第七次课04功和能(05级本一)1

1、1 第 4 章 功 和 能1 2 4. 8 由势能求保守力由势能求保守力 4. 9 机械能守恒定律机械能守恒定律 4. 1 功功 4. 2 动能定理动能定理4. 一对力的功一对力的功 4. 4 保守力保守力 4. 4 势能势能 4 .6 引力势能引力势能 4 .7 弹簧的弹性势能弹簧的弹性势能 4.10 守恒定律的意义守恒定律的意义 4. 11 碰撞碰撞 4. 12 两体问题两体问题第第4章章 功和能功和能3 4.1 功功 功是力和它所作用的质元（质点）的位移的点积。功是力和它所作用的质元（质点）的位移的点积。称为称为“力沿路径力沿路径 L 的线积分的线积分”212112ddrFAA(L)12

2、m)(rFrdL(1)功是过程量；功是过程量；(2)功是标量（有正负）；功是标量（有正负）； rFAdd对微小过程，可当成恒力、直线运动对微小过程，可当成恒力、直线运动 研究力在空间的积累效应。研究力在空间的积累效应。4(4)作功与参照系有关。作功与参照系有关。例如：传送带将箱子从低处例如：传送带将箱子从低处运到高处，地面上的人看摩运到高处，地面上的人看摩擦力作功了，而站在传送带擦力作功了，而站在传送带上的人看摩擦力没有作功。上的人看摩擦力没有作功。静f(3)多个力对物体作功，等于各力对物体作功的代数和。多个力对物体作功，等于各力对物体作功的代数和。rFFFrFAn)(21inAAAA21rF

3、rFrFn21(5)在直角坐标系中功的解析式：在直角坐标系中功的解析式：b ba az zy yx xd dz z) )F Fd dy yF Fd dx x( (F FA A5rdxyoabgm)()(dbaprgmA)(dbayyyymgymgba )()()d).(d(baj yi xjmg例例1. 重力的功重力的功 在地面附近在地面附近 质量为质量为 m 的物体的物体 从从 a 到到 b，求重力的功。求重力的功。蚂蚁在作功蚂蚁在作功6(1)(2)xkfrd 2112drfA注意注意功的数值依赖于参考系的选择。功的数值依赖于参考系的选择。 例如，上题中，在桌面参照系例如，上题中，在桌面参照

4、系 f 作负功作负功; 在小球参照系在小球参照系弹性力对小球弹性力对小球 f 并不作功！并不作功！22212121kxkx 2121xxxxki xikxdd例例2.一水平桌面上放置的一水平桌面上放置的弹簧振子弹簧振子,小球从小球从A点运动点运动 到到B点的过程中点的过程中,求弹性力对小球作的功。求弹性力对小球作的功。(0)7（瞬时）功率（瞬时）功率vFtrFtApdddd由动力机械驱动时，马达的输出功率由动力机械驱动时，马达的输出功率是一定的，速度小、力大，速度大、力小。是一定的，速度小、力大，速度大、力小。若在若在 t t + dt 内，力内，力 的元功为的元功为 dA，则则 t 时刻的功

5、率为时刻的功率为F8 4.2 动能定理动能定理 一一. . 质点的动能定理质点的动能定理 tvtvmramtdddd 2121“合力对质点作的功等于质点动能的增量合力对质点作的功等于质点动能的增量”122122212121KKdEEvmvmvvmvv 212112ddrFrFAtmrdtFF12设合力为设合力为 ，由牛，由牛II ，F9 一个过程量一个过程量=始末两个状态量之差。始末两个状态量之差。动能定理只适用于惯性系。动能定理只适用于惯性系。 说明说明:冲浪力和重力对人体作功冲浪力和重力对人体作功10二二 . . 质点系的动能定理：质点系的动能定理： 对第对第 i个质点：合外力的功个质点：

