平面解析汇报几何中地对称问题

1、平面解析几何中的对称问题李新林汕头市第一中学515031对称性是数学美的重要表现形式之一，在数学学科中对称问题无处不在。在代数、三角中有对 称式问题；在立体几何中有中对称问题对称体；在解析几何中有图象的对称问题。深入地研究数学 中的对称问题有助于培养学生分析解决问题的能力，有助于提高学生的数学素质。在平面解析几何中，对称问题的存在尤其普遍。平面解析几何中的对称问题在高考试题中更是 屡见不鲜。本文将对平面解析几何中的几种常见对称问题作一些肤浅的探讨，以求斧正。平面解析几何中的对称问题主要有如下几种：点关于点的对称问题简称点点对称；点关于直线 的对称问题简称点线对称；曲线关于点的对称问题简称线点对

2、称；曲线关于直线的对称问题简称线 线对称。、点点对称定理特别地，点1平面上一点 M(x,y)关于点P(X0,y)的对称点为 M (2x x,2yy)，M (x, y)关于点P(0,0)的对称点为 M ( x, y)。证明:显然P(Xo,yo)为线段MM的中点，设 M (x , y )，由中点坐标公式有:X X0yox2y y22x02y，故 M (2X0 x,2y y) y若点A关于点B(2,1)的对称点为C(4,2)，求点A的坐标。解：设A(x, y)，由定理1有 A(2(2)4,2 12)，即A( 8,0)。点线对称定理1平面上一点 M (x0, y0)关于直线:Ax By C0,( A2

3、B20)的对称点为:(X。2A(Ax By。 C)A2B2,y。2A(AX0A2ByoB29)。0,B0的情况。证明：先证明一般情况，即X如图(x, y)，线段MM交直线I于点Q(XQ,yQ)，由点M(X0,y)与点M (x, y)关于直线I对称，故Q(xQ , yQ)为线段MM的中点且MM I，于是有:XqyQXo X2y。y2y。yXox1 BA ABXoX又点Q(Xq, yQ)在直线|上，故有:y。y2yo yx0 x A解此二元一次方程组得:X Xo y yo2A( Axo By。 C)A2 B22A(Ax By。C)A2 B1即 M (x02A(Axo By。A2 B22A(Ax。

4、By。A2 B2C)至于A 0, B0与A 0, B 0的情况比较简单，证明略特别地，有如下几种特殊情况：(1)平面上一点M (X。，y。)关于x轴的对称点为：(X。，yo)；(2)平面上一点M (x0, y0)关于y轴的对称点为：(x0,yo)；(3)平面上一点M (xo , yo )关于直线xa的对称点为：(2a Xo, yo)；(4)平面上一点M (x0, y0)关于直线yb的对称点为：(Xo,2b yo)；(5)平面上一点M (x0, y0)关于直线yx的对称点为：(yo,xo)；(6)平面上一点M (x0, y0)关于直线yx的对称点为：(yo, Xo)；(7)平面上一点M (xo,

5、 yo)关于直线yx b的对称点为：(yo b,Xo b)；(8)平面上一点M (Xo, yo)关于直线yx b的对称点为：(y0 b, x0 b)特别地，点M (x, y)关于点P(0,0)的对称点为 M ( x, y)。若直线2 2x y z 0,与椭圆 C:(x x)W 竺 1 ab有公共点，则有：(Aa)2 (Bb)2 (Axo By。C)2证明：由(x X0)2Cr(y y)2 11可令xx0 a cos ， y y0 bsin代入丨:Ax2By C 0,(A2B20)得:A (xoa cos ) B (y0 bsin ) C 0整理得：Aa cos Bbsin(A xoB yoC)

6、即:2 2 (Aa) (Bb) sin(Ax。B yoC)，（其中为辅助角）sin( )1,(Ax。By。C)即:22(Aa) (Bb)(AxBy。特别地，当 x00, y00时,推论1若直线l : Ax By(Aa)2对于定理若令a b r，定理公共点，则有:JAa)22(Bb)C)22 2C 0,(A2 B229(Bb) C2则有若直线l : Ax ByC 0,(A20）与椭圆2 x2 a2 y b21有公共点，则有:(Ar)2 (Br)2(Ax Byr2(A2 B2)特别地，当 x0, y0时，有推论2 若直线l : Ax By则有:r2( A2B2)下面略举数例说明其应用。求点到直线的

