dfs_service_第二章基本理论

1、第二章 平面问题的基本理论2014年9月第二章 平面问题的基本理论2-1 平面应力问题与平面应变问题2-2 平衡微分方程2-3 平面问题中一点的应力状态2-4 几何方程 刚体位移2-5 物理方程2-6 边界条件2-7 圣维南原理及应用 2-8 按位移求解平面问题2-9 按应力求解平面问题 相容方程2-10常体力情况下的简化 应力函数2-1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题平面应变问题 弹性力学平面问题共有应力、应变和弹性力学平面问题共有应力、应变和位移位移8 8个未知函数，且均为个未知函数，且均为 。 弹性力学空间问题共有应力、应变和位移弹性力学空间问题共有应力、应变和位移1515个未知

2、函数，且均为个未知函数，且均为 ；zyxf,yxf, （4 4）约束约束作用于板边，平行于板的中面，作用于板边，平行于板的中面，沿板厚不变。沿板厚不变。 （3 3）面力面力作用于板边，平行于板的中面，作用于板边，平行于板的中面，沿板厚不变；沿板厚不变； （2 2）体力体力作用于体内，平行于板的中面，作用于体内，平行于板的中面，沿板厚不变；沿板厚不变；条件是：条件是： （1 1）等厚度的）等厚度的薄板薄板；平面应力问题 坐标系如图选择。平面应力问题简化为平面应力问题：简化为平面应力问题： 故只有平面应力故只有平面应力 存在。存在。0,2zzyzxz(在V中) , 0,zyzxz 由于薄板很薄，应

3、力是连续变化的，由于薄板很薄，应力是连续变化的，又无又无z向外力，可认为：向外力，可认为：（1 1）两板面上无面力和约束作用，故）两板面上无面力和约束作用，故xyyx, ,平面应力问题 所以归纳为平面应力问题：所以归纳为平面应力问题：a.a.应力中只有平面应力应力中只有平面应力 存在；存在；b.b.且仅为且仅为 。yxf,xyyx, ,（2 2）由于板为等厚度，外力、约束沿）由于板为等厚度，外力、约束沿z z向向不变，故应力不变，故应力 仅为仅为 。yxf,xyyx, ,如：弧形闸门闸墩计算简图：深梁计算简图：Fyfyf平面应力问题因表面无任何面力，因表面无任何面力，0,0yxff 即：. 0

4、,zyzxz. 0,zyzxzAB例题例题1 1：试分析试分析ABAB薄层中的应力状态。薄层中的应力状态。故接近平面应力问题。故接近平面应力问题。故表面上，有：故表面上，有：在近表面很薄一层内：在近表面很薄一层内： （2 2）体力体力作用于体内，平行于横截面，沿柱体作用于体内，平行于横截面，沿柱体长度方向不变；长度方向不变；条件是：条件是： （1 1）很长的）很长的常截面柱体常截面柱体； （3 3）面力面力作用于柱面，平行于横截面，沿柱作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变；体长度方向不变； （4 4）约束约束作用于柱面，平行于横截面，沿柱作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变。体

5、长度方向不变。平面应变问题坐标系选择如图：oxzyozxy对称面zy水坝水坝 故任何故任何z z 面（截面）均为对称面。面（截面）均为对称面。（平面位移问题）只有 ; , 0u,vw（平面应变问题）只有 ., , 0,0, 00 xyyxzyzxzyzxzw（1 1）截面、外力、约束沿）截面、外力、约束沿z z 向不变，外力、约束向不变，外力、约束 平行平行xyxy面，柱体非常长；面，柱体非常长；简化为平面应变问题：简化为平面应变问题：平面应变问题所以归纳为平面应变问题：所以归纳为平面应变问题： a.a.应变中只有平面应变分量应变中只有平面应变分量 存在；存在； b.b.且仅为且仅为 。yxf

