数学必修四知识点总结教学内容

1、三角函数(snjihnsh)总复习 第一页，共183页。xAysin知识网络结构第二页，共183页。1. 1.角的概念的推广角的概念的推广（1 1）正角，负角和零角）正角，负角和零角. .用旋转的观点定义角，并规用旋转的观点定义角，并规定了旋转的正方向，就出现了正角，负角和零角，这定了旋转的正方向，就出现了正角，负角和零角，这样角的大小就不再样角的大小就不再(b zi)(b zi)限于限于0000到到36003600的范围的范围. .（3）终边相同的角，具有共同的绐边和终边的角叫终边相同的角，所有与角终边相同的角（包含角在内）的集合为.Zkk,360（4）角在“到”范围内，指.3600（2）象

2、限角和轴线(zhu xin)角.象限角的前提是角的顶点与直角坐标系中的坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，这样当角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，若角的终边与坐标轴重合，这个角不属于任一象限，这时也称该角为轴线(zhu xin)角.第三页，共183页。一、任意(rny)角的三角函数1、角的概念、角的概念(ginin)的推的推广广正角正角(zhn jio)负角负角oxy的终边的终边),(零角零角第四页，共183页。二、象限(xingxin)角：注：如果注：如果(rgu)角的终边在坐标轴上，则该角不是象限角。角的终边在坐标轴上，则该角不是象限角。三、所有与角 终边相同的角，连同角 在

3、内，构成(guchng)集合：|360 ,SkkZ |2,kkZ （角度制）（弧度制）例1、求在 到 （ ）范围内，与下列各角终边相同的角036002到1950122（）、19（ ）、34812913原点原点x轴的非负半轴轴的非负半轴一、在直角坐标系内讨论角，角的顶点与 重合，角的始边 与 重合。逆时针旋转为正，顺时针旋转为负。角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。第五页，共183页。1 1、终边相同的角与相等、终边相同的角与相等(xingdng)(xingdng)角的区别角的区别终边相同终边相同(xin tn)的角不一定相等，相等的角终边一定相的角不一定相等，相等的角终

4、边一定相同同(xin tn)。2 2、象限角、象间角与区间、象限角、象间角与区间(q jin)(q jin)角的区别角的区别Zkkk2 ,2xyOxyOxyOxyO3 3、角的终边落在、角的终边落在“射线上射线上”、“直线上直线上”及及“互相垂直互相垂直的两条直线上的两条直线上”的一般表示式的一般表示式Zkk2ZkkZkk2三、终边相同的角第六页，共183页。(1)与与 角终边相同角终边相同(xin tn)的角的角的集合的集合:1.几类特殊角的表示几类特殊角的表示(biosh)方法方法 | =2k + , kZ. (2)象限象限(xingxin)角、象限角、象限(xingxin)界角界角(轴线

5、角轴线角)象限角象限角第一象限角第一象限角: (2k 2k + , k Z) 2 第二象限角第二象限角:(2k + 2k + , k Z) 2 第三象限角第三象限角: (2k + 2k + , k Z) 23 第四象限角第四象限角:2 (2k + 2k +2 , k Z 或或 2k - - 2k , k Z ) 23 一、角的基本概念一、角的基本概念第七页，共183页。轴线轴线(zhu (zhu xin)xin)角角x 轴的非负半轴轴的非负半轴: =k 360(2k )(k Z); x 轴的非正半轴轴的非正半轴: =k 360+180(2k + )(k Z); y 轴的非负半轴轴的非负半轴:

6、=k 360+90(2k + )(k Z); 2 y 轴的非正半轴轴的非正半轴: =k 360+270(2k + ) 或或 =k 360- -90(2k - - )(k Z); 23 2 x 轴轴: =k 180(k )(k Z); y 轴轴: =k 180+90(k + )(k Z); 2 坐标轴坐标轴: =k 90( )(k Z). 2k 第八页，共183页。例2、（1）、终边落在x轴上的角度集合：（2）、终边落在y轴上的角度集合：（3）、终边落在象限平分线上的角度集合：|,kkZ |,2kkZ |,42kkZ 第九页，共183页。 各个象限的半角范围可以用下图记忆各个象限的半角范围可以用

7、下图记忆(jy)(jy)，图中的，图中的、分别分别指第一、二、三、四象限角的半角范围；指第一、二、三、四象限角的半角范围；例例1. 1.若若是第三是第三(d sn)(d sn)象限的角，问象限的角，问/2/2是哪个是哪个象限的角象限的角?2?2是哪个象限的角是哪个象限的角? ? 第十页，共183页。.D;.C;.B;.A)(22cos2cos)90( 1第四象限第四象限第三象限第三象限第二象限第二象限第象限第象限角属于角属于则则，角是第二象限且满足角是第二象限且满足设设年，上海年，上海例例 C点评点评:本题本题(bnt)先由先由所在象限确定所在象限确定/2所在象限所在象限,再再/2的余弦符号确

