MATLAB及基本运算分析

1、1.1 发展历史1970s，创始人：Cleve Moler博士;1984年，Cleve Moler和John Little成立了 MathWorks公司，将MATLAB推上市场;1993年推出MATLAB4.0版;1997年推出5.0版;1998年推出5.2版;目前我们可以看到的最新版本为7.x版。 在欧美高校，MATLAB已经成为线性代数、自动控制理论、数理统计、数字信号处理、时间序列分析、动态系统仿真等高级课程的基本教学工具；成为攻读学位的本科生、硕士生、博士生必须掌握的基本技能。在国内，目前各个高校也正在逐步开设相关课程，为广大学生学习和使用MATLAB提供方便。 优点：简洁、紧凑，使用

2、方便灵活，库函数丰富、可靠;运算符丰富，提供了几乎和C语言一样多的运算符;具有结构化的控制语句，面向对象编程的特性;语法限制不严格，程序设计自由度大;程序的可移植性很好;图形功能强大;具有功能强劲的工具箱;源程序具有开放性。 缺点：程序的执行速度较慢。 数学类数学类：最优化，统计，神经网络，符号数学，偏微分方程，样条函数，数据拟合、结构动力学，虚拟现实等 数据库类数据库类 信号处理类信号处理类 控制工程类控制工程类 金融经济类金融经济类 系统仿真类系统仿真类（Simulink）Help : 包括help，help+函数名， helpwin 和helpdesk。demo : 演示界面intro

3、: 介绍界面who : 查 询whos: 查 询clear: 清 除 Matlab的基本运算单元是以数字为元素的矩阵，而将数字看成11矩阵作统一处理,当我们使用数的运算功能时，我们可以如同平时用手在纸上写字一样，直接写出要计算的表达式后，按回车键即可得到结果。例如：23*23ans =529这里ans是系统规定的存放计算结果的变量，也可以自己定义，如：x=230 x = 230y=450y = 450z=x*yz = 103500这里，将x定义为230，y定义为450，而z=x*y，这种方法常用在计算较为复杂的时候。例如：分别计算水在温度为0、20、40、60和80度时的黏度。已知水的黏度随温

4、度的变化公式为： 其中：201btat ， 301.78503368. 0a000221. 0b用Matlab计算的命令为：muw0=1.785e-3; % 定义零度时的黏度a=0.03368; b=0.000221;t=0:20:80; % 定义温度变量muw=muw0./(1+a*t+b*t.2) 0.0018 0.0010 0.0007 0.0005 0.0003这里: “；”表示当前不输出结果；如以后想看此变量的值，只要输入该变量名即可；“t=0:20:80”表示t的值从0开始，间隔为20，到80为止；“./”表示数组的右除，在此处，当t取不同的值后，muw即构成了一个数组；以%开始的

5、部分表示注释。常用运算符：、*、/、sqrt. 输入输出格式用format命令来控制： FORMAT SHORT 5位 FORMAT LONG 15位 FORMAT RAT 有理数表达注：具体可用 help format 查看常住变量： pi, i 或 j, inf, NaN输入向量的方法： 1 直接输入法 A=1 2 3 4, B=1,2,3,4,C=1;2;3;4，元素用 括起来，元素之间用空格或逗号分隔表示行向量， 用分号分隔就表示列向量。2. 利用冒号表达式生成向量基本形式为：FirstValue:Step:LastBound ，例如：B=12:3:35B = 12 15 18 21

6、24 27 30 33其中 Step也可以为负，例如：C=12:-2:5 C = 12 10 8 6特别当Step=1时可以省略。3.线性等分生成向量函数linspace用来生成线性等分向量：LINSPACE(x1, x2) generates a row vector of 100 linearly equally spaced points between x1 and x2.LINSPACE(x1, x2, N) generates N points between x1 and x2.linspace(1,10,4)linspace(1,15,6)Linspace(1,100)4.对数

