函数的周期性和对称性(解析版)——王彦文

1、专题二：函数的周期性和对称性【高考地位】函数的周期性和对称性是函数的两个基本性质。在高中数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研 究对称性(中心对称、轴对称)，并且在高考中也经常考查函数的对称性和周期性，以及它们之间的联系。因此，我 们应该掌握一些简单常见的几类函数的周期性与对称性的基本方法。【方法点评】、函数的周期性求法使用情景:几类特殊函数类型解题模板:第一步合理利用已知函数关系并进行适当地变形;第二步准确求出函数的周期性;第三步运用函数的周期性求解实际问题1例 1 (1)f(f(5)函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x 2)1,f(x)A.5试题分析:由题意得，/(V) =

2、 /(y+4);则*5)=!)="那么f=/(9=1) = A =：综合选 D.考点：函数的周期性.(2)已知f x在R上是奇函数，且满足 f x0,5 时,f 2016()A、-12、-16、-20试题分析：因为10的周期为10,因此f 2016 f16 412 ,故选A.考点：1、函数的奇偶性;2、函数的解析式及单调性.对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利【点评】(1)函数的周期性反映 了函数在整个 定义域上的性质.用函数周期性求值.(2)求函数周期的方法【变式演练1】已知定义在 R上的函数f(x)满足f ( x)f(x), f (3 x) f (x),则 f(201

3、9)()A.3 B . 0 C , 1 D , 3试题分析；"3幻=/(力=一力，所以-x) =f(3 -x) = /(-x)F= 6 ,因此/(2015) = /(3) = /(0)=0;选 B,考点：田数周期性J质f x 0,x0,2 时，f x 3x 1,则 f 2015 的值为(【变式演练2】定义在R上的函数f x满足f x 2【答案】A试题分析：由已知可得f (x 4) f(x 2) f (x)f x的周期T 4f 2015f(3)f (1)2,故选A.考点：函数的周期性【变式演练3】定义在R上的偶函数y f(x)满足f (x 2)f (x),且在x一 32,0上为增函数，

4、a f (1),b f(2), cf (log1 8),则下列不等式成立的是(2A. a b c B . b c ab a c D .cab【答案】B试题分析：因为定义在 R上的偶函数yf (x)在x 2,0上为增函数，所以在x 0,2上单调递减，又一71- 13 一 .f(x 4) f (x),所以 b f (7) f 1 ,c f (log 1 8) f 3 f1,又 113,所以 bca 22222,考点：1 .偶函数的性质；2.函数的周期性.二、函数的对称性问题使用情景：几类特殊函数类型解题模板：记住常见的几种对称结论：第一类 函数f(x)满足f(x a) f (b x)时，函数y f

5、(x)的图像关于直线x b对称；2第二类 函数f(x)满足f(x a) f (b x) c时，函数y f(x)的图像关于点("b")对称；22ba第三类 函数y f (x a)的图像与函数y f (b x)的图像关于直线x a对称.2例2 .(从对称性思考) 已知定义在 R上的函数 ”刈满足£( x) f(x), f (3 x) f (x),则f (2019)()A.3 B . 0 C . 1 D . 3试题 分析：代力=二/<3 的=/也3),且/=0 j又/3 -X)= ,3 ,=由此可得了(#-3)二 -(工一6),二/00 二 /(工一6),二_/0

6、0是,周期为6的%数,/(2019)= /(6x336 + 3), a/(2019) =/(5) =/(O) = 0 ,故选瓦考点：国刿的奇偶性，周期性，对称性是对函数的基本性质的考察. 2【易错点晴】函数 f(x)满足f(-x) -f(x)，则函数关于(0,0)中心对称，f(3 x) f(x)，则函数关于X W轴对称， 3常用结论：若在 R上的函数f(x)满足f(a x) f(a x), f(b x) f (b x),则函数f(x)以41a b|为周期. ,-2八 _本题中，利用此结论可得周期为40-6,进而f (2019)f(3), f (3)需要回到本题利用题干条件赋值即可.3例3已知定

7、义在R上的函数f x的图象关于点3 0对称，且满足f x f x 3 ,又4,2f11,f 02,贝Uf 1f 2 f 3.f 2008()A.669 B . 670 C . 2008D. 1【答案】D3试题分析：由fx fx3得fx fx3,又f 11,f 02,2 .3f( 1) f( 1 3) f (2) , f (0) f(3), f x的图象关于点一,0对称，所以41 13一 一 一f 1 f( -)f( - -)f (1), f(1) f(2)f(3) 0,由 fx fx 3可得2 2 2f 1 f 2 f 3 . f 2008669 (f 1 f 2 f 3) f(1) f (1

