统计学教案习题10直线相关与回归分享

1、第十章 直线相关与回归一、教学大纲要求（一） 掌握内容直线相关与回归的基本概念。相关系数与回归系数的意义及计算。相关系数与回归系数相互的区别与了解。（二）熟悉内容相关系数与回归系数的假设检验。直线回归方程的应用。秩相关与秩回归的意义。（三）了解内容 曲线直线化。二、 学内容精要(一) 直线回归1. 基本概念直线回归(linear regression)建立一个描述应变量依自变量变化而变化的直线方程，并要求各点与该直线纵向距离的平方和为最小。直线回归是回归分析中最基本、最简单的一种，故又称简单回归（simple regression）。直线回归方程中，a、b是决定直线的两个系数，见表10-1。表

2、10-1 直线回归方程a、b两系数对比ab含义回归直线在Y轴上的截距（intercept）。表示X为零时，Y的平均水平的估计值。回归系数（regression coefficient），即直线的斜率。表示X每变化一个单位时，Y的平均变化量的估计值。系数>0a>0表示直线与纵轴的交点在原点的上方b>0，表示直线从左下方走向右上方，即Y随X增大而增大系数<0a<0表示直线与纵轴的交点在原点的下方b<0，表示直线从左上方走向右下方，即Y随X增大而减小系数=0a=0表示回归直线通过原点b=0，表示直线与X轴平行，即Y不随X的变化而变化计算公式2. 样本回归系数b的假

3、设检验（1）方差分析；（2）t检验。3. 直线回归方程的应用（1）描述两变量的依存关系；（2）用回归方程进行预测；（3）用回归方程进行统计控制；（4）用直线回归应注意的问题。 (二) 直线相关1. 基本概念直线相关（linear correlation）又称简单相关（simple correlation），用于双变量正态分布资料。有正相关、负相关和零相关等关系。直线相关的性质可由散点图直观的说明。相关系数又称积差相关系数（coefficient of product-moment correlation），以符号r表示样本相关系数，表示总体相关系数。它是说明具有直线关系的两个变量间，相关关系的

4、密切程度与相关方向的指标。2. 计算公式相关系数r没有单位，其值为1r1。其绝对值愈接近1，两个变量间的直线相关愈密切；愈接近0，相关愈不密切。r值为正表示正相关，说明一变量随另一变量增减而增减，方向相同；r值为负表示负相关，说明一变量增加、另一变量减少，即方向相反；r的绝对值等于1为完全相关。3. 样本相关系数r的假设检验（1）r界值表法；（2）t检验法。（三）直线回归与相关的区别与了解1. 区别（1） 资料要求：直线回归要求因变量Y服从正态分布，X是可以精确测量和严格控制的变量，一般称为型回归；直线相关要求两个变量X、Y服从双变量正态分布。这种资料若进行回归分析称为型回归。（2） 应用情况

5、：直线回归是说明两变量依存变化的数量关系；直线相关是说明两变量间的相关关系。（3） 意义：b表示X每增（减）一个单位时，Y平均改变b个单位；r说明具有直线关系的两个变量间关系的密切程度与相关方向。（4） 计算：b= lxy/ lxx ；r = lxy/。（5） 取值范围：b+ ；1r1 。（6） 单位：b有单位；r没有单位。2. 了解（1） 方向一致：对一组数据若能同时计算b和r,它们的符号一致。（2） 假设检验等价：对同一样本，r和b的假设检验得到的t值相等，即tb=tr 。（3） 用回归解释相关：决定系数，回归平方和越接近总平方和，则r2越接近1，说明引入相关的效果越好。 （四）秩相关秩相

