《数字信号处理》第三版课后习题答案

1、数字信号处理课后答案1.2 教材第一章习题解答1. 用单位脉冲序列(n)及其加权和表示 题1图所示的序列解：x(n)(n 4)2 (n 2)(n 1) 2 (n) (n 1) 2 (n 2) 4 (n 3)0.5 (n 4) 2 (n 6)2n 5, 4 n 12. 给定信号： x(n) 6,0 n 40,其它(1) 画出x(n)序列的波形，标上各序列的值；(2) 试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列；(3) 令 xi(n) 2x(n 2)，试画出 Xi(n)波形；(4) 令 X2(n) 2x(n 2)，试画出 x2(n)波形；(5) 令 x3(n) 2x(2 n)，试画出 X3(n

2、)波形。解：(1) X(n)的波形如题2解图(一)所示。( 2)x(n) 3 (n 4) (n 3) (n 2) 3 (n 1) 6 (n)6 (n 1) 6 (n 2) 6 (n 3) 6 (n 4)(3) 人(n)的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2,画出图形如 题 2 解图(二) 所示。(4) X2(n)的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2,画出图形如 题2解图二所示。5画X3 n时，先画x-n的波形，然后再右移2位，X3n波形如 题2解图四所示。3.判断下面的序列是否是周期的，假设是周期的，确定其周期。1xn Acos3 n ， A 是常数；7 8jln 2xn e 8。解：1

3、w - , -14，这是有理数，因此是周期序列，周期是 T=14 ；7 w 32w -, -16，这是无理数，因此是非周期序列。8 w5. 设系统分别用下面的差分方程描述，xn与yn分别表示系统输入 和输出，判断系统是否是线性非时变的。1y(n)x(n) 2x(n1) 3x(n 2)；3y(n)x(n no)，no为整常数；5y(n)2x (n)；7y(n)nx(m)。m 0解：1令:输入为xnno，输出为y'( n)x(nno) 2x( n ino 1) 3x(n no 2)y(n n°) x(n n°) 2x(n n° 1) 3x(n n°

4、2) y(n)故该系统是时不变系统。y(n) Tax1(n) bx2(n)a%(n) bx2(n) 2(a%(n 1) bx? (n 1) 3(a%(n 2) bx2(n 2)Tax1( n) ax1( n) 2ax1( n 1) 3ax1(n 2)T bx2 ( n) bx2 ( n) 2bx2 ( n 1) 3bx2 ( n 2)Tax1(n) bx2(n) aT x1(n) bT x2(n)故该系统是线性系统。面予以证bTx2(n)(3)这是一个延时器，延时器是一个线性时不变系统， 明。令输入为 x(n n1 )，输出为 y'(n) x(n n1 n0 ) ，因为I y(n n1

5、) x(n n1 n0 ) y'(n)故延时器是一个时不变系统。又因为T ax1( n) bx2 (n) ax1(n n0) bx2(n n0) aTx1(n)故延时器是线性系统。(5)y( n) x2(n)令：输入为 x(n n0) ，输出为 y'( n) x2(n n0 ) ，因为 2'y(n n0) x (n n0) y (n)故系统是时不变系统。又因为2 T ax1(n) bx2( n) (ax1 (n) bx2( n)aT x1(n) bT x2(n) 22ax1(n) bx2 (n)因此系统是非线性系统。n (7)y( n)x(m)m0n 令：输入为 x(n

6、 n0) ，输出为 y'(n)x(m n0) ，因为m0n n0y(n n0 )x( m) y'(n)m0故该系统是时变系统。又因为Taxj( n) bx2( n)(ax1(m) bx2(m) aTxM n) bT x2( n)m 0故系统是线性系统。6. 给定下述系统的差分方程，试判断系统是否是因果稳定系统，并 说明理由。1 N 1(1)y(n) - x(n k)；N k on n。(3) y(n)x(k)；k n n°(5)y(n) ex(n)。解：(1) 只要N 1,该系统就是因果系统，因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。如果x(n) M，那么y(n)

