函数的连续性与间断点()

1、 数学分析（上）数学分析（上）第七节第七节 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点一一 、 连续函数的概念连续函数的概念 设设 在在U(x0)内有定义内有定义,称称 x=x-x0 为自变量在为自变量在 x0 处的改变量处的改变量( (或或增量增量);称称y=f(x)f(x0)=f(x0+x)f(x0)为函数值的为函数值的改变量改变量( (或或增量增量).)(xfy 定义定义1 设函数设函数 在点在点 的某一邻域内有的某一邻域内有定义定义, ,若若 或或或或 ，则称函数，则称函数 在点在点 处处连续连续. .)(xfy 0 x0lim0 yx).()(lim00 xfxfxx 0)()(lim

2、000 xfxxfx)(xfy 0 x 数学分析（上）数学分析（上）* *亦可用亦可用 语言表述语言表述. .定义定义2 (左连续和右连续的概念左连续和右连续的概念) 若若 , ,则称函数则称函数在点在点 处处左连续左连续. .)()(lim)0(000 xfxfxfxx )(xfy 0 x 若若 , ,则称函数则称函数 在点在点 处处右连续右连续. .)()(lim)0(000 xfxfxfxx )(xfy 0 x所以定义可简化为所以定义可简化为: :若若 , ,则函数则函数 在点在点 连续连续. .)()(lim00 xfxfxx )(xfy 0 x 数学分析（上）数学分析（上）性质性质

3、函数函数 在点在点 连续的充要条件是连续的充要条件是 在在 处既左连续又右连续处既左连续又右连续. .)(xfy 0 x)(xf0 x例例 1 讨论函数讨论函数 1,)2(1, 22)(22xxxxxxf在点在点 处的连续性处的连续性. .1 x解：因为解：因为1)(lim)01(1 xffx1)(lim)01(1 xffx所以所以)1(1)(lim1fxfx , ,故函数在点故函数在点 处的连续处的连续. .1 x 数学分析（上）数学分析（上）例例2 设设 ，求，求 a , b 使使 1,21, 31,)(2xbxaxxbxaxxf)(xf1 x在在 处连续处连续. .解解 因为因为baf

4、) 01 (baf 2) 01 (要使要使 在在 处连续，则必须处连续，则必须)(xf1 x3 ba32 ba解得解得 . .1, 2 ba 数学分析（上）数学分析（上）定义定义3 若若 在在 内每一点连续内每一点连续, ,则称则称 在在 内连续内连续; ; 若区间包括端点若区间包括端点, , 在左端在左端点点 处是右连续处是右连续, ,右端点右端点 处是左连续处是左连续, ,则称则称 在闭区间在闭区间 上是连续函数上是连续函数. .)(xf ba, ba,)(xf,a b)(xf)(xfab例如例如 在在 R 上是连续函数上是连续函数. .ysinx 例例3 证明证明 在在 R 上是连续函数

5、上是连续函数. .(0,1)xy a aa 数学分析（上）数学分析（上）二、函数的间断点及其分类二、函数的间断点及其分类 定义定义4 设函数设函数 在在 或或 内有内有定义定义. .若若 不是不是 的连续点的连续点, ,则称则称 是是 的间断点的间断点. .)(xf 0 xUo)(xf)(xf0()U x0 x0 x 数学分析（上）数学分析（上）)(lim0 xfxx 存在存在,但是但是)()(lim00 xfxfxx 若若 是是 的间断点的间断点,则可能出现的情况有则可能出现的情况有:)(xf0 x （1） 在在 处处有定义有定义)(xf0 x)(lim0 xfxx不存在不存在00(0),

6、(0)f xf x 00(0), (0)f xf x 0 x0 x0 x)(xf（2） 在在 处处没定义没定义0 x)(lim0 xfxx 存在存在0 x)(lim0 xfxx不存在不存在, 讨论同讨论同(1). 数学分析（上）数学分析（上）例例4 在在 处有定义，且处有定义，且 0, 00,sin)(xxxxxf0 x1sinlim)(lim00 xxxfxx，但但 ，0) 0( f所以所以 为函数为函数 的第一类的第一类( (可去可去)间断点间断点. .0 x)(xf例例5 在在 处有定义，但处有定义，但 1, 11, 1)(xxxf1 x)(lim1xfx不存在，所以不存在，所以 为为

7、第一类间断点第一类间断点. .1 x)(xf 数学分析（上）数学分析（上）例例6 在在 处无定义，所以处无定义，所以xxf 21)(2 x 为函数为函数 的间断点的间断点. .)(xf2 x因因 xx21lim2故故 为为 的第二类间断点的第二类间断点( (也称也称无穷间断点无穷间断点).).2 x)(xf 数学分析（上）数学分析（上）例例8 求求 的间断点，并判断其类型的间断点，并判断其类型. . )2sin()2()(2 xexxfx解：由解：由 ，0)2sin( x 得得 ( ( ） kx 2 , 2, 1, 0k由于由于1)2sin()2(lim22 xexxx )2sin()2(li

8、m22xexxkx 0 k所以所以 为为 的第一类间断点；的第一类间断点； ( )( )为为 的第二类间断点的第二类间断点. .2 x)(xf kx 2)(xf ,2, 1k 数学分析（上）数学分析（上）例例9 讨论讨论 的连续性的连续性, ,若有间断点若有间断点判断其类型判断其类型. .nnnxxxf2211lim)( 解解当当 时，时，1 x111lim)(22 nnnxxxf当当 时，时，1 x11111lim11lim)(2222 nnnnnnxxxxxf当当 时，时，1 x0)( xf 数学分析（上）数学分析（上）所以所以 111011)(xxxxf在在 处，处，1 x1)01( f

9、1)01( f所以所以 为为 的第一类间断点的第一类间断点. .1 x)(xf同理同理 也是也是 的第一类间断点的第一类间断点. .1 x)(xf 数学分析（上）数学分析（上）定理定理1 若函数若函数f 在在a,b上有定义且单调，则上有定义且单调，则 f 在在a, b内若有间断点，只能是第一类间断点。内若有间断点，只能是第一类间断点。定理定理2 若函数若函数 f 在点在点x0处连续，则处连续，则 f 在在x0的某的某个邻域内有界。个邻域内有界。 数学分析（上）数学分析（上）定理定理3 若若 在点在点 连续且连续且 ，则存在则存在 的某一的某一 ，当，当 时，时，)(xf0 x0)(0 xf0 x)(0 xUO)(0 xUxO 0)( xf证：因为证：因为0)()(lim00 xfxfxx不妨设不妨设 ，则由，则由局部保号性局部保号性定理知定理知存在存在 ，使得当，使得当 时，时，0)(0 xf)(0 xUO)(0 xUxO 0)( xf 数学分析（上）数学分析（上）思考思考 若若)(xf在