第六章 无限脉冲响应数字滤波器的设计

1、2 (脉冲响应不变法、双线性变换法脉冲响应不变法、双线性变换法) 34 5)()()(jjjeeHeH () 反映各频率成分通过滤波器后在时间上反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况的延时情况 )(jeH6n理想滤波器是理想滤波器是非因果非因果的，物理上的，物理上不可实不可实现现。n为了物理上可实现，在通带与阻带之间为了物理上可实现，在通带与阻带之间应设置一定宽度的应设置一定宽度的过渡带过渡带，并且在通带，并且在通带和阻带都允许一定的和阻带都允许一定的误差容限误差容限，即通带，即通带不一定是完全水平的，阻带不一定都绝不一定是完全水平的，阻带不一定都绝对衰减到零。对衰减到零。 7n通带通带

2、n阻带阻带 0p1(1)()1jH es2()jH e8n通带内允许的最大衰减通带内允许的最大衰减n阻带内允许的最小衰减阻带内允许的最小衰减 n3dB通带截止频率通带截止频率 当幅度下降到当幅度下降到 时，即时，即 下降为下降为0.707, ，对应的频率，对应的频率 dBeHeHgapjjp)()(2010dBeHeHgasjjs)()(2010dBeHgapjp)(201dBeHgasjs)(2012/2()jH e3adBc归一化归一化9n数字滤波器的设计问题就是寻找一组系数字滤波器的设计问题就是寻找一组系数数ai和和bi，使得其性能在某种意义上，使得其性能在某种意义上逼近逼近所要求的特性

3、。所要求的特性。n数字滤波器的数字滤波器的设计步骤设计步骤:n给出所需要的滤波器的技术指标；给出所需要的滤波器的技术指标； n设计一个设计一个H(z)使其逼近所需要的技术指标；使其逼近所需要的技术指标； n用数字硬件或在计算机上编写算法实现所设用数字硬件或在计算机上编写算法实现所设计的计的H(z)。 10n先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成满足先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成满足给定指标的数字滤波器。给定指标的数字滤波器。n很方便很方便，这是因为模拟滤波器的设计方法已经很，这是因为模拟滤波器的设计方法已经很成熟，它不仅有完整的设计公式，还有完善的图成熟，它不仅有完整的设计公式，还有完

4、善的图表供查阅。表供查阅。n设计步骤设计步骤 n将给定的数字滤波器的技术指标转换为模拟滤波器的技将给定的数字滤波器的技术指标转换为模拟滤波器的技术指标；术指标；n根据转换后的技术指标设计模拟原型滤波器；根据转换后的技术指标设计模拟原型滤波器；n按照一定规则将模拟滤波器转换为数字滤波器。按照一定规则将模拟滤波器转换为数字滤波器。 11n直接在频域或者时域中进行设计直接在频域或者时域中进行设计n这是一种最优化设计法。这是一种最优化设计法。n由于要解联立方程，因此需要计算机辅由于要解联立方程，因此需要计算机辅助进行设计。助进行设计。 12n模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计 n脉冲响应不变法脉冲响应不

5、变法 n双线性变换法双线性变换法 n数字高通、带通和带阻滤波器的设计方法数字高通、带通和带阻滤波器的设计方法13n常用的模拟滤波器常用的模拟滤波器n巴特沃斯巴特沃斯（ButterworthButterworth）滤波器）滤波器 具有单调下降的幅频特性具有单调下降的幅频特性 n切比雪夫切比雪夫（ChebyshewChebyshew）滤波器）滤波器 幅频特性在通带或者阻带内有波动，幅频特性在通带或者阻带内有波动，可以提高选择性；可以提高选择性； n椭圆椭圆（EllipseEllipse）滤波器）滤波器 在通带和阻带内都有纹波在通带和阻带内都有纹波 n贝塞尔贝塞尔（BesselBessel）滤波器等

