一注结构基础考试笔记

1、上午篇：一、高等数学共24题1.1 函数与极限1、数列极限的定义，xn-a，记作limxn=a。2、数列极限的性质1）数列收敛，则极限唯一。2）数列收敛则有界，无界则发散。3）数列与极限同号(保号性)。4）数列收敛于a，则其子数列也收敛于a。5）有界一定收敛，发散一定无界都是错的。特例是1、-1、1、-1、(-1)n+1。3、函数极限的定义，f(x)-A。f(x)在点x0有无极限与f(x)在点x0有无定义无关。f(x)在点x0极限存在的充要条件是左右极限存在且相等。4、函数极限的性质1）极限若存在，则唯一。2）如果极限为A，则必有f(x)M(局部有界性)。3）函数与极限同号(保号性)。4）如果

2、极限limf(x)存在，xn为f(x)定义域收敛于x0的数列，则f(xn)必收敛，且limf(xn)= limf(x)。5、无穷小与无穷大1）极限为0是无穷小；f(x)M是无穷大。无穷小与无穷大互为倒数。2）无穷小的运算，有限个无穷小的和、积为无穷小；常数与无穷小的积为无穷小；有界函数与无穷小的积为无穷小；6、极限的运算法则，1）函数(数列)和、差、积、商的极限等于极限的和、差、积、商；2）limcf(x)=c.limf(x)；3）limf(x)n= limf(x)n。4）limf(x)=a，limg(x)=b，如果limf(x)limg(x)，则ab。5）复合函数，limg(x)=u0，li

3、mf(u)=A，u=g(x)，则limxx0fg(x)=limuu0f(u)=A。7、极限存在准则，两个重要极限1）夹逼定理，g(x)f(x)h(x),如果limg(x)=limh(x)=A，则limf(x)=A。数列极限也有同性。2）limx0(sinx/x)=1；limx(sinx/x)=0；limx0(cosx)=1。limx0loga(1+x)/x=1/lna。3）单调有界数列必有极限。 limx1+1/n)n+1=e；limx1+1/(1+n)n=e；4）limx(1+1/x)x=e；limx0(1+x)1/x=e；limx(1-1/x)x =1/e。limx0(ax-1)/x=ln

4、a。8、无穷小的比较lim/=m，m=0，是的高阶无穷小；m=，是的低阶无穷小；m=c0，是的同阶无穷小；m=1，是的等价无穷小。lim/k=c0，是的k阶无穷小。9、近视计算的等价代换（只适用于乘除计算，忌用加减）sinxx；tanxx；arcsinxx；arctanxx；1-cosx1/2x2；ln(1+x)x；ex-1x；(1+x)1/n-1(1/n)x；(1+x2)1/n-1(1/n)x2；10、函数连续性与间断点1）连续的定义，limf(x0+x)- f(x0)=0；另一种表达是limf(x)= f(x0)。连续极限。2）间断点的三种情形，f(x)在点x0没有意义；在x0有定义，但极

5、限不存在；在x0有定义，极限存在，但limf(x)f(x0)。3）无穷间断点；振荡间断点；可去间断点(上述第种情形)；跳跃间断点。极限存在属第一类间断点，剩余的为第二类间断点。11、连续函数的运算与初等函数的连续性1）若g(x)、f(x)在点x0连续，则它们的和、差、积、商在点x0连续。2）f(x)在区间Ix上单调连续变化，则其反函数f-1(y)在相应区间Iy上单调连续变化。3）复合函数，limxx0fg(x)=limuu0f(u)=f(u0)，条件：limxx0g(x)=u0，f(x)在u0连续。或可表述为limxx0fg(x)=flimxx0g(x)。4）g(x)在x0连续，且g(x0)=

6、u0，f(x)在u0连续，则复合函数fg(x) 在x0连续。5）初等函数在定义域内都是连续的。12、闭区间上连续函数的性质1）有界与最值，在闭区间上连续函数有界，则一定有最值。2）零点定理，f(x)在闭区间a,b连续，且f(a).f(b)0，则在开区间(a,b)至少有一点使f()=0。3）介值定理，f(x)在a,b连续，且f(a)=A，f(b)=B，则在(a,b)至少有点f()=C(ACB)。13、多元函数的极限与连续性。1.2 导数与微分1、导数的定义f(x0)=limx0f(x0+x)- f(x0)/x；或f(x0)=limxx0f(x)- f(x0)/( x- x0)。2、常用导数求解，

7、C=0；(xu)=uxu-1；(sinx)=cosx；(cosx)=-sinx；(tanx)=sec2x；(cotx)=-csc2x；(secx)= secx.tanx；(cscx)=-cscx.cotx；(ax)=axlna；(ex)=ex；(logax)=1/xlna；(lnx)=1/x；(arcsinx)=1/(1-x2)；(arccosx)=-1/(1-x2)；(arctanx)=1/ (1+x2)；(arccotx)=-1/ (1+x2)3、导数的几何意义，表示f(x)在点x0, f(x0)处切线的斜率。单侧导数。切线方程：y-y0=f(x0).(x-x0)；法线方程：y-y0=-1

