概率论与数理统计第3章

1、第三章第三章 多维随机变量及其概率多维随机变量及其概率3.1 二维随机变量的概念二维随机变量的概念3.1.1 二维随机变量及其分布函数二维随机变量及其分布函数1212,(3 1(1,2, ),).nninXXXXXXnni inXXX个随机变量构成的整体称定义维随机变为一个或,称量维随机向量第的个分量为,.()(, )( , ),( , )X YX YF x yP Xx YyxyF x yXY 称二元函分布数数的函设为一个二维随机变量，记为 与联合分布函或为数的称定定义义 3-23-2边缘分布函数：边缘分布函数： (X,Y)的两个分量X与Y各自的分布函数分别为二维随机变量(X,Y)关于X与关于

2、Y的边缘分布函数,记为FX(x)与FY(y).边缘分布函数可由联合分布函数来确定. 如下( ),( ,)lim( , );XyFxP XxP Xx YF xF x y ( ),(, )lim( , ).YxFyP YyP XYyFyF x y 几何意义几何意义：分布函数F(x,y)在(x,y)处的函数值就是随机点(X,Y)落在以(x,y)为顶点、位于该点左下方的无穷矩形D内的概率,见下图见下图.yx(x,y)0D 利用分布函数及其集合意义不难看出利用分布函数及其集合意义不难看出,随机点随机点(X,Y)落在矩落在矩形域形域x1X x2, y1Y y2内内(如下图如下图)的概率为：的概率为：yxo

3、y2y1x2x1(x1, y2)(x2, y2)(x1,y1)(x2, y1)221122221111(,)( ,)(,)(,.,)F xyF xP xXxyyF xyyYyF x回忆回忆: 分布函数分布函数F(x)的性质的性质.(1) 0( ) 1;F x1212(2)( )( )( );F xxxF xF x是不减函数，对于任意的有(3)()lim( ) 0,()lim( ) 1;FF xFF xxx (4)( )lim()( ).0F xF xxF xx 是右连续，即( , )F x y分布函数具有下列性质：21212121(1)( , )(),(, )( , );,( ,)( ,).F

4、 x yxyyxxF xyF x yyyF x yF x y是变量 或 的不减函数 即对任意固定的 ，当时当时(2) 0( , )1,(, )0;,( ,)0;(,)0,(,)1.F x yy Fyx F xFF 对任意固定的对任意固定的00(3)( , ),( , )lim(, )( , )lim( ,).xyF x yxyF x yF xx yF x yF x yy 关于 和关于 均是右连续 即；121222211211(4),.(,)(,)( ,)( ,)0.xxyyF xyF xyF x yF x y对任意固定的例例 3-10,0,( , )1,0.xyF x yxy判断二元函数是不是

5、某二维随机变量的分布函数.2221211(,)(,)( 1,)( ,)0.F xyF xyF x yF x y12120,0,1,1,1,( , )1,0.1,xxyxyF xyyxy 而本题中若取2221211(,)(,)( 1,)( ,)1 1 1010.F xyF xyF x yF x y ( , ).F x y故函数不能作为某二维随机变量的分布函数1212( , ),xF x yxyy作为二维随机变量的分布函数对任意的应有解解3.1.2 二维离散型随机变量二维离散型随机变量定义定义3-3 若二维随机变量若二维随机变量(X ,Y )只能取有限多对或可列无只能取有限多对或可列无穷多对穷多对

6、( Xi ,Yj ),( i , j=1,2,)则称则称(X ,Y )为二维离散型随机变为二维离散型随机变量量. 设二维随机变量设二维随机变量 (X ,Y) 的所有可能取值为的所有可能取值为 ( Xi ,Yj ),( i ,j=1,2,),( X, Y )在各个可能取值的概率为：在各个可能取值的概率为：PX=xi,Y=yj= pij ( i, j=1,2,)称PX=xi,Y=yj= pij ( i, j=1,2,)为为( X , Y )的分布律的分布律.( X , Y ) 的分布律还可以写成如下列表形式：的分布律还可以写成如下列表形式：XYy1 y2 yj x1x2xip11 p12 p1j