7、M，因此系统是稳定系统。n n。(3)如果|x(n) M，|y(n) |x(k) 2n。1 M，因此系统是稳定的。k n n。系统是非因果的，因为输出还和 x(n)的将来值有关.(5)系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。如果x( n) M，那么y( n) |ex(n)$n)eM，因此系统是稳定的。7. 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所 示，要求画出输出输出y(n)的波形。解：解法(1):采用图解法y(n) x(n) h(n) x(m)h(n m)图解法的过程如题7解图所示 解法(2):采用解析法。按照 题7图写出x(n)和h(n)的表达式：

8、x(n) (n 2) (n 1) 2 (n 3)1 h(n) 2 (n) (n 1) (n 2)2因为x(n)* (n) x(n)x(n广 A (n k) Ax(n k)1y(n) x(n)*2(n) (n 1)二(n 2)所以212x( n) x(n 1) x(n 2)2将x(n)的表达式代入上式，得到y(n) 2 (n 2) (n 1) 0.5 (n)2 (n 1) (n 2)4.5 (n 3) 2 (n 4) (n 5)8. 设线性时不变系统的单位取样响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况，分别求出输出y(n)。1h(n)&(n ),x( n)R5n；2h(n)2&

9、( n),x (n)(n)(n 2)；3h(n)0.5nu(n), XnR5n。解：1y(n)x(n)* h(n)R4(m)R5(n m)m先确定求和域，由R4m和Rsn m确定对于m的非零区间如下:0 m 3, n 4 m n根据非零区间，将n分成四种情况求解： n 0,yn 0n0n 3, y(n)1 n 1m 043n 7, y(n)18 nm n 47n,y( n) 0最后结果为0,n 0, n 7y(n)n 1,0 n 38 n,4 n 7y(n)的波形如题8解图(一)所示。(2)y(n) 2R4(n)* (n) (n 2)2&(n) 2"n 2)2 (n) (n

10、1) (n 4) (n 5)y(n)的波形如题8解图(二)所示.(3)y(n) x(n)* h(n)R5(m)0.5nmmu(nm)0.5nRs(m)0.5 mu(n m)my(n)对于m的非零区间为0m4, mn。n0,y( n) 00nn 4, y(n)0.5n0.5 mm 0n 11 0.50.5n (1 0.5 n 1)0.5n 2 0.5n10.5 1541n, y(n) 0.5n 0.5 mm 010.5 50.5 10.5n31 0.5n最后写成统一表达式：y(n) (2 0.5n)R5( n) 31 0.5nu(n 5)11.设系统由下面差分方程描述:1 1y(n) gy(n

11、1) x(n)乂 1)；设系统是因果的，利用递推法求系统的单位取样响应解：令：x(n) (n)1 1h(n)才(n 1)(n)(n 1)1 1n 0,h(0)2h( 1)(0) - ( 1) 11 1n1,h(1)?h(0)(1)1 (0)111n 2,h(2)h(1)2211 2n3, h(3)2h(2)Q归纳起来，结果为h(n) (1)n1u(n 1)(n)12.有一连续信号 Xa(t) cos(2 ft ),式中，f 20Hz,2(1) 求出Xa(t)的周期。(2) 用采样间隔T 0.02s对Xa(t)进行采样，试写出采样信号%(t)的表 达式。(3) 画出对应%(t)的时域离散信号(序

12、列)x(n)的波形，并求出x(n)的 周期第二章教材第二章习题解答1.设Xejw和Yejw分别是xn和yn的傅里叶变换，试求下面序列的 傅里叶变换：1x(n n0) ；2x( n) ；3x(n)y(n)；4x(2n) 。解：1FTx(n n0)x(nn令n'n n0,n n'n0 ，那么FTx(n n0)2FT x* (n)x* (n)e n3FTx( n)x( n)e n令n'n，那么njwnjwnn0)enjwn' jw(n n0 )x(n )e 0e jwn0 X(ejw)FTx(n)4证明：令 k=n-m ，那么x(n)ejwn*X* (e jw)jwn

