自动控制理论-第二章

1、1 第二章 自动控制系统的数学模型2-1 控制系统微分方程的建立2-2 非线性微分方程的线性化2-3 传递函数2-4 动态结构图2-5 系统的脉冲响应函数2-6 典型反馈系统传递函数主要内容2基本要求基本要求1.了解建立系统动态微分方程的一般方法。2.熟悉拉氏变换的基本法则及典型函数的拉 氏变换形式。3.掌握用拉氏变换求解微分方程的方法。4.掌握传递函数的概念及性质。5.掌握典型环节的传递函数形式。36.掌握由系统微分方程组建立动态结构图的方法。7.掌握用动态结构图等效变换求传递函数和用梅森公式求传递函数的方法。8.掌握系统的开环传递函数、闭环传递函数，对参考输入和对干扰的系统闭环传递函数及误

2、差传递函数的概念。4 分析和设计任何一个控制系统，首要任务是建立系统的数学模型。 系统的数学模型是描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。 建立数学模型的方法分为解析法和实验法5 所谓的数学模型，所谓的数学模型，是描述系统动态特性及各变量之间关系的数学表达式是描述系统动态特性及各变量之间关系的数学表达式。控控制系统定量分析的基础。制系统定量分析的基础。 1) 1) 相似性：不同性质的系统，具有相同的数学模型。抽象的变量和系统相似性：不同性质的系统，具有相同的数学模型。抽象的变量和系统 2) 2) 简化性和准确性：忽略次要因素，简化之，但不能太简单，结果合理简化性和准确性：忽略

3、次要因素，简化之，但不能太简单，结果合理 3) 3) 动态模型：变量各阶导数之间关系的微分方程。动态模型：变量各阶导数之间关系的微分方程。 4) 4) 静态模型：静态条件下，各变量之间的代数方程。静态模型：静态条件下，各变量之间的代数方程。 1) 1)微分方程：时域微分方程：时域 其它模型的基础其它模型的基础 直观直观 求解繁琐求解繁琐 2) 2)传递函数：复频域传递函数：复频域 微分方程拉氏变换后的结果微分方程拉氏变换后的结果 3) 3)频率特性：频域频率特性：频域 分析方法不同，各有所长分析方法不同，各有所长6 1) 1) 分析法：根据系统各部分的运动机理，按有关定理列方程，分析法：根据系

4、统各部分的运动机理，按有关定理列方程，合在一起。合在一起。 2) 2) 实验法：黑箱问题。施加某种测试信号，记录输出，用系实验法：黑箱问题。施加某种测试信号，记录输出，用系统辨识的方法，得到数学模型。统辨识的方法，得到数学模型。 7u解析法：解析法：依据系统及元件各变量之间所遵依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表循的物理、化学定律列写出变量间的数学表达式，并经实验验证。达式，并经实验验证。u实验法：实验法：对系统或元件输入一定形式的信对系统或元件输入一定形式的信号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根据系统或元件的输出响应，

5、经过数等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型据处理而辨识出系统的数学模型。8总结：总结： 解析方法适用于简单、典型、常解析方法适用于简单、典型、常见的系统，而实验方法适用于复杂、非常见的系统，而实验方法适用于复杂、非常见的系统。实际上常常是把这两种方法结见的系统。实际上常常是把这两种方法结合起来建立数学模型更为有效。合起来建立数学模型更为有效。9 1) 分析系统运动的因果关系，确定系统的分析系统运动的因果关系，确定系统的、及内部及内部，搞清各变量之间的，搞清各变量之间的关系。关系。 2) 忽略一些次要因素，忽略一些次要因素，。 10 3) 3) 根据相关基本定律，列

6、出各部分的根据相关基本定律，列出各部分的。 4) 4) 列写中间变量的列写中间变量的。 ！ 5) 5) 联立上述方程，消去中间变量，得到只包含输入联立上述方程，消去中间变量，得到只包含输入输出的方程式。输出的方程式。 6) 6) 将方程式化成标准形。将方程式化成标准形。 11 观察实际物理系统的运动方程，若用线性定常特性来描述，则观察实际物理系统的运动方程，若用线性定常特性来描述，则方程一般具有以下形式：方程一般具有以下形式：cadtdcadtcdadtcdannnnnn 11110 rbdtdrbdtrdbdtrdbmmmmmm 11110线性微分方程的一般特征线性微分方程的一般特征12式中

7、，式中，c(t)是系统的输出变量，是系统的输出变量，r(t)是系统的输入变量。是系统的输入变量。 从工程可实现的角度来看，上述微分方程满足以下约束：从工程可实现的角度来看，上述微分方程满足以下约束： （3 3）方程式两端的各项的量纲应一致。利用这点，可以检查微）方程式两端的各项的量纲应一致。利用这点，可以检查微分方程式的正确与否。分方程式的正确与否。 cadtdcadtcdadtcdannnnnn11110 rbdtdrbdtrdbdtrdbmmmmmm1111013 列写微分方程的一般方法列写微分方程的一般方法 例2-1 列写如图所示RLC网络的微分方程。 R C ur(t) uc(t) L

