南京工业大学线性代数

1、第四节第四节 克莱姆克莱姆(Cramer)法则法则 本节来解决一类本节来解决一类 n 元线性方程组的求解问题。元线性方程组的求解问题。 11112211211222221122nnnnnnnnnna xa xa xba xaxaxba xaxaxb n个未知量个未知量n个方程的线性方程组：个方程的线性方程组：称之为称之为 n 元线性方程组元线性方程组（linear equations）。一、一、n n元元线性方程组线性方程组(4.1)111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa记记称为线性方程组的称为线性方程组的系数行列式系数行列式。若若12,nb bb不全为零不全为零,称其为称其

2、为非齐次线性方程组非齐次线性方程组；而当而当12,nb bb全为零，称其为全为零，称其为齐次线性方程组齐次线性方程组。并记并记111121221nnjnnnnabaabaDaba 1,2,jnjD是用方程右端的常数项是用方程右端的常数项12,nb bb来替换系来替换系D中的第中的第j列的元素而得到的行列式。列的元素而得到的行列式。数行列式数行列式定理定理1 二、克莱姆二、克莱姆(Cramer)(Cramer)法则法则（克莱姆法则）（克莱姆法则） 如果线性方程组如果线性方程组(4.1)的系数的系数行列式行列式 ，0D 则方程组有则方程组有唯一解唯一解11DxD22DxD nnDxD1111221

3、1211222221122nnnnnnnnnna xa xa xba xaxaxba xaxaxb(4.1)研究：研究：证证 先证上式中的数组先证上式中的数组 xi 是方程组的解是方程组的解 。 要证方程组要证方程组(4.1)有唯一解有唯一解11DxD22DxD nnDxD 为此只要验证上式满足方程组中的每一个方程，为此只要验证上式满足方程组中的每一个方程，即要证对任意即要证对任意 ，(1)iin 都有都有1212niiiniDDDaaabDDD1122iiinnia Da Da Db D 或或现将每个现将每个jD), 2 , 1(nj按第按第 j 列展开列展开(4.2)111121221nn

4、jnnnnabaabaDaba jnnjjAbAbAb2211 将它代到（将它代到（4. 2）式的左边，即有）式的左边，即有1122iiinna Da Da D11112211()innab Ab Ab A21122222()innab Ab Ab A 1122()innnnnnab Ab Ab A并把上式按并把上式按 bi （i=1,2,n）重新整理重新整理，又有，又有D1D2Dn 11112121()iiinnb a Aa Aa A21212222()iiinnb a Aa Aa A1122()ninininnnb a Aa Aa Aib D 所以定理结论中给定的一组数所以定理结论中给定的

5、一组数 xi 确实是方程组的解。确实是方程组的解。 ？系数行列式系数行列式第第 1 行元素的行元素的代数余子式代数余子式系数行列式系数行列式第第 2 行元素的行元素的代数余子式代数余子式系数行系数行列式的列式的第第 i 行行元素元素系数行列式系数行列式第第 n 行元素的行元素的代数余子式代数余子式系数行系数行列式的列式的第第 i 行行元素元素系数行系数行列式的列式的第第 i 行行元素元素它满足（它满足（4.1）式，）式， 下面再证方程组下面再证方程组解的解的唯一性唯一性。我们证明必定有我们证明必定有 即即 1 122iiinniaaab1,2,in,11x,22x,nnx,设设 为方程组为方程

6、组(4.1)(4.1)的任一解，的任一解， ,11DD,22DDDDnn,因为因为 12,n 是（是（4.1）式的一个解，）式的一个解， 所以所以从而由行列式的从而由行列式的性质性质3与与性质性质5知：知：11 1122112121 122222221 1222nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaannnnnnaaaaaaaaaD2112221211121111 jjcc1nj, 21?D 1122iiinniaaab 1121222212nnnnnnbaabaaDbaa即即11DD同理可证同理可证 jjDD，即，即 jjDD2,jn所以方程组（所以方程组（4.1）的解是唯

7、一的。）的解是唯一的。例例1 解解 11233112153023111231D 1234123412341234231324236234xxxxxxxxxxxxxxxx 求解线性方程组求解线性方程组因为方程组的系数行列式因为方程组的系数行列式由克莱姆法则它有唯一解。由克莱姆法则它有唯一解。 又因为又因为 11123411215363114231D21123341215326111431D311133142023611241D，41121311415323161234D ，所以方程组的解是所以方程组的解是111DxD221DxD330DxD441DxD三、三、齐次线性方程组有非零解条件齐次线性方

8、程组有非零解条件零解和非零解零解和非零解问题提出问题提出 任何齐次线性方程组总是有解的，因为它至少任何齐次线性方程组总是有解的，因为它至少有零解。那么齐次线性方程组在什么情况下有零解。那么齐次线性方程组在什么情况下才有才有非零解呢？非零解呢？ 每个未知数的值都等于零的解称为每个未知数的值都等于零的解称为零解零解；至少；至少有一个未知数不等于零的解称为有一个未知数不等于零的解称为非零解非零解。 齐次线性方程组有非零解的齐次线性方程组有非零解的必要条件必要条件：其系数：其系数行列式行列式D=0。 注：注： 以后还可以证明以后还可以证明D= =0也是齐次线性方程组也是齐次线性方程组有非零解的有非零解

9、的充分条件充分条件。结结 论论证证 由克莱姆法则可知，由克莱姆法则可知，方程个数与未知量个数方程个数与未知量个数相等的齐次线性方程组，相等的齐次线性方程组，当它的系数行列式当它的系数行列式D0 时，时，方程组方程组有唯一零解。有唯一零解。所以齐次线性方程组有所以齐次线性方程组有非零解的非零解的必要条件必要条件是系数行列式是系数行列式 D= =0 。例例2 解解 方程组的系数行列式方程组的系数行列式21111(1) (2)11D讨论讨论为何值时，线性方程组为何值时，线性方程组12312321231xxxxxxxxx有唯一解，并求出其解。有唯一解，并求出其解。由此可知由此可知,当当1且且2 时，方

10、程组有唯一解，时，方程组有唯一解，此时方程组的（唯一）解是此时方程组的（唯一）解是2121111(1) (1)1D 2221111(1)1D2232111(1) (1)11D1(1)2x212x23(1)2x又因为又因为 例例 2 的进一步讨论：的进一步讨论：从而方程组有从而方程组有无穷多组解无穷多组解；1、当、当1时，方程组的系数行列式时，方程组的系数行列式 ，原，原0D 方程组方程组1231xxx与下列方程与下列方程同解同解12312321231xxxxxxxxx这是个这是个不相容方程组不相容方程组，所以原方程组此时，所以原方程组此时无解无解。2、当、当2 时，原方程组时，原方程组123123123212224xxxxxxxxx 12312321231xxxxxxxxx即为即为克莱姆克莱姆(Cramer)法则法则 齐次线性方程组有非零解的条件齐次线性方程组有非零解的条件 n元线性方程组。元线性方程组。四、小结四、小结 克莱姆克莱姆(Cramer)(Cramer)法则只适用于什么类型的线法则只适用于什么类型的线性方程组？性方程组？五、思考题五、思考题思考题解答：思考题解答： 克莱姆克莱姆(C