8、定结论的余弦符号确定结论.第十一页，共183页。例例1 求经过求经过1小时小时20分钟时钟的分针分钟时钟的分针(fn zhn)所转过的角所转过的角度：度：解：分针所转过的角度48036060201例例2 已知a是第二象限角，判断下列各角是第几象限角 （1） （2）23评析：评析： 在解选择题或填空题时，如求角所在象限，也可以不讨论k的几种情况，如图所示利用图形来判断.第十二页，共183页。四、什么(shn me)是1弧度的角？长度(chngd)等于半径长的弧所对的圆心角。OABrr2rOABr第十三页，共183页。（3）角度与弧度的换算.只要记住，就可以方便地进行换算. 应熟记(sh j)一些

9、特殊角的度数和弧度数. 在书写时注意不要同时混用角度制和弧度制 rad1180180rad180130.571801rad（4）弧长公式和扇形面积公式. rlrnrnl1802360rlrrS212122222360360rnrnS第十四页，共183页。度 弧度(hd) 003064543602120321354315065270231803602902、角度(jiod)与弧度的互化 36021801801185730.57)180(1,弧度特殊角的角度特殊角的角度(jiod)数与弧度数的对应表数与弧度数的对应表第十五页，共183页。 略解：解：例3已知角和满足求角的范围.43,07,4431

10、2解：.,.33例例4 4、 已知扇形的周长为定值已知扇形的周长为定值100100，问扇形的半径和，问扇形的半径和圆心角分别圆心角分别(fnbi)(fnbi)为多少时扇形面积最大？最大为多少时扇形面积最大？最大值是多少？值是多少？.625)25(50)2100(212122rrrrrlrS)(2,50,25radrllr扇形(shn xn)面积最大值为625. 第十六页，共183页。例例7.7.已知一扇形中心角是已知一扇形中心角是，所在圆的半径是，所在圆的半径是R. R. 若若6060，R R10cm10cm，求扇形的弧长及该弧所在的，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积弓形面积. . 若扇形的周

11、长若扇形的周长(zhu chn)(zhu chn)是一定值是一定值C(CC(C0)0)，当当为多少弧度时，该扇形的面积有最大值为多少弧度时，该扇形的面积有最大值? ?并求出这并求出这一最大值一最大值? ? 第十七页，共183页。 解：（解：（1）设弧长为）设弧长为l，弓形，弓形(n xn)面积为面积为S弓。弓。 1060,10,()33Rlcm 22110131010sin6050)23232SSScm 弓扇（）（2）扇形周长扇形周长C=2R+l=2R+Rrrclrs)2(212120cr 第十八页，共183页。注意：（1）圆心在原点，半径为单位长的圆叫单位圆.在平面直角坐标系中引进正弦线、余

12、弦线和正切线 第十九页，共183页。 三角函数三角函数(snjihnsh)三角函数三角函数(snjihnsh)线线正弦正弦(zhngxin)函函数数余弦函数余弦函数正切函数正切函数正弦线正弦线MP 正弦、余弦函数的图象正弦、余弦函数的图象 yx xO-1PMA(1,0)Tsin =MPcos =OMtan =AT注意：注意：三角三角函数线是函数线是有有向线段向线段！余弦线余弦线OM正切线正切线AT第二十页，共183页。 为第二象限角时为第二象限角时 为第一象限角时为第一象限角时 为第三象限角时为第三象限角时 为第四象限角时为第四象限角时 第二十一页，共183页。10）函数）函数(hnsh)y=

13、lg sinx+ 的定的定义域是（义域是（A）（A）x|2kx2k+ (kZ)（B）x|2kx2k+ (kZ)（C）x|2kx2k+ (kZ)（D）x|2kx2k+ (kZ)21cosx3323第二十二页，共183页。三角函数三角函数(snjihnsh)线的应线的应用用一、三角一、三角(snjio)式的证明式的证明042、已知：角 为锐角， 试证：2sincos21、已知：角 为锐角， 试证：（1）sintan(2)1sincos2第二十三页，共183页。4、在半径为r的圆中，扇形的周长等于半圆(bnyun)的弧长，那么扇形圆心角是多少？扇形的的面积是多少？答：圆心角为-2，面积(min j)

14、是2)2(21r5、用单位(dnwi)圆证明sian tan.(00 0,0) y=Asin(x+)(A0,0) 的图象的图象(t xin)(t xin)的的对称中心和对称轴方程对称中心和对称轴方程第七十二页，共183页。)sin(xAyxysin00|)sin(xy1101)sin(xy)sin(xAyxysin1011xysin00|)sin(xy)sin(xAy第七十三页，共183页。) )的的简简图图. .A As si in n( (x x1 1. .五五点点法法作作函函数数y y的的思思想想. .看看图图说说话话3 3. . ) )的的图图象象. .A As si in n( (x