8、14 解：解：（1 1）确定输入量）确定输入量为为ur(t)，输出量为，输出量为uc(t)，中，中间变量为间变量为i(t)。 rcuuRidtdiL （4 4）列写中间变量）列写中间变量i与输出变量与输出变量uc c 的关系式的关系式: : dtduCic （5 5）将上式代入原始方程，消去中间变量得）将上式代入原始方程，消去中间变量得 R C ur(t) uc(t) L（2 2）网络按线性集中参数考虑且忽略输出端负载效应。）网络按线性集中参数考虑且忽略输出端负载效应。（3 3）由）由KVLKVL写原始方程：写原始方程：i(t)15（6 6）整理成标准形，令）整理成标准形，令T1 = L/R，

9、T2 = RC，则方程化为则方程化为rcccuudtduTdtudTT 22221rcccuudtduRCdtudLC 2216 三个基本的无源元件：质量三个基本的无源元件：质量m,m,弹簧弹簧k,k,阻尼器阻尼器f f对应三种阻碍运动的力对应三种阻碍运动的力: :惯性力惯性力ma;ma;弹性力弹性力ky;ky;阻尼力阻尼力fvfv 例例2-2 2-2 弹簧弹簧- -质量质量- -阻尼器串联系统。阻尼器串联系统。 试列出以外力试列出以外力F(t)为输入量，以质量的为输入量，以质量的位移位移y(t)为输出量的运动方程式。为输出量的运动方程式。 解：遵照列写微分方程的一般步骤有：解：遵照列写微分方

10、程的一般步骤有： （1 1）确定）确定输入量输入量为为F(t)，输出量输出量为为y(t)，作用，作用于质量于质量m的力还有弹性阻力的力还有弹性阻力Fk(t)和粘滞阻力和粘滞阻力Ff(t)，均作为中间变量。均作为中间变量。 （2）设系统按线性集中参数考虑）设系统按线性集中参数考虑，且无外，且无外力作用时，系统处于平衡状态。力作用时，系统处于平衡状态。 17 （3 3）按牛顿第二定律列写原始方程，即）按牛顿第二定律列写原始方程，即kytFk )( )(dtdyffvtFf （5 5）将以上辅助方程式代入原始方程）将以上辅助方程式代入原始方程, ,消去中消去中间变量间变量, ,得得)(22tFdtd

11、yfkydtydm （6 6）整理方程得标准形）整理方程得标准形)(122tFkydtdykfdtydkm )()()(22 dtydmtFtFtFFfk （4 4）写中间变量与输出量的关系式）写中间变量与输出量的关系式18222d( )d ( )2( )( )ddy ty tTTy tkF tttT 称为时间常数， 为阻尼比。显然，上式描述了mKf 系统的动态关系，它是一个二阶线性定常微分方程。令 ， 即 /Tm K2/TfK/2fmK ， 则上式可写成1/kK1922( )d ydymfkyF tdtdt221rd qdqLRqudtdtC：任何系统，只要它们的微分方程具有相同的形：任何系

12、统，只要它们的微分方程具有相同的形式。在方程中，占据相同位置的量，相似量。式。在方程中，占据相同位置的量，相似量。 上面两个例题介绍的系统，就是相似系统。上面两个例题介绍的系统，就是相似系统。例例2-1例例2-2令令uc=q/CrcccuudtduRCdtudLC 22当分析一个当分析一个机械系统或不易进行试机械系统或不易进行试验的系统时，可以建造验的系统时，可以建造一个与它相似的电模拟一个与它相似的电模拟系统，来代替对它的研系统，来代替对它的研究。究。20 Ra和和La分别是电枢绕组总电阻和总电感。在完成能量转换的过分别是电枢绕组总电阻和总电感。在完成能量转换的过程中，其绕组在磁场中切割磁力

13、线会产生感应反电势程中，其绕组在磁场中切割磁力线会产生感应反电势Ea，其大小与，其大小与M Ra ua La ia if=常数常数 Ea21激磁磁通及转速成正比，方向与外加电枢电压激磁磁通及转速成正比，方向与外加电枢电压ua相反。相反。 下面推导其微分方程式。下面推导其微分方程式。（1）取电枢电压）取电枢电压ua为控制输入，负载转矩为控制输入，负载转矩ML为扰动输入，电动机为扰动输入，电动机角速度角速度 为输出量；为输出量；（2）忽略电枢反应、磁滞、涡流效应等影响，当激磁电流不变）忽略电枢反应、磁滞、涡流效应等影响，当激磁电流不变if 时，时，激磁磁通视为不变，则将变量关系看作线性关系；激磁磁

14、通视为不变，则将变量关系看作线性关系；（3）列写原始方程式）列写原始方程式 电枢回路方程：电枢回路方程：aaaaaauEiRdtdiL uaMRaLa ia if=常数常数Ea22电动机轴上机械运动方程：电动机轴上机械运动方程：LDMMdtdJ J 负载折合到电动机轴上的转动惯量负载折合到电动机轴上的转动惯量; MD 电枢电流产生的电磁转矩电枢电流产生的电磁转矩; ML 合到电动机轴上的总负载转矩。合到电动机轴上的总负载转矩。（4）列写辅助方程）列写辅助方程 Ea = ke ke 电势系数，由电动机结构参数确定。电势系数，由电动机结构参数确定。 MD = km iakm 转矩系数，由电动机结构