6、）滤波器等 通带内有较好的线性相位特性通带内有较好的线性相位特性 14巴特沃斯型滤波器幅度特性巴特沃斯型滤波器幅度特性15切比雪夫型滤波器幅度特性切比雪夫型滤波器幅度特性16椭圆滤波器幅度特性椭圆滤波器幅度特性17贝塞尔滤波器幅度特性贝塞尔滤波器幅度特性1819n幅度平方函数幅度平方函数n模拟低通滤波器的设计指标模拟低通滤波器的设计指标n通带截止频率通带截止频率n通带最大衰减通带最大衰减 n阻带截止频率阻带截止频率n阻带最小衰减阻带最小衰减 2*()( )()()()aaaaasjHjHs HsHjHj psps20n由给定的由给定的 、 、 和和 求出求出n由由 得到滤波器的系统函数得到滤波

7、器的系统函数 Ha(s)的极点（或零点）与的极点（或零点）与Ha(-s)的极点的极点（或零点）具有（或零点）具有象限对称性象限对称性。为了保证设计的。为了保证设计的滤波器稳定，将滤波器稳定，将|Ha(s)|2的的左半平面左半平面的极点赋的极点赋给给Ha(s)。ppss2)( jHa2)( jHa)(sHa21n巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数为：巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数为：nN为滤波器阶数为滤波器阶数nc为为3dB截止频率截止频率221()1()aNcHj 22巴特沃斯低通滤波器幅度特性与阶数关系 23n幅度特性随着幅度特性随着增加增加单调下降单调下降，下降的，下降的速度与阶数速度与阶

8、数N有关。有关。n随着随着N增大，幅度下降的速度越快，过渡增大，幅度下降的速度越快，过渡带越窄，在通带内更接近于带越窄，在通带内更接近于1，在阻带内，在阻带内迅速接近于零，因而幅度特性更接近于迅速接近于零，因而幅度特性更接近于理想的矩形频率特性。理想的矩形频率特性。n不管不管N的取值是多少，都经过的取值是多少，都经过 点。点。 1224n幅度平方函数有幅度平方函数有2N个极点个极点n这这2N个极点等间隔分布在半径为个极点等间隔分布在半径为c的圆上的圆上（该圆称为巴特沃斯圆），间隔是（该圆称为巴特沃斯圆），间隔是 /Nrad。n这些极点以虚轴为对称轴，而且不会落在虚这些极点以虚轴为对称轴，而且不

9、会落在虚轴上。轴上。n当当N是奇数时，实轴上有两个极点；是奇数时，实轴上有两个极点；n当当N是偶数时，实轴没有极点。是偶数时，实轴没有极点。 21( )()1()aaNcHs Hss j12122 0,1,2,21kjNkcsekN 返回返回25三阶巴特沃斯滤波器极点分布图26n为了保证所设计的滤波器是稳定的，将为了保证所设计的滤波器是稳定的，将s平面左半平面的平面左半平面的N个极点分配给个极点分配给Ha(s)，而将右半平面的而将右半平面的N个极点分配给个极点分配给Ha(-s) 10( )NcNkkaSSHs（）27n将所有的频率对将所有的频率对c归一化，归一化频率归一化，归一化频率 ：n归一

10、化的幅度平方函数为：归一化的幅度平方函数为： c 221()1aNHj28n由给定的设计指标由给定的设计指标p、 p 、 s和和s确定巴确定巴特沃斯滤波器的阶数特沃斯滤波器的阶数N和频率和频率c 。102110pNp102110sNs1010101lglg101psspN 1102(101)pNcp 1102(101)sNcs )1lg(10)(lg102NajjH返回返回29n求滤波器的极点，并由求滤波器的极点，并由s平面左半平面的平面左半平面的极点构成极点构成Ha(s)。n幅度平方函数极点为：幅度平方函数极点为： n将将s平面左半平面的平面左半平面的N个极点分配给个极点分配给Ha(s) 1