6、,xyyx,（2 2）由于截面形状、体力、面力及约束沿）由于截面形状、体力、面力及约束沿 z z向向均不变，故应力、应变和位移均为均不变，故应力、应变和位移均为 。yxf,例如：隧道挡土墙oyxyox平面应变问题且仅为且仅为 。故只有故只有 ，本题中：本题中：0, 0zyzxzyxf,xyyx,oxyz例题例题2 2：试分析薄板中的应变状态。：试分析薄板中的应变状态。故为平面应变问题。故为平面应变问题。. 0,zyzx2-2 平衡微分方程平衡微分方程-表示物体内任一点的微分体的平衡条件。 在任一点（x，y）取出一微小的平行六面体 ,作用于微分体上的力：体力：体力： 。1dd yxyxff ,应

7、力：作用于各边上，应力：作用于各边上， 并表示出正面上并表示出正面上 由坐标增量引起由坐标增量引起 的的应力增量应力增量。2-2 平衡微分方程应用的基本假定应用的基本假定：连续性假定应力用连续函数来表示。小变形假定用变形前的尺寸代替变 形后的尺寸。 2-2 平衡微分方程列出平衡条件列出平衡条件：合力 = 应力面积，体力体积； 以正向物理量来表示。平面问题中可列出3个平衡条件。其中一阶微量抵消，并除以 得： . 01dd1d1)dd(1d1)dd(, 0yxfxxyyyyxxFxyxyxyxxxxxyxdd0.(a)yxxxfxy0yF0.(b)yxyyfyx，同理可得： , 0cM 当 时，得

8、切应力互等定理,得0d,dyx2-3 平面问题中一点的应力状态问题： 已知坐标面上应力 ， 求斜面上的应力。xyyx, ,求解：取出一个三角形微分体（包含 面， 面， 面）， 边长).,(),(nnyxppppn.,mdsPAldsPBdsABxy斜面应力表示：斜面应力表示：由平衡条件，并略去高阶分量体力项，得(1)求应力分量求应力分量（ , , ）(a a)xpyp,xyyyyxxxlmpmlp其中：其中：l=cos(n,x), m=cos(n,y)。0 xF02ldsmdsfmdsldsdspxxyxx0yF(2)求正应力、切应力求正应力、切应力（ ）将 向法向，切向投影，得nn ,),(

9、yxppp 22222, (b)()().nxyxyxynyxyxxylpmpl m lmlpmplm lm 设某一斜面为主面，则只有由此建立方程，求出:, 0,nn(3)求主应力求主应力. tan,222112221xyxyyxyx(c c)lmlyxxmlmxyylpxmpy02xyyxyx2)()(-将x，y放在 方向，列出任一斜面上应力公式，可以得出（设 ）21, 21 . 45 ,2,2121的斜面上应力成发生在与主nmaxminnmaxmin(4)求最大，最小应力求最大，最小应力说明：以上均应用弹力符号规定导出。(d)2-4 几何方程 刚体位移几何方程-表示任一点的微分线段上形变与

10、位移之间的关系。变形前位置： 变形后位置： 各点的位置如图。 通过点P(x,y)作两正坐标向的正坐标向的微分线段, ,dyPBdxPA, , ,P A B,P A B32sin,3!cos11,2!tan. 应用基本假定：连续性；小变形。当很小时，().xuudxuuxdxx.yvy由位移求形变：PA 线应变PA 转角PB 线应变PB 转角同理，tan.vdxvxdxxyuxyOPPABABuvdxxvvdxxuudyyuudyyvv 适用于区域内任何点；几何方程的说明：. , ,yuxvyvxuxyyx平面平面问题的几何方程问题的几何方程为： 适用条件：a.连续性；b.小变形。 应用小变形假

11、定，略去了高阶小量 线性的几何方程； 几何方程是变形后物体连续性条件 的反映和必然结果。 形变和位移之间的关系： A.位移位移确定确定 形变完全确定：形变完全确定： 从物理概念看，各点的位置确定，则微分线段上的形变确定。从数学推导看，位移函数确定，则其导数（形变）确定。 从物理概念看， ， 确定，物体还可作刚体位移。 从数学推导看， ， 确定，求位移是积分运算，出现待定函数。B.B.形变形变确定，位移不完全确定确定，位移不完全确定： 由 ,两边对y积分，由 ,两边对x积分，若若 , ,求位移：求位移：0 xyyx0,(a)xyvuxy0 xxu0yyv).(0),(1yfyxu).(0),(2