15、参数确定。转矩系数，由电动机结构参数确定。（5）消去中间变量，得）消去中间变量，得LmmmLmDaMkdtdkJkMdtdJkMi1 23aaaaaauEiRdtdiL LmmmLmDaMkdtdwkJkMdtdwJkMi1dtdMkkLMkkRukdtdkkJRdtdkkJLLmeaLmeaaemeamea 122 24dtdMkkLMkkRukdtdkkJRdtdkkJLLmeaLmeaaemeamea 122 meamkkJRT 令机电时间常数令机电时间常数Tm : :令电磁时间常数令电磁时间常数Ta : :aaaRLT 1)1)当电枢电感较小时，可忽略，可简化上式如下：当电枢电感较小时

16、，可忽略，可简化上式如下：LmaemMJTukdtdT10aT2-22 一阶系统一阶系统dtdMJTTMJTukdtdTdtdTTLmaLmaemma 122 二阶系统二阶系统（2-21）252)对微型电机，转动惯量对微型电机，转动惯量J很小，且很小，且Ra 、La都可忽略都可忽略eaaekuuk 13) 随动系统中，取随动系统中，取为输出为输出LmaemMJTukdtddtdTdtd1224) 在实际使用中，转速常用在实际使用中，转速常用n n（r/minr/min）表示表示,设设 ML=0aemmaukndtdnTdtndTT2213022230602eekknn，令代入0 meamkkJ

17、RT0 aaaRLTdtdMJTTMJTukdtdTdtdTTLmaLmaemma 122 LmaemMJTukdtdT12622 非线性微分方程的线性化 在实际工程中，构成系统的元件都具有不同程度的非线性，如下图所示。27于是，建立的动态方程就是非线性微分方程，对其求解有诸多困难，因此，对非线性问题做线性化处理确有必要。对弱非线性关系的线性化如上图（a），当输入信号很小时，忽略非线性影响，近似为放大特性。对图（b）和图（c），当死区或间隙很小时（相对于输入信号）同样忽略其影响，也近似为放大特性，如图中虚线所示。平衡位置附近的小偏差线性化输入和输出关系具有如下图所示的非线性特性。28在平衡点A

18、（x0，y0）处，当系统受到干扰，y只在A附近变化，则可对A处的输出、输入关系函数按泰勒级数展开，由数学关系可知，当 很小时，可用A处的切线方程代替曲线方程（非线性），即小偏差线性化。x290000(,)(,)|xyxyvffzxyxy 经过上述线性化后，就把非线性关系变成了线性关系，从而使问题大大简化。但对于如图（d）所示的强非线性，只能采用第七章的非线性理论来分析。对于线性系统，可采用叠加原理来分析系统。可得 ，简记为 。若非线性函数有两个自变量，如 ，则在平衡点处可展成（忽略高次项） 0d|dxfyxk xx ykx( , )zf x y30u叠加原理叠加原理叠加原理含有两重意义，即可叠

19、加性和均匀性（或齐次性）。例2-3： 设线性微分方程式为22d( )d ( )( )( )ddc tc tc tr ttt若 时，方程有解 ，而 时，方程有解 ，分别代入上式且将两式相加，则显然，当 时，必存在解为 ，这就是可叠加性。1( )( )r tr t1( )c t2( )( )r tr t2( )c t12( )( )( )r tr tr t12( )( )( )c tc tc t31 上述结果表明，两个外作用同时加于系统产生的响应等于各个外作用单独作用于系统产生的响应之和，而且外作用增加若干倍，系统响应也增加若干倍，这就是叠加原理叠加原理。若 时， 为实数，则方程解为 ，这就是齐次

20、性。1( )( )r tar t1( )( )c tac ta3223 传递函数 u传递函数的定义传递函数的定义： 线性定常线性定常系统在系统在零初始零初始条件条件下，输出下，输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。一、拉普拉斯变换的概念以时间t为自变量的函数 ，它的定义域是则积分式拉普拉斯变换( )f t0t0( )( )stF sf t edt（ 是一个复变量） s称上式为函数 的拉普拉斯变换式 ( )f t( )F s ( )f t叫做( )f t的拉氏变换,称为象函数.( )F s叫做的拉氏逆变换,称为原函数,( )f t( )F s( )f t= )(1s

21、F（2） 在 的任一有限区间上连续或分段连续； （1） 时, 一个函数可以进行拉氏变换的充分条件是0t 0t ( )0f t 二、拉普拉斯变换存在定理dtetfst0)(（3）拉普拉斯变换例例1 1 求单位阶跃函数 的拉氏变换 u t解解 0100)(tttusstsstedtetuL10101)(一些常用函数的拉普拉斯变换 即stuL1)(根据定义dtetftfLst0)()(拉普拉斯变换例例2 2 求指数函数 的拉氏变换 ktetf)(解：解：根据定义kseksdtedteetfLtkstksstkt10)(1)()(0)(0dtetftfLst0)()(kseLkt1即拉普拉斯变换)0(

22、)()(xssXdttdxL 2)2)微分定理微分定理)()(ssXdttdxL 若若 , ,则则 0)0()0( xx)()(222sXsdttxdL )()(sXsdttxdLnnn )0()0()()(222xsxsXsdttxdL 三三、性质和定理性质和定理 1)线性性质线性性质 L ax1(t) + bx2(t) = aX1(s) +bX2(s) sXsdttxL1 )0(1)0(1)(1)()2()1(22 xsxssXsdttxL若若x 1(0)= x 2(0) = = 0，x(t)各重积分在各重积分在t=0的值为的值为0时，时，3)3)积分定律积分定律 )0(1)(1)()1(