8、/f(x0).(x-x0)；4、可导连续。可导函数必是连续的，连续则不一定可导（折线变化的函数）。5、求导法则，(u±v)= u±v；(u.v)= u.v+ u.v；(u/v)=( u.v-u.v)/v2；(cu)=c.u。反函数求导，f-1(x)= 1/f(y)；复合函数求导。6、高阶导数，常用的有 (ex)(n)= ex；(sinx)(n)=sin(x+n./2)；(cosx)(n)=cos(x+n./2)；ln(1+x)(n)=(-1)n-1(n-1)!/(1+x)n；0!=1；(xn)(n)=n!；(xn)(n+1)=0；7、隐函数求导，注意y是关于x的函数y=y(

9、x)，dy/dx=-(Fx/Fy)；z/x=-(Fx/Fz)；z/y=-(Fy/Fz)；参数函数求导，x、y对t求导。8、微分的定义，y= f(x0+x)- f(x0)=A.x+0(x)，既dy=A.x；9、微分的几何意义，表示f(x)在切线上点的纵坐标的相应增量。10、微分的运算，与导数对应。11、微分的中值定理与函数的性态1）费马定理，若f(x)在(a,b)内有一点x0取最值（极值），则f(x0)=0。2）罗尔定理，若f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导且f(a)=f(b)，则必有一点使f()=0。3）拉格拉日中值定理，若f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，则必有点f()=f

10、(b)-f(a)/(b-a)。4）若在区间f(x)=0，则f(x)=C（常数）。5）柯西中值定理，f(x)、g(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，则至少有一点使得f(b)-f(a)/ g(b)-g(a)=f()/g()。12、洛必达法则，解决0/0，/型求极限问题。limxaf(x)/g(x)=limxaf(x)/g(x)。使用条件是g(x)0，limxaf(x)/g(x)存在或无穷大。其他求极限的方法：对数极限法，可将00、0、1转化为0.型，从而再变为0/0，/型，利用洛必达法则求解。“-”型可用通分化商求解。13、函数的单调区间与极值1）f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,

11、则f(x)0,f(x)单增；f(x)0,f(x)单减。f(x)=0为驻点。2）f(x)连续，在除x0点外可导，则可通过x0左右两侧f(x)的符号判断x0是极大值、极小值；f(x)不变号，则x0不是极值点。极值点必是驻点；导数不存在的点也可能是极值点。3）f(x)在x0点二阶可导，且f(x0)=0，f ”(x0)0，则f ”(x0)0，x0为极大值；f ”(x0)0，x0为极小值。 极值与最值的区别：极值用坐标点表示，最值是一个单纯的数字。14、曲线的凹凸性与拐点1）f(x)在(a,b)上连续，若有f(x1+x2)/2f(x1)+ f(x2)/2，或f ”(x)0，则f(x)在a,b是凹曲线；若

12、有f(x1+x2)/2f(x1)+ f(x2)/2，或f ”(x)0，则f(x)在a,b是凸曲线。2）f(x)在(a,b)上连续，若在C点f ”(c)符号相反，则C点为拐点。拐点可以是不可导点，反应曲线凹凸变化的转折点。15、偏导数，高级导数1）对于多元函数，各偏导数在某点都存在也不能保证函数在该点连续。2）拉普拉斯方程。3）二级偏导数连续，2z/(xy)=2z/(yx)。16、全微分，dz=(z/x).dx +(z/y).dy。全微分存在各偏导数存在。17、方向导数，f/L(x0,y0)=f(x).(x0,y0)cos+f(y).(x0,y0)cos，f(x),f(y)为偏导数，方向余弦，c

13、os，cos，为非零向量与坐标轴夹角的余弦。cos2+cos2+cos2=1。18、多元函数微分的几何应用1）曲线的切线与法平面给定曲线参数方程x=(t)，y=(t)，z=(t)，切线方程：(x-x0)/(t0)=(y-y0)/(t0) =(z-z0)/(t0)，t= t0，对应点(x0，y0，z0)。法平面方程：(t0).(x-x0)+(t0).(y-y0)+(t0).(z-z0)=0。2）曲面的切平面与法线给定曲面的隐式方程F(x，y，z)=0，切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(x-x0)+Fy(x0,y0,z0)(y-y0)+Fz(x0,y0,z0)(z-z0)=0，法线方程：(x-