12、xfyxv代入第三式分开变量， 12d ( )d ( ) ( ).(b)ddfyfxyx 因为几何方程第三式对任意的（x，y）均应满足。当x（y）变化时，式(b)的左，右均应=常数 ，由此解出 。可得21, ff , . (c)oouuyvvx 物理意义：00,vu表示物体绕原点的刚体转动。表示x，y向的刚体平移，结论结论 形变确定，则与形变有关的位移可以形变确定，则与形变有关的位移可以确定，而与形变无关的刚体位移确定，而与形变无关的刚体位移则未定。则未定。须通过边界上的约束条件来确定 。,oovu,oovu2-5 物理方程物理方程-表示（微分体上）应力和形变之间的物理关系。物理方程也称：本构

13、方程、本构关系、物性方程。物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程。 简单胡克定律简单胡克定律+ +泊松比效应泊松比效应+ +基本假设基本假设= =广义胡克定律：广义胡克定律：)(1yxzzE)(1zyxxE)(1xzyyEzxzxG1yzyzG1xyxyG1其中：其中：E为拉压弹性模量；为拉压弹性模量；G为剪切弹性模量；为剪切弹性模量；为侧向收为侧向收缩系数，又称泊松比。缩系数，又称泊松比。)1 (2EG1 1、平面应力问题的物理方程、平面应力问题的物理方程注：注：(1) 0z)(yxzE(2) 物理方程的另一形式物理方程的另一形式)(12xyyE)(12yxxExyxyE)1(2由于平面

14、应力问题由于平面应力问题中中0zxyzz)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (22 2、平面应变问题的物理方程、平面应变问题的物理方程在平面应变问题在平面应变问题中中由第三式，得由第三式，得)(yxz0zxyzz注：注：(2)(2)平面应变问题平面应变问题 物理方程的另一形式物理方程的另一形式 (1)(1) 平面应变问题中平面应变问题中0z，但，但)(yxz)1(12yxxExyxyE)1 (2)1(12xyyE平面应力物理方程平面应变物理方程：.1 ,12EE变换关系变换关系：.1 ,)1()21(2EE平面应变物理方程平面应力物理方程：2-6 边界条件边界条件 -表示在边界上位移与

15、约束，或应力与面力之间的关系。xyOqfuSSuSSS边界分类边界分类（1）位移边界）位移边界SuS（2）应力边界）应力边界（3）混合边界）混合边界三类边界三类边界1 1、位移边界条件、位移边界条件位移分量已知的边界位移分量已知的边界 位移边界位移边界 用用us 、 vs表示边界上的位移分量，表示边界上的位移分量， 表示边界上位表示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件可表达为：移分量的已知函数，则位移边界条件可表达为：vu,vvuuss2 2、应力边界条件、应力边界条件给定面力分量给定面力分量边界边界 应力边界应力边界由前面斜面的应力分析，得由前面斜面的应力分析，得yyxyfmlxyxxf

16、ml其中，其中，l、m 为边界外法线方向余弦，为边界外法线方向余弦，yfxf为面力分量为面力分量xyOdxdydsBnyxxyxy外法线外法线 xfyffPA3 3、混合边界条件、混合边界条件(1)物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。(2) 在同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另一为应力边界条件。在同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另一为应力边界条件。图图(a)：连连杆杆支撑边支撑边0yf位移边界条件位移边界条件应力边界条件应力边界条件0 uus图图(b)：齿槽边齿槽边0 xf0 vvs位移边界条件位移边界条件应力边界条件

