概率论与数理统计(2-1)

1、第二章 随机变量及其分布离散型随机变量及其分布律随机变量的分布函数连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量的分布随机变量函数的分布随机变量及其联合分布函数随机变量随机变量变量的相互独立性离散型随机变量及其分布律 一、随机变量的定义 二、离散型随机变量及其分布律 三、常见的离散型随机变量的分布 为更好地揭示随机现象的规律性并利用数学工具为更好地揭示随机现象的规律性并利用数学工具描述其规律描述其规律, , 有必要引入随机变量来描述随机试验的有必要引入随机变量来描述随机试验的不同结果不同结果. . 例例1 掷一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。掷一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。记记1= “正面朝

2、上正面朝上”， 2=“反面朝上反面朝上”。21, 0, 1)(XXX是定义在是定义在=1，2上的函数，是随机变量。上的函数，是随机变量。 一、随机变量的概念一、随机变量的概念 =t | t 0例例3 测试灯泡的寿命：测试灯泡的寿命：X=X（t） X()X 例例2 从一批种子中随机抽取从一批种子中随机抽取20粒进行发芽试验，观粒进行发芽试验，观察发芽粒数。显然察发芽粒数。显然=0，1，20，用变量，用变量X表示发表示发芽种子粒数，则芽种子粒数，则X的所有可能取值为的所有可能取值为 0，1，20. = X=X() 一、随机变量的概念一、随机变量的概念 定义定义 设随机试验设随机试验E的样本空间为的

3、样本空间为，如果对于每一如果对于每一个个，都有唯一的一个实数都有唯一的一个实数X()与之对应，则称与之对应，则称X()为为随机变量随机变量，并简记为，并简记为X。 注意：注意： 1. X是定义在是定义在上的实值、单值函数。上的实值、单值函数。 2. 因随机试验的每一个结果的出现都有一定的概率，因随机试验的每一个结果的出现都有一定的概率， 所以随机变量所以随机变量X的取值也有一定的概率。的取值也有一定的概率。 3. 随试验结果不同随试验结果不同, X取不同的值，试验前可以知取不同的值，试验前可以知道它的所有取值范围，但不知确定取什么值。道它的所有取值范围，但不知确定取什么值。 一、随机变量的概念

4、一、随机变量的概念例例3 (1) 50次射击试验中命中的次数次射击试验中命中的次数 可以用一个随机变量可以用一个随机变量X来表示，它可能取来表示，它可能取0，1，50中的任一非负整数；中的任一非负整数；(2)城市某十字路口一分钟内通过的机动车数城市某十字路口一分钟内通过的机动车数 可以用随机变量可以用随机变量X来表示，它所有可能的取值为一切非来表示，它所有可能的取值为一切非负整数；负整数； 二、二、 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律(3) 汽车司机刹车时，轮胎接触地面的点的位置是在汽车司机刹车时，轮胎接触地面的点的位置是在0, 2 r上取值的随机变量，其中上取值的随机变量，其中

5、r 是轮胎的半径是轮胎的半径 随机变量按其可能取的值，区分为两大类随机变量按其可能取的值，区分为两大类: 一类叫一类叫离散型随机变量离散型随机变量, 其特征是只能取有限或可列其特征是只能取有限或可列个值个值.在例在例1的的 (1) 和和(2)中中,随机变量为离散型随机变量随机变量为离散型随机变量 另一类是另一类是非离散型随机变量非离散型随机变量。在非离散型随机变量。在非离散型随机变量中，通常只关心中，通常只关心连续型随机变量连续型随机变量，它的全部可能取值，它的全部可能取值不仅是无穷多的、不可列的，而是充满某个区间在不仅是无穷多的、不可列的，而是充满某个区间在例例1的（的（3），随机变量则为连

6、续型随机变量），随机变量则为连续型随机变量二、二、 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律 P X = xi = pi （i = 1, 2, ）亦可用下面的概率分布表来表示亦可用下面的概率分布表来表示Xx1x2xnpkp1p2pn则称之为离散型随机变量则称之为离散型随机变量X的的概率分布律或分布列（律）概率分布律或分布列（律） 定义定义 设离散型随机变量设离散型随机变量X所有可能的取值为所有可能的取值为 x1 , x2 , , xn , X取各个值的概率取各个值的概率，即事件即事件X=xi的概率为的概率为二、二、 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律（1）非负性：）非负性