14、x0)/ Fx(x0,y0,z0)=(y-y0)/Fy(x0,y0,z0)=(z-z0)/Fz(x0,y0,z0)。1.3不定积分与定积分1、不定积分的概念与性质1）原函数加常数项称为导函数的不定积分，f(x)dx=F(x)+C。积分运算与微分是互逆的，d(cosx)=-sinxdx，d(cosx)=cosx+C。2）性质：f(x)+g(x)dx=f(x)dx+g(x)dx；kf(x)dx=kf(x)dx。2、换元积分法1）凑微分法，f(x)(x)dx=F(x)+C=f(u)du，u=(x)。常用的三角函数公式：倒数关系：tan ·cot=1；sin ·csc=1；cos&

15、#183;sec=1；商的关系：sin/cos=sec/csc=tan；cos/sin=csc/sec=cot；平方关系：sin2+cos2=1；1+tan2=sec2；1+cot2=csc2；两角和公式：sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB；sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA；cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB；cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB；tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)；tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)；cot(A+B)=(cotAcotB-1)

16、/(cotB+cotA)；cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)；倍角公式：tan2A=2tanA/1-(tanA)2；sin2A=2sinA·cosA；cos2a=(cosa)2-(sina)2=2(cosa)2 -1=1-2(sina)2；半角公式：1-cosA=2sin(A/2)2；1+cosA=2cos(A/2)2；(1-cosA)/(1+cosA)=tan(A/2)2；(1+cosA)/(1-cosA)=cot(A/2)2；tan(A/2)=cscA-cotA；和差化积：2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)；2cosAsinB=

17、sin(A+B)-sin(A-B) )；2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)；-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)；sinA+sinB=2sin(A+B)/2)cos(A-B)/2；cosA+cosB=2cos(A+B)/2)sin(A-B)/2)；tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB；万能公式：sin=2tan(/2)/1+(tan(/2)2；cos=1-(tan(/2)2/1+(tan(/2)2；tan=2tan (/2)/1-(tan(/2)2；2）第二类换元法,f(x)dx=f(t)(t)dt,设x为t的函数,求得结果后将t换算成

18、x回带。3、分部积分法，udv=uv-vdu。u、v的选取要适当，方便求解。4、有理函数积分，将有理分式化为和的形式，分别积分。可化为有理函数的积分。5、定积分，表示围区面积A=abf(x)dx。a=b时，abf(x)dx=0；ab时，abf(x)dx=-baf(x)dx。6、定积分性质，1）abf(x)±g(x)dx=abf(x)dx±abg(x)dx。2）abkf(x)dx=kabf(x)dx。3）abf(x)dx=acf(x)dx+cbf(x)dx，acb。4）ab1dx=b-a。5）f(x)0，abf(x)dx0。f(x)g(x)，abf(x)dxabg(x)dx。

19、abf(x)dxabf(x)dx。6）m(b-a)abf(x)dxM(b-a)，m、M分别为最小值和最大值。7）中值定理，f(x)在a,b上连续，则至少存在一点使得abf(x)dx=f()(b-a)。7、牛顿莱布尼兹公式，abf(x)dx=F(x)ab= F(b)F(a)。8、定积分换元法，abf(x)dx=f(t)(t)dt，不需反代，直接计算。9、偶函数-aaf(x)dx=20af(x)dx，奇函数-aaf(x)dx=0，条件是连续函数。10、0/2f(sinx)dx=0/2f(cosx)dx；0xf(sinx)dx=/20f(sinx)dx。11、定积分分部积分法，abudv=uvaba

20、bvdu。12、定积分的应用1）求曲线y=f(x)与曲线y=g(x)围成的平面图形面积，A=abf(x)- g(x)dx，a,b为x的取值范围，对应y函数由上减下。当对y积分有利时，可换成x的函数对dy积分。极坐标求法，曲线=()，变化范围,，A=1/2 ()2d。2）求曲线y=f(x)绕x轴旋转体体积，v=abf(x)2dx。3）求平面曲线弧长，直角坐标弧长x=x，y=f(x)，s=ab(1+y2) dx；参数方程弧长，x=(t)，y=(t)，s=2(t)+2 (t)dt；极坐标弧长=()，x=()cos,y=()sin，s=2()+2 ()d。13、重积分，二重积分表示以积分区域D(平面)

21、为底，曲面z=f(x,y)为顶的柱体体积。1）二重积分性质，DAf(x,y)+Bg(x,y)d=ADf(x,y)d+BDg(x,y)d。可加性，Df(x,y)d=D1f(x,y)d+D2f(x,y)d，D=D1+D2。D1d=D的面积。f(x,y)g(x,y)，Df(x,y)dDg(x,y)d。mDf(x,y)dM，m、M分别为f(x,y)在闭区间D上的最小值和最大值。中值定理，Df(x,y)d=f(,).。三重积分具有以上类似的性质。2）二重积分计算法，直角坐标法：Df(x,y)d=abdx12f(x,y)dy，x从a到b变化，对应函数y从1到2变化，实质转化为定积分的计算。极坐标法：Df(