17、应力边界条件2-7 圣维南原理及应用 圣维南原理-可用于简化小边界上的应力边界条件。圣维南原理圣维南（Adhmar Jean Claude Barr de Saint-Venant，17971886）原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么近处的应力分布将有显著改变，但是远处所受的影响可以忽略不计。圣维南原理的说明圣维南原理的说明：1.圣维南原理只能应用于一小部分边界（小边界，次要边界或局部边界）；2.静力等效 指两者主矢量相同，对同一点主矩也相同；3.近处 指面力变换范围的一，二倍的局部区域；4.远处 指“近处”之外。

18、 圣维南原理表明，在小边界小边界上进行面力的静力等效变换后，只影响近处（局部近处（局部区域）区域）的应力，对绝大部分弹性体区域的应力没有明显影响。 FFFFF/2FF/2F/AFF/AF/AF圣维南原理圣维南原理的应用的应用（1）对）对复杂的力边界复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。，用静力等效的分布面力代替。（2）有些）有些位移边界位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。注意事项：注意事项：（1）必须满足）必须满足静力等效静力等效条件；条件；（2）只能在）只能在次要边界上次要边界上用圣维南原理，在用圣维南原理，在主要边界主要边界上不能使

19、用。上不能使用。如：如：AB主要边界主要边界PAP次要边界次要边界例1比较下列问题的应力解答：hFF/2 F/2F/2F/2FF/b3465421321 )(bh 6543214321 圣维南原理推广：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。例2比较下列问题的应力解答：0 0 0 03412 0 02 01圣维南原理在小边界上的应用：圣维南原理在小边界上的应用：lx 精确的应力边界条件如图，考虑 小边界， 上式是函数方程，要求在边界上任一点，应力与面力数值相等，方向一致，往往难以满足。)(),(),()

20、,(yfyxyfyxylxxyxlxx(a)在边界 上，lx 在小边界x=l上，用下列条件代替式(a)的条件： 在同一边界在同一边界 x=l 上，上， 应力的主矢量 = = 面力的主矢量（给定); 应力的主矩(M) = = 面力的主矩（给定）.),(yxFF数值相等,方向一致.(b)圣维南原理圣维南原理的应用的应用积分的应力边界条件积分的应力边界条件 右端面力的主矢量，主矩的数值及方向，均已给定； 左端应力的主矢量，主矩的数值及方向，应与面力相同，并按应力的方向规定确定正负号。具体列出具体列出3 3个积分的条件：个积分的条件：)( 1)(1)()(1)(1)()( 1)(1)(2/2/2/2/

21、2/2/2/2/2/2/2/2/ShhylxhhxyhhxlxhhxNhhxlxhhxFdyyfdyMydyyfydyFdyyfdy即： 应力的主矢量，主矩的数值=面力的主矢量，主矩的数值； 应力的主矢量，主矩的方向=面力的主矢量，主矩的方向。 式中应力主矢量，主矩的正方向应力主矢量，主矩的正方向,正负号正负号的确定： 应力的主矢量的正方向，即应力的正方向， 应力的主矩的正方向，即（正应力） （正的矩臂）的方向。2-8 按位移求解平面问题1. 弹性力学的基本方程和边界条件0,0.yxxxyxyyfxyfyx平衡微分方程：平衡微分方程：, , .xyxyuvvuxyxy11(),(),2(1).

22、xxyyyxxyxyEEE几何几何方程：方程：物理物理方程：方程：(),().xyxsxyxysylmfmlf),(vuxyyxxyyx( ),( ).ssuuvv边界条件边界条件:未知数未知数: :方程数目较多，难于求解，方程数目较多，难于求解，采用类似消元法进行求解。采用类似消元法进行求解。 按位移求解按位移求解（位移法）取 ， 为基本未知函数，从方程和边界条件中消去形变和应力，导出只含 ， 的方程和边界条件，从而求出 ， ；再求形变和应力。2.解法消元法 uvuvuv 按应力求解按应力求解（应力法）取 为基本未知函数，从方程和边界条件中消去位移和形变，导出只含应力的方程和边界条件，从而求