15、 x函函数数y y2 2. .通通过过图图象象变变换换得得到到时 的的思思想想. .代代点点看看趋趋4 4. . 势势求求解解析析式式注注意意sin()yAxB 函数系列要求：sin()yAxB第七十四页，共183页。例例3、不通过、不通过(tnggu)求值，比较求值，比较tan1350与与tan1380的大小。的大小。解：900135013802700又 y=tanx在x（900，2700）上是增函数 tan13500,|0,0)的一个周期内的图象如图，则有( )sin(xAy)32sin(3)62sin(3)3sin(3)6sin(3xyxyxyxy(A)(B)(C)(D)第九十一页，共1

16、83页。yx03- 312127yx02-2- 4第九十二页，共183页。yx0-4234943434如图：根据函数如图：根据函数(hnsh)y = A sin (x + ) (A0 , 0) 图象图象求它的解析式求它的解析式第九十三页，共183页。yx04432-2如图：根据如图：根据(gnj)函数函数y = A sin (x + ) (A0 , 0) 图象求它的解析式图象求它的解析式第九十四页，共183页。yx0112112如图：根据函数如图：根据函数(hnsh)y = 2 sin(x + ) (0) 图象图象求它的解析式求它的解析式第九十五页，共183页。yx0112112如图：根据函数

17、如图：根据函数y = 2 sin(x + ) (0) 图象图象(t xin)求它的解析式求它的解析式3第九十六页，共183页。yx根据正弦函数的图象和性质寻找区间使其满足：根据正弦函数的图象和性质寻找区间使其满足： 使符合条件的使符合条件的 的角的角x有且只有一个，而且有且只有一个，而且包括锐角包括锐角ax sin)11( a4.11 已知三角函数已知三角函数(snjihnsh)值求角值求角 在闭区间在闭区间 上，符合条件上，符合条件 的角的角x，叫做，叫做实数实数 a 的反正弦，记作的反正弦，记作 ，即，即 ，其中，其中 ，且且 2,2 )11(sin aaxaarcsinaxarcsin

18、2,2 xxasin aarcsin的意义：的意义：首先首先 表示一个角，角的正弦值为表示一个角，角的正弦值为a ，即，即角的范围是角的范围是aarcsin2,2arcsin a)11( aaa )sin(arcsin第九十七页，共183页。4.11 已知三角函数已知三角函数(snjihnsh)值求角值求角练习：练习：（1） 表示什么意思？表示什么意思？21arcsin表示表示 上正弦值等于上正弦值等于 的那个角，即角的那个角，即角 ，2,2 216 21arcsin621arcsin 故故（2）若）若2,2,23sin xx，则，则x= 3)23arcsin( （3）若）若2,2, 7 .

19、0sin xx，则，则x=7 . 0arcsin第九十八页，共183页。4.11 已知三角函数已知三角函数(snjihnsh)值求角值求角aarccos的意义：的意义：首先首先 表示一个角，角的余弦值为表示一个角，角的余弦值为a ，即，即角的范围是角的范围是 aarccos, 0arccos a)11( aaa )cos(arccos根据余弦函数的图象和性质寻找区间使其满足：根据余弦函数的图象和性质寻找区间使其满足： 使符合条件的使符合条件的 的角的角x有且只有一个，而且有且只有一个，而且包括锐角包括锐角ax cos)11( ayx 在闭区间在闭区间 上，符合条件上，符合条件 的角的角x，叫做

20、，叫做实数实数 a 的反余弦，记作的反余弦，记作 ，即，即 ，其中，其中 ，且且 , 0 )11(cos aaxaarccosaxarccos , 0 xxacos 第九十九页，共183页。4、已知三角函数、已知三角函数(snjihnsh)值求角值求角y=sinx , 的反函数 y=arcsinx , 2,2x 1 , 1xy=cosx, 的反函数y=arccosx, 0 x 1 , 1xy=tanx, 的反函数y=arctanx,)2,2(xRx已知角x ( )的三角函数(snjihnsh)值求x的步骤2 , 0 x先确定x是第几象限角若x 的三角函数值为正的，求出对应的锐角 ；若x的三角函

21、数 值为负的，求出与其绝对值对应的锐角根据(gnj)x是第几象限角，求出x 若x为第二象限角，即得x= ；若x为第三象限角，即得 x= ；若x为第四象限角，即得x=若 ，则在上面的基础上加上相应函数的周期的整数倍。1x1x1x1x12xRx反三角函数反三角函数第一百页，共183页。已知三角函数(snjihnsh)值求角已知三角函数(snjihnsh)值求角x（仅限于0，2 ）的解题步骤： 1、如果函数(hnsh)值为正数，则求出对应的锐角x0；如果函数(hnsh)值为负数，则求出与其绝对值相对应的锐角x0 ；2、由函数值的符号决定角x可能的象限角；3、根据角x的可能的象限角得出0，2 内对应的