6、关，又称等级相关（rank correlation），是用双变量等级数据作直线相关分析，适用于下列资料：不服从双变量正态分布而不宜作积差相关分析；总体分布型未知；用等级表示的原始数据。三、典型试题分析1回归系数的假设检验（ ）A只能用r的检验代替 B只能用t检验C只能用F检验 D三者均可答案：D评析 本题考点：回归系数假设检验方法的理解。回归系数的假设检验常用的方法有：方差分析；t检验。对同一样本，r和b的假设检验等价，r和b的假设检验得到的t值相等，即tb=tr。故回归系数的假设检验用三者均可。2已知r1=r2，那么（ ） Ab1=b2 Btb1=tb2 Ctr1=tr2 D两样本决定系数相

7、等 答案： D评析 本题考点：直线相关系数与回归系数关系的理解。因为相关系数r和回归系数b的计算公式不同，不能推导出b1=b2 ；r和b的假设检验等价，即tr1= tb1，tr2=tb2，而不是tb1=tb2，tr1=tr2 ；样本决定系数为r2，已知r1=r2，则两样本决定系数相等，即r12=r22。3|r|>r0.05( n-2)时，可认为两变量X与Y间（ ）A有一定关系 B. 有正相关关系C一定有直线关系 D. 有直线关系答案： D评析 本题考点：直线相关系数假设检验的理解。因为直线相关系数r是样本的相关系数，它是相应总体相关系数的估计值。由于抽样误差的影响，必须进行显著性检验。r

8、的假设检验是检验两变量是否有直线相关关系。|r|>r0.05( n-2)时，P<0.05，拒绝H0，接受H1，认为总体相关系数0，因此可认为两变量X与Y间有直线关系。4相关系数检验的无效假设H0是（ ）A=0 B. 0C>0 D. <0答案： A评析 本题考点：直线相关系数显著性检验中检验假设的理解。因为r是样本相关系数，它是总体相关系数的估计值。要判两变量间是否有相关关系，就要检验r是否来自总体相关系数为零的总体。因为即使从=0的总体作随机抽样，由于抽样误差的影响，所得r值也常不等于零。5同一双变量资料，进行直线相关与回归分析，有（ ）。Ar>0，b<0

9、B. r>0，b>0Cr<0，b>0 D. r与b的符号毫无关系答案： B评析 本题考点：直线相关与回归的区别与了解的理解。因为对同一资料而言直线相关系数与回归系数的方向一致，若能同时计算b和r,它们的符号一致。因此，同一双变量资料，进行直线相关与回归分析，有r>0，b>0。四、习 题（一） 单项选择题1 下列( )式可出现负值。A（X）2 BY 2（Y）2/nC(Y) 2 D（X）（Y）2 Y=14+4X是17岁儿童以年龄（岁）估计体重（市斤）的回归方程，若体重换成国际单位kg，则此方程( )。A截距改变 B回归系数改变C两者都改变 D两者都不改变3 已知

10、r=1，则一定有( )。Ab=1 Ba=1CSY. X=0 DSY. X= SY4 用最小二乘法确定直线回归方程的原则是各观察点( )。A距直线的纵向距离相等B距直线的纵向距离的平方和最小C与直线的垂直距离相等D与直线的垂直距离的平方和最小5 直线回归分析中，X的影响被扣除后，Y方面的变异可用指标( )表示。A B. C. D. 6 直线回归系数假设检验，其自由度为( )。An Bn1Cn2 D2n17 应变量Y的离均差平方和划分，可出现( )。ASS剩=SS回 BSS总=SS剩CSS总=SS回 D以上均可8 下列计算SS剩的公式不正确的是( )。A B C. D 9 直线相关系数可用( )计

11、算。A BC D 以上均可10 当r=0时，回归方程中有( )。Aa必大于零 B. a必等于Ca必等于零 D. a必等于（二） 名词解释1. 直线回归 2. 回归系数 3. 剩余平方和 4. 回归平方和 5. 直线相关6. 零相关 7. 相关系数 8. 决定系数 9. 曲线直线化 10.秩相关（三） 是非题1 剩余平方和SS剩1=SS剩2，则r1必然等于r2。2 直线回归反映两变量间的依存关系，而直线相关反映两变量间的相互直线关系。3 两变量关系越密切r值越大。（四）简答题1 用什么方法考察回归直线图示是否正确？2 剩余标准差的意义和用途？3 某资料n=100，X与Y的相关系数为r=0.1，可