11、 2122 0,1,2,21kjNkcsekN10( )NcNkkaS SHs（）下页下页举例举例30 例例 6-1 导出三阶巴特沃思模拟低通滤波器的系统函数，导出三阶巴特沃思模拟低通滤波器的系统函数， 设设c2 rad/s。 解解 幅度平方函数是幅度平方函数是 62)2/(11| )(|jH令令2=-s2即即s=j，则有，则有 )2/(11)()(66ssHsHaa各极点满足式（各极点满足式（5-10） 612212kjkesk=1, 2, , 6 31 而按要求，前面三个而按要求，前面三个sk（k=1, 2, 3）就是）就是Ha(s)的极点。的极点。 所所给给出的六个出的六个sk为为: 3

12、122231231222312316053543432321jesesjesjesesjesjjjjjj由由s1, s2, s3三个极点构三个极点构成的系统函数为成的系统函数为 8848)()()(233213csssssssssHca32 例例 6-2 设计一个满足下面要求的模拟低通巴特沃思滤波器：设计一个满足下面要求的模拟低通巴特沃思滤波器： (1) 通带截止频率：通带截止频率：p=0.2；通带最大衰减：；通带最大衰减：ap=7 dB。 (2) 阻带截止频率：阻带截止频率：s=0.3；阻带最小衰减：；阻带最小衰减：as=16dB。 解解 379. 2)3 . 0/2 . 0lg(2)110

13、/() 110lg(6 . 17 . 0N为了准确在为了准确在p满足指标要求，可满足指标要求，可式子式子得得 4985. 01102 . 067 . 0cQ33为了准确在为了准确在S满足指标要求，可得满足指标要求，可得5122. 01103 . 066 . 1cQ 现在在上面两个数之间可任选现在在上面两个数之间可任选c值。现选值。现选c=0.5，这样就必，这样就必须设计一个须设计一个N=3和和c=0.5 的巴特沃思滤波器，模拟滤波器的巴特沃思滤波器，模拟滤波器Ha(s)的设计的设计类似于上例类似于上例6-1；也可以查表（；也可以查表（P157）（）（p=s/c ）最后）最后可得可得 )25.

14、05 . 0)(5 . 0(125. 0)(2ssssHa34n切比雪夫滤波器的幅频特性具有等波纹切比雪夫滤波器的幅频特性具有等波纹特性特性 n在通带内是等波纹的，在阻带内是单调的，在通带内是等波纹的，在阻带内是单调的，称为切比雪夫称为切比雪夫型滤波器；型滤波器； n在通带内是单调的，在阻带内是等波纹的，在通带内是单调的，在阻带内是等波纹的，称为切比雪夫称为切比雪夫型滤波器。型滤波器。 35 N 为切比雪夫多项式的阶数为切比雪夫多项式的阶数 n切比雪夫多项式的递推公式切比雪夫多项式的递推公式11cos(cos)1( )()1NNxxCxch Nch xx11( )2( )( )NNNCxxCx

15、Cx36n切比雪夫多项式的零点在切比雪夫多项式的零点在 区间内；区间内；n当当 时，曲线具有等纹波特性；时，曲线具有等纹波特性；n当当 时，曲线按双曲余弦函数单调上升。时，曲线按双曲余弦函数单调上升。 1x 1x 1x 37n是小于是小于1的正数，称为纹波参数，是表的正数，称为纹波参数，是表示通带内纹波大小的一个参数，示通带内纹波大小的一个参数， 愈大，愈大，纹波也愈大。纹波也愈大。np称为有效通带截止频率。称为有效通带截止频率。n频率通常对频率通常对p归一化，归一化， 2221()1()aNpHjCp 38去去4139n在通带内，在在通带内，在1和和 之间起伏变化；在之间起伏变化；在阻带内是

16、单调下降的；阻带内是单调下降的； n当当N为奇数时，滤波器在为奇数时，滤波器在 处的幅度处的幅度响应为响应为1；当；当N为偶数时，滤波器在为偶数时，滤波器在 处的幅度响应为处的幅度响应为 。n当当 时，时， 2110 0 211p 21()1aHj 40n设允许的通带纹波为设允许的通带纹波为，那么，那么 22max2min()10lg10lg(1)()aaHjHj210101412221()1()assNpHjC1211()()1()ssNppasCch NchHj12111()()asspchHjNch42其中其中iiisj 21sin221cos2ipipishNichN 111( )sh