22、x,y)dxdy=Df(cos,sin).dd=d12f(cos,sin).d， x=cos，y=sin，dxdy=.dd。从到变化，对应函数从1到2变化。3）三重积分表示密度f(x,y,z)与质量M=f(x,y,z)dv的关系。三重积分计算，直角坐标：f(x,y,z)dv=abdxy1y2dyz1z2f(x,y,z)dz，积分区域是空间体，x(a,b)、y(y1,y2)均属于在平面xoy投影Dxy，对应z的变化为z1z2。柱面坐标：f(x,y,z)dxdydz=F(,z)dddz，F(,z)= f(cos,sin,z)。0,2，表示过z轴的半平面；0,+，表示以z轴为轴的圆柱面；z-, +，

23、表示与平面xoy平行的平面。球面坐标：f(x,y,z)dxdydz=F(,)2sinddd，F(,)=f (sincos,sinsin,cos)。0,2，表示过z轴的半平面；0,，表示顶点为原点，以z轴为轴的圆锥面；0,+，表示球心为原点的球面。1.4 曲线积分1、对弧长的曲线积分性质1）L1+L2f(x,y)ds=L1f(x,y)ds+L2f(x,y)ds。2）L Af(x,y)+Bg(x,y)ds=ALf(x,y)ds+BLg(x,y)ds。3）f(x,y)g(x,y)，Lf(x,y)dsLg(x,y)ds。Lf(x,y)dsLf(x,y)ds。2、对弧长的曲线积分计算法，将ds转化为(2

24、(t)+2(t)dt，实质转化为定积分计算。曲线弧L的参数方程：x=(t)，y=(t)，Lf(x,y)ds=f(t),(t)(2(t)+2(t)dt；。特殊地，y=(x)时，Lf(x,y)ds=abfx,(x)(1+2(x)dx。x=(y)时，Lf(x,y)ds=cdf(y),y(1+2(y)dy。对于空间曲线，x=(t)，y=(t)，z=(t)，则有：f(x,y,z)ds=f(t),(t),(t)(2(t)+2(t)+2(t)dt，。3、对坐标的曲线积分，具有与对弧长曲线积分类似的性质。必须注意积分弧段的方向，积分方向相反则结果相反。LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=P(t),(t)(t

25、)+Q(t),(t)(t)dt，x=(t)，y=(t)，对应有向曲线弧L的起点，对应L的终点，不一定小于。特殊地，y=(x)时，LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=abPx,(x)+Qx,(x)(x)dx。曲线积分的弧线函数L与被积函数f(x,y)是代入关系，而重积分计算时的积分区域与被积函数无关，只确定积分的上下限。4、格林公式，将曲线积分转化为二重积分。LPdx+Qdy=D(Q/x-P/y)dxdy，L是D的取正向边界曲线。所谓正向是指D的内测始终在曲线L的左侧，闭区间D由L围成。1）面积公式，P=-y，Q=x,D(Q/x-P/y)dxdy=2Ddxdy(D的面积)，A=1/2Lxdy-

26、ydx。2）平面曲线积分与路径无关的充要条件，LPdx+Qdy=0Q/x=P/y。1.5 空间解析几何与向量代数1、向量的概念1）向量的相等，平行(特例共线)，共面；零向量，负向量。向量的模，方向角，方向余弦。2）平行定理：a0，abb=a，唯一。3）向量的加减法符合交换律和结合律；乘除法符合结合律和分配律。2、数量积，向量积数量积的运算结果是一个数；向量积的运算结果是一个向量。1）数量积 a.b=a.bcos=a.Prjab=b.Prjba（投影）。Prjba表示向量a在向量b的投影。推论a.a=a2；a.b=0ab（cos/2=0）；2）数量积运算符合交换律和结合律，分配率。3）数量积坐标

27、表示式 a.b=axbx+ ayby+ azbz；cos=a.b/a.b=(axbx+ ayby+ azbz)/(ax2+ay2+az2).(bx2+by2+bz2)；4）向量c的模c=a.bsin。推论 a×a=0（sin0=0）；a×b=0ab；5）向量积运算符合结合律，分配率，以及a×b=-b×a；6）向量积坐标表示式 a×b= i j k =(aybzazby)i+( azbxaxbz)j+(axbyaybx)k。 ax ay az bx by bz （a×b与a和b都垂直。）3、空间曲面1）球面方程 (x-x0)2+(y-y

28、0)2+(z-z0)2=R2，（x0，y0，z0）是球心。2）旋转曲面 f=±(x2+y2)，z=0（绕z轴）。f=y，±(x2+z2)=0（绕y轴）。圆锥面 z=±(x2+y2)cot或z2=cot2(x2+y2)。旋转单、双叶双曲面 (x2+y2)/a2- z2/c2=1（绕z轴）；x2/a2-(y2+z2)/c2=1（绕x轴）；3)柱面，只含两个坐标的平面方程，在空间直角坐标系里表示母线平行于另一个坐标轴。4）二次曲面（三元二次方程），有9种。椭圆锥面 x2/a2+y2/b2=z2；椭球面 x2/a2+y2/b2+z2/c2=1；单叶双曲面 x2/a2+y2