7、距离2B20)与圆2C），整理得2(Ax By C)C 0,(A22B20)与圆C :(xC : x2C2例1 求点P(x0, y0)到直线l: Ax By0,(A2B2P（x, y）为圆心，r为半径的动圆C : (xx)2(yy)2l : Ax By C0,( A2B20）与动圆C : (xX0)2(y点P（x0, y0）到直线l : AxBy2 2C 0,(A B0）的距离即d rmin，由定理2知：r2(A2 B2)(AxByC)2C解：设点P（x0, y0）到直线l : Ax Byd为半径r的最小值,B22r，显然，当直线0,( A222y）r有公共点时,x)20）的距离。0）的距离为

8、(y y)2 r2有2r有公共点,d，构造以点Ax0 By0 C，即：.a2 b2Ax。 By。 C2 2即点P(xo,y)到直线l : Ax By C 0,( A 2例3已知平面上两定点A( 1,0), B(1,0) , P(x, y)为圆C : (x 3) (y 4)4上任一点，求 PA2 PB2的最大值与最小值。解：依题意有 B2 0)的距离为|Axo Byo Cd JIVa2B2此即平面解析几何中点到直线的距离公式。“.3 2cosx解：设 sinx u， cosx v，代入 y12 cosxsinx 得：y3sin x32vu12v3u12 2整理得(3y1)u2( y 1)v (y

9、 3)0，又 u v关于 u,v 的直线(3y1)u2(y1)v (y 3)20与关于u, v的圆u1有公共点求最值、函数的值域例1 若x, yR,且(x2)2y23，则的最大值为()x1V3厂A.B .C.D .3233( 1990年全国高考试题)解：设-xk，得直线kx2 2y 0 ,由定理1得 3(k 1)(2k)，解得：、3 k3 ,即y3x- 3，故选(D )例2求函数y32 cosxsin x 片的值域。12 cosx3sin x2 2 2由推论 2 得：(3y1)2(y1) (y 3)1解得： yy-或y 1332 cosx sin x即所求函数 y 的值域为 y y12 cos

10、x 3si nxK22222222PB (x 1) y (x 1) y 2(x y )2oooo又由C : (x 3) (y 4)4得x y 6x 8y 21，代入得：12222PA PB 2(x y ) 22(6x 8y 21) 212x 16y 40i22令 PA PB t，有 12x 16y 40 t，即 12x 16y(40 t) 02 2关于x, y的直线12x 16y (40 t) 0与关于x, y的圆(x 3) (y 4)4有公共点2 2 2由定理 2 得：4(1216 ) 12 3 16 4 (40 t)解得：20 t 10022已知椭圆2c：x_故PA PB的最大值与最小值分

11、别为20与40x y 11,( x, y R)，求的最大值。y 2解：令tx y 1y 2 5整理得x(1 t)y(2t 1)02 2关于x, y的直线x (1 t)y(2t1)0与椭圆C :1，( x, y R)有公共点。94由推论1得924(1 t)(2t1)2，解得：t 1x y 1故的最大值为1。y 2例5（加拿大第七届中学生数学竞赛试题）试确定最大的实数z，使得实数 x, y满足:x y z 5xy yzxz3解：由x yz5得:x2y22 z2(xy yz xz)25又 xy yz xz3，代入得：2 x2y2 z219，即 x2y19 z2关于x, y的直线xy(z5)0与关于x

12、,y2 2的圆xy192z有公共点。由推论2得：（192 z)(1212)(z5)22解得：3z 10z130，即：1z133故最大的实数 z为13。3三、求代数式的范围例1 若x, y R,2 x(y1)21，且x yd 0恒成立，求d的取值范围。解：由已知得d （x y），设（x y） k，得直线（x y） k 0，由定理2里2得：(11 2例1 已知：(x 3) (y 2)25, x, y R,求证： 16 6x 8y 84)(1k)2，解得：、21k21，即 kmax2 1即(X y)max21,又d(x y),故d2 1。例2已知x22xy2y22,(x, y R)，求 3x5y的取

