材料力学第五章弯曲应力

1、1第五章第五章弯弯 曲曲 应应 力力（1）2主要内容主要内容:1 静矩和形心静矩和形心2 惯性矩惯性矩3 惯性矩平行移轴公式惯性矩平行移轴公式3A. 1 静矩和形心静矩和形心1 静矩静矩静矩：静矩：平面图形的平面图形的面积面积对坐标轴的对坐标轴的一次矩一次矩。定义为：定义为：AzAyS,dAyAzSd静矩的静矩的量纲量纲为长度为长度的三次方。的三次方。2 形心形心42 形心形心理论力学中得到的均理论力学中得到的均质薄板的重心质薄板的重心(形心形心)坐标公式为：坐标公式为：AAyyAdAAzzAd用静矩表示：用静矩表示：,ASyzASzy5用静矩表示：用静矩表示：,ASyzASzyl 静矩也可表

2、示为：静矩也可表示为：, yASzzASyl 组合物体的静矩组合物体的静矩,1niiizyASniiiyzAS1l 组合物体的形心组合物体的形心6l 组合物体的形心组合物体的形心,11niiniiiAyAyniiniiiAzAz117A. 2 惯性矩惯性矩1 惯性矩惯性矩惯性矩：惯性矩：平面图形的平面图形的面积面积对坐标轴的对坐标轴的二次矩二次矩。定义为：定义为：AyAzI,d2l 比较比较AzAyId2理力中的理力中的转动惯量转动惯量MymzJd28惯性矩惯性矩定义为定义为：AyAzI,d2惯性惯性矩恒矩恒大于零大于零；惯性惯性矩的矩的量纲量纲为长为长度的四次方。度的四次方。AzAyId22

3、 惯性半径惯性半径工程上常将惯性矩写成如下的形式工程上常将惯性矩写成如下的形式:,2yyiAI2zziAI92 惯性半径惯性半径工程上常将惯性矩工程上常将惯性矩写成如下的形式写成如下的形式:,2yyiAI iy, iz 分别为图形对分别为图形对y轴和对轴和对z轴的惯性半径。轴的惯性半径。惯性半径惯性半径的的量纲量纲为长度的一次方。为长度的一次方。2zziAI或写为或写为:,AIiyyAIizz103 极惯性矩极惯性矩即：对两根互相垂直的轴的惯性矩之和，等于即：对两根互相垂直的轴的惯性矩之和，等于对该两轴交点的极惯性矩对该两轴交点的极惯性矩。即为对与平面图形即为对与平面图形垂直的轴的惯性矩垂直的

4、轴的惯性矩.APAId24 IP与与 Iy, Iz的关系的关系APAId2AAzyd)(22AAy d2AAz d2yzII 115 组合图形的惯性矩组合图形的惯性矩,1niyiyIInizizII16 几种常见图形的惯性矩几种常见图形的惯性矩3121bhIyu 矩形矩形3121hbIz?yIJ 问题问题12zyII u 圆形圆形644DzyPIII324Du 圆环圆环看成是组合图形看成是组合图形zyII 644D644d)(6444dD PI324D324d)(3244dD 13A. 4 惯性矩平行移轴公式惯性矩平行移轴公式与理论力学中转动惯量的平行轴定理类似，有与理论力学中转动惯量的平行轴

5、定理类似，有:AaIICyy2AbIICzz2AabIICCzyyzu 可以看出可以看出:在相互平行的坐标轴在相互平行的坐标轴的惯性矩中，对形心的惯性矩中，对形心轴的惯性矩最小。轴的惯性矩最小。u 用用惯性积惯性积移轴公式时，注意移轴公式时，注意 a, b的正负号。的正负号。14本章内容本章内容:1 引言引言2 对称弯曲正应力对称弯曲正应力3 对称弯曲切应力对称弯曲切应力4 梁的强度条件与合理设计梁的强度条件与合理设计5 弯拉弯拉(压压)组合组合155. 1 引言引言l 横力弯曲横力弯曲梁的横截面上同时有弯梁的横截面上同时有弯矩和剪力的弯曲。矩和剪力的弯曲。l 纯弯曲纯弯曲梁的横截面上只有弯矩

