曽谨言量子力学第1章习题解答

1、第一章 量子力学的诞生1.1设质量为的粒子在谐振子势中运动，用量子化条件求粒子能量E的可能取值。 提示：利用 解：能量为E的粒子在谐振子势中的活动范围为 （1）其中由下式决定：。 0 由此得 ， （2）即为粒子运动的转折点。有量子化条件得 （3）代入（2），解出 （4）积分公式： 1.2设粒子限制在长、宽、高分别为的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为轴方向，把粒子沿轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x方向，有即 （：一来一

2、回为一个周期）,同理可得， , ,粒子能量 1.3设一个平面转子的转动惯量为I，求能量的可能取值。提示：利用 是平面转子的角动量。转子的能量。 解：平面转子的转角（角位移）记为。它的角动量（广义动量），是运动惯量。按量子化条件 ，因而平面转子的能量，补充：1.1设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动， 试用de Broglie的驻波条件，求粒子能量的可能取值。解：据驻波条件，有 （1）又据de Broglie关系 （2）而能量 （3） 1 试用量子化条件,求谐振子的能量谐振子势能 (解)(甲法)可以用Wilson-Sommerfeld 的量子化条件式:在量子化条件中,令为振子动量, 为振子坐标

3、,设总能量E则 代入公式得: 量子化条件的积分指一个周期内的位移,可看作振幅的四倍,要决定振幅,注意在A或B点动能为0,(1)改写为: (2)积分得:遍乘得乙法也是利用量子化条件,大积分变量用时间而不用位移,按题意振动角频率为,直接写出位移,用的项表示:求微分: (4)求积分: (5)将(4)(5)代量子化条件:T是振动周期,T=,求出积分,得 正整数#2用量子化条件,求限制在箱内运动的粒子的能量,箱的长宽高分别为 (解)三维问题,有三个独立量子化条件,可设想粒子有三个分运动,每一分运动是自由运动.设粒子与器壁作弹性碰撞,则每碰一次时,与此壁正交方向的分动量变号(如),其余分动量不变,设想粒子

4、从某一分运动完成一个周期,此周期中动量与位移同时变号,量子化条件: (1) (2) (3)都是常数,总动量平方总能量是: =但 正整数.#3 平面转子的转动惯量为,求能量允许值.(解)解释题意:平面转子是个转动体,它的位置由一坐标（例如转角）决定,它的运动是一种刚体的平面平行运动.例如双原子分子的旋转.按刚体力学,转子的角动量,但是角速度,能量是利用量子化条件,将理解成为角动量,理解成转角,一个周期内的运动理解成旋转一周,则有 (1)(1) 说明是量子化的(2) (.) (2)(3) 代入能量公式,得能量量子化公式: (3)#4有一带电荷质量的粒子在平面内运动,垂直于平面方向磁场是B,求粒子能

5、量允许值.(解)带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动,设圆半径是,线速度是,用高斯制单位，洛伦兹与向心力平衡条件是: (1)又利用量子化条件,令电荷角动量 转角 (2)即 (3)由(1)(2)求得电荷动能=再求运动电荷在磁场中的磁势能,按电磁学通电导体在磁场中的势能=,是电荷的旋转频率, ,代入前式得运动电荷的磁势能= (符号是正的)点电荷的总能量=动能+磁势能=E= ( )5对高速运动的粒子(静质量)的能量和动量由下式给出: (1) (2)试根据哈密顿量 (3)及正则方程式来检验以上二式.由此得出粒子速度和德布罗意的群速度相等的关系.计算速度并证明它大于光速.(解)根据(3)式来组成哈氏正则方

6、程式组:,本题中,因而 (4)从前式解出(用表示)即得到(2).又若将(2)代入(3),就可得到(1)式. 其次求粒子速度和它的物质波的群速度间的关系.运用德氏的假设: 于(3)式右方, 又用于(3)式左方,遍除:按照波包理论，波包群速度是角频率丢波数的一阶导数： =最后一式按照（4）式等于粒子速度，因而。又按一般的波动理论，波的相速度是由下式规定 （是频率）利用（5）式得知 （6）故相速度（物质波的）应当超过光速。最后找出和的关系，将（1）（2）相除，再运用德氏波假设：， （7）#6（1）试用Fermat最小光程原理导出光的折射定律 （2）光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出下述非难： 如

7、认为光是粒子，则其运动遵守最小作用量原理 认为则这将导得下述折射定律这明显违反实验事实，即使考虑相对论效应，则对自由粒子：仍就成立，E是粒子能量，从一种媒质到另一种媒质E仍不变，仍有，你怎样解决矛盾？（解）甲法：光线在同一均匀媒质中依直线传播，因此自定点A到定点B的路径是两段直线：光程设A，B到界面距离是a,b(都是常量)有又AB沿界面的投影c也是常数，因而，存在约束条件： （2）求(1)的变分,而将,看作能独立变化的,有以下极值条件 (3)再求（2）的变分 (3)与(4)消去和得 (5)乙法见同一图,取为变分参数,取0为原点，则有: 求此式变分,令之为零,有： 这个式子从图中几何关系得知,就是(5).(2