22、角：如果x是第二象限角，那么可以表示为 x0如果x是第三象限角，那么可以表示为 x0如果x是第四象限角，那么可以表示为2 x0第一百零一页，共183页。. .（三）已知三角函数值求角（三）已知三角函数值求角”的基本的基本(jbn)步骤步骤1、基本步骤、基本步骤第一百零二页，共183页。这时这时sin(arcsina)=a 这时这时cos(arccosa)=a 这时这时tan(arctana)=a 第一百零三页，共183页。三、两角和与差的三角函数(snjihnsh)1 1、预备、预备(ybi)(ybi)知识：两点间距离公式知识：两点间距离公式xyo),(111yxp),(222yxp22122

23、121)()(|yyxxpp),(21yxQ2 2、两角和与差的三角函数、两角和与差的三角函数(snjihnsh)(snjihnsh) sinsincoscos)cos( sincoscossin)sin( tantantantan)tan(1 注：公式的逆用注：公式的逆用 及变形的应用及变形的应用)tantan)(tan(tantan 1公式变形公式变形第一百零四页，共183页。3 3、倍角公式、倍角公式(gngsh)(gngsh)2sinsinsin2 sincoscos2222sin112coscos2221sincos22tan12tantan222cos21cos22cos21sin

24、2第一百零五页，共183页。二、知识点二、知识点（一）（一）两角和与两角和与差公式差公式(gngsh) sincoscossinsinsinsincoscoscostantan1tantantan（二）倍（二）倍角角公式公式(gngsh) (gngsh) cossin22sin2222sin211cos2sincos2cos2tan1tan22tan公式(gngsh) =1-cos2 2cos2=1+cos2 1+cos2=2cos2 1-cos2=2sin2tan+tan=tan(+)(1-tantan)tan-tan=tan(-)(1+tantan)注意1、公式的变形如：注意2、公式成立的

25、条件（使等式两边都有意义）.C：S ：C2：S 2：T2：T：2sin第一百零六页，共183页。3、倍角公式、倍角公式(gngsh)cossin22sin22sincos2cos22sin211cos21sincos222tan1tan22tan注：正弦与余弦的倍角公式的逆用实质上就是注：正弦与余弦的倍角公式的逆用实质上就是(jish)降幂的过程。特降幂的过程。特别别22cos1cos222cos1sin2返回(fnhu)和角公式的一个重要变形和角公式的一个重要变形cos,sin)sin(cossin222222baababxbaxbxa其中第一百零七页，共183页。其其 它它 公公 式式(1

26、)cos1cos12tan,2cos12cos,2cos12sin2221、半角公式(gngsh)cos1cos12tan,2cos12cos,2cos12sinsincos1cos1sin2tan2tan12tan2tan,2tan12tan1cos,2tan12tan2sin22222、万能(wnnng)公式第一百零八页，共183页。十二、两角和与差的正弦、余弦(yxin)、正切：():S():S():C():C()T():Tsin()sincoscossinsin()sincoscossincos()coscossinsincos()coscossinsintantantan()1tan

27、tantantantan()1tantan注意： 、 的以及运用和差公式时要会()T()T如：(),2()()2()(),2()36与互余， + 与互余44第一百零九页，共183页。22sincossin()abab十三、一个化同角同函数(hnsh)名的常用方法：22cos()ab如：sin3cos2sin()2cos()36sincos2sin()2cos()44例7、求 的值1tan151tan15十四、二倍角公式(gngsh)：2:S2:C2:Tsin22sincos22cos2cossin22cos121 2sin 22tantan21tan第一百一十页，共183页。21 coscos

28、2221 cossin2221 cos2sin221 cos2cos2降幂（扩角）公式降幂（扩角）公式升幂（缩角）公式升幂（缩角）公式和差化积公式：和差化积公式：积化和差公式：积化和差公式：1sincossin()sin()21cossinsin()sin()21coscoscos()cos()21sinsincos()cos()2 sinsin2sincos22coscos2sinsin22 sinsin2cossin22coscos2coscos22第一百一十一页，共183页。例例4化简：化简：2cos2cos21coscossinsin2222 解法1：从“角”入手，“复角”化为“单角”

29、，利用“升幂(shn m)公式”。) 1cos2)(1cos2(21coscossinsin222222原式21coscoscoscossinsin22222221cossincossinsin2222221cossin2221第一百一十二页，共183页。例例4化简：化简：2cos2cos21coscossinsin2222 解法2：从“幂”入手，利用“降幂(jin m)公式”。2cos2cos21)2cos1)(2cos1 (41)2cos1)(2cos1 (41原式2cos2cos21)2cos2cos1 (2121第一百一十三页，共183页。例例4化简：化简：2cos2cos21cosc

30、ossinsin2222 解法(ji f)3：从“名”入手，“异名化同名”。2cos2cos21cos)sin1 (sinsin2222原式2cos2cos212cossincos22)2cos21(sin2coscos22)22cos22cos1(2cos)2cos1 (2121第一百一十四页，共183页。例例4化简：化简：2cos2cos21coscossinsin2222 解法(ji f)4：从“形”入手，利用“配方法”。2cos2cos21coscossinsin2)coscossin(sin2原式2cos2cos212sin2sin21)(cos2)22cos(21)(cos221第