23、出应力；再求形变和位移。xyyx, 这是弹力问题的两种基本解法这是弹力问题的两种基本解法。3. 按位移求解uvu vu vu v 将其他未知函数用 ，表示： 形变用 ，表示几何方程; 应力先用形变来表示（物理方程）， 再代入几何方程，用 ，表示: 取 ， 为基本未知函数；（3 3）将）将平衡方程用位移表示平衡方程用位移表示)(12xyyE)(12yxxExyxyE)1(2由应变表示的物理方程由应变表示的物理方程将几何方程代入，有将几何方程代入，有xuyvEy21yvxuEx21yuxvExy)1(2再代入平衡方程，化简有再代入平衡方程，化简有021211021211222222222222yx

24、fyxuxvyvEfyxvyuxuE按位移法求解平面按位移法求解平面应力应力问题的基本问题的基本微分方程微分方程（4 4）将）将边界条件用位移表示边界条件用位移表示（）位移边界条件：（）位移边界条件：（）应力边界条件：（）应力边界条件：xuyvEy21yvxuEx21yuxvExy)1 (2（a）将式（将式（a）代入，得）代入，得yyxyfmlxyxxfmlvvuuss,yssxssfyuxvlxuyvmEfxvyumyvxulE21121122缺点：缺点：数学求解困难重重数学求解困难重重优点优点：适用性广适用性广可适用于任何边界条件可适用于任何边界条件应用：应用：工程工程中中进行进行数值计算

25、数值计算（变分法，差分法，有限单元法变分法，差分法，有限单元法）广泛应用）广泛应用4 4 位移法位移法的优缺点的优缺点例 考虑两端固定的一维杆件。图(a)，只受重力作用， 。试用位移法求解。gffyx , 0(a) (b)y=hgxyy=hgxy解：为了简化，设位移 按位移求解，将这些量代入式基本微分方程,第一式自然满足，第二式成为, 0).(, 0yvvu.2222Egdyvdyvy=hgxy积分可得：边界条件为：再由：)(12xyyE代入（a）)(AEgyEyvE.22BAyyEgv;0B, 0)(, 0)(0hyyyv（a）EghAy=hgxy思考图中增加一个约束的问题。EghAB20)

26、.( ),2(22yhgyhyEgvy解得：解得：.22BAyyEgvy=hgxy2-9 按应力求解平面问题 相容方程（1）取 为基本未知函数；1.按应力求解平面应力问题按应力求解平面应力问题（2）其他未知函数用应力来表示:xyyx, 位移用形变应力表示，须通过积分，不仅表达式较复杂，而且包含积分带来的未知项，因此位移边界条件用应力分量来表示时既复杂又难以求解。故在按应力求解时在按应力求解时，只考虑全部为应力边界条只考虑全部为应力边界条件的问题件的问题, ,即 。 形变用应力表示（物理方程）。)0,(usss按应力求解平面问题的未知函数：按应力求解平面问题的未知函数：平衡微分方程：平衡微分方程

27、：xyyx,0yyyxfyx0 xxyxfyx2个方程方程，个方程方程，3个未知量，为超静定问题。需寻求补充方程，个未知量，为超静定问题。需寻求补充方程，从从几何方程几何方程、物理方程物理方程建立补充方程。建立补充方程。2. 2. 变形变形协调方程协调方程相容方程相容方程将几何方程：将几何方程：xvyuyvxuxyyx,作如下运算：作如下运算：2323xyvyxu2322yxuyx2322xyvxyxvyuxyyxxy22显然有：显然有：yxxyxyyx22222 形变协调方程相容方程形变协调方程相容方程即：即： 必须满足上式必须满足上式才能保证位移分量才能保证位移分量 u、v 的存在与协的存