6、梁的横截面上只有弯矩时的弯曲。时的弯曲。横截面上只有正应横截面上只有正应力而无切应力。力而无切应力。横截面上既有正应横截面上既有正应力又有切应力。力又有切应力。16l 组合变形组合变形弯曲、扭转与轴向拉压，是杆件变形的三种弯曲、扭转与轴向拉压，是杆件变形的三种基本形式，许多杆件的变形或属于变形的基基本形式，许多杆件的变形或属于变形的基本形式，或属于两种或三种基本变形形式的本形式，或属于两种或三种基本变形形式的组合。组合。l 对称弯曲对称弯曲梁的变形对称于纵向对称面的弯曲变形形式。梁的变形对称于纵向对称面的弯曲变形形式。17 基本假设基本假设1: 平面假设平面假设变形前为平面的横截变形前为平面的

7、横截面变形后仍为平面，面变形后仍为平面，且仍垂直于梁的轴线。且仍垂直于梁的轴线。 基本假设基本假设2: 纵向纤维无挤压假设纵向纤维无挤压假设纵向纤维间无正应力。纵向纤维间无正应力。5. 2 对称弯曲正应力对称弯曲正应力l 基本假设基本假设18l 中性层中性层与与中性轴中性轴191 几何方面几何方面取坐标系如图，取坐标系如图，z轴为轴为中性轴中性轴； y轴为对称轴。轴为对称轴。u 纵向线纵向线bb变形后变形后的长度为的长度为:d)(ybbu 纵向线纵向线bb变形前的长度变形前的长度为求出距中性层为求出距中性层 y处的处的应变应变，取长取长dx的梁段研究的梁段研究:中性层长度不变中性层长度不变,

8、所以有所以有:l 弯曲正应力一般公式弯曲正应力一般公式20u 纵向线纵向线bb变形后变形后的长度为的长度为:d)(ybbu bb变形前的长度变形前的长度bbOOOOdu 纵向线纵向线bb的应变为的应变为ddd)(yy即：即：纯弯曲时横截面上各点的纵向线应变沿截纯弯曲时横截面上各点的纵向线应变沿截面高度呈线性分布。面高度呈线性分布。中性层长度不变中性层长度不变, 所以所以212 物理方面物理方面因为纵向纤维只受拉或压，当应力小于比例极因为纵向纤维只受拉或压，当应力小于比例极限时，由胡克定律有限时，由胡克定律有:EyE即：即：纯弯曲时横截面上任一点的正纯弯曲时横截面上任一点的正应力与它到中性轴的距

9、离应力与它到中性轴的距离y成正比。成正比。也即，正应力沿截面高度呈线性分布。也即，正应力沿截面高度呈线性分布。3 静力学方面静力学方面22NMz3 静力学方面静力学方面MyANAd0XAzMAydAyMAzd对横截面上的内力系，有对横截面上的内力系，有:由梁段的平衡有由梁段的平衡有:0N0ym0yM0zmMMz23ANAdAzMAydAyMAzd由梁段的平衡有由梁段的平衡有:, 0N, 0yMMMz对横截面上的内力系，有对横截面上的内力系，有:所以所以ANAd00dAyEA0dAyEA0dAyA0Cy z 轴通过形心。轴通过形心。即：即：中性轴通过形心中性轴通过形心。24,dAzMAyAyMA

10、zd, 0yMMMz由由ANAd00dAzyEA0dAyzA即：即：中性轴通过形心中性轴通过形心。由由AzMAyd0因为因为y轴是对称轴，上式自然满足。轴是对称轴，上式自然满足。0yzI25,dAzMAyAyMAzd, 0yMMMz由由 梁的梁的抗弯刚度抗弯刚度MMzAyAdAyyEMAdAyEAd2zIEzEIM1将上式代入将上式代入yEzIMy26u 由于推导过程并未用到由于推导过程并未用到矩形矩形截面条件，因而截面条件，因而公式适用于任何横截面具有纵向对称面，且公式适用于任何横截面具有纵向对称面，且载荷作用在对称面内的情况。载荷作用在对称面内的情况。u 公式是对等直梁得到的。对缓慢变化的