13、Ix(n')eX(e jw)FTx(n)*x(n)* y(n)FTx(n)* y(n)my(n)X(ejw)Y(ejw)x(m)y(n m)mx(m)y(n m)e jwnFTx(n)* y(n)jwk jwnx(m)y(k)e ek mjwkjwny(k)ex(m)ekmX(ejw)Y(ejw)2. X(ejw)1, wO,WoWow求X(ejw)的傅里叶反变换x(n)解:3.线性时不变系统的频率响应(、1 wo jwn,sinw°nx(n)e dw 2won(传输函数)H (ejw) | H (ejw) ej (w),如果单位脉冲响应h(n)为实序列，试证明输入x(n)

14、Acos(w°n )的稳态响应 为jwy(n) A H (e ) cosw°n(w。)。解：假设输入信号x(n) ejw0n，系统单位脉冲相应为h(n),系统输出为jw°n y(n) h(n)* x(n)h(m)ejw0(n m) ejw°nh(m)e jw0mH (ejw0)emm上式说明，当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列， 且频率相同，但幅度和相位决定于网络传输函数，利用该性质解此题。x(n) Acos(w。n)丄 Aejw°neje jw°ne j 2y(n) 】Aej ejw°nH(ejw0) e j

15、 e jw°nH(e jw°) 2XAej ejw0n2H (ejw0) ej (W°)jjw°ne eH (e jw0) ej ( w°)上式中H(ejw)是w的偶函数，相位函数是 w的奇函数,H (ejw)H(ejw), (w)( wy(n)舟 A H (ejw0) ej ejw0nej (w0) e j e jw°ne j (w0)A H (ejw0) cos(w0n(w0)4.设 x(n)1,0,1将x( n)以4为周期进行周期延拓，形成周期序列0,其它%n)，画出x(n)和n)的波形，求出n)的离散傅里叶级数X(k)和傅里叶

16、变换。解:画出x(n)和n)的波形如题4解图所示。X%k) DFS% n)j4k/ j4k e 4 (e 43jkn%n)e 4n 0匕k4 ) 2cos( k)?e41 j-kne 20j4kX(k)以4为周期，或者1 .X%k)e j2n 0j1 k j1 kjke 2 (e2e 2 )j1 k j1 kj- ke 4 (e4e 4 ).1 . -sin k k 2.1 .sin k4X(k)以4为周期2X(ejw) FT% n)X%k)(w 2Tk) X%k) (w2 k2k)匕kcos( k)e 4 (w k 45.设如下列图的序列x(n)的FT用X(ejw)表示，不直接求出X(ejw

17、)，完成以下运算:(1) X(ej0)；(2) X(ejw)dw ；(5)2X(ejw) dwjw解:(1)7X(ej0)x( n) 6n 3(2)X(ejw)dw x(0)?2(5)X (ejw) dw 22x(n)|286试求如下序列的傅里叶变换：(2) X2(n)(3) X3(n)12 (n 1)(n)anu( n),0 a 12 (n 1)；解:(2)X2(ejw)x2( n)e jwn1 .jwe21 .jw1 e2cosw(3)X3(ejw)nnjwna u(n)en jwn a en 01jw ae7.设:(1) x(n)是实偶函数,x(n)的傅里叶(2) x(n)是实奇函数，分

18、别分析推导以上两种假设下,变换性质。解:令 X(ejw)x(n)ejwn(1) x(n)是实、偶函数，X(ejw)x(n)ejwnn两边取共轭，得到X*(ejw)x(n)ejwnx(n)e j(w)n X(e jw)nn因此 X (ejw) X*(e jw)上式说明x(n)是实序列，X(ejw)具有共轭对称性质。X(ejw)x(n)e jwn x( n)cos wn j sin wn nn由于x(n)是偶函数，x(n)sinwn是奇函数，那么x( n)sin wn 0n因此 X(ejw)x( n) cos wnn该式说明X(ejw)是实函数，且是w的偶函数。总结以上x(n)是实、偶函数时，对应