17、N43n2N个等角度间隔（间隔为个等角度间隔（间隔为 /N）分布在）分布在 为长半轴，为长半轴， 为短半轴的椭圆为短半轴的椭圆 上的点。上的点。 schssh2222221iiccshch44n系数系数A由由s=0时滤波器幅度响应的值确定时滤波器幅度响应的值确定:n当当N为奇数时，为奇数时，n当当N为偶数时，为偶数时， 1( )()aNiiAHsss(0)1aH21(0)1aH45n由给定的设计指标确定切比雪夫滤波器由给定的设计指标确定切比雪夫滤波器的参数的参数、N和和p21010112111()()asspchHjNch46n求滤波器的极点，并由求滤波器的极点，并由s s平面左半平面的平面左

18、半平面的极点构成极点构成Ha(sHa(s) )。2121sincos22kppiisshjchNN 1( )()aNiiAHsss47n从模拟滤波器设计从模拟滤波器设计IIR数字滤波器就是按数字滤波器就是按照一定的转换关系将照一定的转换关系将s平面上的平面上的Ha(s)转转换成换成z平面上的平面上的H(z)。脉冲响应不变法脉冲响应不变法双线性变换法双线性变换法48n使数字滤波器的单位取样响应使数字滤波器的单位取样响应h(n)与相与相应的模拟滤波器的单位脉冲响应应的模拟滤波器的单位脉冲响应ha(t)的的取样值完全一样取样值完全一样 ( )()ah nh nT49( )aHs( )ah t( )h

19、 n( )H z1( )NkakkAHsss1( )( )kNs takkh tA e u t1( )()( )kNs nTakkh nh nTA eu n0111( )( ) 1kkNs nTnnknnkNks TkH zh n zA ezAez( )()ah nh nT50STeZ TjTSTjTSTeeejZjeZeZZ)(TeZTS Z 稳定稳定左半左半平面平面单位园单位园内内虚轴虚轴单位园单位园5112( )sTaz ekH zHsjkTTs平面上每一条宽为平面上每一条宽为2 /T的横的横带重复地映射到整个带重复地映射到整个z平面平面上上每一横条的左半部分映射每一横条的左半部分映射到

20、到z平面的单位圆以内平面的单位圆以内右半部分映射到右半部分映射到z平面平面的单位圆以外的单位圆以外 s平面的虚轴映射到平面的虚轴映射到z平面的单位圆上平面的单位圆上 虚轴上每一段长为的线虚轴上每一段长为的线段段2 /T都映射到都映射到z平平面单位圆上一周。面单位圆上一周。52n例例6.3 设模拟滤波器的系统函数为设模拟滤波器的系统函数为 试利用脉冲响应不变法求数字滤波器的试利用脉冲响应不变法求数字滤波器的系统函数。系统函数。解解22( )43aHsss2211( )4313aHsssss1(1)ks Tezkss131( )11TTTTH zezez将将Ha(s)展开成部分分式得展开成部分分式

21、得用用 代换代换 得到得到53取取T=1，得到，得到1120.3181( )1 0.41770.01831zH zzz20.3181()1 0.41770.01831jjjjeH eee数字滤波器的频率响应为数字滤波器的频率响应为54 优缺点优缺点 从以上讨论可以看出，脉冲响应不变法使得数字滤波器的从以上讨论可以看出，脉冲响应不变法使得数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，也就是时单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，也就是时域逼近良好，而且模拟频率域逼近良好，而且模拟频率和数字频率和数字频率之间呈线性关系之间呈线性关系=T。 因而，一个线性相位的模拟滤波器（例如贝

