在动量表象中写出氢原子的能量本征方程式，并证明角动量的各个分量均为守恒量。7 设氢原子处于基态，求电子

12、处于经典力学不允许区（EV）=T0 的几率。8 证明，对于库仑场，（是总能量）9 对于氢原子的，计算 10 根据氢原子光谱理论，讨论（1）“电子偶素”（指e+e-的束缚态）的能级。（2）介原子的能谱。（3）介子素（指+-e-束缚态）的能谱。11 在（）表象中，的子空间是几维？求在此子空间的矩阵表示式，再利用矩阵形式求出本征值及征矢。 12 证明能级上满布电子的情况下，电荷分布是各向同性的。13 证明一个球方势阱(半径a,深度V0)恰好具有一条l0的能级的条件是：V0与a应满足 14 采用平面极座标，求出轴对称谐振子势场中，粒子能量的本征值本征函数，读者讨论简并度。15 设粒子在无限长的园简内运

13、动，简半径是a，求粒子的能量。16 粒子在半径为，高为的圆筒中运动，在筒内粒子是自由的，在筒壁及筒外势能是无限，求粒子能量的本征值。17 设，求粒子的能量本征值。第七章 粒子在电磁场中的运动1. 证明在磁场中，带电粒子的速度算符的各分量，满足下述的对易关系： （1） （2） （3）2 利用上述对易式，求出均匀磁场中，带电粒子能量的本征值（取磁场方向为Z轴方向）3. 证明在规范变换下 （1） （2） （机械动量的平均值）都不变 （3）4 若采用柱座标系，求解均匀磁场中带电粒子的能量本征值。5 设带电粒子相互的均匀电场和均匀磁场中运动，求其能谱及波函数（取磁场方向为z轴，电场方向为x轴方向）6 设

14、带电粒子在均匀磁场及三维各向同性谐振子场 中运动，求能谱公式。第八章：自旋1在表象中，求的本征态 2在表象中，求的本征态，是方向的单位矢。3在自旋态下，求和4 一个具有两个电子的原子，处于自旋单态（s=0）。证明自旋轨道耦合作用 。对能量无贡献。 5 自旋为s的两个粒子所具有的，对称和反对称的自旋波函数各有几个？情况下，对称和反对称自旋态各有几个？6证明，是与对易的矢量算符。7证明：（1） （ ） （2） 其中 矢量与对易, 表示方向的单位矢量。8证明, 是与对易的任何矢量算符。9设 证明：（是沿矢量方向的单位矢量）（1） （1）（2） （2）10证明不存在非0的二维矩阵，能和三个泡利矩阵都反

15、对易 ，即设 则11证明找不到一种表象，在其中（1）三个泡利矩阵均为实矩阵或（2）二个是纯虚矩阵，另一个为实矩阵。12求证与三个泡利矩阵都对易的2×2矩阵，只能是常数矩阵。第九章 力学量本征值的代数解法1. 设非简谐振子的哈密顿量为： （为常数）取 ，试用定态微扰论求其能量及能量本征函数。2. 一维无限深势阱（）中的粒子受到微扰： 的作用，求基态能量的一级修正。 3. 一维谐振子的哈密顿为假设它处在基态，若在加上一个弹性力作用H=1/2 bx2，试用微扰论计算H对能量的一级修正，并与严格解比较。4. 设有自由粒子在长度为L的一维区域中运动，波函数满足周期性边界条件 波函数的形式可选作

16、： ， 但 。设粒子还受到一个陷阱作用，a<<L。试用简并理论计算能量一级修正。5. 在一维无限深势阱 中运动的粒子，受到微扰的作用讨论粒子在空间几率分布的改变。6. 类氢离子中，电子与原子核的库仑作用为： Ze为核电荷当核电荷增加eZàZ+1，互相作用能增加，试用微扰论计算它对能量的一级修正，并与严格解比较。7. 一个粒子在二维无限深势阱 中运动，设加上微扰 求基态及第一激发态的能量修正8. 设在H0表象中，的矩阵为： 试用微扰论求能量的二级修正。9. 设在H0表象中用微扰论求能量修正量（到二级近似），严格求解与微扰论计算值比较。10.一体系在无微扰时有两条能级，其中一

17、条时二重简并，在表象中 （1）在计及微扰后哈密顿量表示为： （2）（1） 用微扰论求H本征值准到二级近似。（2） 把严格对角化，求H的精确本征值.第十章：散射问题1用玻恩近似法，求在下列势场中的散射微分截面：（1） （2） (3) (4) (5) 第十一章 量子跃迁1. 具有电荷的离子，在其平衡位置附近作一维简谐振动，在光的照射下发生跃迁，入射光能量密为，波长较长，求：（1）跃迁选择定则。（2）设离子处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的几率。2. 设有一带电的粒子，质量为，在宽度为的一维无限深势阱中运动，它在入射光照射下发生跃迁，波长。（1）求跃迁的选择定则。（2）设粒子原来处于基态，求跃迁速率公式。3. 设把处于基态的氢原子放在平行板电容器中，取平行板法线方向为z轴方向、电场沿z轴方向可视作均匀