6、合外力的功 合内力的功合内力的功 对质点系：对质点系：iiiiiiiiEEAA1K2K内外iA外iA内iiiiEEAA1K2K内外A外外 + A内内 = Ek2 - Ek1 简记为简记为 11A外外 + A内内 = Ek2 - Ek1 注意：注意：1. 内力是成对出现的，内力是成对出现的， 但内力功之和不一定为零。但内力功之和不一定为零。例如，两个异号点电荷相吸引；例如，两个异号点电荷相吸引； 2. 内力不能改变系统的总动量，内力不能改变系统的总动量， 但能改变系统的总动能。但能改变系统的总动能。地雷爆炸。地雷爆炸。所有外力对质点系做的功和内力对质点系做的功所有外力对质点系做的功和内力对质点系

7、做的功之和等于质点系总动能的增量。之和等于质点系总动能的增量。 -质点系的动能定理质点系的动能定理12. 一对力的功一对力的功zxy1f2f1r21r1A2A2B1B1rd2rd1m2m2r01221rrr 设一对力分别作用在两个物体上，大小相等，设一对力分别作用在两个物体上，大小相等，方向相反，方向相反， 。21ff 13一对力的元功一对力的元功)d(dddd1222211rrfrfrfA对的的位位移移。相相对对于于：1221dmmr初位形（初位形（A）: m1-A1，m2-A2末位形（末位形（B）: m1-B1， m2-B2)d(d)B()A(121)B()A(212ABrfArfA或对2

8、12rfd 1221rrr )d(122rrf 14 .一对力的功等于一对力的功等于其中一个质点受的力其中一个质点受的力沿着沿着 它它相对于另一质点移动的路径相对于另一质点移动的路径所作的功。所作的功。.由于一对力的功只与由于一对力的功只与“相对路径相对路径”有关，有关， 所以所以与参考系的选取无关与参考系的选取无关。 计算一对力的功时计算一对力的功时, ,可以认为一个质点（如可以认为一个质点（如m1 ）静止，把它作为参考系的原点，再计算另一质点静止，把它作为参考系的原点，再计算另一质点（如（如m2 ）在此参考系中运动时它所受力做的功。）在此参考系中运动时它所受力做的功。说明说明:)d(d)B

9、()A(121)B()A(212ABrfArfA或对150d)(0d22121对时，或，相对位置不变Afrr当当)B()A(212ABdrfA对3. 例如，例如，质量为质量为m的物体在地面上下落高度为的物体在地面上下落高度为h时，时， 它受的重力与地球受它的引力这一对力做的功它受的重力与地球受它的引力这一对力做的功 之和，就等于之和，就等于mgh。例例1：一对静摩擦力的功：一对静摩擦力的功 是多大？是多大？v16v无论大物体怎么运动，无论大物体怎么运动，这一对力的功总是零，这一对力的功总是零，因为它们之间没有相对运动。因为它们之间没有相对运动。一对静摩擦力的功恒为零！一对静摩擦力的功恒为零！

10、例例2：小物体下滑大物体后退，：小物体下滑大物体后退， 一对正压力一对正压力 的功是多大？的功是多大？N N1v2v1212v00,21NNAvNAvN，不垂直于不垂直于1712vN垂直于垂直于一对正压力的功恒为零！一对正压力的功恒为零！为什么？为什么？N N1v2v1212v18例例. 在光滑水平面上停放一个砂箱，长度为在光滑水平面上停放一个砂箱，长度为 l， 质量为质量为M。一质量为。一质量为 m的子弹以水平初速的子弹以水平初速 v0 穿透砂箱，射出时速度减为穿透砂箱，射出时速度减为 v，方向仍为水平。，方向仍为水平。 试求砂箱对子弹的平均阻力。试求砂箱对子弹的平均阻力。【解】【解】由题给