22、塞尔滤波因而，一个线性相位的模拟滤波器（例如贝塞尔滤波器）通过脉冲响应不变法得到的仍然是一个线性相位的数器）通过脉冲响应不变法得到的仍然是一个线性相位的数字滤字滤波器。波器。 55 脉冲响应不变法的最大缺点是有频率响应的混叠效应。脉冲响应不变法的最大缺点是有频率响应的混叠效应。 所以，所以， 脉冲响应不变法只适用于限带的模拟滤波器脉冲响应不变法只适用于限带的模拟滤波器(例如，例如， 衰减特性很衰减特性很好的低通或带通滤波器好的低通或带通滤波器)，而且高频衰减越快，混叠效应越小。，而且高频衰减越快，混叠效应越小。 至于高通和带阻滤波器，由于它们在高频部分不衰减，至于高通和带阻滤波器，由于它们在高

23、频部分不衰减， 因此将完因此将完全混淆在低频响应中。如果要对高通和带阻滤波器采用脉冲响应全混淆在低频响应中。如果要对高通和带阻滤波器采用脉冲响应不变法，不变法， 就必须先对高通和带阻滤波器加一保护滤波器，滤掉高就必须先对高通和带阻滤波器加一保护滤波器，滤掉高于折叠频率以上的频率，然后再使用脉冲响应不变法转换为数字于折叠频率以上的频率，然后再使用脉冲响应不变法转换为数字滤波器。滤波器。数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。由由P44可见可见fTT22/sff 混叠混叠56STeZ 混叠原因混叠原因57n采用非线性频率压缩方法将整个

24、采用非线性频率压缩方法将整个s平面压缩平面压缩变换到变换到s1平面平面/T之间的一条横带里之间的一条横带里; 然后再用然后再用 将此横带变换到整个将此横带变换到整个z平面上平面上 去，这样就使去，这样就使s平面到平面到z平面是一一映射的关平面是一一映射的关系，从系，从而消除了频谱混叠现象。而消除了频谱混叠现象。STez 58TT1即即:o2tan2T59TSTSeeTTSTS1111221tan21121tan2TT 112 11zsTz22sTzsT双线性变双线性变换的映射换的映射关系关系 S60nz平面的平面的与与s平面的平面的之间呈非线性关系。之间呈非线性关系。 21tan2T n这种非

25、线性关系导致双线性变换法的频率标度的这种非线性关系导致双线性变换法的频率标度的 非线性失真，直接影响数字滤波器频响逼真地模非线性失真，直接影响数字滤波器频响逼真地模 仿模拟滤波器的频响。仿模拟滤波器的频响。 61n例例6.4 6.4 已知模拟滤波器的传输函数为已知模拟滤波器的传输函数为 采用双线性变换法将其转换为数字滤波采用双线性变换法将其转换为数字滤波器的系统函数，设器的系统函数，设T=2sT=2s21( )231aHsss11212,2111111 2121 221 211( )( ) 1123111(1)12 2(1)3(1)(1)62zasTTzH zHszzzzzzzzzzz解解 将

26、式将式(6.38)代入代入Ha(s)可得可得62 优缺点优缺点 双线性变换法与脉冲响应不变法相比，其主要的优点是避双线性变换法与脉冲响应不变法相比，其主要的优点是避免了频率响应的混叠现象。这是因为免了频率响应的混叠现象。这是因为S平面与平面与Z平面是单值的一平面是单值的一一对应关系。一对应关系。S平面整个平面整个j轴单值地对应于轴单值地对应于Z平面单位圆一周，平面单位圆一周， 即频即频率轴是单值变换关系。这个关系如式（率轴是单值变换关系。这个关系如式（5-45）所示，重写）所示，重写如下：如下： 2tan2T上式表明，上式表明，S平面上平面上与与Z平面的平面的成非线性的正切关系，如图成非线性的

27、正切关系，如图6-13所示所示。 63 由图由图6-13看出，在零频率附近，模拟角频率看出，在零频率附近，模拟角频率与数字频率与数字频率之间的变换关系接近于线性关系；但当之间的变换关系接近于线性关系；但当进一步增加时，进一步增加时，增长增长得越来越慢，最后当得越来越慢，最后当时，时，终止在折叠频率终止在折叠频率=处，因而双处，因而双线性变换就不会线性变换就不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象，分去的现象， 从而消除了频率混叠现象。从而消除了频率混叠现象。 64图图6-13 双线性变换法的频率变换关系双线性变换法的频率变换关系 o2t