13、值范围。2解：由x2xy2y22,(x, y R)可得(x、22小y)y 22 2令x y u , y v，代入得：u v 2又令t 3x 5y，将xyu， yv代入t3x5y得:t 3( u v) 5v即 3u 2v t 0关于u,v的直线3u 2vt0与关于u,v的圆12 u v22有公共点，2由推论2得：23( 2)2(t)2解得：26 t. 26，即,263x 5y.26例 3 若 x, y R，且(log ax)2 (log a y)22log a (ax )2log a (ay )，( a0 且 a 1)求log a (xy)的范围。解：令 log a x u，log a y v

14、代入(log ax)2(log ay)2log a (ax2)2log a (ay )2 2并化简得：uv22u2v，即(u 1)2(v1)24又令loga(xy)t，则有tlog a xlog a yu v，即uv t 0关于u,v的直线u v t0与关于u,v的圆(u1)2(v21)4有公共点，2 2由定理2得：4(11 )(11 t)2，解得22、2t2 2 2即 22 2 log2(xy)22 2a2 bc8a 7 0例4 设a, b, c满足方程组b2 c2bc 6a6 0，若a, b, c R，试求a的取值范围。( 1986年全国高中数学联赛试题)解：由一得：bc(a 1)，即 b

15、 c (1 a) 0，由+得：b2 ca2 6a 6关于b, c的直线bc(12 2a) 0与关于b, c的圆bc2a2 6a 6有公共点。由推论2得：(2 a6a6)(1212) (1a)2解得：1 a 9故a的取值范围为1a9。四、解方程组及证明不等式证明：设6x8y k，有 6x 8y k 0,关于x, y的直线6x2由定理2得：25(628y82)2k 0与关于x, y的圆(x 3)6 3 ( 8) ( 2) k22(y 2)25,有公共点。解得：16 k 84，即16 6x 8y 84例 2 实数 m,n,x, y R ,厂2222且 m n a,x y求证| mx ny |.ab。

16、证明：设 mx ny k，有 mx ny k 0,b有公共点。关于x, y的直线mx ny2 2由推论2得：b(m n )2k 0与关于x, y的圆x k22n a,所以有abk2.ab，即 | mx ny |. abx, y,z R,且满足x yz a(a 0),证明x, y, z都不是负数,也不能大于空。(1957年北京市数学竞赛题)3关于证明：由得(xa)20( a 0),由得yz2x2y, z的直线y(xa)0(a0),与关于y, z的圆2x有公共点。2a由推论2得：(一2x2)(1212) (xa)2解得:3x2 2axx 空，同理,3爭02旦，所以，x,y,z都不是负数，也不能大于

17、32a3已知x, y,z R,且满足0,xyz 1 ,证明3x, y, z中至少有一个大于 。(19912年“曙光杯”数学竞赛题)证明：由xyz 1知x, y,z中至少有一个为正数，不妨设z 0又由2 2 2x y z 0,得：x y z 2( xy yz xz) 01由xyz1得xy ,代入得:z由定理2得:(z12)z z)22解得：z2z2-,即: zz2由得:z33,3 32 8所以x, y, z中至少有一个大于若ABC中，三边为a, b, c，且b c be a82 12a52试确定 ABC的形状。2 2 2 2 xyzz2yz2xz 0 ,即(x z)2(yz)22 z2z关于x, y的直线x0,与关于x, y的圆（x、2(y、22 2y zz)z)z有公共点。z（ 1989年“缙云杯”数学邀请赛试题）关于解：由2 +得：b2 c22a224 a40b, c的直线b c80与关于b,c的圆b2c22a224a40有公共点。2由推论2得： （2a2 224a 40)(1212)(8)2解得:a2 12a 3620 ,即(a 6)0 ,a 6代入、得:所以A