12、否认为X与Y有较密切的相关关系？4 r与rs的应用条件有何不同？5 应用直线回归和相关分析时应注意哪些问题？6 举例说明如何用直线回归方程进行预测和控制？7 直线回归分析时怎样确定因变量与自变量？（五）计算题110名20岁男青年身高与前臂长的数据见表10-2。计算相关系数并对=0进行假设检验；计算总体的95%可信区间。表10-2 10名20岁男青年身高与前臂长身 高（cm）170173160155173188178183180165前臂长（cm）454244414750474649432 某单位研究代乳粉营养价值时，用大白鼠作实验，得到大白鼠进食量和增加体重的数据见表10-3。此资料有无可疑的

13、异常点？求直线回归方程并对回归系数作假设检验。试估计进食量为900g时，大白鼠的体重平均增加多少，计算其95%的可信区间，并说明其含义。求进食量为900g时，个体Y值的95%容许区间，并解释其意义。表10-3 八只大白鼠的进食量和体重增加量鼠号12345678进食量（g）800780720867690787934750增量（g）1851581301801341671861333 某省卫生防疫站对八个城市进行肺癌死亡回顾调查，并对大气中苯并（a）芘进行监测，结果如下，试检验两者有无相关？表10-4 八个城市的肺癌标化死亡率和大气中苯并（a）芘浓度城市编号12345678肺癌标化死亡率（1/10万

14、）5.6018.5016.2311.4013.808.1318.0012.10苯并（a）芘（g/100m3）0.051.171.050.100.750.500.651.204 就下表资料分析血小板和出血症的关系。表10-5 12例病人的血小板浓度和出血症的关系病例号123456789101112血小板数（109/L）12013016031042054074010601260123014402000出血症状+±+五、习题答题要点（一） 单项选择题1.D 2.C 3.C 4.B 5.C 6.C 7.D 8.B 9.D 10.D（二） 名词解释1 直线回归（linear regressio

15、n）建立一个描述应变量依自变量变化而变化的直线方程，并要求各点与该直线纵向距离的平方和为最小。直线回归是回归分析中最基本、最简单的一种，故又称简单回归（simple regression）。2 回归系数（regression coefficient）即直线的斜率(slope)，在直线回归方程中用b表示，b的统计意义为X每增（减）一个单位时，Y平均改变b个单位。3 剩余平方和（residual sum of squares），SS剩即，它反映X对Y的线性影响之外的一切因素对Y的变异的作用，也就是在总平方和中无法用X解释的部分。在散点图中，各实测点离回归直线越近，也就越小，说明直线回归的估计误差越

16、小。4 回归平方和（regression sum of squares），SS回即，它反映由于X与Y的直线关系而使Y的总变异所减小的部分，也就是在总平方和中可以用X解释的部分。回归平方和越大，说明回归效果越好。5 直线相关（linear correlation）又称简单相关（simple correlation），用于双变量正态分布资料。有正相关、负相关和零相关等关系。直线相关的性质可由散点图直观的说明。6 零相关（zerro correlation）是指两变量间没有直线相关关系。11 相关系数又称积差相关系数（coefficient of product-moment correlation

17、），以符号r表示样本相关系数，表示总体相关系数。它是说明具有直线关系的两个变量间，相关关系的密切程度与相关方向的指标。12 决定系数（coefficient of determination）即r的平方，说明当SS总固定不变时，回归平方和的大小决定了r平方的大小。回归平方和越接近总平方和，则r平方值越接近1。13 曲线直线化（rectification）是曲线拟合的重要手段之一。对于某些非线性的资料可以通过简单的变量变换使之直线化，用直线回归分析方法来分析。14. 秩相关又称等级相关（rank correlation），是用双变量等级数据作直线相关分析，适用于下列资料：不服从双变量正态分布而不