28、an2T65 需要特别强调的是，若模拟滤波器需要特别强调的是，若模拟滤波器Ha(s)为低通滤波器，应为低通滤波器，应用用变换得到的数字滤波器变换得到的数字滤波器H(z)也是低通滤波器；也是低通滤波器； 若若Ha(s)为高通滤波器，应用为高通滤波器，应用 变换得到的数字滤波器变换得到的数字滤波器H(z)也是高通滤波器也是高通滤波器; 若为带通、带阻滤波器也是如此。若为带通、带阻滤波器也是如此。 11112zzTs11112zzTs 在在IIR数字滤波器的设计中，当强调模仿滤波器的瞬态响应数字滤波器的设计中，当强调模仿滤波器的瞬态响应时，采用脉冲响应不变法较好时，采用脉冲响应不变法较好; 而在其余

29、情况下，大多采用双线而在其余情况下，大多采用双线性变换法。性变换法。66 例例 6-5 设计一个一阶数字低通滤波器，设计一个一阶数字低通滤波器，3 dB截止截止频率为频率为c=0.25，将双线性变换应用于模拟巴特沃思滤波器。，将双线性变换应用于模拟巴特沃思滤波器。 )/(11)(cassH 解解 数字低通滤波器的截止频率为数字低通滤波器的截止频率为c=0.25，相应的巴特，相应的巴特沃沃思模拟滤波器的思模拟滤波器的 3 dB截止频率是截止频率是c，就有，就有 TTTcc828. 0225. 0tan22tan2模拟滤波器的系统函数为模拟滤波器的系统函数为 )828. 0/(11)/(11)(s

30、TssHca67将双线性变换应用于模拟滤波器，有将双线性变换应用于模拟滤波器，有 11111124159. 0112920. 0)1/()1)(828. 0/2(11)()(11zzzzsHzHzzTsa由上题可知，由上题可知，T不参与设计，即双线性变换法中用不参与设计，即双线性变换法中用 设计与用设计与用 设计得到的结设计得到的结果一致。果一致。 ,1111zzs2tan2tan2,11211TzzTs68 例例6-6 用双线性变换法设计一个三阶巴特沃思数字低通滤波用双线性变换法设计一个三阶巴特沃思数字低通滤波器，采样频率为器，采样频率为fs=4 kHz（即采样周期为（即采样周期为T=250

31、 s），其），其3dB截止频率为截止频率为fc=1 kHz。 三阶模拟巴特沃思滤波器为三阶模拟巴特沃思滤波器为 32)/()/(2)/(211)(cccassssH 解解 首先，确定数字域截止频率首先，确定数字域截止频率c=2fcT=0.5。 第二步，根据频率的非线性关系式（第二步，根据频率的非线性关系式（6-46），确定预畸变），确定预畸变的模拟滤波器的截止频的模拟滤波器的截止频率率 TTTcc225 . 0tan22tan269第三步，将第三步，将c代入三阶模拟巴特沃思滤波器代入三阶模拟巴特沃思滤波器Ha(s)，得，得 32)2/()2/(2)2/(211)(sTsTsTsHa最后，将双线

32、性变换关系代入就得到数字滤波器的系统函数最后，将双线性变换关系代入就得到数字滤波器的系统函数 2321311211111123331211111211211)()(11zzzzzzzzzzsHzHzzTsa70 应该注意，这里所采用的模拟滤波器应该注意，这里所采用的模拟滤波器Ha(s)并不是数字滤波并不是数字滤波器所要模仿的截止频率器所要模仿的截止频率fc=1 kHz的实际滤波器，它只是一个的实际滤波器，它只是一个“样样本本”函数，是由低通模拟滤波器到数字滤波器的变换中的一个函数，是由低通模拟滤波器到数字滤波器的变换中的一个中间变换阶段。中间变换阶段。 图图6-16给出了采用双线性变换法得到的