28、在与协调，才能求得这些位移分量。调，才能求得这些位移分量。xyyx,3. 3. 变形变形协调方程的应力表示协调方程的应力表示（1 1）平面应力情形）平面应力情形将将物理方程物理方程代入代入相容方程相容方程，得：，得：yxxyxyxyyx22222)1 (2)()(利用平衡方程将上述化简：利用平衡方程将上述化简：xfxxyxxyx222xxyxfxyyyxyfyxyfxfyxyxyxyxxy222222将上述两边相加：将上述两边相加：yfyyxyyxy222abxyyx将将 (b) (b) 代入代入 (a) (a) ，得：，得：yfxfxyyxyx)1()(2222将将 上式整理得，上式整理得，

29、平面应力情况的用平面应力情况的用应力表示的相容方程应力表示的相容方程：yfxfyxxyyxyxxyyx22222222)1()()(（2 2）平面应变情形）平面应变情形当体力为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即当体力为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即将上式中的泊松比将上式中的泊松比代为：代为： ，可以得到，可以得到平面应变平面应变情形情形应力表示的相容方程应力表示的相容方程1yfxfyxyxyx11)(22220)(2222yxyx（1）A内的平衡微分方程；（2）A内的相容方程；（3）边界 上的应力边界条件；（4）对于多连体，还须满足位移的单值条 件（见第四章）。xyyx, （1）-

30、（4）也是校核应力分量是否正确的全部条件。 按应力求解平面应力问题按应力求解平面应力问题 ，应力 必须满足下列条件： 归纳归纳：ss 形变协调条件（相容方程）的物理意义形变协调对应的位移存在位移必然连续；形变不协调对应的位移不存在不是物体实际存在的形变微分体变形后不保持连续。 形变协调条件是与形变对应的位移存在且连续的必要条件。 形变协调条件是位移连续性的必然结果。连续体位移连续几何方程形变协调条件。例、例、下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。判断它们是否为可能的应力场与

31、应变场（不计体力）。（1）（2）;,41,233422xyyyxxyyx;2,),(222CxyCyyxCxyyx（a）（b）例解例解、（1）将式（将式（a）代入平衡方程：）代入平衡方程：03322xyxy033 yy 满足满足将式（将式（a）代入相容方程：）代入相容方程：0)(2222yxyx)4123(422yyxyx)(2222yxyx0333222yxy式（式（a a）不是一组可能的）不是一组可能的应力场。应力场。0yyyxfyx0 xxyxfyx例解例解、（2 2）将式（将式（b b）代入应变表示的相容方程：）代入应变表示的相容方程：yxxyxyyx2222202222222CCyx

32、xyxyyxCyx222022xyCyxxy22式（式（b b）满足相容方程，）满足相容方程，（b b）为可能的应变分量。）为可能的应变分量。2-10常体力情况下的简化 应力函数1. 常体力下平面问题的相容方程常体力下平面问题的相容方程令：令：22222yx 拉普拉斯（拉普拉斯（Laplace）算子）算子则相容方程可表示为：则相容方程可表示为：yfxfyxyx11)(2yfxfyxyx)1()(2 平面应力情形平面应力情形 平面应变情形平面应变情形当体力为常数时当体力为常数时，两种平面问题的相容方程相同两种平面问题的相容方程相同，即即0)(2yx2. 常常体力下平面问题的基本方程体力下平面问题

33、的基本方程（1）平衡方程）平衡方程0yyyxfyx0 xxyxfyx（2）相容方程）相容方程（3）边界条件）边界条件0)(2yx（4）位移单值条件）位移单值条件 对多连通问题而言。对多连通问题而言。（1）0)(2yx Laplace方程，或称方程，或称调和方程。调和方程。（2） 常体力下，方程中不含常体力下，方程中不含E、（a） 相同，相同， ）不同。）不同。两种平面问题，计算结果两种平面问题，计算结果xxyy,yxzvuxy,（但（但（b）不同材料不同材料，具有相同，具有相同外力和外力和边界条件边界条件时，其计算结果相同。时，其计算结果相同。 光弹性实验原理。光弹性实验原理。（3）用用平面应力试验平面应力试验模型，代替模型，代替平平面应变试验面应变试验模型，为实验应力分模型，为实验应力分析提供理论基础。析