23、 xssXsdttxLX（-1）(0)是是x(t)dt 在在t=0 0的值。同理的值。同理 sXsdttxL21 sXsdttxLnn1 4 4）时滞定理）时滞定理)(tf)(TtfT)()(sFtfL设平移函数的拉氏变换0)()()(sFedteTtfTtfLsTst拉普拉斯变换的性质若 且 存在5 5）、初值定理）、初值定理)()(sFtfL)(limssFs则)(lim)(lim0ssFtfst6)6)、终值定理、终值定理若 ， 且 的所有极点全部在s平面的左半部。)()(sFtfL)(ssF则 的稳态值)(tf)(lim)(lim0ssFtfst拉普拉斯变换的性质例3.应用初值定理求

24、的原函数 的初始值2)2(1)(ssF)(tf)0(, )0(ff解：（1）求)0(f0441lim)2(1lim)(lim)(lim)0(20ssssssFtffssst（2）求)0(f 0)2(1)0()()(2ssfssFtfL14411lim)2(lim)(lim)(lim)0(220ssssssFstffssst拉普拉斯变换的性质五. 拉普拉斯逆变换根据拉普拉斯变换的定义 102js tjf tF s e dstj 右端的积分称为拉氏反演积分.它是一个复变函数的积分,但计算比较麻烦. 对于绝大多数控制系统，是按照查表法求拉氏逆变换的。 用拉氏变换求解微分方程的一般步骤：用拉氏变换求解

25、微分方程的一般步骤： 1)1)对微分方程两边进行拉氏变换。对微分方程两边进行拉氏变换。 2)2)求解代数方程，得到微分方程在求解代数方程，得到微分方程在s 域的解。域的解。 3)3)求求s 域解的拉氏反变换，即得微分方程的解。域解的拉氏反变换，即得微分方程的解。微分方程式微分方程式r(t)c(t)求解代数方程求解代数方程时域解时域解c(t)Ls的代数方程的代数方程R(s)C(s)求解微分方程式求解微分方程式s域解域解C(s) L-144这里，“初始条件为零”有两方面含义：0u一指输入作用是t0后才加于系统的，因此输入量及其各阶导数，在t= 时的值为零。0u二指输入信号作用于系统之前系统是静止的

26、，即t= 时 ，系统的输出量及各阶导数为零。许多情况下传递函数是能完全反映系统的动态性能的 。45一、传递函数的概念G(s)Ur(s)Uc(s)s(U)s(U)s(Grc 46一、传递函数的概念一、传递函数的概念RCsCsRCssUsUro11/1/1)()()(sG)(sUr)(sUo例2-4 求RC 网络的传递函数47 tcattcattcattcnnnnn01111dddddd trbttrbttrmmmmm0111d)(ddd设任一系统或元件的微分方程如下设任一系统或元件的微分方程如下：在零初始条件下对上式进行拉氏变换在零初始条件下对上式进行拉氏变换)()(0111sCasasasnn

27、n)()(0111sRbsbsbsmmm则有则有01110111)()()(asasasbsbsbssGsRsCnnnmmm48二、关于传递函数的几点说明二、关于传递函数的几点说明传递函数仅适用于线性定常系统且零初始条件传递函数仅适用于线性定常系统且零初始条件下下，否则无法用拉氏变换导出；，否则无法用拉氏变换导出；传递函数完全取决于系统内部的结构、参数传递函数完全取决于系统内部的结构、参数，而与输入、输出无关；而与输入、输出无关；传递函数只表明一个特定的输入、输出关系传递函数只表明一个特定的输入、输出关系，对于多输入、多输出系统来说没有统一的传递对于多输入、多输出系统来说没有统一的传递函数（可

28、定义传递函数矩阵，见第九章）；函数（可定义传递函数矩阵，见第九章）；n传递函数是关于复变量传递函数是关于复变量s的的有理真分式有理真分式，它的分子，它的分子，分母的阶次满足：分母的阶次满足： 。nm49n传递函数的拉氏反变换为该系统的脉冲响应函数。传递函数的拉氏反变换为该系统的脉冲响应函数。当 时， 所以 ( )( )r tt( )1R s 111( )( )( ) ( )( )c tLC sLG s R sLG sn 一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之对应对应。这将在第四章根轨迹中详述。n传递函数是在零初始条件下建立的传递函数是在零初始条件下建立

29、的，因此，它只，因此，它只是系统的零状态模型，有一定的局限性，但它有现是系统的零状态模型，有一定的局限性，但它有现实意义，而且容易实现。实意义，而且容易实现。( )( )( )G sC sR s因为50三、典型元器件的传递函数三、典型元器件的传递函数1. 电位器电位器 Emax21UK K s sUmaxEK 512. 电位器电桥 s1 sU s2pK112UE11pK21pK523.齿轮21211,1LmLmLmNiNNNii 传动比534. 电枢控制的直流电动机 J：电机转动惯量f：粘性系数( )()( )( )aaaabUsRL s IsUs)()()(ssKsKsUbbb)()()()