33、三阶巴特沃思数字给出了采用双线性变换法得到的三阶巴特沃思数字低通滤波器的幅频特性。由图可看出，由于频率的非线性变换低通滤波器的幅频特性。由图可看出，由于频率的非线性变换， 使截止区的衰减越来越快。最后在折叠频率处形成一个三阶使截止区的衰减越来越快。最后在折叠频率处形成一个三阶传输零点。这个三阶零点正是模拟滤波器在传输零点。这个三阶零点正是模拟滤波器在c=处的三阶传处的三阶传输零点通过映射形成的。输零点通过映射形成的。 71图图 6-16 用双线性变换法设计得到的三阶巴特沃思数字低通滤波器的频响用双线性变换法设计得到的三阶巴特沃思数字低通滤波器的频响 1.00.500.5)(ejH01.02.0

34、f / kHz72n数字高通、带通和带阻滤波器的设计方法数字高通、带通和带阻滤波器的设计方法 模拟原模拟原型低通型低通滤波器滤波器模拟（高模拟（高通、带通通、带通或带阻）或带阻）滤波器滤波器数字（高数字（高通、带通通、带通或带阻）或带阻）滤波器滤波器频率频率变换变换脉冲响应不变法脉冲响应不变法双线性变换法双线性变换法模拟原模拟原型低通型低通滤波器滤波器数字数字低通低通滤波器滤波器数字（高数字（高通、带通通、带通或带阻）或带阻）滤波器滤波器脉冲响应不变法脉冲响应不变法双线性变换法双线性变换法频率频率变换变换To P8273设设为低通滤波器归一化频率，为低通滤波器归一化频率， p=j， 为高通滤波

35、器归一化频率为高通滤波器归一化频率 ，q=j，74n模拟低通到模拟高通的频率变换关系模拟低通到模拟高通的频率变换关系 ：n模拟低通到模拟高通的系统函数映射关系为：模拟低通到模拟高通的系统函数映射关系为：n模拟高通滤波器的转移函数为模拟高通滤波器的转移函数为 ： 11()()H jG j( )( )ppsH sG p75nsl：下阻带上限频率下阻带上限频率n1：通带下限通带下限n3：通带上限通带上限nsh：上阻带下限频率上阻带下限频率nB= 3- 1 :带通滤波器的带宽，并以此带通滤波器的带宽，并以此作为参考频率对轴作为参考频率对轴作归一化处理作归一化处理 76n通带中心频率通带中心频率 n归一

36、化中心频率归一化中心频率 213 21377n和和的对应关系：的对应关系： 78222222qpq222spsBqs Bn模拟带通滤波器的系统函数为模拟带通滤波器的系统函数为 ： 222( )( )spsBH sG p79n1：通带下限通带下限n3：通带上限通带上限nsl：阻带下限阻带下限nsh：阻带上限阻带上限n B= 3- 1 : 阻带带宽，并以此作为参考阻带带宽，并以此作为参考频率对轴频率对轴作归一化处理作归一化处理 80n通带中心频率通带中心频率 213 归一化中心频率归一化中心频率21381n和和的对应关系：的对应关系： 82n模拟带阻滤波器的系统函数为模拟带阻滤波器的系统函数为:

37、222222sBps222( )( )sBpsH sG p83n由模拟低通原型滤波器设计数字带通、由模拟低通原型滤波器设计数字带通、高通和带阻滤波器的设计步骤：高通和带阻滤波器的设计步骤：n将所需类型数字滤波器的技术指标转换成模将所需类型数字滤波器的技术指标转换成模拟滤波器的技术指标。拟滤波器的技术指标。n利用频率变换关系将模拟滤波器的技术指标利用频率变换关系将模拟滤波器的技术指标转换为模拟低通滤波器的技术指标。转换为模拟低通滤波器的技术指标。n设计模拟低通滤波器。设计模拟低通滤波器。n将模拟低通滤波器通过频率变换法，转换成将模拟低通滤波器通过频率变换法，转换成所需类型的模拟滤波器。所需类型的