18、宜作积差相关分析；总体分布型未知；用等级表示的原始数据。（三）是非题1错。两样本剩余平方和SS剩1=SS剩2，但两样本总平方和SS总及回归平方和SS回不一定相等，故两样本相关系数r1与 r2不一定相等。2正确。3错。相关系数r有正负之分，其值为1r1，在总体相关系数不为零，即两变量确有直线关系前提下，r绝对值愈接近1，两个变量间的直线相关愈密切；愈接近0，相关愈不密切。（四）简答题1用以下三种方法判定：直线必须通过点（）。若纵坐标、横坐标无折断号时，将此线左端延长与纵轴相交，交点的纵坐标必等于截距a。直线是否在自变量X的实测范围内。2剩余标准差用sY. X表示： 其意义是指当X对Y的影响被扣除

19、后，Y方面仍有变异。这部分变异与X无关，纯属抽样变异。故sY. X是用来反映Y的剩余变异的，即不考虑X以后Y本身的随机变异。剩余标准差可用于：估计回归系数b的标准误，进行回归系数的区间估计和假设检验。估计总体中当X为某一定值时，估计值的标准误。 并可计算的可信区间，sY. X可作为预报精度的指标。估计总体中当X为某一定值时，个体Y值的标准差。，并计算个体Y值的容许区间。3n=100，r=0.1时，对相关系数进行t检验，按检验水准=0.05，拒绝H0(=0)，接受H1(0)，认为两变量有相关关系，但决定系数r2=0.12=0.01，表示回归平方和在总平方和中仅占1%，说明两变量间相关关系实际意义

20、不大。4积差相关系数r用于描述双变量正态分布资料的相关关系。等级相关系数rs适用于下列资料：不服从双变量正态分布而不宜作积差相关分析的资料；总体分布型未知的资料；原始资料是用等级表示的资料。5注意以下五个问题作回归分析和相关分析时要有实际意义，不能把毫无关联的两种现象作回归、相关分析，必须对两种现象间的内在了解有所认识。在进行回归分析和相关分析之前，应绘制散点图。但观察点的分布有直线趋势时，才适宜作回归、相关分析。如果散点图呈明显曲线趋势，应使之直线化再行分析。散点图还能提示资料有无可疑异常点。直线回归方程的应用范围一般以自变量的取值范围为限。若无充分理由证明超过自变量取值范围外还是直线，应避

21、免外延。双变量的小样本经t检验只能推断两变量间有无直线关系，而不能推断相关的紧密程度，要推断相关的紧密程度，样本含量必须很大。相关或回归关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系，有相关或回归关系不能证明事物间确有内在了解。6用直线回归方程进行预测和控制的步骤根据研究目的确定预报因子（X）和预报量（Y），由X估计Y值，收集资料。建立预报方程，并进行回归系数假设检验。若P小于临界值，则回归方程成立。根据回归方程在X实测范围内对Y进行预测，并计算X为某定值时，个体Y值波动范围（容许区间）。例如，17岁儿童，X为年龄，Y为体重，可根据年龄预测（估计）体重。统计控制是利用回归方程进行逆估计，如要求因变量Y

22、值在一定范围内波动，可以通过控制自变量X的取值来实现。步骤同前。例如，针刺哑门穴，进针深度Y与颈围X间存在直线关系，可根据X取值达到控制Y的目的。7型回归中，X为精密测量和严格控制的变量，Y为正态变量。型回归中，X、Y均为服从正态分布的随机变量，可计算两个回归方程。何者为X，何者为Y，根据研究目的确定。例如，测得某一人群的身高和体重两变量，若目的只是由身高估计体重，则确定X为身高，Y为体重。 （五）计算题1由原始数据及散点图的初步分析（图10-1），估计本资料有直线趋势。（1）计算相关系数与=0进行假设检验。H0：=0，即身高与前臂长间无直线相关关系H1：0，即身高与前臂长间有直线相关关系=0

