极坐标复习good

1、三种圆锥曲线的统一的极坐标方程 如图建立坐标系， 设圆锥曲线上任一点 ， 由定义知 整理得： 称此方程为三种圆锥曲线的统一的极坐标方程 )(MPFK eMAMFcosPBKMAePcos cos1eeP xKA)(MF Bl 表示椭圆 表示抛物线 表示双曲线右支 (允许 表示整个双曲线)10 e1e1e0 xFly cos1eeP 数种表示。内一个点的极坐标有无和直角坐标不同，平面的坐标为个点，特别地，极点表示同一与一般地，极坐标系)(, 0()2,(),(ROk表示的点也是唯一确定坐标表示，同时，极标内的点可用唯一的极坐那么除极点外，平面如果规定),(),(,20 , 0负极径负极径 根据极

2、径定义，极径是距离，当然是正的。根据极径定义，极径是距离，当然是正的。极径是负的，等于极角增加极径是负的，等于极角增加 。负极径的。负极径的负用来表示方向，比较看来，负极径比正极负用来表示方向，比较看来，负极径比正极径多了一个操作，将射线径多了一个操作，将射线OP反向延长。而反向延长。而反向延长可以说成旋转反向延长可以说成旋转 ，因此，所谓负，因此，所谓负极径实质是管方向的。这与数学中通常的习极径实质是管方向的。这与数学中通常的习惯一致，用负表示方向。惯一致，用负表示方向。 的一条直线。表示极角为的一条射线。表示极角为)()0(R 1、极坐标系 极坐标系：在平面内任取一个定点O，叫做极点极点，

3、引一条射线ox，叫做极轴极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样建立的坐标系叫做极坐标系极坐标系。 Ox)(M 点的极坐标：对于平面内任意一点M，用表示线段OM的长度，叫做点M的极径极径；用表示从ox旋转到OM的角度， 叫做点M的极角极角，有序数对M(, )就叫做点M的极坐标极坐标. 狭义极坐标系：极径极径00，极角，极角00，22）. . 在狭义极坐标系中，平面上的一点在狭义极坐标系中，平面上的一点( (除极点外除极点外) )的极坐标系是唯一的的极坐标系是唯一的. . 广义极坐标系：极径极径R R ，极角，极角R.R. 在广义极坐标系中，平面上的一点的极坐标在广义极坐

4、标系中，平面上的一点的极坐标系有无数个系有无数个. .当当00时，点时，点MM(,) 的位置可以按以下规则确定：的位置可以按以下规则确定：作射线作射线OPOP，使没，使没xOP= xOP= ，在，在OPOP的反向延长线上取一点的反向延长线上取一点MM使使|OM|=|OM|=| ，MM就是极坐标就是极坐标为为(,)的点。的点。OMx| 2、极坐标和直角坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。xyOyMNx互化公式：极坐标化为直角坐标sincosyx直角坐标化为极坐标xytgyx222 曲线曲线C C上的点的极坐标与一个二元方程上的点的极坐标

5、与一个二元方程f (,)=0f (,)=0的实数解建立了如下关系：的实数解建立了如下关系：1.1.曲线上的点的无数个极坐标中至少有一个是方程曲线上的点的无数个极坐标中至少有一个是方程 f ( ,)=0f ( ,)=0的解；的解；2.2.方程方程f ( ,)=0f ( ,)=0的解为极坐标的点都是曲线上的的解为极坐标的点都是曲线上的点点; ; 那么，方程那么，方程f ( , )=0f ( , )=0叫做曲线的极坐标方程叫做曲线的极坐标方程。3 3、曲线的极坐标方程曲线的极坐标方程概念曲线的极坐标方程概念 = 0 (0) = 0 (R) o xo x00基本曲线的极坐标方程基本曲线的极坐标方程 直

6、线的的极坐标方程 正弦定理正弦定理o x M(,)M(,)M(,)a = sin( - )asin( - )sin( - ) = asin xxxxP( ， )P( ， )P( ， )P( ， )ooooaaaa cos =a sin =a sin =-a cos = -a直线的极坐标方程 o xroxP(r， = r圆的极坐标方程圆的极坐标方程 r2= 2+ 02- 2 0cos( - 0)余弦定理余弦定理c( 0， 0)P( ， ) ooooxxxxc(a，0)c(a， /2)c(a， )c(a，- /2)P( ， )P( ， )P( ， )P( ， ) =2acos =2acos( -