38、模拟滤波器。n采用双线性变换法，将所需类型的模拟滤波采用双线性变换法，将所需类型的模拟滤波器转换成所需类型的数字滤波器。器转换成所需类型的数字滤波器。 84n例例6.7 设计一个数字高通滤波器，要求设计一个数字高通滤波器，要求通带下限频率通带下限频率 ，阻带上限频率，阻带上限频率为为 ，通带衰减不大于，通带衰减不大于3dB，阻带，阻带衰减不小于衰减不小于15dB。n解解 数字高通滤波器的技术指标为数字高通滤波器的技术指标为模拟高通滤波器的技术指标，取模拟高通滤波器的技术指标，取T=10.8p0.44s0.8 ,30.44 ,15ppssdBdB 12tan6.155/212tan1.655/2

39、ppssrad srad s 85对对 p归一化，归一化，模拟低通滤波器的技术指标模拟低通滤波器的技术指标设计归一化模拟低通滤波器设计归一化模拟低通滤波器1,0.269spsp11,3.71pss1010101lglg1.31101psspN 86取取N=2，归一化模拟低通滤波器为，归一化模拟低通滤波器为去归一化，去归一化，将模拟低通转换成模拟高通将模拟低通转换成模拟高通21( )21G ppp222( )2pppG sss2222( )21pppsH sss87用双线性变换法将模拟高通转换成数字高通用双线性变换法将模拟高通转换成数字高通111 2121210.0653(1)( )( )|1

40、1.1990.349azszzH zHszz88n频率最小均方误差设计频率最小均方误差设计 n时域直接设计时域直接设计 89 理想滤波器的频率响应：理想滤波器的频率响应：Hd(ej) 设计的滤波器的频率响应：设计的滤波器的频率响应： H(ej) 21|()|()|iiNjwjwdiEH eHe 频率最小均方误差设计方法就是寻找滤波器频率最小均方误差设计方法就是寻找滤波器的频率响应的频率响应H(ej)，使，使 最小最小90n设滤波器的频率响应为：设滤波器的频率响应为：2211()()1jjNjjiijjiiiaebeH eAAG eced e11112,TNNNNa b c d aabcd (

41、,)EEA 那么那么 共有（共有（4N+1）个待定系数）个待定系数设设91n取取E对每一个参数的偏导数，并令这些导对每一个参数的偏导数，并令这些导数为零，得到数为零，得到4N+1个方程个方程( , )0EAA ( ,)0 0,1,4nEAnN To p8992121(, )()(, )iiiNjjddefigNjiG eHeAAG e 212(, )(, ) Re1iijiijjinkikizeG ezG eba zb z 212(, )(, ) Re1iijiijjinkikizeG ezG ecc zd z 212(, )(, ) Re1iijiijjinkikizeG ezG edc z

42、d z 112(, )(, ) Re1iijiijjinkikizeG ezG eaa zb z 93n在设计过程中，对系数函数零极点位置未给任在设计过程中，对系数函数零极点位置未给任何约束，零极点可能在单位圆内，也可能在单何约束，零极点可能在单位圆内，也可能在单位圆外。位圆外。n由于系统函数是一个有理函数，零极点均以共轭由于系统函数是一个有理函数，零极点均以共轭成对的形式存在。成对的形式存在。n如果极点在单位圆外，那么滤波器不是因果稳定如果极点在单位圆外，那么滤波器不是因果稳定的，因此需要对这些单位圆外的极点进行修正。的，因此需要对这些单位圆外的极点进行修正。94n如果将极点如果将极点z1和它的共轭极点和它的共轭极点 均以其倒数均以其倒数 和和 代替后，代替后， 幅度特性的形状不变化，幅度特性的形状不变化，仅是幅度的增益变化了仅是幅度的增益变化了 。*1z11z1*1z21z11z设设z1为极点为极点n极点位置重新分配后，滤波器就变成因果稳定的。极点位置重新分配后，滤波器就变成因果稳定的。 11211111zezezzezejjjj95n设