19、的傅里叶变换X(ejw)是实、偶函数。(2)x(n)是实、奇函数。上面已推出，由于x(n)是实序列，X(ejw)具有共轭对称性质，即jw* jwX(ejw) X* (e jw)X(ejw)x(n)e jwn x( n)cos wn j sin wn nn由于X(n)是奇函数，上式中x( n)coswn是奇函数，那么x(n )cosw n 0n因此 X (ejw) j x(n)sin wn这说明X(eM)是纯虚数，且是w的奇函数。10.假设序列h( n)是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式:H R(ejw)1 cosw求序列h(n)及其傅里叶变换H (ejw)。解:H R(ejw)1 cosw

20、1 .JW e21 . jw e2FThe( n)Jwnhe (n )en12.x(n)(1)2,n 1he( n)1,n01,n 120,n01,n0h(n)he(n), n 01,n12he(n), n 00,其它n1H(ejw)Jwnnh(n )e1 e Jw 2ejw/2wcos2设系统的单位取样响应h(n)(n) 2 (n 2)，完成下面各题:求出系统输出序列y(n)；anu( n),0a1，输入序列为(2)分别求出x(n)、h(n)和y(n)的傅里叶变换。解:(1)y(n) h(n)* x(n) anu(n)*(n) 2 (nanu(n) 2an 2u(n 2)2)X(ejw)(n

21、) 2 (n 2)e jwn 1 2e j2wnH(ejw)Y(ejw)n jwn1a ejwn 01 ae1 2e j2wjwjw I 2eH(e )gX(e )w1 aenjwna u(n)e13. Xa(t) 2cos(2fot)，式中fo 100Hz，以采样频率 fs 400Hz对xa(t)进行采样，得到采样信号(t)和时域离散信号x(n)，试完成下面(1)写出Xa (t)的傅里叶变换表示式Xa(j )；(2)写出(t)和x(n)的表达式;各题:(3)Xa(j )Xa(t)ejtdt2cos( 0t)e j tdt分别求出%(t)的傅里叶变换和x(n)序列的傅里叶变换。解:(1)(ej

22、 0t e j 0t)e j tdt上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数函数，它的傅 里叶变换可以表示成:Xa(j)2 (0)( 0)(2)?a(t)Xa(t) (t nT)2cos( 0nT) (t nT)x(n)2cos( °nT),f0200 rad ,T12.5msfs(3)兄(j )1Xa(jjk s)T k2(0 k s)(0k s)T k式中 s 2 fs 800rad / sX(ejw)x( n)enjwnn2cos(0nT)e jwn2cos(w0n)e jwnnejw°nne jw°ne jwn 2(wkw0 2k ) (w w0 2

23、k )上式推导过程中，指数序列的傅里叶变换仍然不存在,只有引入奇异式中 w00T0.5 rad函数函数，才能写出它的傅里叶变换表达式。14. 求以下序列的Z变换及收敛域:(2)2 nu( n 1)；(3)nu( n)；(6)nu( n) u(n 10)解:(2)ZT2 nu(n)nn2 u(n)zn(3)ZT 2 nu( n 1)2n2z1 2znu(1)zn2nzn1ZT2 nu(n) u(n910)2 nzn 01 2 10z1 2 1z 110,016.:求出对应X(z)的各种可能的序列的表达式 解: 有两个极点，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有以下三种情况： 三种收敛域对应三种不

24、同的原序列(1)当收敛域z 0.5时,x(n)1厂j?cX(Z)zdz令 F(z) X(z)zn15z 7(z 0.5)(z 2)5 7z 1n 11 1 z(1 0.5z 1)(1 2z 1)n 0,因为c内无极点，x( n)=0 ;n 1，C内有极点0，但z=0是一个n阶极点，改为求圆外极点留数，圆外极点有乙0.5,Z2 2，那么x( n) ResF(z),0.5ResF(z),2Z(z0.5)| z 0.5Z(z2) z21 nn3巧)御u( n 1)(2)当收敛域0.5 z 2时,(5z 7)zn(z 0.5)(z 2)n 0，C内有极点0.5；1 x(n) ResF(z),0.5 3