7、)= -2acos =2acos( -3 /2)= -2asin =2asin ) c( 0， 0)raP( ， )P( ， )余弦定理余弦定理r2= 2+ 02- 2 0cos( - 0)正弦定理正弦定理 = sin( - )asin( - ) = asin sin( - )ooxx5、极坐标系中的两点之间的距离公式；O xB( 2， 2)A( 1， 1) 2- 1由余弦定理由余弦定理|AB|2= 12+ 22-2 1 2COS( 2- 1) P47 三种圆锥曲线的统一的极坐标方程三种圆锥曲线的统一的极坐标方程 动点动点M到定点到定点(焦点焦点)F与到定直线与到定直线(准线准线)L的的 距离

8、的比为距离的比为e，求点求点M的极坐标方程。的极坐标方程。 分析：以焦点分析：以焦点F为极点，为极点， 如图建立极坐标系。如图建立极坐标系。F到到L 的离的离|FK|=p，M，为轨为轨 轨上的任一点。轨上的任一点。 把条件把条件 = e，用极坐标表示用极坐标表示=e 解出解出 = KFHM( ， )x|MF|MH| P+ cos ep1-ecos 上述方程统一表示椭圆、双曲线、抛物线上述方程统一表示椭圆、双曲线、抛物线 FLxLFxxFL当当0e1时，方程表示时，方程表示椭圆，椭圆，F是左焦点，是左焦点，L是左准线。是左准线。当当1e时，方程表示双时，方程表示双曲线，曲线，F是右焦点，是右焦点

9、，L是右准线。是右准线。当当e=1时，方程表示抛时，方程表示抛物线，物线，F是焦点，是焦点，L是是准线，开口向右。准线，开口向右。 圆锥曲线极坐标方程的应用圆锥曲线极坐标方程的应用 例例 5 (1) 以抛物线以抛物线y2=5x的焦点为极点，对称轴的焦点为极点，对称轴 向右的方向为极轴的正方向，且向右的方向为极轴的正方向，且x轴与极轴的轴与极轴的 长度单位相同，求抛物线的极坐标方程。长度单位相同，求抛物线的极坐标方程。 分析：设所求的抛物线的极坐标方程为分析：设所求的抛物线的极坐标方程为 = ，基中，基中e=1，p是焦点到准线的是焦点到准线的 距离，距离，p= ，代入上式得所求的抛物线，代入上式

10、得所求的抛物线 = = ep1-ecos 521- cos 1 252- 2cos 5 (2) 以椭圆以椭圆 + = 1的左焦点为极点，长轴的左焦点为极点，长轴 向右的方向为极轴的正方向，且向右的方向为极轴的正方向，且x轴与极轴的轴与极轴的 长度单位相同，求椭的极坐标方程。长度单位相同，求椭的极坐标方程。 分析：根据已知条件，可设所求的椭圆的分析：根据已知条件，可设所求的椭圆的 极极 坐标方程为坐标方程为 = ，由椭圆的直角坐标，由椭圆的直角坐标 方程求得方程求得 a=5，b=4，c=3，e= ， p= -3+ = ，代入上式，代入上式 = = x2y21625ep1-ecos 3532531

11、63/5 16/31-3/5cos 165-3cos 例例 6 通过抛物线通过抛物线y2=8x的焦点的焦点F，作一条倾斜，作一条倾斜 角为角为 /4的直线，交抛物线于的直线，交抛物线于A、B两点，求两点，求 焦点弦焦点弦|AB|的值。的值。 分析：可用以往学过分析：可用以往学过 的方法求焦点弦的长。的方法求焦点弦的长。 也可建立极坐标系解决。也可建立极坐标系解决。 点点F为极点，为极点，x轴正半轴轴正半轴 为极轴，它的极坐标方程为为极轴，它的极坐标方程为 = ， 1= ， 2= |AB|= 1 + 2=16 o F xABy41-cos 1 241-cos /441-cos5 /4 P52 5