7、等分生成向量 函数logspace用来生成对数等分向量: LOGSPACE Logarithmically spaced vector. LOGSPACE(d1, d2) generates a row vector of 50 logarithmically equally spaced points between decades 10d1 and 10d2. If d2 is pi, then the points are between 10d1 and pi. LOGSPACE(d1, d2, N) generates N points. logspace(0,5,6) , 此处lo

8、g以10为底数。 5. 向量的基本运算加（减）法、数加（减）加（减）法、数加（减）: :对同维数向量进行，对应元素相加（减）；数加（减）数加（减） :是Matlab规定的一种运算，即对向量的每一个分量加（减）同一个数；数乘数乘: :向量的每一个分量乘同一个数；点积（内积、数量积）点积（内积、数量积）: :计算用函数dot实现C=dot(A,B), A和B必须同维，当A和B都为列向量时，dot(A,B)等同于A*B。C=dot(A,B,DIM) 将返回A和B在维数为DIM的点积例如：计算向量（1，2，3）和向量（3，4，5）的点积。a=1,2,3; % 如此定义的是行向量b=3,4,5;dot(

9、a,b)ans = 26a=1;2;3; % 这样定义的是列向量b=3;4;5;dot(a,b)a*bb*a另一种计算点积的方法：sum(a.*b)ans = 26关于SUM的用法，有：SUM Sum of elements. For vectors, SUM(X) is the sum of the elements of X. For matrices, SUM(X) is a row vector with the sum over each column. For N-D arrays, SUM(X) operates along the first non-singleton dim

10、ension. SUM(X,DIM) sums along the dimension DIM. Example: If X = 0 1 2 3 4 5then sum(X,1) is 3 5 7 and sum(X,2) is 3 12;叉 积实现函数：crossC=cross(A,B) A与B必须为3维向量；混合积： a=1 2 3; b=3 4 5; c=cross(a,b)c = -2 4 -2dot(a,cross(b,c)ans = 24 若秩若秩(A) = 秩秩(A,b) = n, 存在唯一解存在唯一解; 若秩若秩(A) = 秩秩(A,b) n, 存在无穷多解，存在无穷多解，其通

11、解可表示为其通解可表示为Ax=0的一个基础解系与的一个基础解系与Ax=b的一个特解的叠加；的一个特解的叠加； 若秩若秩(A) 秩秩(A,b)，则无解，寻求最小二，则无解，寻求最小二乘近似解乘近似解. 方阵方阵A称为称为可逆可逆的，如果存在方阵的，如果存在方阵B，使，使A B = B A = E 则称则称B为为A的的逆矩阵，逆矩阵，记记 为为B = A -1。 方阵方阵A可逆的充要条件是可逆的充要条件是 A0。 A -1 = *AA1 对于方阵对于方阵A，若存在数，若存在数 和非零向量和非零向量x使使A x = x 则称则称 为为A一个一个特征值特征值，x为为A的一个的一个对应于特征值对应于特征

12、值 的的特征向量特征向量。 特征值计算归结为特征多项式的求根。特征值计算归结为特征多项式的求根。 对应于特征值对应于特征值 的特征向量是齐次线性的特征向量是齐次线性方程组方程组(A - E) x = 0 的所有非零解。的所有非零解。 正交向量正交向量 xx=0 单位向量单位向量 xx=1 正交矩阵正交矩阵AA=E 正交矩阵的各列向量两两正交，且均正交矩阵的各列向量两两正交，且均为单位向量为单位向量 MatLab的所有数值计算功能都是以（复）矩阵为基本单元进行的，因此MatLab对矩阵的运算功能是最全、最强的。 1直接输入 多用于小型矩阵的输入，以 为标识，同行元素以“，”或空格分开，行与行之间

13、用“；”或回车符分隔。a=1 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6a = 1 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 zeros ones eye linspace rand diag / det inv eig rank rref orth null特殊矩阵的生成 空阵； zeros 全0阵；eye 单位阵；ones 全1阵；rand随机阵；magic魔方矩阵；company伴随矩阵；vander 范得蒙矩阵；矩阵的基本运算矩阵的四则运算 :加 + A+B （同维矩阵） 矩阵相加减 - A-B （同维矩阵 ） 矩阵相减乘 * A*B （A的列数=B的行数 ） 矩阵相乘左除 AB （