11、的条件，由题给的条件，根据动量的规律，根据动量的规律，可先求出子弹射出时砂箱的速度。可先求出子弹射出时砂箱的速度。再根据能量的规律，再根据能量的规律，由计算一对力的功由计算一对力的功的办法，求出子弹受的平均阻力。的办法，求出子弹受的平均阻力。（直接用冲量定理？）（直接用冲量定理？）mMlvv0 x19系统：砂箱和子弹系统：砂箱和子弹水平外力为零，水平外力为零，水平动量守恒，水平动量守恒，设子弹射出时砂箱的速度为设子弹射出时砂箱的速度为V，如图，如图，0mvmvMV )vv(MmV 0（0）mMlvv0 x设设V则有则有20由动能定理：由动能定理： 现在外力的功为零；现在外力的功为零； 内力的功

12、内力的功 就是一对阻力的功，就是一对阻力的功，A外外 + A内内 = Ek2 - Ek1我们以砂箱为参照系来计算这一对阻力的功：我们以砂箱为参照系来计算这一对阻力的功：设子弹受的平均阻力为设子弹受的平均阻力为 （即看作常数）（即看作常数） ,而子弹相对砂箱的位移即为而子弹相对砂箱的位移即为l ，rf2022212121mvmvMVlfr 所以，所以，21将将V代入代入， 可得可得 20222021211vvMmvvmlfr)(0vvMmV 2022212121mvmvMVlfr 22 第 4 章 功 和 能2 23. 保守力保守力 一对万有引力的功：一对万有引力的功：rrGMmf2 以以 M为

13、参考系的原点为参考系的原点,计算起来就非常方便，计算起来就非常方便，只要算一个力的功只要算一个力的功 即可。即可。rrrdd 2112drfA对rrrGMmd 221fr rrdMm211r2r24一对万有引力的一对万有引力的功功“与质点的始末位置有关与质点的始末位置有关,与路径无关，这种性质的力称为保守力与路径无关，这种性质的力称为保守力”。12221rGMmrGMmrrGMmrr drrrGMmAd22112对fr rrdMm21rd1r2r25Lrf0d保保守力的另一定义（重要性质）：一质点相对于保守力的另一定义（重要性质）：一质点相对于另一质点沿闭合路径运动一周时，它们之间的另一质点沿

14、闭合路径运动一周时，它们之间的保守力做的功必然是零。保守力做的功必然是零。若若 是保守力，必有是保守力，必有f26 常见的保守力常见的保守力: 万有引力万有引力 ( 或有心力）或有心力）rrff)( 弹力弹力 （或位置的单值函数）（或位置的单值函数）xkf 重力重力 （或恒力）（或恒力）gmf 常见的非保守力（耗散力）：常见的非保守力（耗散力）： 摩擦力摩擦力 爆炸力爆炸力27kfxrd 4.5 势能势能 4.6 引力势能引力势能 4.7 弹簧的弹性势能弹簧的弹性势能 2p1p222121122121dEEkxkxrfA 它与始末相对位形有关它与始末相对位形有关,与运动过程无关。与运动过程无关

15、。 一对保守力的功只与系统的始末相对位形有关一对保守力的功只与系统的始末相对位形有关, 说明系统存在一种只与相对位形有关的能量。说明系统存在一种只与相对位形有关的能量。例如例如.一端固定在墙上的一端固定在墙上的 水平弹簧振子水平弹簧振子, 一对弹性力的功一对弹性力的功:28一对保守力的功（过程量）都可以写成两个一对保守力的功（过程量）都可以写成两个状态量之差状态量之差,这两个状态量称为系统的势能这两个状态量称为系统的势能,用用 表示表示,pE一对保守力的功等于系统势能的减量。一对保守力的功等于系统势能的减量。 (或势能增量的负值或势能增量的负值) p1p2p2p1p12EEEEEA 若选定势能

16、零点为若选定势能零点为 =0 2PE )()(Pd.零零点点保保11rfE则则29 对万有引力势能对万有引力势能:通常选两质点相距通常选两质点相距 无限远时的势能为零无限远时的势能为零, 重力势能：重力势能：实质上是地球表面附近物体的实质上是地球表面附近物体的 万有引力势能的一个简化。万有引力势能的一个简化。 （选地球表面为势能零点）（选地球表面为势能零点）rGmMRGmM 地地万万RrrrGmMEdp2Rrh rrGmMrrGmMEdp2万万则则30令令 若若 hR，hRr RrRrGmMrGmMRGmMrrGmMERr)(dp 2万万式中式中22m/s8 . 9 RGMg 对弹性势能对弹性