31、一百一十五页，共183页。三角解题三角解题(ji t)常规常规宏观宏观(hnggun)思路思路分析分析(fnx)差异差异寻找联系寻找联系促进转化促进转化指角的、函数的、运算的差异指角的、函数的、运算的差异利用有关公式，建立差异间关系利用有关公式，建立差异间关系活用公式，差异转化，矛盾统一活用公式，差异转化，矛盾统一第一百一十六页，共183页。微观微观(wigun)直直觉觉1、以变角为主线，注意配凑和、以变角为主线，注意配凑和(cu h)转化；转化；2、见切割，想化弦；个别情况弦化切；、见切割，想化弦；个别情况弦化切；3、见和差，想化积；见乘积，化和差；、见和差，想化积；见乘积，化和差；4、见分

32、式，想通分，使分母最简；、见分式，想通分，使分母最简；5、见平方想降幂，见、见平方想降幂，见“1cos”想升幂；想升幂；6、见、见sin2，想拆成，想拆成2sincos；7、见、见sincos或或9、见、见coscoscos，先运用，先运用(ynyng)sin+sin=pcos+cos=q8、见、见a sin+b cos，想化为，想化为 的形式的形式若不行，则化和差若不行，则化和差10、见、见cos+cos(+)+cos(+2 )， 想乘想乘 想两边平方或和差化积想两边平方或和差化积)sin(22basin22sincos2sin22sin2第一百一十七页，共183页。总结：多种名称想切化弦；

33、遇高次就降次消元； asinA+bcosA提系数转换；多角凑和差倍半可算；难的问题隐含要显现；任意变元可试特值算；求值问题缩角是关键；字母问题讨论想优先；非特殊(tsh)角问题想特角算；周期问题化三个一再算；适时联想联想是关键！第一百一十八页，共183页。【解题回顾】找出非特殊角和特殊角之间的关系【解题回顾】找出非特殊角和特殊角之间的关系,这种技巧在化简求值中经常用到，并且三这种技巧在化简求值中经常用到，并且三角角(snjio)式变形有规律即坚持式变形有规律即坚持“四化四化”：多角同角化多角同角化异名异名(y mn)同同名化名化切割弦化切割弦化特值特角互化特值特角互化第一百一十九页，共183页

34、。公式公式(gngsh)体系的推体系的推导：导：首先利用首先利用(lyng)两点间的距离公式推两点间的距离公式推导导 ，()C 然后利用换元及等价转化等思想方法，以然后利用换元及等价转化等思想方法，以 为中心推导为中心推导公式体系。公式体系。()C ()C()C()S()S()T()T2S2C2T用 替换用替换用 替换用替换用 替换用替换相 除相 除相除第一百二十页，共183页。sin+cos=1222222222222222sin coscossinsin1 cos2coscossin1 tsincoscos1 sin(cossin )sincos1 cossinsinsincoscosco

35、scossinsin( 21-21-（同位素）1-；，（1-）（1+）=（异构体）（1-）（1+）=（=tan ）（形变）22an21 tantan()4第一百二十一页，共183页。cossin1 sin2cos21 cossin21 sin2cos2cossin1 sin2cos21 cossin421 sin2cos24tan ()tan ;tan()()tan()1-1+（合分比）异构异构二【述评】二【述评】1 1、变为主线，抓好训练。变是本章的主题，在三角变换考查中，角的变换（恒等）、三角函、变为主线，抓好训练。变是本章的主题，在三角变换考查中，角的变换（恒等）、三角函数名的变换（诱导

36、公式）、三角函数次数的变换（升、降幂公式）、三角函数表达式的变换数名的变换（诱导公式）、三角函数次数的变换（升、降幂公式）、三角函数表达式的变换（综合）等比比皆是。在训练中，强化变化意识是关键。但题目不可以太难。较特殊（综合）等比比皆是。在训练中，强化变化意识是关键。但题目不可以太难。较特殊(tsh)(tsh)技巧的题目不做。立足课本，掌握课本中常见问题的解法，把课本中的习题进行归类，并进行技巧的题目不做。立足课本，掌握课本中常见问题的解法，把课本中的习题进行归类，并进行分析比较，寻找解题规律。分析比较，寻找解题规律。2 2、基本解题规律：观察差异（角或函数或运算）、基本解题规律：观察差异（角

37、或函数或运算） 寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧）寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧） 分析综合（由因导果或执果索因）分析综合（由因导果或执果索因） 实现转化。实现转化。第一百二十二页，共183页。1、值域与最值问题(wnt)1sin2sin)2();tan(sin) 1 (xxyxy求求函函数数的的值值域域：利用(lyng)有界性，求其值域，求其值域其中其中已知函数已知函数0cossin2siny化二次函数(hnsh)型的的值值域域求求函函数数xxycos3sin2运用合一变换的的值值域域求求函函数数xxxxy22cos3cossin2sin换元第一百二十三页，共183页。十七(s