8、) f( 1) 1,故选 D.考点：函数的周期性；函数的对称性.2 ,1例4已知函数g(x) a x (- x e, e为自然对数的底数) 与h(x) 21nx的图像上存在关于 x轴对称的点，则 e实数a的取值范围是()12122A 1, 2 2B. 1,e2 2C. 2 2,e 2D. e2 2,)ee【答案】B试题分析：由已知j得到方程任-即f = 工-1在p上有解，谖.。9二21皿工-F e求导得2工=丝二型9,因为所以力=0在工=1有唯一的极值点F因为 XXe，d) = -2二 =河虹上二/=-1且/卜八3我取呈一口 = 2也工一X2在上&SS&有解等价于2-/VFV7

9、 所以实数日的取直向噩L -斗 故选民考点：利用导数研究函数的极值；方程的有解问题x) f(34x),且满足f(4)23【变式演练4】定义在R上的奇函数f(x),对于 x R,都有f (34f (2) m3,则实数m的取值范围是.m,33试题分析：由f(3 x) f(344，,一3数，且 T 4 - 3, . f(4)4【答案】m 1或0 m 3 x),因此函数f(x)图象关于直线x 3对称，又f(x)是奇函数，因此它也是周期函42 , . f ( 4)f(4) 2 ,f(2) f (2 3 2) f ( 4),即 m 2 ,解得mx1 或0 x 3.考点：函数的奇偶性、周期性 【高考再现】、

10、.一. .一一 x 11.12016高考新课标2理数】已知函数f(x)(x R)满足f( x) 2 f(x),若函数y 与y f (x)图像的交 xm点为(x1,y)(x2, y2),(xm,ym),则(x yi)()1 1(A) 0(B) m(Q2m(D)4m【答案】C试题分析：由于f x f x 2,不妨设f x x 1,与函数y1工的交点为1,2 , 1,0 ,故x xx x2 y1 y22,故选 C.考点：函数图象的性质【名师点睛】如果函数f(x),x D ,满足 x D，恒有f (a x)f (b x),那么函数的图象有对称轴如果函数f (x) , x D ,满足 x D，恒有f (

11、a x)f (b x),那么函数的图象有对称中心2.12016高考山东理数】已知函数f(x)的定义域为 R当x<0时,f(x)3x 1 ;当 1 x 1 时，f ( x)一 1 一 1、1、当 x 2 时，f (x 2) f (x 2).则 f(6)=()(A) - 2(B) - 1(C) 0(D) 2【答案】D【解析】试题分析二当工工时，/(1+ !)二/(“一上所以当工)时，函数分是周期为1的周期函数，所以 2222= /(I),又函裁是奇困数，所以/(!)二一,7)二一(一1y-1 = 2,故选考点：1.函数的奇偶性与周期性；2.分段函数.【名师点睛】本 题主要考查分 段函数的概念

12、、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等 .3.【2016年高考四川理数】已知函数 f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0vxv1时，f (x) 4x,则5f( 2)f(1)=.【答案】-2试题分析:因为函数G)是定义在R上周期为2的奇函数,所以F似-阿=川)，即/=0口/(-1) -4 = /L三-/(1) = 7予=2 ,今十 /CD =一2 ,考点：函数的奇偶性和周期性 .一 .5. 一 【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，周期

13、性，属于基本题，在求值时，只要把f(一)和f(1),利用奇偶性与周期性2化为(0,1)上的函数值即可.5.12016高考江苏卷】设f (x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间1,1)上，f (x)a, 1x ,0x 0,其中x 1,59a R.若 f( ) f(),则 f(5a)的值是22【解析】f (I) f(f(|)因此f(5a)f(3) f(1) f( 1)f(2)1 351225考点：分段函数，周期性质【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性,即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及

14、其所对应的函数值，尤其是 分段函数结合点处函数值【反馈练习】1.12016届云南昆明一中高三仿真模拟七数学，理4设函数y f(x)定义在实数集 R上，则函数y f (a x)与y f (x a)的图象()A.关于直线y 0对称 B .关于直线x0对称C.关于直线y a对称 D .关于直线x a对称【答案】D试题分析:令，二二CIj因为函数尸=与9二/&)的图象关于直线f = 口对奇，所以屋融5三/S -/与二/" 一 m的图象关于直线工=5对称，选d.考点：曲数的又持性2.12017届河南夏邑县第一高级中学高三文一轮复习周测二数学试卷】已知函数f X是定义在R内的奇函数，且满

15、足 f x 4 f x ,当 x 0,2 时，f X2x2,则 f 2015()A. -2 B . 2 C . -98 D .98【答案】A试题分析：由f x 4 f x得f x的周期T 4 f 2015 f (3) f ( 1)f(1)2,故选A.考点：1、函数的奇偶性；2、函数的周期性.3.12017届河南新乡一中高三 9月月考数学，文8】定义在R上的偶函数f(x)满足f(x 3) f(x),对x1,x2 0,3 f ()f (x2)且x1 x2,都有 上U口' 0 ,则有()X 又2A. f (49) f (64) f (81)B. f (49) f (81) f(64)C. f