29、/b2-z2/c2=1；双叶双曲面 x2/a2-y2/b2-z2/c2=1；椭圆抛物面 x2/a2+y2/b2=z；双曲抛物面 x2/a2-y2/b2=z；椭圆柱面 x2/a2+y2/b2=1；双曲柱面 x2/a2-y2/b2=1；抛物柱面 x2=ay。4、空间曲线（两个曲面的交线）1）一般方程是两个曲面的方程组；参数方程；特例螺旋线。2）空间曲线在坐标面上的投影，消去方程组中某变量，再使该坐标为0，联立。5、平面1）点法式方程A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0，原理是数量积；法向量n=(A，B，C)，平面点M0(x0，y0，z0)。三点如何确定一个平面？2）一般方程(三元一次

30、)Ax+By+Cz+D=0，有诸多特例：过原点、平行于坐标轴和坐标平面。3）截距式方程 x/a+y/b+z/c=1，a、b、c依次在坐标轴上的截距。4）两平面的夹角cos= (A1A2+ B1B2+C1C2)/(A12+ B12+C12).(A22+ B22+ C22)；两平面垂直：A1A2+ B1B2+C1C2=0；两平面平行或重合：A1/A2=B1/B2=C1/C2。6、空间直线1）一般方程是两个平面的方程组；2）参数方程 (x-x0)/m=(y-y0)/n=(z-z0)/p=t，方向向量s=(m，n，p)，直线上一点(x0，y0，z0)。3）两直线的夹角cos= (m1m2+ n1n2+

31、p1p2)/(m12+ n12+p12).(m22+ n22+ p22)；两直线垂直：m1m2+ n1n2+p1p2=0；两平面平行或重合：m1/m2=n1/n2=p1/p2。4）直线与平面的夹角，直线方向向量(m，n，p)，平面法向量n=(A，B，C)，sin=Am+Bn+Cp/(A2+ B2+C2).(m2+ n2+ p2)；直线与平面垂直：A/m=B/n=C/p；直线与平面平行或重合：Am+Bn+Cp=0；1.6 无穷级数1、常数项无穷级数，表达式=u1+u2+un+，1）常数项级数的部分和数列sn，s1=u1，s2=u1+u2，sn=u1+u2+un，若sn极限存在为和s，则无穷级数U

32、n收敛；若sn没有极限，则无穷级数Un发散。等差数列1+2+3+n=n(n+1)/2，发散；等比数列a+aq+aq2+aq3+aqn-1=a(1-qn)/(1-q)，q1，收敛；q1，发散。2）收敛级数的性质若级数Un收敛于和s，则级数kUn收敛于和ks。若级数Un、Vn分别收敛于s、，则级数(Un±Vn)收敛于s±。增减级数的有限项，不改变级数的收敛性。对级数的项任意加括号，不改变级数的敛散性。但是收敛级数去掉括号则可能改变性状。若级数Un收敛它的一般项(通式)极限limnun=0；limnun0级数Un发散。特例：调和级数1+1/2+1/3+1/n+，limnun=0，

33、但发散。级数n11/n2收敛。2、常数项级数审敛法1）正项级数(各项均是正数或零)及其审敛法正项级数Un收敛部分和数列sn有界。对照常数项级数的定义，定理也成立。比较法，正项级数Un、Vn，UnVn，Vn收敛Un收敛，Un发散Vn发散。P级数1+1/2p+1/3p +1/np +，p1，收敛；p1，发散。比较极限法，正项级数Un、Vn，若limn(un/vn)=a0，Vn收敛Un收敛，Vn发散Un发散。比值法，正项级数Un，若limn(un+1/un)=a，a1，收敛；a1或,发散；a=1,不定。根植法，正项级数Un，limn(un)1/n=a，a1，收敛；a1或，发散；a=1，不定。极限法,

34、正项级数Un,若limn(nun)=a0或,发散；若p1，limn(npun)=a0,收敛。2）交错级数及其审敛法若交错级数(-1)n-1Un满足条件：unun+1，limnun=0，则级数收敛。3）绝对收敛与条件收敛若级数Un收敛，则称级数Un绝对收敛；若级数Un收敛，而Un发散，则称级数Un条件收敛。Un收敛Un收敛。两个绝对收敛的级数的乘积(柯西乘积)也是绝对收敛的。3、幂级数（函数项级数），表达式anxn=a0+a1x+ a2x2+ anxn +，1）anxn，若x=x00收敛，则xx0的x使anxn绝对收敛；若x=x0发散，则xx0的x使anxn发散。2）若limnan+1/ an=