17、势能:通常以弹簧自然长度为坐标原点并通常以弹簧自然长度为坐标原点并选为势能零点选为势能零点, 则则221kxE 弹弹pmghRGmMhE 2万万则则p31说明：说明：1. 势能属于有相互作用的系统势能属于有相互作用的系统。 3. 势能零点的选择可以任意。势能零点的选择可以任意。 势能零点的选择不同势能零点的选择不同,势能的值不同势能的值不同, 但不影响两势能之差但不影响两势能之差，即不影响一对保守力的功。即不影响一对保守力的功。2. 势能的差值不依赖于参考系的选择。势能的差值不依赖于参考系的选择。 因为一对保守力的功不依赖于参考系的选择因为一对保守力的功不依赖于参考系的选择。因为它是与一对保守

18、力的功联系在一起的。因为它是与一对保守力的功联系在一起的。重力势能为重力势能为 mgh，好象只与一个物体的质好象只与一个物体的质量有关，其实这是以地球为参考系的缘故。量有关，其实这是以地球为参考系的缘故。p12EA保32 保守力保守力积分积分势能势能 )()(Pd零零点点保保11rfE 保守力保守力微分微分势能势能如何由势能求保守力如何由势能求保守力?33pddElfl 保保lEfpldd 保保4.8 由势能求保守力由势能求保守力zEfyEfxEfpzpypx 保保保保保保则则,lmlf保保保保fld对于一个元过程，保守力的功有对于一个元过程，保守力的功有pddElf 保保)z ,y,x(EE

19、pp 一般一般)(方向上变化率的负值方向上变化率的负值在在 lEp34kxkxxfx 221dd则则例例 1. 由弹性势能求弹性力。由弹性势能求弹性力。zEfyEfxEfpzpypx 保保保保保保,zzyyxx 算符算符（梯度算符（梯度算符 ）pppppEEgradzzEyyExxEf ）（保保记作记作221kxEp 弹弹已知已知35例例 2. 由万有引力势能求万有引力。由万有引力势能求万有引力。rGmMEp 万万2ddrGmMrGmMrfr 万万364.9 机械能守恒定律机械能守恒定律121122)(EEEEEEAApkpk）（内非外21PPEEA内保12KkEEAA内外质点系动能定理：12

20、kkEEAAA内非内保外12EEAA内非外功能原理功能原理（成立条件（成立条件 为惯性系）为惯性系）.021EEAA时，当内非外EAAd d d内非外37如果在质点系的运动过程中如果在质点系的运动过程中, 只有保守内力作功只有保守内力作功(外力和非保守内力都不作功外力和非保守内力都不作功),那么这过程机械能那么这过程机械能守恒。守恒。-机械能守恒定律机械能守恒定律.021EEAA时，当内非外称为机械能守恒。称为机械能守恒。12EEAA内非外38。之间转化的手段和度量与是所以内保kpEEAkp0EAE内保即kp0EAE内保说明说明内保时，当AEEEpk01.撑杆跳的过程撑杆跳的过程 , 能量是怎

21、样转化的能量是怎样转化的?392. 对于一个孤立系统（与外界无相互作用）对于一个孤立系统（与外界无相互作用） 若若A内非内非 0, 它的机械能就不守恒。它的机械能就不守恒。 A内非内非 0 - E2 E1-其他形式能量转化其他形式能量转化 为机械能为机械能 (地雷）地雷） A内非内非 0 - E2 E1-机械能转化为其他机械能转化为其他 形式能量形式能量 （摩擦）（摩擦）注意注意:1. 机械能守恒定律也只适用与惯性系。机械能守恒定律也只适用与惯性系。0外A 2. 但是，在一个惯性系中机械能守恒但是，在一个惯性系中机械能守恒, 在另一个惯性系中机械能不见得守恒。在另一个惯性系中机械能不见得守恒。