38、h q)、求值域问题：主要是将式子化成同角度同函数名的形式，再利用正弦函数与余弦(yxin)函数的有界性求解。例10、求函数 的值域2cossin cosyxxx有时还要运用到 的关系sincossin cosxxxx与第一百二十四页，共183页。2、对称性问题(wnt)3、奇偶性与周期性问题(wnt)xxyxyxycossin3sin224tan1）（）（）（求下列函数的周期：求下列函数的周期：注意(zh y)绝对值的影响化为单一三角函数.,82cos2sin)3(.,21sin)2(.)32cos(5) 1 (axxaxyxyxy求求对对称称图图像像关关于于直直线线如如果果函函数数的的一一

39、个个值值写写出出是是偶偶函函数数函函数数称称轴轴方方程程的的图图像像的的对对称称中中心心和和对对求求函函数数第一百二十五页，共183页。4、单调(dndio)性与单调(dndio)区间32sin)2(tan) 1 (:xyxy求下列函数的单调区间求下列函数的单调区间复后函数(hnsh)单调性注意负号(f ho)的处理.32sinlog2 . 0性性、周周期期性性、奇奇偶偶性性的的定定义义域域、值值域域、单单调调求求函函数数xy第一百二十六页，共183页。5、图像变换(binhun)问题相位(xingwi)变换、周期变换、振幅变换).(,cos,21,8)()2(.)32sin(sin) 1 (

40、xfxyxxfyxyxy求函数的图像恰好得到横坐标缩短为原来的再把所得图像上各点的个单位轴向右平移的图像沿把函数的两种方法的图像的图像变换为指出求函数解析(ji x)式.), 0, 0()sin(达式达式的图象如图，求函数表的图象如图，求函数表AxAy第一百二十七页，共183页。例例4:已知函数已知函数 求：求：函数的最小正周期；函数的最小正周期；函数的单增区间；函数的单增区间；,cos3cossin2sin22Rxxxxxy解：解：xxxxxxy222cos22sin1cos3cossin2sin)42sin(2212cos2sin1xxx22T得由,224222kxkZkkxk,883)(

41、8,83Zkkk函数的单增区间为 应用应用(yngyng)：化同一个角同一个函数：化同一个角同一个函数第一百二十八页，共183页。例例4:已知函数已知函数 求：求： 函数的最大值函数的最大值 及相应的及相应的x的值；的值； 函数的图象可以函数的图象可以(ky)由函数由函数 的图象经的图象经过怎过怎 样的变换得到。样的变换得到。,cos3cossin2sin22RxxxxxyRxxy,2sin2解：解：xxxxxxy222cos22sin1cos3cossin2sin)42sin(2212cos2sin1xxx22,)(8,2242最大值时即当yZkkxkxxy2sin2图象向左平移图象向左平移

42、(pn y) 个单位个单位8)42sin(2xy图象向上图象向上(xingshng)平平移移2个单位个单位)42sin(22xy 应用应用：化同一个角同一个函数：化同一个角同一个函数第一百二十九页，共183页。例例5：已知：已知的值求)4sin(21sin2cos2),2(2 ,222tan2解：解：)4sin(2sincos)4sin(21sin2cos221tan32 21tan,222tan22tan2tan22tan1tan22或即2tan)2,4(),2(2sincossincos应用应用(yngyng)：化简求值：化简求值第一百三十页，共183页。例1cos40sin50 (13t

43、an10 )sin701 cos40化简：解: 3sin1013tan101cos10 2(cos60 cos10sin60 sin10 )cos102cos50cos10原式=1cos402sin50 cos50cos40cos102sin70 cos202cos4012cos 202cos103sin10cos1022cos 202cos20第一百三十一页，共183页。 20cos)10tan31 (40cos50sin 22计算例 20cos)10tan31 (40cos40cos 2原式解 20cos)10tan32(40cos2 20coscos1010cos)10sin310(co

44、s40cos2o 20coscos1010cos)1030sin(240cos2o第一百三十二页，共183页。 20coscos1010cos40cos40sin240cos2o 20coscos1010cos40cos80sin2o)240cos1(10cos)40cos1 (10cos2第一百三十三页，共183页。_212cos412csc)312tan3(224cos12cos12sin212cos312sin324cos212csc)33(12cos12sin34484834481212342321 sinsinsin)cscsin(练习题练习题第一百三十四页，共183页。5sin()

45、,(0,)4134xx例2 (1)已知5sinsin(2)求证：2tan()3tan(2)已知求cos(),cos24xx(1)证明(zhngmng)：5sinsin(2)5sin()sin()化简得：2sin()cos3cos()sin2tan()3tan5sin()cos5cos()sinsin()coscos()sin第一百三十五页，共183页。(2) 已知5sin(),(0,)4134xx求cos(),cos24xx解:()()442xxcos()4xsin()4x(0,)4x()(0,)44x5sin()413x12cos()413xcos2x120169513cos()24xsin