25、右)“n 0, C内有极点0.5, 0,但0是一个n阶极点，改成求c外极点留 数，c外极点只有一个，即2,x(n) ResF(z),22g2nu( n 1)最后得到 x( n) 3c(1)n u(n) 2cgnu( n 1)(3) 当收敛域2 z时，(5z 7)zn(z 0.5)(z 2)n 0，C内有极点0.5, 2；1x(n) ResF(z),0.5ResF(z),23g()n 2c2n*0,由收敛域判断，这是一个因果序列，因此x(n)=0或者这样分析，C内有极点0.5, 2, 0,但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外无极点，所以x(n)=0 最后得到1x( n) 3g(-)n 2

26、g2nu(n)17. x(n) anu(n),0 a 1，分别求:(1) x(n)的Z变换；(2) nx(n)的 Z 变换；(3) a nu( n)的 z 变换。解：(1) X(z) ZTanu( n)nanu(n)z1aza(2) ZT nx(n)zyX(z) dz1az,AK 2 , z(1 az )(3) ZTa nu( n) a nz nanzn-, z a 1n0n 01 aZ18. x(z)3z 12 5zi 2z2，分别求:(1) 收敛域0.5 z 2对应的原序列x(n);(2) 收敛域z 2对应的原序列x(n)。解：x(n)1n2jcxzdzF(z) X(z) zn13z 1

27、n 13?zn2 5z 1 2z 22(z 0.5)(z 2)(1)当收敛域0.5 z 2时，n 0 , c内有极点0.5,x(n) ResF(z),0.50.5n2 n, n 0,c内有极点0.5,0,但0是一个n阶极点，改求c外极点留数,c外极点只有2,x(n) ResF(z),22n,最后得到x(n) 2 nu(n) 2nu( n 1)2|n(2 (当收敛域z 2时，n 0,c内有极点0.5,2,x( n) ResF(z),0.5ResF(z),20.5n0.5n2Th(z 2)z2nn 0, c内有极点0.5,2,0,但极点0是一个n阶极点，改成求c外极点留数可是C外没有极点，因此x(

28、n) 0,最后得到x(n) (0.5n 2n)u(n)25.网络的输入和单位脉冲响应分别为x(n) anu( n),h (n)bnu( n),0a 1,0 b试:(1)用卷积法求网络输出y(n)(2)用ZT法求网络输出y(n)解:(1)用卷积法求y(n)y(n)h(n)x(n)bmu(m)anmu(n m)，0,ny( n) anm 0m. mbnna am 0m. mban1n 1 n 1 a b1 a 1by(n) 0最后得到n 1 n 1y(n)(n)a bua b(2)用ZT法求y(n)X(z) 1 az11,H(z)Y(z) X(z)H(z)11 bz 2 11 az11 bz1y(

29、n)j?Y(z)zn1dzn 1z(z a)(z b)令 F(z) Y(z)zn 1n 1 zn 0,C内有极点a,bK y(n) ReSF同 ReSF(Z),b讥? a因为系统是因果系统，n 0, y(n) 0，最后得到ny(n)-n 1斗u(n)a b28.假设序列h(n)是因果序列，其傅里叶变换的实部如下式:HR(ejw)1 a2°Sw ,a 11 a 2ac°sw求序列h(n)及其傅里叶变换H (ejw) o解:HR(ejw)1 acosw21 a 2a cos w1 0.5a(ejw e jw)1 a2 a(ejw e jw)Hr(z)11 0.5a(z z )1

30、 0.5a(ejw e jw)1(1 az )(1 az)求上式IZT，得到序列 h(n)的共轭对称序列he(n)。1he(n)2-n 1 ；?cHr(z)zdZF(z)HR(z)zn120.5az z 0.5a n 1 1 z a(z a)(z a )因为h(n)是因果序列，he( n)必定是双边序列，收敛域取:n 1时，C内有极点a,he(n) ResF(z),a20.5az z 0.5a n 1 za(za)(z a 1)(z a)n=0 时,c内有极点a,0.n 1F(z) Hr(z)z0.5az20.5a1z a(z a)(z a )所以he(n) ResF(z),a ResF(z)