35、a，则收敛半径R的值 a0，R=1/a；a=0，R=+；a=+，R=0。4、泰勒级数，f(x0)+f(x0)(x-x0)+f(x0)/2!(x-x0)2+f(n)(x0)/n!(x-x0)n+，当x=x0时，为麦克劳林级数。f(x)能展成泰勒级数的充要条件是泰勒公式中的余项Rn(x)的极限limnRn(x)=0，Rn(x)=f(n+1)()/(n+1)!(x-x0)n+1。1）函数f(x)展开成幂级数的步骤：求出f(x)的各级导数；计算其各级导数在x=0的值；写出幂级数f(0)+f(0)x+f(0)/2!x2+f(n)(0)/n!xn+，并计算出收敛半径R；计算余项Rn(x)在(-R, R)的

36、极限是否为0，为0时即可展开为f(x)=f(0)+f(0)x+f(0)/2!x2+f(n)(0)/n!xn+。2）各种特殊函数的展开式ex=1+x+x2/2!+xn/n!+；sinx=xx3/3!+x5/5!+(-1)n-1x2n-1/(2n-1)!；cosx=1x2/2!+x4/4!+ (-1)nx2n/(2n)!；1/(1x)=1+x+x2+xn+；1/(1+x)=1x+x2x3+(-1)nxn+；1/(1+x2)=1x2+x4+(-1)nx2n+；ln(1+x)=xx2/2+x3/3+(-1)nxn+1/(n+1)+；5、傅里叶级数，f(x)=a0/2+(ancos nx+bnsin n

37、x)，为三角函数。1）函数f(x)为周期2的函数，如果同时满足一个周期内连续或有限个第一类间断点，一个周期内至多只有有限个极值点，则f(x)的傅里叶级数收敛，且在f(x)的连续点x0，级数收敛于f(x0)；在f(x)的间断点x0，级数收敛于1/2f(x0-)+f(x0+)。1.7 微分方程，等式中含有未知函数的导数。微分方程的解为函数。通解：解中含有任意常数(独立，不能合并)的个数与方程阶数相同。1、可分离变量方程，g(y)dy=f(x)dx，两端积分求解。2、一阶线性微分方程，dy/dx+P(x)y=Q(x)，解为对应齐次方程Q(x)0通解与非齐次方程一个特解的和。3、可降阶的高阶微分方程，

38、1）y(n)=f(x)，积分求解；2）y=f(x, y)，令y=p，化为p=f(x, p)，积分求p，再积分求解；3）y=f(y, y)，令y=p，化为p.dp/dy=f(y, p)，积分求p，再积分求解；4、常系数线性微分方程。两函数的比值为常数，称之为线性相关，否则就是线性无关。1）二阶常系数齐次方程，y+py+qy=0，解写出特征方程r2+pr+q=0，求出两根r1，r2，写出通解，两个不等实根r1，r2，通解y=C1er1x+C2er2x；一个等实根r1=r2，通解y=(C1+C2)er1x；一对共轭复根r1,2=±i，通解y=eax(C1cosx+C2sinx)。2）二阶线

39、性微分方程解的结构y1(x)，y2(x)是二阶齐次方程y+p(x)y+q(x)y=0的两个解，则y=C1y1(x)+C2y2(x)也是原方程的解；若y1(x)，y2(x)是线性无关的特解，则y=C1y1(x)+C2y2(x)是原方程的通解。二阶非齐次方程y+p(x)y+q(x)y=f(x)，y*(x)是其特解，Y(x)是对应齐次方程的通解，则y=Y(x)+y*(x)是原方程的通解。二阶非齐次方程y+p(x)y+q(x)y=f1(x)+f2(x)，y1*(x)、y2*(x)分别是方程y+p(x)y+q(x)y=f1(x)、y+p(x)y+q(x)y=f2(x)的特解，则y1*(x)+y2*(x)

40、是原方程的特解。1.8 概率与数理统计1、事件的关系及运算1）子事件AB,从属；和事件AB,并集；差事件AB,差集；积事件AB,交集；互斥事件(互不相容)AB,分离；互逆事件AB=,AB,。2）事件运算满足交换律，结合律和分配率。2、概率运算，不可能事件，必然事件(样本空间)。P()=0；P()=1。1）互斥事件P(A+B)=P(A)+P(B)。独立事件P(AB)=P(A).P(B)。任意事件P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)；P(BA)=P(B)P(AB)；P(A)=1P(A)。ABP(BA)=P(B)P(A)。2）概率P=n/m，分子n表示所有出现的几率数，分母m表示所有几率存在的范