30、(sLRsKsUsIaabaa(1)(tUaaRaL,fi)(tUb)(tia544. 电枢控制的直流电动机 驱动力矩驱动力矩)()(sIKsTamm)()()(sTsTsTdLm:负载力矩负载力矩)( sTL)( sTd:干扰力矩干扰力矩)()()(2sbssJssTL(2)(3)(4) 设设 0)( sTd)()()()(mbaamaKKbJssLRsKsUssG55四、典型环节 一个传递函数可以分解为若干个基本因子的乘积，每个基本因子就称为典型环典型环节节。常见的形式有： 比例环节比例环节，传递函数为( )G sK56 积分环节积分环节，传递函数为1( )G ss 微分环节微分环节，传递

31、函数为( )G ss 惯性环节惯性环节，传递函数为1( )1G sTs 一阶微分环节一阶微分环节，传递函数为( )1G ss式中： ，T为时间常数。57 二阶振荡环节二阶振荡环节，传递函数为221( )21G sT sTs式中：T 为时间常数， 为阻尼系数。 二阶微分环节二阶微分环节，传递函数为22( )21G sss式中： 为时间常数， 为阻尼系数。此外，还经常遇到一种延迟环节延迟环节，设延迟时间为 ，该环节的传递函数为( )esG s582 24 4 动态结构图动态结构图q动态结构图是一种数学模型，采动态结构图是一种数学模型，采用它将更便于求传递函数，同时用它将更便于求传递函数，同时能形象

32、直观地表明输入信号在系能形象直观地表明输入信号在系统或元件中的传递过程。统或元件中的传递过程。59一、动态结构图的概念q系统的动态结构图由若干基本符号构成。系统的动态结构图由若干基本符号构成。构成动态结构图的基本符号有四种，即信构成动态结构图的基本符号有四种，即信号线、传递方框、综合点和引出点。号线、传递方框、综合点和引出点。 信号线信号线 表示信号输入、输出的通道。箭头代表示信号输入、输出的通道。箭头代表信号传递的方向。表信号传递的方向。602. 2. 方框方框G(s)方框的两侧为输入信号线和输出信号线，方框的两侧为输入信号线和输出信号线，方框内写入该输入、输出之间的传递函数方框内写入该输入

33、、输出之间的传递函数G(s)。613.3.综合点综合点综合点亦称加减点，表示几个信号相加、减，叉圈符综合点亦称加减点，表示几个信号相加、减，叉圈符号的输出量即为诸信号的代数和，负信号需在信号线号的输出量即为诸信号的代数和，负信号需在信号线的箭头附近标以负号。的箭头附近标以负号。 sU sR sRsU624. 4. 引出点引出点表示同一信号传输到几个地方。表示同一信号传输到几个地方。 sU sU63二、动态结构图的基本连接形式1. 1. 串联连接串联连接G1(s)G2(s)X(s)Y(s)方框与方框通过信号线相连，前一个方框的输方框与方框通过信号线相连，前一个方框的输出作为后一个方框的输入，这种

34、形式的连接称出作为后一个方框的输入，这种形式的连接称为串联连接。为串联连接。642. 2. 并联连接并联连接G1(s)G2(s)X(s)Y(s)两个或两个以上的方框，具有同一个输入信号，并两个或两个以上的方框，具有同一个输入信号，并以各方框输出信号的代数和作为输出信号，这种形以各方框输出信号的代数和作为输出信号，这种形式的连接称为式的连接称为并联连接并联连接。653. 3. 反馈连接反馈连接一个方框的输出信号输入到另一个方框后，得一个方框的输出信号输入到另一个方框后，得到的输出再返回到这个方框的输入端，构成输到的输出再返回到这个方框的输入端，构成输入信号的一部分。这种连接形式称为反馈连接。入信

35、号的一部分。这种连接形式称为反馈连接。G(s)R(s)C(s)H(s)66三、系统动态结构图的建立建立系统动态结构图的步骤：建立控制系统各元部件的微分方程，列写微分方程时，注意相邻元件间的负载效应影响。对各微分方程在零初始条件下进行拉氏变换，并作出各元件的方框图。按照系统中各变量的传递顺序，依次将各元件的方框图连接起来，通常输入变量在左端，输出变量在右端，便得到系统的动态结构图。67 以机电随动系统为例，如下图所示。以机电随动系统为例，如下图所示。三、系统动态结构图的建立E68n各信号之间关系各信号之间关系可用下列方程表可用下列方程表示：示：( )( )( ) ( )aaaaabUsR IsL

36、 sIsE s( )( )( )ercsss( )( )sseUsKs( )( )aasUsK Us( )( )mmaMsC Is2( )( )mmmJssMfss1( )( )cmssi( )( )bbmE sK ss69系统各元部件的动态结构图系统各元部件的动态结构图)(sr )(sc )(se ( )( )( ) ( )aaaaabUsR IsL sIsE s( )( )( )ercsss( )( )sseUsKs( )( )aasUsK Us( )( )mmaMsC Is2( )( )mmmJssMfss1( )( )cmssi( )( )bbmE sK ss)(sr )(sc )(s

37、e 70系统各元部件的动态结构图系统各元部件的动态结构图)(sr )(sc )(se sK)(sUs( )( )( ) ( )aaaaabUsR IsL sIsE s( )( )( )ercsss( )( )sseUsKs( )( )aasUsK Us( )( )mmaMsC Is2( )( )mmmJssMfss1( )( )cmssi( )( )bbmE sK ss)(se sK)(sUs71系统各元部件的动态结构图系统各元部件的动态结构图aK)(sUs)(sUa)(sr )(sc )(se sK)(sUsaK)(sUa( )( )( ) ( )aaaaabUsR IsL sIsE s(