31、,O 1又因为he(n) he( n)所以1,n0he (n)n0.5a ,n00.5a n,n0he(n), n01,n0h(n)2he(n), n0na ,n0anu(n)0,n00,n0H(ejw)nna e0jwn11jw ae3.2教材第三章习题解答1内，序列定义为1.计算以下诸序列的N点DFT，在变换区间0 n N(2)x(n)(n)；(4)x(n)Rm(n),0m N ；(6)x(n)2cos(nm),0 m N ;N(8)x(n)sin(w°n)? Rn (n)；(10) x(n) nRz (n)。解:N 1(2) X(k)(n)WNknn 0N 1(n) 1,k0,

32、1, N 1n 0(4)X(k)N 1WNknn 0WnjNk(m 1eW,sin( mk)N ,k 0,1, ,N 1 si n( m)N(6)(8)所以1 N 1 jL(m1 e N2 n 02 j(m k) N1 1 e N12 jj(m k)2 1 e Nk)n1 N 1 jL(m1 e N2 n 0j(me N(mNk)nk)Nk),k m 且 kN0,k m 或 kNX(k)n解法1X8(k)解法2因为120 COs 尺 mn ?曲直接计算2(en 0 2.2 j mnNjLmnjLknN )e Nxs(n) sin(w°n)Rn (n)N 1x( n)W,nn 01 N

33、 1 ejw°n D2j n01 N 1 j (Wo ) nj (Wo e N e2j n 0-ejw0n2je jw°nRn (n)e jw0nD由DFT的共轭对称性求解jw° nx7 (n) e RN(n)cos(w0 n)X8(n) sin(w°n)Rz (n)j2 kn e N12jjw°Ne:2j(w0k)e Njw°Ni e: 2j (w0k)e Nj sin(w°n) Rn (n)Im x7(n)DFT jx8(n) DFT j Im X7(n)X70(k)X8(k)1jX7°(k) j1 X7(k)

34、 X7(N k)结果与解法(10)解法jw°N11 e22 J 1ej(w0 -Nk)1所得结果相同。jw0NJw0N(1 e 、11 e( 2 ) 2j(w。寸(N k)2 Ij(w。寸k)1 e N1 e N此题验证了共轭对称性。(11 ejW0N )2 )j(w0k)e NNX(k)因为所以x( n)x(n 1)n?Rn( n)N (n) Rn(n)1 knnW k 0,1, ,N 1n 0上式直接计算较难，可根据循环移位性质来求解X(k)。x( n)n Rn( n)等式两边进行DFT得到X(k) X(k)W, N N(k)X(k) N (k)11W；k 1,2, N 1当k

35、0时，可直接计算得出X( 0)N 1X (0) n WNn 0N(N 1)2这样，X( k)可写成如下形式:N(NX(k)2 k 02N , r>k 1,21wNk解法2k 0时,N 1X(k) nn 0N(N1)k 0时,WNknX(k) 0 wNT2Wk3W(k(N2)Wn(N 1)kNX(k) W,nX(k)n1WNkn1(N 1)N 1W,nn 01 (N1)X(k) 0 WN； 2W(k 3WN3k(N 1)WNN 1)k所以,(N 1)NX(k)Njk1 WnX(k),k1,2,N2.以下 X(k)，求 x(n) IDFTX(k);(1) X(k)N je , k m2Ne

36、j ,k N m；20,其它ky jej ,k2(2) X(k)号 je j ,k0,其它k解：(1)X(n) X(k) NnN 1knWn0jLmn e NNej2j2 (N m) n e Nj(2 mnNj (- mn )e Ncos(2 mnN),0,1, N(2)x(n)wNmnj Wn(n m)n2jj(Lmne Nj(dmnNsin(2mn N),0,1,3.长度为N=10的两个有限长序列X1(n)1,0 n0,5 nX2( n)1,01,5作图表示x,(n)、X2(n)和y(n)X1(n)X2(n)。解:%(n)、X2(n)禾口 y(n) X1(n)X2(n)分别如题3解图(a)