11、变截公式是对等直梁得到的。对缓慢变化的变截面梁和曲率很小的曲梁也近似成立。面梁和曲率很小的曲梁也近似成立。u 公式是从公式是从纯弯曲纯弯曲梁推得，是否适用于一般情梁推得，是否适用于一般情形（横力弯曲）？形（横力弯曲）？纯弯曲时正应力公式纯弯曲时正应力公式zIMyl 公式的适用性公式的适用性27横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力横力弯曲时，横截面上有剪应力横力弯曲时，横截面上有剪应力平面假设平面假设不再成立不再成立此外此外, 横力弯曲时横力弯曲时纵向纤维无挤压假设纵向纤维无挤压假设也不成立也不成立.由由弹性力学弹性力学的理论，有的理论，有结论结论：当梁的长度当梁的长度l与横截面的高度与横截面的

12、高度h的比值的比值:hl5则用则用纯弯曲纯弯曲的正应力公式计算的正应力公式计算横力弯曲横力弯曲时的正应时的正应力有足够的精度。力有足够的精度。 l / h 5 的梁称为的梁称为细长梁细长梁。28l 最大正应力最大正应力横力弯曲时，弯矩是变化的。横力弯曲时，弯矩是变化的。zIyMmaxmaxmax引入符号：引入符号：maxzzIWy则有：则有：WMmaxmax 抗弯截面系数抗弯截面系数l 比较比较 拉压拉压:ANmaxmaxmaxmaxpTW扭转扭转:29l 两种常用截面的抗弯截面系数两种常用截面的抗弯截面系数u 矩形截面矩形截面,123bhIz26zbhW 2maxhyu 圆形截面圆形截面,6

13、44dIz332zdW2maxdy30l 弯曲强度条件弯曲强度条件注意注意：当截面变化时，还需综合考虑：当截面变化时，还需综合考虑W的值。的值。maxmaxzMW31例例 1 ( 书例书例5.1) 已知已知：板长：板长3a =150mm，材料，材料的许用应力的许用应力 =140MPa。解解：求求：最大允许：最大允许压紧力压紧力P。压板可简化为压板可简化为如图的外伸梁。如图的外伸梁。由微分关系，由微分关系，AC段、段、BC段的弯矩图为斜直线。段的弯矩图为斜直线。(1) 求弯矩图求弯矩图32BMMmax且且B截面最薄弱。截面最薄弱。由微分关系，由微分关系，AC段、段、BC段的弯矩段的弯矩图为斜直线

14、。图为斜直线。(1) 求弯矩图求弯矩图作出弯矩图。作出弯矩图。(2) 确定危险截面确定危险截面PaB为危险截面。为危险截面。(3) 计算计算B截面截面W33BMMmax(3) 计算计算B截面截面WPaB为危险截面。为危险截面。看成组合物体看成组合物体21zzzIII1202. 003. 031202. 0014. 0348m1007. 1maxyIWz281011007. 136m1007. 134BMMmax(3) 计算计算B截面截面WPaB为危险截面。为危险截面。36m1007. 1W(4) 由强度条件计算由强度条件计算PWMmaxmaxmaxWMWPa aWP26810510140100

15、7. 1kN335例例 2 ( 书例书例5.2) 已知已知： =100 MPa，P = 25.3 kN。解解：求求：校核：校核心心轴轴的强度。的强度。 计算简计算简图如图。图如图。(1) 求弯矩图求弯矩图支反力支反力kN,6 .23ARkN27BR36(1)求弯矩图求弯矩图(2) 确定危确定危险截面险截面u I截面截面u II截面截面u III截面截面支反力支反力kN6 .23ARkN27BR(3) 强度校强度校核核u I截面截面maxMMImkN72. 437(3) 强度校强度校核核u I截面截面maxMMImkN72. 43231dWI32)1095(3336m101 .84IIIWMMPa1 .56u II截面截面mkN42