41、围总数。Pmn=m.(m-1).(m-2)(m-n+1)；Cmn=m.(m-1).(m-2)(m-n+1)/n.(n-1).(n-2)1。3、一维随机变量分布，分离散型r和非离散型(连续型v和其它)。1）设X是r.v，概率F(x)=P(Xx)，X(-,x)，x(-,+)，称F(x)为X的分布函数，F(x)0,1。分布函数有4个性质(略)。重要公式：P(aXb)=F(b)F(a)；P(Xa)=1F(a)；2）连续型随机变量F(x)=-xf(x)dx，f(x)为F(x)的概率密度。-+f(x)dx=1；3）常见的离散型分布有零壹分布，二项分布，几何分布，泊松分布。4）常见的连续型分布有均匀分布，指

42、数分布，正态分布：XN(,2)，分布函数F(x)=(x)=(x)/，查表求解。若n个随机变量来自一个正态分布样本，则XN(,(1/n).2)，统计量T=(X-)/s.(n)t(n-1)(t分布)。4、数字特征1）期望(均值，随机变量取值的中心)，连续型E(X)=-+xf(x)dx；离散型E(X)=g(xk)pk。运算：E(CX)=CE(X)；E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)；若X与Y独立，则E(XY)= E(X).E(Y)。零壹分布E(X)=P；二项分布E(X)=nP；泊松分布E(X)=； 指数分布E(X)=1/；均匀分布E(X)=(a+b)/2；正态分布E(X)=。2）方差(反映了随

43、机变量取值的平均分散程度)D(X)=E(X2)E(X)2；运算；D(C)=0；D(CX)=C2.D(X)；D(X+C)=D(X)；若X与Y独立，则D(X±Y)=D(X)+D(Y)。二项分布D(X)=nP(1-P)；泊松分布D(X)=；指数分布D(X)=1/2；正态分布D(X)=2；零壹分布D(X)=P(1-P)；均匀分布D(X)=(b-a)2/2。5、参数估计1）正态分布XN(,2)区间估计，置信区间(X-0/(n).1-/2，X+0/(n).1-/2)，区间长度为20/(n).1-/2 。6、假设检验犯第一类错误的概率P=(显著性水平)；犯第二类错误的概率P=。7、方差分析8、一元

44、回归分析1.9 线性代数1、行列式1）行列式的性质，D=D(转置)；互换其中两行(列)D=-D；其中两行(列)完全相同或成比例D=0；某一行(列)乘以k，D=kD；某一行(列)均为两数之和，D=D1+D2；某一行(列)乘以k对应加到另一行(列)，值不变。2）行列式的展开若行列式D某一行除aij项外均为0，则D=aijAij，代数余子式Aij=(-1)i+jMij。2、矩阵1）矩阵运算规律，加法满足交换律和结合律，A+(-A)=0，A-B=A+(-B)；数乘满足分配率；相乘满足结合律和分配率，AB为A的行×B的列，只有位数相同时才能相乘，ABBA。2）矩阵转置，(A)= A； (A+B

45、)= A+ B；(AB)= B.A；(A)=A。3）方阵的行列式A，A=A；A=nA；AB=A.B。4）可逆矩阵：若AB=BA，则A可逆，B=A-1；可逆矩阵A0且A-1=1/A.A*。A-1=1/A；(A-1)-1=A；(A-1)=(A)-1；(A)-1=1/A-1；(AB)-1=B-1.A-1；伴随矩阵A*与A互换了行列。5）矩阵的秩R(A)为行(列)向量组的秩(向量组最大线性无关组所含向量的个数)。6）相似矩阵，n阶方阵A与对角阵相似A有n个线性无关的特征向量。7）特征值，Ax=x，x为特征向量，为特征值。若x一定，则一定。求解特征值，令AE=0。3、线性方程组1）齐次线性方程组有非0解

46、的充要条件是其系数行列式A=0。齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)=n，方程组有唯一零解；齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)<n，方程组有无数多解。2）非齐次线性方程组有解的必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，否则直接判为无解。如果n个未知量的线性方程组有解时，当r(A)=n时有唯一解；当r(A)<n时有无穷多解。4、向量分析二、普通物理共12题1.1 热学1、内能平均动能1.2 波动学1、1.3 光学三、普通化学共12题1.1 物质结构1.2 溶液1.3 周期表1.4 化学反应方程1.5 氧化还原反应及电化学1.6 有机化学四、理论力学共13题1.1 静力学1、平面力系向一

47、点简化时，可得到一力和一力偶，力的大小方向与主矢相同，力偶矩为主矩。主矩与简化点有关，主矢与简化点无关。1.2 动力学1.3 运动学五、材料力学共15题1.1力(拉、压、弯、剪、扭)， 1、扭矩，右手法则。1.2 截面特性1、面积矩Sz=Ai.yi；Sy=Ai.zi。形心公式：yc=Ai.yi/Ai；zc=Ai.zi/Ai。2、惯性积为0的一对坐标轴为主惯性轴；通过截面形心的主惯性轴为形心主惯性轴。3、惯性矩：Iy=Az2dA；Iz=Ay2dA。常用的几何参数：矩形Iz=bh3/12；圆Iz=D4/64。惯性积：Izy=AzydA。惯性半径：iz=Iz/A；iy=Iy/A。4、平行移轴公式，I