7、p21 p22 p2j pi1 pi2 pij (X,Y) 的分布律具有下列性质:回忆：回忆：分布律PK的性质.(1) 0 PK 1；(2) P1 +P2 + + PK =1.(1) 0 Pij 1 ( i,j=1,2, ) ;(2)1.ijijp 反之,若数集pij ( i,j=1,2, ) 具有以上两条性质,则它必可作为某二维离散型随机变量的分布律.例例 3-2 设设(X,Y)的分布律为的分布律为XY1 2 3 122aa1 11 13 36 64 41 10 04 4求常数求常数a的值的值.解解 由分布律性质知，由分布律性质知，21111,3644aa2610, (31)(21)0,aa

8、aa 则111(),.323aaa 解得 或负值舍去 所以例例3-3 设(X,Y)的分布律为XY1 2 3 0 0.1 0.1 0.3 1 0.25 0 0.25求求: (1)PX=0; (2)PY2; (3)PX1,Y1=_.练练 习习1, 01, 01,( , )0,.xyf x y其他3.设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的概率密度的概率密度则则PX+Y1=_.5.设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的概率密度的概率密度221()21( , )e2xyf x y则则(X,Y)关于关于X的边缘概率密度的边缘概率密度fX(x)=_.6 ,0,0,( , )0,xxyf x y其他4.设

9、二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的概率密度为的概率密度为则则(X,Y)关于关于Y的边缘概率密度为的边缘概率密度为_.3.2 随机变量的独立性随机变量的独立性回忆回忆：两个事件两个事件相互独立的定义相互独立的定义若P(AB)=P(A)P(B), 则称A与B相互独立相互独立, 简称A,B独立独立.( , ),( )( )( , )., ,.( )( ),)XYXYF x y FxFyX Yx yF x yFx FXYy设和分别是二维随机变量的分布函数和两个边缘分布函数若对任意实数有则称义相互独立（与*）定定3-93-9, , .x yP Xx YyP Xx P Yy式等价于对任意实数有（*）,

10、 ,.XYx yXxYy由此可知 随机变量 与 相互独立 即对任意实数事件与相互独立(, )(1)(1),0,0.( , )0,.xyX YeexyF x yXY设二维随机变量的分布函数为其他证明:互独立义与 相定定3-143-14(1)(1),0,0.( , )0,.xyeexyF x y其他明明证证(1,0,0)( ),.xXeF xxFx 其他Y关于 的边缘分布函数为1,0( )0,(., )yYeFyFyy ，其他( , )( )(,.)XYF x yFx Fyx yXY因此对任意的有成立 故 与 相互独立X关于 的边缘分布函数为3.2.2 二维离散型随机变量的独立性二维离散型随机变量

11、的独立性(, ), ,1,2,.ijijX YPP Xx Yyi j设为离散型随机变量 其分布律为,1,2,;iijjPiP Xxpi边缘分布律为,1,2,.jijiP jP Yypj边缘分布律为, ,.(*)ijijijP Xx YyP Xx P YyPPiXYi jP j与 相互独立的充要条件为：对一切有，,(*)XYi j： 与 相互独立要求对所以的值都成立.注注意意XY判断3.1节例1-6中 与 是否相互独立.例例3-153-15(1) 有放回摸球情况：因为解解93 30,00 0,255 5P XYP XP Y63 20,10 0,255 5P XYP XP Y62 31,00 0,

12、255 5P XYP XP Y42 21,10 0,255 5P XYP XP YXY所以 与 相互独立.(2) 不放回摸球情况：因为3 3900,5 525P XP Y30,0,10P XY000,0,P XP YP XY.XY所以 与 不相互独立例例 3-16 设设(X,Y)的分布律为的分布律为ab1 12 21 11 19 91 11 12 26 63 31 13 31 1 8 8YX,.XYa b且 与 相互独立 求常数的值1,11 1, 3,13 1,XYP XYP XP YP XYP XP Y由于 与解相互独立,则111,13 191811111131.9189618P XYP X