38、)( )( )ercsss( )( )sseUsKs( )( )aasUsK Us( )( )mmaMsC Is2( )( )mmmJssMfss1( )( )cmssi( )( )bbmE sK ss72系统各元部件的动态结构图系统各元部件的动态结构图( )( )( ) ( )aaaaabUsR IsL sIsE s( )( )( )ercsss( )( )sseUsKs( )( )aasUsK Us)(sr )(sc )(se sK)(sUsaK)(sUa1aaL sR( )bsE( )asI( )( )mmaMsC Is2( )( )mmmJssMfss1( )( )cmssi( )(

39、)bbmE sK ss73( )( )mmaMsC Is2( )( )mmmJssMfss1( )( )cmssi( )( )bbmE sK ss系统各元部件的动态结构图系统各元部件的动态结构图( )( )( ) ( )aaaaabUsR IsL sIsE s( )( )( )ercsss( )( )sseUsKs( )( )aasUsK Us)(sIamC)(sMmmC)(sMm)(sr )(sc )(se sK) (sUsaK)(sUa1aaLs R( )bsE( )asI74( )( )mmaMsC Is2( )( )mmmJssMfss1( )( )cmssi( )( )bbmE sK

40、 ss系统各元部件的动态结构图系统各元部件的动态结构图)(sr )(sc )(se sK)(sUsaK)(sUa1aaLs R( )bsE( )asI)(sm sfJs 21mC)(sMm)(sMm)(sm sfJs 21sfJs 175( )( )mmaMsC Is2( )( )mmmJssMfss1( )( )cmssi( )( )bbmE sK ss系统各元部件的动态结构图系统各元部件的动态结构图( )( )( ) ( )aaaaabUsR IsL sIsE s( )( )( )ercsss( )( )sseUsKs( )( )aasUsK Us)(sm sKb)(sEb)(sr )(s

41、c )(se sK)(sUsaK)(sUa1aaLs R( )bsE( )asI)(sm sfJs 21mC)(sMmbsK76系统各元部件的动态结构图系统各元部件的动态结构图( )( )( ) ( )aaaaabUsR IsL sIsE s( )( )( )ercsss( )( )sseUsKs( )( )aasUsK Us( )( )mmaMsC Is2( )( )mmmJssMfss1( )( )cmssi( )( )bbmE sK ss)(sm i1)(sc i1)(sc )(sr )(sc )(se sK)(sUsaK)(sUa1aaLs R( )bsE( )asI)(sm sfJs

42、 21mC)(sMmbsK77四、结构图的等效变换q思路思路： 在保证信号传递关系不变的条件下，设法将原在保证信号传递关系不变的条件下，设法将原结构逐步地进行归并和简化，最终变换为输入结构逐步地进行归并和简化，最终变换为输入量对输出量的一个方框。量对输出量的一个方框。781. 串联结构的等效变换（） 串联结构图串联结构图G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)79 等效变换证明推导等效变换证明推导)()()(1sRsGsUG1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)()()(2sUsGsC 1. 串联结构的等效变换（）80 等效变换证明推导等效变换证明推导)()()()()()()()(2

43、121sGsGsRsCsRsGsGsC G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)1. 串联结构的等效变换（）81 串联结构的等效变换图串联结构的等效变换图G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)G1(s) G2(s)R(s)C(s)两个串联的方框可以两个串联的方框可以合并为一个方框，合合并为一个方框，合并后方框的传递函数并后方框的传递函数等于两个方框传递函等于两个方框传递函数的乘积。数的乘积。1. 串联结构的等效变换（）822. 并联结构的等效变换 并联结构图并联结构图C1(s)G1(s)G2(s)R(s) C(s)C2(s)832. 并联结构的等效变换 等等效效变变换换证证明明推推导

44、导C1(s)G1(s)G2(s)R(s) C(s)C2(s)()()()()()()()(2121sGsGsRsCsRsGsGsC 84等效变换证明推导等效变换证明推导(1)(1)G1(s)G2(s)R(s) C(s)C1(s)C2(s)()()(11sRsGsC)()()(22sRsGsC 852. 并联结构的等效变换图G1(s)G2(s)R(s) C(s)C1(s)C2(s)G1(s) G2(s)R(s)C(s)两个并联的方框可两个并联的方框可以合并为一个方框，以合并为一个方框，合并后方框的传递合并后方框的传递函数等于两个方框函数等于两个方框传递函数的代数和。传递函数的代数和。863. 反

45、馈结构的等效变换 反馈结构图反馈结构图G(s)R(s) C(s)H(s)B(s)E(s)C(s) = ?873.反馈结构的等效变换 等效变换证明推导等效变换证明推导)()()(1)()()(),()()()()()()()()()(sRsHsGsGsCsBsEsBsRsEsHsCsBsEsGsC 得得消消去去中中间间变变量量G(s)R(s) C(s)H(s)B(s)E(s)883.反馈结构的等效变换 反馈结构的等效变换图反馈结构的等效变换图G(s)R(s) C(s)H(s)B(s)E(s)R(s)C(s)()(1)(sGsHsG894. 综合点的移动（后移） 综合点后移综合点后移G(s) R(