48、z= Izc+a2A；Iy= Iyc+b2A；Izy= Izcyc+abA。1.3 应力状态1、拉、压正应力=N/A，垂直于截面。纯扭剪应力= ，相切于截面。应变：=l/l=/E=N/EA；虎克定律：l= Nl/EA。2、剪应力互等定理剪力在相互垂直的面上同时存在，数值相等，方向都垂直于这两个面的交线，且都指向或背离该交线。3、三向应力状态1.4 组合变形1.5 压杆稳定1、欧拉公式只适用于较长细的大柔度杆，Pcr=2EI/(l)2。六、流体力学共12题1.1 流体的物理性质1.2 流体静力学，动力学1.3 流动阻力和水头损失1.4 孔口管嘴出流 有压管道恒定流1.5 明渠恒定均匀流1.6 渗

49、流定律 井和集水廊道1.7相似原理和量纲分析1.8 流体运动参数(流速流量压强)的测量七、计算机应用基础共10题1.1 计算机基础1.2 计算机语言1、进制转换二进制转十进制：1101(2)=1×20+0×21+1×22+1×23=13(10)，从右到左乘以2的项次(0!)。十进制转二进制：173(10)=10101101(2)，将除以2的余数倒排。二进制转八进制：(1100100)(2)=(001 100 100)(2)=(1 4 4)(8)，把表示形式对每三位二进制位进行分组，应该从小数点所在位置分别从右向左划分，若整数部分倍数不是3的倍数，可以在最

50、高位前面补若干个0；对小数部分，当其位数不是的倍数时，在最低位后补若干个0。然后从左到右把每组的八进制码依次写出，即得转换结果。八进制转十进制：1.3 系统操作八、电工电子技术共12题九、工程经济共10题下午篇：一、建筑材料共7题1、基本概念与计算1）实际密度，表观密度（容重），堆积密度a. 实际密度=材料质量m/绝对密实状态的体积vb. 表观密度0=材料质量m/自然状态的体积v0c. 堆积密度0=材料质量m/堆积体积v02）密实度（%），孔隙率，填充率（%），空隙率（%）a. 密实度D=v/ v0，b. 孔隙率P=（v0- v）/ v0，P+D=1c. 填充率D= v0/v0d. 空隙率P=

51、（v0- v0）/ v0，P+D=13）与水有关的性质，抗渗性（渗透系数），耐久性（抗冻性），a. 耐水性，软化系数01，经常处于严重潮湿中不宜小于0.85，潮湿较轻不宜小于0.7。大于0.8的材料为耐水材料。b. 润湿角90°为亲水性，90°为憎水性。c. 吸湿性，含水率=（总质量-干质量）/干质量d. 吸水性，质量吸水率=水的质量/干质量；体积吸水率=水的体积/干体积4）导热性（率），比热容和热容量，保温隔热性5）强度与比强度，弹性与塑性，脆性与韧性，硬度与耐磨性，2、气硬性胶体（石膏，石灰，镁质胶凝材料）与水玻璃1）陈化是消除过火石灰危害。2）胶体、凝胶体的特性：3）

52、水玻璃的特性：良好的粘结性，很强的耐酸性，较好的耐高温性。4）石膏质量等级划分指标，强度，细度，凝结时间。3、水泥1）水泥的类别特性，硅酸盐水泥普通水泥矿渣水泥火山灰水泥粉煤灰水泥a. 硅酸盐水泥：基础水泥，基本不含混合材料，成分：C3S占50%-60%，C2S占15%-37%，C3A占7%-15%，C4AF占10%-18%。C3A是水化反应最快，放热最大的，其次是C3S，其强度最大。初凝不宜早于45min，终凝不宜迟于6.5h，石膏是缓凝剂。不利于大体积混凝土，有利于冬季施工，常用于预应力、喷射、桥梁等快凝高强结构。b. 普通水泥：6%15%混合材料，最常用的水泥，不适用大体积混凝土，终凝不宜迟于10h。c. 矿渣水泥：耐热，大体积，抗硫酸盐侵蚀，干缩大，不适用早强、严寒及水位范围内的混凝土。d. 火山灰水泥：水中，地下，大体积，干缩大，抗渗，抗硫酸盐侵蚀，不适用干燥、耐磨及同矿渣水泥。e. 粉煤灰水泥：水中，地上下，大体积，抗硫酸盐侵蚀，干缩小，抗裂，不适用干燥、抗碳化及同矿渣水泥。2）体积安定性，原因是水泥熟料中游离氧化钙、氧化镁过多，或石膏参量过多。4、混凝土1）混凝土强度等级，按照立方体抗压强度标准值确定。a. 混凝土立方体抗压强度fcu