16、 (64) f (49) f (81) D. f(64) f (81) f (49)【答案】A【解析】试题分析：因为f(x 3) f(x),所以f(x 6) f(x3)fx ,及f x是周期为6的函数，结合f(x)是偶函数可得，f(49) f 1, f (64) f 2 f 2, f(81)f3 f 3 ,再由 为80,3且 x x2,上(一f2) 0 得 f(x)在0,3上递增，因此 f (1) f (2)f(3),即 f(49) f (64)f(81),故选 A.X x2考点：1、函数的周期性；2、奇偶性与单调性的综合.4.12017届安徽合肥一中高三上学期月考一数学试卷，文12】已知定义

17、在 R上的函数f(x)满足：y f (x 1)的图31象关于(1,0)点对称，且当x 0时恒有f(x -)f (x 5),当x 0,2)时，f(x) e 1,则f (2016) f ( 2015)()A. 1 eB. e 1C.1 eD. e 1【答案】A一 一_一 .一，, ，一.一， ,，一 一.31试题分析：y f(x 1)的图象关于(1,0)点对称，则f x关于原点对称.当x 0时恒有f(x -) f (x 1)即函 22数 f x 的周期为 2.所以 f(2016) f ( 2015) f 0 f 11 e.考点：函数的单调性、周期性与奇偶性，分段函数.5.12016-2017学年贵

18、州遵义四中高一上月考一数学试卷，理11】已知函数f(x) a x2(1 x 2)与g(x) x 2的图象上存在关于 x轴对称的点，则实数 a的取值范围是()4,C. 2,0D2,4【答案】C【解析】试题分析：若图数/Q，工1虱母=*+2的图象上存在关于工轴对阿晾？则方程 口 / = O 口二小一工2 在区间1.2上有解 J 令-x-2,1 <x<2 ?由双0=/-#-2的图象是开口朝上.且以直线工=为又惭轴的抛物线,故当工;1时，网心取最小值 2,当a 2时,因数取最大值0,故ee20上故选：C.考点：构造函数法求方程的解及参数范围.6.12017届河北武邑中学高三上周考数学试卷，

19、理9】若对正常数 m和任意实数x,等式f(x m)则下列说法正确的是()A.函数f(x)是周期函数，最小正周期为 2m B函数f(x)是奇函数，但不是周期函数C.函数f(x)是周期函数，最小正周期为4m D.函数f(x)是偶函数，但不是周期函数【答案】C试题分析；7 FQv+用j/(x+2w) =1一/(冷1 十 1+-l + /(x+iu)1-7l-/(x+w) 1 l+/<x) - /(X)'1-/MX(x+ 4m) i- = y(r) ,.丁 二 4函.曲选 C.-/(x+ 2m)1考点：函数的周期性.7.12017届四川成都七中高三 10月段测数学试卷，文 10 函数f

20、(x)的定义域为R ,以下命题正确的是()同一坐标系中，函数 y f (x 1)与函数y f (1 x)的图象关于直线 x 1对称;3一 ,3、一 ,、函数f(x)的图象既关于点( 4,0)成中心对称，对于任意x '又有f(x -) f(x) 则f(x)的图象关于直线3x 一对称;2函数f(x)对于任意x,满足关系式f(x 2)f( x 4),则函数y f (x 3)是奇函数.A.B . C . D .【答案】D【解析】试题分析：正确，因为函数y f x与yf x关于y轴对称，而yf x 1和y f 1 x都是y fx与y f x向右平移1个单位得到的，所以关于直线 x 1对称;正确，

21、因为函数关于点33-,0成中心对称，所以f 万xf (x),所以3一 一3f 3 x ,即 fx f x ,又根据 f (x -)22f (x),可得函数的周期T3,又有f x f x ,33，一3 f x - f x ,所以函数关于直线 x 对称;222正确，因为3,所以函数f x关于点3,0对称，而函数 y f x 3是函数y f x向左平移3个单位得到，所以函数yf x 3是奇函数.故3个命题都正确，故选 D.考点：抽象函数的性质【方法点睛】本题考查了复合笛数的函教性所问题F属于卬档题型J若对于国教在定义域内的任一自变量 的值，都有0/(工)=»-力一，)则国豹关于点(。力)成中心对称，/=5W瞰的图像关于直线入=仅对称j的数y = /力的圄像与函数y = 2b-f(2a-对的图像关于点6母对称、=7卬1的图像与心数= 功-幻的