14、=INV(A)*B） 用于求方程组的解右除/ A/B (=A*INV(B) 用于求方程组的解点乘.* A.*B 同维矩阵或其中一个为数 对应元素相乘点除./ A./B 同维矩阵或其中一个为数 对应元素相除矩阵与常数间的运算 矩阵与常数间的运算为矩阵的每一个元素之间的运算。需要注意的是作除法运算时,常数只能作除数。 矩阵的逆运算 inv(A) :表示求矩阵A的逆矩阵。例如：a=2 1 -3 -1;3 1 0 7;-1 2 4 -2;1 0 -1 5a = 2 1 -3 -1 3 1 0 7 -1 2 4 -2 1 0 -1 5inv(a)ans = -0.0471 0.5882 -0.2706

15、-0.9412 0.3882 -0.3529 0.4824 0.7647 -0.2235 0.2941 -0.0353 -0.4706 -0.0353 -0.0588 0.0471 0.2941矩阵的行列式运算 det(A) 表示计算矩阵A的行列式。例：对于上面的a，有：det(a)= -85det(inv(a) = -0.0118矩阵的数组乘方：两个矩阵对应元素的乘方：A=1 2;3 4;B=2 2;1 3;A.Bans = 1 4 3 64 矩阵的开方运算由函数sqrtm实现，所谓S=sqrtm(A)，是指S*S=A 。矩阵的基本函数运算 特征值函数eig ,eigs条件数函数Cond:计

16、算矩阵条件数的值；Condest:计算矩阵1范数条件数的估计值；rcond :计算矩阵条件数的倒数值。特征值的条件数condeig范数函数 norm，调用格式为norm(X,P)， P可为1,2,inf,fro。 NORM Matrix or vector norm. For matrices. NORM(X) is the largest singular value of X, max(svd(X)； NORM(X,2) is the same as NORM(X)； NORM(X,1) is the 1-norm of X, the largest column sum, = max(s

17、um(abs(X).NORM(X,inf) is the infinity norm of X, the largest row sum, = max(sum(abs(X).NORM(X,fro) is the Frobeniusnorm, sqrt(sum(diag(X*X).NORM(X,P) is available for matrixonly if P is 1, 2, inf or fro. 秩 函 数 rank(A)迹函数 trace(A)零空间函数 null(A)正交空间函数 orth(A) 求矩阵的一组正交基 矩阵的 LU 分解a=1 2 3;2 4 1;4 6 7;l u=

18、lu(a)l = 0.2500 0.5000 1.0000 0.5000 1.0000 0 1.0000 0 0u = 4.0000 6.0000 7.0000 0 1.0000 -2.5000 0 0 2.5000矩阵的其他操作 变维 ：reshape 旋转、翻转： rot90,fliplr,flipud,flipdim 抽取：diag基本数学函数Trigonometric.sin-Sine.sinh-Hyperbolicsine.asin-Inversesine.asinh-Inversehyperbolicsine.cos-Cosine.cosh-Hyperboliccosine.aco

19、s-Inversecosine.acosh-Inversehyperboliccosine.tan-Tangent.tanh-Hyperbolictangent.atan-Inversetangent.atan2-Fourquadrantinversetangent.atanh-Inversehyperbolictangent.sec-Secant.sech-Hyperbolicsecant.asec-Inversesecant.asech-Inversehyperbolicsecant.csc-Cosecant.csch-Hyperboliccosecant.acsc-Inversecose

20、cant.acsch-Inversehyperboliccosecant.cot-Cotangent.coth-Hyperboliccotangent.acot-Inversecotangent.acoth-Inversehyperboliccotangent.Exponential.exp-Exponential.log-Naturallogarithm.log10-Common(base10)logarithm.log2-Base2logarithmanddissectfloatingpointnumber.pow2-Base2powerandscalefloatingpointnumber.sqrt-Squareroot.nextpow2-Nexthigherpowerof2.Complex.abs-Absolutevalue.angle-Phaseangle.conj-Compl