7、： pi 0 （i=1,2，） 11iip（2）规范性：）规范性： 课堂练习课堂练习1 已知随机变量已知随机变量X的概率分布为：的概率分布为：, )5 , 4 , 3 , 2 , 1(kakkXPpk求常数求常数a.解解 由概率分布的性质得由概率分布的性质得151iip得得 15a = 1, 即即.151a分布律具有如下性质：分布律具有如下性质：211,610310261431036CCCXPCCXP3013,1032310343101624CCXPCCCXP)3 , 2 , 1 , 0(310364kCCCkXPkk6121103301X0123pk6白白4红红10球球 解解 用用X表示抽到

8、的红球数，则表示抽到的红球数，则X所有可能的取值为所有可能的取值为0，1，2，3。且取每一个值的概率分别为。且取每一个值的概率分别为 课堂练习课堂练习2 在一个袋子中有在一个袋子中有10个球，其中个球，其中6个白球，个白球，4个红球。从中任取个红球。从中任取3个，求抽到红球数的概率分布。个，求抽到红球数的概率分布。可表示为可表示为 例例4 假设某篮球运动员投篮命中率为假设某篮球运动员投篮命中率为0.8，X表示他表示他投篮一次命中的次数，求投篮一次命中的次数，求X的概率分布的概率分布 解解 用用X=1表示表示“投篮一次命中投篮一次命中”，X=0表示表示“投投篮一次没命中篮一次没命中”，则，则 P

9、X=1=0.8, PX=0=1PX=1=10.8=0.2.即即X的概率分布为的概率分布为 X 0 1 P 0.2 0.8三、常见的离散型随机变量的分布三、常见的离散型随机变量的分布pqXPpXP10,1 1. 0-1分布分布 若随机变量若随机变量 X 只可能取只可能取 0 和和 1 两个值，概率分布为两个值，概率分布为 1 , 0,1kqpkXPkk ( 0p1，p+q=1) 若若只有两个样本点，即只有两个样本点，即=1,2，则可以定义具则可以定义具有有0-1分布的随机变量：分布的随机变量：X = X() = 21, 0, 1XP1 0p q则称则称 X 服从服从0-1分布（分布（p为参数）为

10、参数）, 也称为两点分布也称为两点分布.记记作作 X B (1 , p ). 其分布可表示为其分布可表示为或或特别特别当当 n=1时，二项分布为时，二项分布为) 1 , 0(1kqpkXPkkknkknqpCkXP 显然显然0()1nkkn knnkC p qpq 2. 二项分布二项分布即为即为0-1分布。分布。 定义定义 如果随机变量如果随机变量X的概率分布为的概率分布为 （k = 0，1，2，n） （0p1, q=1-p )则称则称 X 服从参数为服从参数为 n，p的二项分布。记作的二项分布。记作XB(n, p).P X 2 = 1 P X = 0 + P X = 1 （k=0，1，2，4

11、00） 解解 将每次射击看成是一次伯努利试验，将每次射击看成是一次伯努利试验，X表示在表示在400次射击中击的次数，则次射击中击的次数，则XB(400, 0.02)其分布律为其分布律为kkkCkXP400400)98. 0()02. 0(98. 002. 0400)98. 0(1399400 例例5 某人进行射击，其命中率为某人进行射击，其命中率为0.02，独立射击，独立射击400次，试求击中的次数大于等于次，试求击中的次数大于等于2的概率。的概率。0.9972 小概率事件原理：小概率事件原理：某事件在一次试验中发生的可某事件在一次试验中发生的可能性很小，但只要重复次数足够大，那么该事件的发能