13、P YP XaP XbP Y而，21,.99ab解得11111199318183ab故，3.2.3 二维连续型随机变量的独立性(,)( ,)X Yfx y设二维连续型随机变量的概率密度为,( )( )XYfxfyXYXY,分别为关于 和 的边缘概率密度,则 与几乎处处成立.相互独立的充要条件是:等式( , )( )( )XYf x yfx fy这里这里“几乎处处成立几乎处处成立”的含义是：在平面上除去面积为的含义是：在平面上除去面积为 0 的集合的集合外，处处成立外，处处成立.3.11-8.3-17XY证明节例中 与 的独立性例例2222(, )( , )2( , ),(1)(14),X YF

14、 x yf x yx yxyxy 的概解率密度为21( )(1)XXfxxx 关于 的边缘概率密度为，22( )(14)YYfyyy 关于 的边缘概率密度为，,( , )( )(, )XYf x yxfx fyy从而对任意有.XY因此 与 相互独立221212(, ) (, )3,18X YNXY = 0设证明 与 相互独立的充要条件是：例.2211222221212()()()()122(1)2121(, ).2,1xxxxXfYx ye 的概率明密度证为先证充要性.设 =0,此时2222121222221212()()1()()112221212111( ,2(.2)( )2XxxxYxf

15、 x yeeefx fy .,( , )( )( ).XYXYx yf x yfx fy再证必要性 若 与 相互独立 则对任意的有2121212121,2211xy 代入上式有现令，211从知，即而=0.(, )X YXY设在以原点为圆心、半径为1的圆域上服从均匀分布,问 与 是否相互独立.例例3-193-1922(, )1,1,( , )0,.X Yxyf x y的概率密度为其他解解221211,12( )1,xXxxfxdxx当时1( )( , )0Xxfxf x y dy当时，221,1,( )0,1,XXxxfxx关于 的边缘密度为221,1,( )0,1,YYyyfyy同理关于 的边

16、缘密度为222411,1,1,( )( )0,.XYxyxyfx fy其他,1,1,( , )( )( ).XYxyf x yfx fy易见 当时,.XY所以与 不相互独立 联合分布函数与边缘分布的关系:联合分布可确定边缘分布,但一般情况下,边缘分布是不能确定联合分布的.然而由随机变量相互独立的定义及充要条件可知,当X与Y相互独立时,(X,Y)的分布可由它的两个边缘分布完全确定.,2,(, )XYXYX Y设 与 为互相独立的随机变量在-1,1上服从均匀分布,服从参数的指数分布 求：的概率密度.例例3-203-20,X Y由已知条件得的概率密度分别为解解21,11,2,0,( )( )20,.

17、0,.yXYxeyfxfy 其他其他,(, )XYX Y因为 与 相互独立 所以的概率密度为2,11,0,( , )( )( )0,.yXYexyf x yfx fy 其他2:,()( ).,21,.XYf Xg YXYXYXY可以证明 如果随机变量 与 相互独立 那么 它们各自的函数与也相互独立比如与 相互独立 则与也相互独立与也相互独立等(, )8,01,0,( , )0,.,.X Yxyxyxf x yXYXY设的概率密度为其他求：关于 及关于 的概率密度 并判断 与 是否相互独立例例3-213-21X关于 的边缘概率密度解解( )( , ).Xfxf x y dy01x当时，30( )

18、84xXfxxydyx，01xx当或时，( )0Xfx ，3401( )0.Xxxfx，所以，其他128014 (1-)01( )0.0.yYxydxyyyyfy，同理，其他，其他0101,( , )( )( ).XYxyf x yfx fy当，时.XY所以 与 不相互独立n维随变3.2.4机3.2.4机量量,.n以上所述关于二维随机变量的一些概念 可推广到 维随机变量的情况12(,)nXXX设分布函为义的数定定3-103-10121122(,),nnnF XXXP Xx XxXx12(,),nf XXX其概率密度为则函数12( ),iXiiinFxP XXXxX 111111( )( ,)i