46、s)C(s)Q(s)Q(s)？ G(s)R(s)C(s)90G(s) R(s)C(s)Q(s)()()()(sGsQsRsC 综合点后移证明推导（移动前）91G(s) R(s)C(s)Q(s)？综合点后移证明推导（移动后）( )( )( )( )?CsR sGsQ s92移动前移动前)()()()()(sGsQsGsRsC G(s) R(s)C(s)Q(s)Q(s)G(s) R(s)C(s)？移动后移动后综合点后移证明推导（移动前后）( )( )( )( )?C sR s G sQ s93G(s) R(s)C(s)Q(s)？)(?sG 综合点后移证明推导（移动后）)()()()(sGsQsGs

47、R ( )( )( )( )?C sR s G sQ s94G(s) R(s)C(s)Q(s)G(s) R(s)C(s)Q(s)G(s)综合点后移等效关系图95G(s)R(s)C(s) Q(s)Q(s)？G(s) R(s)C(s)综合点前移96G(s) R(s)C(s)Q(s)()()()(sQsGsRsC综合点前移证明推导（移动前）97G(s) R(s)C(s)Q(s)？综合点前移证明推导（移动后）()()()()()?CsRsGsQsGs98移动前移动前)()()()(sQsGsRsCG(s)R(s)C(s) Q(s)G(s) R(s)C(s)Q(s)？移动后移动后综合点前移证明推导（移动

48、前后）?)()()()()(sGsQsGsRsC994. 综合点的移动（前移） 综合点前移证明推导（移动后）综合点前移证明推导（移动后）)(1?sG)()()(sQsGsR G(s) R(s)C(s)Q(s)？( )( ) ( )( )( ) ?C sR s G sQ s G s1004. 综合点的移动（前移） 综合点前移等效关系图综合点前移等效关系图G(s)R(s)C(s) Q(s)G(s) R(s)C(s)Q(s)1/G(s)101综合点之间的移动R(s)C(s) Y(s)X(s) R(s)C(s) Y(s)X(s) 1024.综合点之间的移动 结论：结论：结论：多个相邻的综合点可以随意交

49、换位置。结论：多个相邻的综合点可以随意交换位置。R(s)C(s) Y(s)X(s) R(s)C(s) Y(s)X(s) 1035. 引出点的移动 引出点后移引出点后移G(s)R(s)C(s)R(s)？G(s)R(s)C(s)R(s)问题：问题： 要保持原来的信号传递关系不变，要保持原来的信号传递关系不变， ？等于什么？等于什么？104引出点后移等效变换图G(s)R(s)C(s)R(s)G(s)R(s)C(s)1/G(s)R(s)105引出点前移问题：问题： 要保持原来的信号传递关系不变，要保持原来的信号传递关系不变， “？”等于什么等于什么？G(s)R(s)C(s)C(s)G(s)R(s)C(

50、s)？C(s)106引出点前移等效变换图G(s)R(s)C(s)C(s)G(s)R(s)C(s)G(s)C(s)107引出点之间的移动ABR(s)BAR(s)108引出点之间的移动相邻引出点交换位置，不改变信号的性质。相邻引出点交换位置，不改变信号的性质。ABR(s)BAR(s)109 举例说明举例说明q例例2-5：利用结构图变换法，求位置随：利用结构图变换法，求位置随动系统的传递函数动系统的传递函数Qc(s)/Qr(s) 。110例题分析例题分析q 由动态结构图可以看出该系统有两个输入由动态结构图可以看出该系统有两个输入 r，ML（干扰）。（干扰）。 我们知道：传递函数只表示一个特定的输出、

51、输入我们知道：传递函数只表示一个特定的输出、输入关系，因此，在求关系，因此，在求 c对对 r的关系时，根据线性叠加的关系时，根据线性叠加原理，可取力矩原理，可取力矩 ML0，即认为，即认为ML不存在。不存在。要点：要点：结构变换的规律是：由内向外逐步进行。结构变换的规律是：由内向外逐步进行。111例题化简步骤（例题化简步骤（1)1) 合并串联环节合并串联环节：saKK)(2fsJsRCam i1sKbr - - -c 112例题化简步骤（例题化简步骤（2)2) 内反馈环节等效变换：内反馈环节等效变换：iKKsa)(mbaamCKfRJsRsC - -r c saKK)(2fsJsRCam i1

52、sKbr - - -c 113例题化简步骤（例题化简步骤（3)3) 合并串联环节：合并串联环节：iCKRfRJssKKCmbaasam r c iKKsa)(mbaamCKfRJsRsC - -r c 114例题化简步骤例题化简步骤（4)4) 反馈环节等效变换：反馈环节等效变换：iRCKKsRKCfJsiRCKKamasabmamas )(2r c iCKRfRJssKKCmbaasam r c 115例题化简步骤（例题化简步骤（5)5)() /()crssn求传递函数求传递函数2( )( )( )()csamambsamraasK K CR isC KK K CsJsfsRR i116举例说

53、明举例说明q例例2-6：系统动态结构图如下图所示，试求：系统动态结构图如下图所示，试求系统传递函数系统传递函数C(s)/R(s)。117例例2-6 2-6 （例题分析）（例题分析） 本题特点：具有引出点、综合交叉点本题特点：具有引出点、综合交叉点的多回路结构。的多回路结构。118例例2-6 2-6 （解题思路）（解题思路）q解题思路：消除交叉连接，由内向外解题思路：消除交叉连接，由内向外逐步化简。逐步化简。119例例2-6 2-6 （解题方法一之步骤（解题方法一之步骤1 1） 将综合点将综合点2后移，然后与综合点后移，然后与综合点3交换。交换。)(1sG)(2sG)(3sG)(4sG)(1sH