12、性很小，但只要重复次数足够大，那么该事件的发生几乎是肯定的。生几乎是肯定的。 例例6 甲、乙两名棋手约定进行甲、乙两名棋手约定进行10盘比赛，以赢的盘盘比赛，以赢的盘数较多者为胜数较多者为胜.，假设每盘棋甲赢的概率都为，假设每盘棋甲赢的概率都为0.6，乙赢，乙赢的概率为的概率为0.4，且各盘比赛相互独立，问甲、乙获胜的，且各盘比赛相互独立，问甲、乙获胜的概率各为多少？概率各为多少？ 解解 每一盘棋可看作一次伯努利试验每一盘棋可看作一次伯努利试验. 设设X为为10盘棋赛盘棋赛中甲赢的盘数，则中甲赢的盘数，则 X B(10,0.6) ，按约定，甲只要赢，按约定，甲只要赢6盘或盘或6盘以上即可获胜盘

13、以上即可获胜. 所以所以6331. 0)4 . 0()6 . 0(61010610kkkkCXPP甲获胜甲获胜 =若乙获胜，若乙获胜， 则甲赢棋的盘数，即则甲赢棋的盘数，即4XPP 乙获胜1662. 0)4 . 0()6 . 0(104010kkkkC 练习练习 某厂需从外地购买某厂需从外地购买12只集成电路只集成电路.已知该型号已知该型号集成电路的不合格率为集成电路的不合格率为0.1，问至少需要购买几只才能，问至少需要购买几只才能以以99%的把握保证其中合格的集成电路不少于的把握保证其中合格的集成电路不少于12只？只？ 解解 设需要购买设需要购买n只，用只，用X表示这表示这n只集成电路中合格

14、只集成电路中合格品只数，则，按题意，要求事件品只数，则，按题意，要求事件“X12”的概率不小的概率不小于于0.99，即，即12XP99. 0) 1 . 0()9 . 0(12knnkkknC可算出至少需要购买可算出至少需要购买17只集成电路，才能以只集成电路，才能以99%的把的把握保证其中合格品不少于握保证其中合格品不少于12只只. 注意：事件注意：事件“甲获胜甲获胜”与与“乙获胜乙获胜”并不是互逆事并不是互逆事件，因为两人还有输赢相当的可能容易算出件，因为两人还有输赢相当的可能容易算出 555105(0.6) (0.4)0.2007PP XC不分胜负 一本书的某一页中印刷符号错误的个数；某地

15、区一本书的某一页中印刷符号错误的个数；某地区一天内邮递遗失的信件数等，这些随机变量都服从或一天内邮递遗失的信件数等，这些随机变量都服从或近似服从泊松分布近似服从泊松分布!kekXPk其中其中0是常数，则称是常数，则称X服从参数为服从参数为的泊松分布，记的泊松分布，记为为XP()查课本查课本204页附表页附表2 泊松分布表，对于给定的泊松分布表，对于给定的，可查可查ekxXPxkk! 3. 泊松分布泊松分布（k =0，1，2，） 定义定义 如果随机变量如果随机变量X的概率分布为的概率分布为 例例7 在在500个人组成的团体中，恰有个人组成的团体中，恰有5个人的生日是个人的生日是元旦的概率是多少？

16、元旦的概率是多少？ 解解 该团体中每个人的生日恰好是元旦的概率都是该团体中每个人的生日恰好是元旦的概率都是 1/365 ，则该团体中生日为元旦的人数，则该团体中生日为元旦的人数 B(500, 1 /365) ，恰有，恰有5个人的生日是元旦的概率为个人的生日是元旦的概率为 550055500)36511 ()3651(5CXP这里这里n值较大，直接计算比较麻烦值较大，直接计算比较麻烦. 而在二项分布中，而在二项分布中，当当n值较大，而值较大，而p较小时，有一个很好的近似计算公式，较小时，有一个很好的近似计算公式，这就是著名的泊松定理。这就是著名的泊松定理。设随机变量设随机变量Xn(n=1，2，3)服从二项分布服从二项分布B(n, pn) , !)1 (limlimkeppCkXPkknnknknnnnknnknknppC)1 (!)(kenpnnpkn从而从而n较大，较大，pn较小时有较小时有其中其中pn与与 n有关。如果有关。如果泊松（泊松（Poisson）定