12、3 极坐标和直角坐标的互化极坐标和直角坐标的互化 以直角坐标系以直角坐标系xoy的的 原点为极点，原点为极点，x轴的正方轴的正方 向为极轴，点向为极轴，点M的直角的直角 坐标为坐标为(x，y)，它的极它的极 坐标为坐标为( ，根据三角，根据三角 函数定义，同一点函数定义，同一点M的两种坐标有下面关系的两种坐标有下面关系 x= cos ， y= sin ， 2=x2+y2 ，tg = (x=0) 一般，根据一般，根据M所在象限所在象限 ， 取最小的正角。取最小的正角。oxyM)yx,.,.,:,.MOMOMOxOMMMMM 设 为平面上任意一点,连接 , 令 表示从 到 的角 称为点 的极径 称

13、为点 的极角这一对有序实数 与 称为点 的极坐标记作0,0,0,0. 当 时 不论 取什么值 都表示极点.当 时 不论 取什么正值 当 都在极轴上0,02,.MMM 当时 对于平面上任意一点 除极点外都可以找到惟一的一对实数与之对应;反过来,对于任意一对实数 也总可以在平面上找到惟一的一点 与之对应.也就是说,当 和 在上述范围内取值的 平面上的点 除极点外 与实数对之间具有一一对应的关系,.0,103( );0,103( )0,;0,. 由于实际应用的需要 极径 和极角 也可以取负值当时 规定在角 的终边上取点使如图a 所示 当时 则在角 的终边的反向延长线上取点,使如图b 所示;当时 极轴

14、按逆时针方向旋转 当时 极轴按顺时针方向旋转MOMMOM103图 极径 和极角 的不同取值Ox,M 0 0O,M 0 0 x,3733, 3,3,444113,.,243,MMMk 由此可知,在这样的规定下,对于任意一对有序实数仍然可以在平面上确定惟一的点 , 但是反过来,平面上任意一点却对应着无限多对实数,它们都是这个点的极坐标.例如,图10-5中点 的极坐标可以是一般说来 点 的极坐标可以写为 3,-4或 421,kkZ 其中这种点与坐标之间的非一一对应关系是极坐标不同于直角坐标的地方.,.,00.由于 -可用来表示因此 可将的情形转化为的情形来处理.除非必要, 一般不取负值 2.极坐标和

15、直角坐标的互化 极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标系，同一个点可以用极坐标表示，也可以用直角坐标表示.为了研究问题方便，有时需要把它们进行互化.106,.如图所示 把直角坐标系的原点作为极点 轴的非负半轴作为极轴 并在两种坐标系中取相同单位长度x图10-6 直角坐标系与极坐标系的关系xOy, yx,M x y ,由以上点的对称关系 可得到曲线的对称关系见表10-1.f = f线对称关表10 -1 曲的系以代替 ,方程不变以代替 ,方程不变曲线关于极点对称曲线关于极轴对称 以- 代替 ,同时以-代替 ,方程不变曲线关于 =对称2, 同样 在极坐标系中曲线上的动点的轨迹可以用流动坐标 和 分别与

16、另一个变量 的一组方程Mt 10-4ttt ， .来表示 方程组（10-3）和方程组（10-4）叫做曲线的参数方程.变量t叫做参数. 在用参数方程表示曲线时，方程中的参数不一定是时间，也可以是其他的量，应当根据问题的具体条件适当地选定. 为了与曲线的参数方程有所区别，我们把表示曲线上点的坐标之间的直接关系的方程叫做曲线的普通方程.四、曲线参数方程的建立,txyt 建立曲线的参数方程 除去由曲线的普通方程化为参数方程以外,通常是把曲线看作动点的轨迹,选取适当的参数 ,使曲线上点的流动坐标 与 或 与分别用与参数 的关系式来表示,下面我们来介绍一些常见曲线的参数方程.1.椭圆的参数方程22221.,.,:xyM x,yababa, bMMAxAAOAAOxt 设是椭圆上的任意一点.以原点为圆