19、Xiiiiniinfxf xxx xx dxdx dxdx和分别称12(,),1,2, .niXXXXin为关于的边缘概率分布函数和边缘概率密度12,nx xx义若对一切有定定3-113-1111221,nnniiiP Xx XxXxP Xx12112212(,)()()(),nnnXXXnF Xx XxXxFx FxFx即12,.nXXX则称是相互独立21212,(,)(1,2, ),(,).niiinXXXXNinXXX 设相互独立 且求的概率密度例例3-223-221212,nnXXXXXX由于相互独立 ()的概率密度可解表示为：222112222212121122()()()12212

20、( ,)()()()1.(2 )nnnnnnxxxnnf x xxf xfxfxe 12,(2)nXXXkkn还可证明：若相互独立 则其中任意个随机变量也相互独立.1211222221212,nnnnnXXXXXXXXXXXX设相互独立,则它们各自的函数g(),g (), ,g ()相互独立,比如相互独立，则也相互独立.等等1,3.713,(),.9XYaAXaBYaP ABa设随机变量 与 相互独立,都在区间上服从均匀分布设若事件且求常数 的值例例3-233-23,XY由已知 随机变量 与 均在区间1,3上服从均匀分布.因此，解解13(1)(3)( ),( ),(),224aaaaP AP

21、BP AB13(1)(3)7(),2249aaaaP AB18(1) 18(3)9(1)(3)28,aaaa2936350,(35)(37)0,aaaa即57.33aa或 1. 设随机变设随机变量量 (X,Y) 的的概率密度是概率密度是 2,0,01,0,其它.yxxfx y 问问 X 和和 Y 是否相互独立是否相互独立?练练 习习(, )X Y设二维随机变量的概率密度为2.2.,02, 02,( , )0,.cxyxyf x y其他(1);(2)(, ),( ),( );(3)(4)1,1.XYcX YX YfxfyXYP XY求常数求分别关于的边缘密度判断 与 的独立性,并说明理由；求0,

22、1,2,3.Z解的可能取值为3.3 两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布3.3.1 离散型随机变量的函数的分布离散型随机变量的函数的分布例例 3-24 设设(X,Y)的分布律为的分布律为求求Z=X+Y的分布律的分布律.012111046811114812XY00,0,ZXY因为事件100,0;4P ZP XY所以10,11,0ZXYXY事件，0,11,0XYXY事件与互不相容，所以1151;4612P Z 20,21,1ZXYXY事件，0,21,1XYXY事件与互不相容，所以1112884P Z ；31,2,ZXY事件Z从而得出 的分布律为13,12P Z 所以1511412412

23、0123ZP1212,(),(),().X YXPYPZXYP设是相互独立的随机变量 且证明：例例3-253-251212() :两个相互独立且都服从泊松分布 参数分别为 和的随机变量之和仍服从泊松分布,见且具有参数+.由由此此可可3-24,(1);(2) .ZXYP XY接例求：的分布律例例3-263-26(1)0,1,2.Z的可能取值为解解Z=00,01,00,10,2,XYXYXYXY由于1111190;446824P Z 所以1111181213212ZXYP ZZXYP Z同理，ZXY则的分布律为012191124812ZP113(2)0,01,1.488P XYP XYP XY两个独连续随变3.3.2立3.3.2立型型机机量量之之和和的的概概率率分分布布XYY设 与 是两个相互独立的随机变量,X在0,1上服从均匀分布, 的概率密度为例例3-273-27121,0,( )20,0.yYeyfyy(1)(, )(2) 1;(3) 3.X YP XYP XY求:的概率密度；(1),(, )XYX Y由已知 与 相互独立解的概率密度为121,01,0,( , )( )( )20,yXYexyf x yfx fy其他.(