46、(2 )2xsin2()4x2sin()cos()44xx第一百三十六页，共183页。解：)4sin(2sincos)4sin(21sin2cos22tan1tan1,222tan22tan2tan22tan1tan22或即2tan)2,4(),2(2sincossincos应用应用(yngyng)：化简求值：化简求值322例例5.5.已知已知的值求)4sin(21sin2cos2),2(2 ,222tan2第一百三十七页，共183页。113sin2sin2,cos2cos2,23 例已知求tan( + )解：2（）（）2（）-（）sin2sin2sinsin （）（）（）-（ - ）2sin

47、()cos()cos2cos2coscos （）（）（）-（ - ）2cos()cos()1213 3tan(+ )=2第一百三十八页，共183页。2、解:由1sinsin4两边平方得:221sin2sin sinsin1621coscos2由两边平方得:221cos2coscoscos42由2+2得:522(coscossinsin)16即52 2cos()16 所以27cos()32 由2 2得:22223cossin2(cos cossin sin ) cossin163cos22cos() cos216 3cos() () 2cos() cos() ()16 32cos()cos()

48、2cos()16 3cos()5第一百三十九页，共183页。cos36cos,sin2sin 1已知：例sin2sin解：由已知得：cos36cos得：222222cos32sin2cossin.0的值、），求，（、第一百四十页，共183页。3cos2)cos1(63cos2sin6222243cos2656,23cos或434,22cos或第一百四十一页，共183页。练习 已知11tan(),tan,(,0)27 求2tan()tan1tan()tan解:tantan()tan1tan()tan13tan(2)tan()tan()111tan,tan, ,(,0)37 3,4 045224

49、724T0AT第一百四十二页，共183页。.,200coscoscos, 0sinsinsin2值值求求且且、已已知知 由由条条件件有有解解 :coscoscossinsinsin :两两边边平平方方相相加加得得1)coscossin(sin22 21)cos( ,20又又 3432或或 3432或或同同理理 ,20但但 .32 第一百四十三页，共183页。例15. （06陕西理17）已知函数f(x) sin(2x )2sin2(x ) (xR)（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）求使函数f(x)取最大值的x的集合 6123第一百四十四页，共183页。3解：f(x) sin(2x ) 1

50、cos2(x ) sin(2x ) cos(2x ) 1 2 sin(2x ) 1函数f(x)的最小正周期T . 使函数f(x)取最大值的x的集合为x|x=k ,k Z 6123512366第一百四十五页，共183页。 5、已知、已知f(x)=2sin(x+ )cos(x+ )+2 cos2(x+ )- 。（1）化简）化简f(x)的解析式；的解析式；（2）若）若0，求，求，使函数，使函数f(x)为偶函数。为偶函数。（3）在（）在（2）成立的条件）成立的条件(tiojin)下，求满足下，求满足f(x)=1，x-,的的x的集合。的集合。解：解：(1)f(x)=sin(2x+)+ 2cos2(x+

51、)-1 =sin(2x+)+ cos(2x+)=2cos(2x+- )(2)当当= 时时 f(x)为偶函数。为偶函数。(3) 2cos2x=1 cos2x= x= 或或x=222333236621665 第一百四十六页，共183页。 2、已知函数、已知函数f(x)=sin(x+ )+sin(x- )+cosx+a(aR,a常数常数)。（1）求函数）求函数f(x)的最小正周期；的最小正周期；（2）若）若x- , 时，时，f(x)的最大值为的最大值为1，求，求a的值。的值。6622解：（解：（1）f(x)=sin(x+ )+sin(x- )+cosx+a = sinx+cosx+a =2sin(x

52、+ )+a f(x)最小正周期最小正周期T=26663（2）x - , x+ - , f(x)大大=2+a a=-1622332第一百四十七页，共183页。例例3、求函数、求函数 的值域的值域. 2sin2cos2xxy解：解：1sin2sin2sin2cos22xxxxy2) 1(sinx又-1sinx1原函数的值域为：04，变题：变题：已知函数已知函数 （a为常为常数，且数，且a0），求该函数的最小值），求该函数的最小值. 21sinsin2xaxy当当-2 0时，时，a;2142minay当当 -2时，时，a.21min ay第一百四十八页，共183页。3、函数函数f(x)=1-2a-2

53、acosx-2sin2x的最小值为的最小值为g(a)(aR)：（1）求）求g(a)；（2）若）若g(a)= ，求，求a及此时及此时f(x)的最大值的最大值。21解：（解：（1）f(x)=2(cosx- )2- 2-2a-12a2a2a2a -1cosx1 当当-1 1即即-2a2时时 f(x)小小=- 2-a-1当当 1 即即a2时时 f(x)小小=f(1)=1-4a2a2a当当 -1 即即a0函数函数y=-acos2x- asin2x+2a+bx0, ，若函数的值域为，若函数的值域为-5,1，求常数，求常数a,b的值。的值。32解：解：12676260621 )sin(, xxa 3a+b=