54、)(3sH)(2sH)(sR)(sC1 12 23 3A AB BC C120例例2-6 2-6 （解题方法一之步骤（解题方法一之步骤2 2）121例例2-6 2-6 （解题方法一之步骤（解题方法一之步骤3 3）122例例2-6 2-6 （解题方法一之步骤（解题方法一之步骤4 4） 内反馈环节等效变换内反馈环节等效变换123例例2-6 2-6 （解题方法一之步骤（解题方法一之步骤5 5） 内反馈环节等效变换结果内反馈环节等效变换结果124例例2-6 2-6 （解题方法一之步骤（解题方法一之步骤6 6） 串联环节等效变换串联环节等效变换125例例2-6 2-6 （解题方法一之步骤（解题方法一之步

55、骤7 7） 串联环节等效变换结果串联环节等效变换结果126例例2-6 2-6 （解题方法一之步骤（解题方法一之步骤8 8） 内反馈环节等效变换内反馈环节等效变换127例例2-6 2-6 （解题方法一之步骤（解题方法一之步骤9 9） 反馈环节等效变换反馈环节等效变换128例例2-6 2-6 （解题方法一之步骤（解题方法一之步骤1010） 等效变换化简结果等效变换化简结果1 2 3 42 323 431 2 3 411GGGGGGH GGH GGGGHRC129例例2-6 2-6 （解题方法二）（解题方法二） 将综合点将综合点前移，然后与综合点前移，然后与综合点交换。交换。)(1sG)(2sG)(

56、3sG)(4sG)(1sH)(3sH)(2sH)(sR)(sC1 12 23 3A AB BC C130例例2-6 2-6 （解题方法三）（解题方法三） 引出点引出点A后移后移)(1sG)(2sG)(3sG)(4sG)(1sH)(3sH)(2sH)(sR)(sC1 12 23 3A AB BC C131例例2-6 2-6 （解题方法四）（解题方法四） 引出点引出点B前移前移)(1sG)(2sG)(3sG)(4sG)(1sH)(3sH)(2sH)(sR)(sC1 12 23 3A AB BC C132结构图化简步骤小结结构图化简步骤小结q确定输入量与输出量确定输入量与输出量。如果作用在系统上的输

57、入量有如果作用在系统上的输入量有多个，则必须分别对每个输入量逐个进行结构图化简，多个，则必须分别对每个输入量逐个进行结构图化简，求得各自的传递函数。求得各自的传递函数。q 若结构图中有交叉联系，应运用移动规则若结构图中有交叉联系，应运用移动规则，首先将交首先将交叉消除，化为无交叉的多回路结构。叉消除，化为无交叉的多回路结构。q 对多回路结构，可由里向外进行变换，直至变换为一对多回路结构，可由里向外进行变换，直至变换为一个等效的方框，即得到所求的传递函数。个等效的方框，即得到所求的传递函数。133结构图化简注意事项：结构图化简注意事项：q有效输入信号所对应的综合点尽量不要有效输入信号所对应的综合

58、点尽量不要移动。移动。q尽量避免综合点和引出点之间的移动。尽量避免综合点和引出点之间的移动。134五、用梅森（五、用梅森（S.J.MasonS.J.Mason） 公式求传递函数公式求传递函数 梅森公式的一般式为梅森公式的一般式为1( )nkkkPG s135梅森公式参数解释：梅森公式参数解释：待待求求的的总总传传递递函函数数；:)(sG 1iijijkLL LL L L 称为特征式， 且:kPk从输入端到输出端第 条前向通道的总传递函数；:kk在 中，将与第 条前向通道相接触的回路所在项除去后所余下的部分，称余子式；递递函函数数”之之和和所所有有各各回回路路的的“回回路路传传 :iL积之和；积

59、之和；其“回路传递函数”乘其“回路传递函数”乘两两互不接触的回路，两两互不接触的回路，:jiLL ”乘积之和；”乘积之和；路，其“回路传递函数路，其“回路传递函数所有三个互不接触的回所有三个互不接触的回:kjiLLL 前向通道数。:n136注意事项：注意事项： 回路传递函数：回路传递函数：是指回路中的前向通道和是指回路中的前向通道和反馈通道的传递函数的乘积，并且包含代反馈通道的传递函数的乘积，并且包含代表反馈极性的表反馈极性的正、负号正、负号。回路：在结构图中信号在其中可以闭合流动且经过的任一元件不多于一次的闭合回路，称为独立回路，简称回路。互不接触回路：在各回路中，没有同一信号流过，这种回路

60、叫作互不接触回路。 例例2-7：画出信流图，并利用梅逊公式求取它的传递函数C(s) / R(s)。ABE+_ _+_ _+-11C s21R21C s11R( )R s( )C sCD+注意：注意：图中C位于比较点的前面，为了引出C处的信号要 用一个传输为1的支路把C、D的信号分开。系统中，单独回路有L1、L2和L3，互不接触回路有 L1L2，即 前向通路只有一条，即 1231211222111221 (LLL )L L11111R C sR C sR C sR C R C s 11212121P1R R C C s 1111LR C s2221LR C s3211LR C s1211221L