23、.05，查t界值表，得0.002<P<0.005，按=0.05水准拒绝H0，接受H1，故可认为20岁男青年身高与前臂长呈正直线相关。 算总体的95%可信区间。对r作z变换：或，z=tanh10.8227=1.1651z的95%可信区间：按r=tanhz对z作反变换，得20岁男青年身高与与前臂长总体相关系数的95%可信区间为（0.4005，0.9567）。2由原始数据及散点图初步分析（图10-2），估本资料有直线趋势，故作下列计算。X=6328，X2=5048814，Y=1273，Y2=206619， ，XY=1018263 Y=172.94+0.42XY=47.33+0.26XY=

24、78.29+0.10X 图10-2 大白鼠的进食量与增加体重散点图（1）回归系数假设检验：H0：0，即进食量与增重之间无直线关系H1：0，即进食量与增重之间有直线关系0.05 方差分析，见表10-6。表10-6 方差分析表变异来源SSMSF总变异4052.8757回归2954.90512954.90516.147剩余1097.9706182.995计算得F=16.147，查F界值表，得P<0.01，按0.05水准，拒绝H0，接受H1，可认为大白鼠的进食量与增加体重间有直线关系。 t检验：H0：0，即进食量与增重之间无直线关系H1：0，即进食量与增重之间有直线关系0.05按=6，查t界值表

25、，得0.01>P>0.05，按0.05水准，拒绝H0，接受H1，结论同上。本题故可用直线回归方程来描述大白鼠的进食量与增加体重的关系。异常点即对应于残差（Y）绝对值特大的观测数据见表10-7。表10-7 残差的计算序号XY Y1800185161.47423.5262780158156.2541.7463720130140.59410.5944867180178.9611.0395690134132.7641.2366787167158.0818.9197934186196.44810.4488750133148.42415.424由散点图及残差分析，第一号点（X=800，Y=18

26、5）为可疑的异常点。根据以上的计算结果，进一步求其总体回归系数的95%可信区间。绘制回归直线并图示回归系数95%可信区间。总体回归系数的95%可信区间：（bt0.05(n2) Sb，bt0.05(n2) Sb）=（0.2612.447×13.5107，0.2612.447×13.5107）=（0.1022，0.4198）取X1=690，代入回归方程=47.326+0.261X，得Y1=132.76；X2=934，Y2=196.45。在图上确定（690，132.76）和（934，196.45）两个点，以直线连接即得回归直线的图形见图10-2。按回归系数的95%可信区间下限和上

27、限分别代入，得=78.285，=172.937。回归系数的95%可信区间上、下限对应的两条直线，即图10-2中两条回归直线，回归方程为：=78.285+0.1022X，=172.937+0.4198X估计进食量为900g时，大白鼠的体重平均增加多少，计算其95%的可信区间，并说明其含义。当X=900时，的95%可信区间：（t0.05(6) ，t0.05(6) ）=（187.5742.447×8.5446，187.5742.447×8.5446）=（166.67，208.48）即总体中，进食量为900g时，大白鼠的体重平均增加187.574g，其95%的可信区间为166.67

28、208.48g。其含义为：当进食量为900g时，相应的平均增重服从一个正态分布（此正态分布的样本均数估计值为187.574g），如果从此正态分布中重复抽样100次，这100个可信区间中理论上将有95个区间包含真正的总体均数（虽然这个总体均数真值是未知的）。求进食量为900g时，个体Y值的95%容许区间，并解释其意义。当X=900时，=47.326+0.261X=187.574，个体Y值的95%容许区间：（t0.05(6)SY ，t0.05(6)SY）=（187.5742.447×16.0002，187.5742.447×16.0002）=（148.42，226.73）即估计总体中，进食量为900g时，有95%的大白鼠增加体重在148.42226.73g范围内。3本题