37、、(b)、(c)所示。14.两个有限长序列x(n)和y(n)的零值区间为：x(n) 0, n 0,8 n y(n) 0, n 0,20 n对每个序列作20点DFT,即X(k)DFTx(n), k0,1,L ,19Y(k)DFTy( n) ,k0,1,L ,19如果F(k)X(k)?Y(k),k0,1L ,19f( n)IDFTF(k), k0,1,L ,19试问在哪些点上f(n) x(n)* y(n)，为什么?解：如前所示，记 f(n) x(n广 y(n),而 f(n) IDFTF(k) x(n) y(n)。 fi( n)长度为27, f(n)长度为20。已推出二者的关系为f(n)fl(n 2

38、0m)?R20( n)m只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上，才满足f( n) fi( n)所以f(n)fi( n) x(n) y( n), 7 n 1915. 用微处理机对实数序列作谱分析，要求谱分辨率F 50Hz，信号最高频率为1kHZ，试确定以下各参数:(1) 最小记录时间Tpmin ；(2) 最大取样间隔Tmax ；(3) 最少采样点数Nmin ；(4) 在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的N值解：(1) F 50HZTpmin-0.02sF 50(2) Tmaxmin2fmax12 1030.5ms(3) N minTpT0.02s30.5 1040(4)频带宽度不变就意味

39、着采样间隔 T不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s实现频率分辨率提高一倍(F变为原来的1/2)“0.04s“N min800.5ms18.我们希望利用h(n)长度为N=50的FIR滤波器对一段很长的数据 序列进行滤波处理，要求采用重叠保存法通过 DFT 来实现。所谓重 叠保存法，就是对输入序列进行分段(此题设每段长度为 M=100 个 采样点)，但相邻两段必须重叠V个点，然后计算各段与h(n)的L点(此题取L=128 )循环卷积，得到输出序列ym(n), m表示第m段计 算输出。最后，从ym(n)中取出E个，使每段取出的E个采样点连接 得到滤波输出 y(n)。(1) 求 V；( 2)求 B

40、；(3)确定取出的B个采样应为ym(n)中的哪些采样点。解：为了便于表达，规定循环卷积的输出序列ym(n)的序列标号为0,1, 2,，127。先以h(n)与各段输入的线性卷积ym(n)考虑，y(n)中，第0点到 48点(共 49 个点)不正确,不能作为滤波输出,第 49点到第 99 点 (共51个点)为正确的滤波输出序列y(n)的一段，即B=51。所以， 为了去除前面 49 个不正确点,取出 51 个正确的点连续得到不间断又 无多余点的y(n),必须重叠100-5仁49个点，即V=49。下面说明，对128点的循环卷积ym(n)，上述结果也是正确的。 我们知道ym(n)ylm(n 128r )

41、? R128 ( n )r因为ym( n)长度为N+M-1=50+100-1=149所以从n=20到127区域，ym(n) ym(n)，当然，第49点到第99点二者亦相等，所以，所取出的第 51点为从第49到99点的ym(n) 综上所述，总结所得结论V=49,B=51选取ym(n)中第4999点作为滤波输出。5.2教材第五章习题解答1.设系统用下面的差分方程描述:311试画出系统的直接型、y(n) ：y(n 1) §y(n 2) x(n) -x(n 1)，级联型和并联型结构。解:y(n)3y(n 1)gy(n 2)8x(n)拖1)将上式进行Z变换丫314丫z1H(z)-丫(z)z21

42、 1z3_1寡L483X(z)z1(1)按照系统函数H(z)，根据Mass on公式，画出直接型结构如题1解图(一)所示。(2)将H(z)的分母进行因式分解1 1z11 28zH(z) 3 31笃14彳1 11 - z31)(1 z1)4按照上式可以有两种级联型结构:1孑 1 H(z) 3?_1(1 -z1)(1 z)24画出级联型结构如题1解图(二)(a)所示(b) H(z) (1(1 1z1)画出级联型结构如题1解图(二)(b)所示(3)将H (z)进行局局部式展开H(z)-(1H(z)z131 11)(z 1)11 T(z2)(z 才1 z - _3 (z 1)(z(z1)(zH(z)z