54、1 a=2 b=-5 b=-5baxabaxxay 222222262321)sin()sincos( 第一百五十一页，共183页。3、函数函数f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值为的最小值为g(a)(aR)：（1）求）求g(a)；（2）若）若g(a)= ，求，求a及此时及此时f(x)的最大值的最大值。21解：（解：（1）f(x)=2(cosx- )2- 2-2a-12a2a2a2a -1cosx1 当当-1 1即即-2a2时时 f(x)小小=- 2-a-1当当 1 即即a2时时 f(x)小小=f(1)=1-4a2a2a当当 -1 即即a-2时时 f(x)小小=f(-1)=1

55、 ).().().()(21241221222aaaaaaag第一百五十二页，共183页。（2）a=-1 此时此时 f(x)=2(cosx+ )2+ f(x)大大=521213、函数函数f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值为的最小值为g(a)(aR)：（1）求）求g(a)；（2）若）若g(a)= ，求，求a及此时及此时f(x)的最大值的最大值。21第一百五十三页，共183页。 5、已知、已知f(x)=2sin(x+ )cos(x+ )+2 cos2(x+ )- 。（1）化简）化简f(x)的解析式；的解析式；（2）若）若0，求，求，使函数，使函数(hnsh)f(x)为偶函数为偶

56、函数(hnsh)。（3）在（）在（2）成立的条件下，求满足）成立的条件下，求满足f(x)=1，x-,的的x的集合。的集合。解：解：(1)f(x)=sin(2x+)+ 2cos2(x+ )-1 =sin(2x+)+ cos(2x+)=2cos(2x+- )(2)当当= 时时 f(x)为偶函数为偶函数(hnsh)。(3) 2cos2x=1 cos2x= x= 或或x=222333236621665 第一百五十四页，共183页。例12.（2006年天津文9）已知函数f(x)asinxbcosx（a，b为常数，a0，xR）在x 处取得最小值，则函数yf( x)的对称中心坐标是_ 434第一百五十五页，

57、共183页。解：由 (ab) 化简得ab所以f(x) asin(x )，a0从而f( x) asinx，其对称中心坐标为(k，0)，kZ.22422ab2342第一百五十六页，共183页。平平 面面 向向 量量 复复 习习向量的三种向量的三种(sn zhn)表示表示表示表示(biosh)运算运算(yn sun)向量加向量加法与减法法与减法向量的相关概念向量的相关概念实数与实数与向量向量 的积的积三三 角角 形形 法法 则则平行四边形法则平行四边形法则向量平行、向量平行、垂直的条件垂直的条件平面向量平面向量的基本定理的基本定理平平面面向向量量向量的数量积向量的数量积向量的应用向量的应用第一百五十

58、七页，共183页。几何(j h)表示 : 有向线段(xindun)向量(xingling)的表示字母表示 : aAB 、等坐标表示 : (x，y)若若 A(x1,y1), B(x2,y2)则则 AB = (x2 x1 , y2 y1)返回返回第一百五十八页，共183页。1.向量的概念(ginin):2.向量的表示:3.零向量:4.单位向量:5.平行向量:6.相等向量:7.共线向量:既有大小既有大小(dxio)又有方向的量又有方向的量1.有向线段有向线段(xindun) 2.字母字母 3.有向线段有向线段(xindun)起点和终点字母起点和终点字母长度为零的向量长度为零的向量(零向量与任意向量都

59、平行零向量与任意向量都平行长度为长度为1个单位的向量个单位的向量1.方向相同或相反的非零向量方向相同或相反的非零向量2.零向量与任一向量平行零向量与任一向量平行长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相同的向量平行向量就是共线向量平行向量就是共线向量第一百五十九页，共183页。a向量向量(xingling)的模的模（长度）（长度）1. 设设 = ( x , y ),则则2. 若表示向量若表示向量 a 的起点和终点的起点和终点(zhngdin)的坐标分的坐标分别别 为为A(x1,y1)、B (x2,y2) ，则，则 ABa22yx 221221yyxx返回返回(fnhu)第一百六十页，共183页。

60、11,;(2)3,4,;(5)/ , / ,/ababABCDABCDab bcacac bcab 例：判断下列各命题是否正确？（）则若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；（ ）若则四边形是平行四边形；（ ）若则若则第一百六十一页，共183页。例例1 1：思考下列：思考下列(xili)(xili)问题：问题：1 1、下列命题正确、下列命题正确(zhngqu)(zhngqu)的是的是（1 1）共线向量都相等）共线向量都相等 （2 2）单位向量都相等）单位向量都相等（3 3）平行向量不一定是共线向量）平行向量不一定是共线向量（4 4）零向量与任一向量平行）零向量与任一向量平行四、例题(lt)