43、r(z1)10312H(z)10z31z -27z3144)731z -4103_1 1z2B_1z -4103731 1z14根据上式画出并联型结构如 题1解图(三)所示2. 设数字滤波器的差分方程为y(n) (a b)y(n 1) aby(n 2) x(n 2) (a b)x(n 1) abx(n)，试画出该滤波器的直接型、级联型和并联型结构。解: 将差分方程进行Z变换，得到(a b)X (z)z 1 abX (z)Y(z) (a b)Y(z)z 1 abY(z)z 2 X(z)z 21Y(z) ab (a b)zH (z) 1X (z)1 (a b)z abz所示。(1) 按照Massi

44、on公式直接画出直接型结构如 题2解图(一)(2) 将H(z)的分子和分母进行因式分解:(a z 1)(b z 1)H(z) (1 az1)(1bz1)按照上式可以有两种级联型结构:H1(z)z 1 a1 az 1H2(z)z 1 b1 bz 1画出级联型结构如题2解图(二)(a)所示。(b)H2(z)z 1 b1 az 1画出级联型结构如题2解图(二)(b)所示3. 设系统的系统函数为H4(1 z1)(1 1.414z1 z2)(1 0.5z 1)(10.9z 10.18z 2)，试画出各种可能的级联型结构。解：由于系统函数的分子和分母各有两个因式，可以有两种级联型结构1H(z) H1(z)

45、H2(z)4 1 z 1H1(z)1，1 0.5z1 1.414z 1 z 2出121 0.9z 10.81z 2画出级联型结构如题3解图a所示211.414z 1 z 2H1(z)1,1 0.5z 14 1 z 1H2(z)彳21 0.9z 1 0.81z 2画出级联型结构如题3解图b所示。4图中画出了四个系统，试用各子系统的单位脉冲响应分别表示各总系统的单位脉冲响应，并求其总系统函数。图d解：(d)h(n) h1(n) h?(n) ha(n) (n) h5(n)h1(n) h?(n) hjn) ha(n) hu(n) h)5(n)H(z)已出已出出H5(z)5.写出图中流图的系统函数及差分

46、方程。图d解：(d)H(z) rsin ?z1 r cos ?z 1 r cos ?z 1 r2 sin2 ?z 2r2cos2 ?z 21r sin ?z1221 2r cos ?z r z2y(n) 2rcos y(n 1) r y(n 2)rsin ?x(n 1)6.写出图中流图的系统函数。图f解:(f)2 z1?2H®1 4 31 z13z2482 1z121 1 3 2 1 z z48&FIR滤波器的单位脉冲响应为h(n) (n) (n 1) (n 4)，试用频率采样结构实现该滤波器。设采样点数N=5,要求画出频率采样 网络结构，写出滤波器参数的计算公式。解：频率采

47、样结构的公式为H(z)(1 n)1n 1 H(k) (z ) N k 01 WNkz 1式中，N=5N 14knH (k) DFTh(n)h(n)WN (n)n 0n 0kn(n 1) (n 4)Wnej|k ej| k,k0,1,2,3, 4它的频率采样结构如 题8解图所示6.2教材第六章习题解答1.设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求通带截止频率fp 6kHz ,通带 最大衰减ap 3dB，阻带截止频率fs 12kHz，阻带最小衰减3dB。求出滤波器归一化传输函数Hap以及实际的Has。解：1求阶数N%ig sp100.1ap1o0.311O°.1as1 1/102.51s21210

48、3spp261030.05622ksp将ksp和sp值代入N的计算公式得N匹0562 4.15lg2所以取N=5 实际应用中，根据具体要求，也可能取N=4,指标稍微差一点，但阶数低一阶，使系统实现电路得到简化。2求归一化系统函数Hap，由阶数N=5直接查表得到5阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统函数 HaP为Ha(p)1p53.2361p45.2361 p35.2361p23.2361 p 1Ha(p)12 2(p 0.618p1)(p1.618p1)(p1)当然，也可以按6.12式计算出极点：j箱Pk e 2 2N ,k 0,1,2,3,4按6.11式写出HaP表达式Ha(P)C (p Pk)k 0代入Pk值并进行分母展开得到与查表相同的结果。(3)去归一化(即L