22、要看机械能守恒条件在该惯性系中是否成立？要看机械能守恒条件在该惯性系中是否成立？12EEA内非40S ：S ：T )Vv(v 0TAA外机械能不守恒。机械能不守恒。例例 一个单摆如图，对一个单摆如图，对“小球和地球小球和地球”组成的系统，组成的系统， 若在匀速直线运动的小车系若在匀速直线运动的小车系S中是中是机械能守恒的，机械能守恒的， 但在地面系但在地面系S中并不守恒。中并不守恒。.const VS mv vVOS只有保守内力作功，只有保守内力作功， ，机械能守恒。，机械能守恒。Tv 41这是在美国这是在美国 加州的加州的一组排成阵列的镜子，一组排成阵列的镜子，它们将太阳光会聚到它们将太阳光

23、会聚到塔顶处的锅炉上。塔顶处的锅炉上。 太阳能太阳能热能热能大量事实表明大量事实表明: 一个孤立系统无论经历何种变化一个孤立系统无论经历何种变化,系统各种形式能量的总和是不变的。系统各种形式能量的总和是不变的。 这称为这称为普遍的能量守恒定律普遍的能量守恒定律。42机械能守恒定律及守恒定律的综合应用机械能守恒定律及守恒定律的综合应用mmgvtaTl 书书P203例例4.643书书P205例例4.7对！对！44书书P206例例4.845例例4.9物体逃离地球引力的逃逸速度物体逃离地球引力的逃逸速度 （第二宇宙速度）（第二宇宙速度）系统：物体和地球系统：物体和地球条件：只有保守内力做功条件：只有保

24、守内力做功机械能守恒机械能守恒0212122 vmRGMmmv刚能逃离地球的速度为逃逸速度，刚能逃离地球的速度为逃逸速度，与它对相应的与它对相应的v为最小值（零），为最小值（零），RGMv2 逃逸逃逸【解解】vRmM（离地球时的机械能）（离地球时的机械能）（无穷远时的机械能）（无穷远时的机械能）46RGMv2 逃逸逃逸由于在地面上的物体由于在地面上的物体2RmMGmg gRGM 2km/s. 211891046226 Rgv逃逸逃逸所以所以由上式看到，若星球的质量由上式看到，若星球的质量M 越大、半径越大、半径R 越小，越小，则逃逸速度越大，当然其极限为真空中的光速。则逃逸速度越大，当然其极限

25、为真空中的光速。逃逸速度达到光速的星球称为黑洞。逃逸速度达到光速的星球称为黑洞。47例例2. 已知：如图所示已知：如图所示. m =0.2kg, M= 2kg, v =4.9m/s 求：求：hmax=?【解】【解】 系统系统: m + M +地球地球 条件条件: A外外=0，A内非内非=0 故机械能守恒故机械能守恒.当当 h = hmax的时刻，的时刻，M与与 m 速度相同，速度相同，设为设为V,沿水平方向。沿水平方向。vmM光滑光滑光滑光滑) 1 ()(21021max22mghVMmmv 48 对对m+M：水平方向：水平方向F外外=0，水平方向动量守恒。，水平方向动量守恒。（竖直方向动量守

26、恒否？）（竖直方向动量守恒否？） mv =（m+M）V (2)由由(1) (2)得得 gv.Mmhmax2112 m11. 18 . 929 . 422 . 0112max h代入数据：代入数据：49 物理学特别注意对守恒量和守恒定律的研究，物理学特别注意对守恒量和守恒定律的研究， 第一第一. 从方法论上看：从方法论上看：自然界中许多物理量如动量、角动量、机械能、自然界中许多物理量如动量、角动量、机械能、 电荷、质量等等，都具有相应的守恒定律。电荷、质量等等，都具有相应的守恒定律。利用守恒定律研究问题，可避开过程的细节，利用守恒定律研究问题，可避开过程的细节，而对系统始、末态下结论（特点、优点

27、）。而对系统始、末态下结论（特点、优点）。第二第二. 从适用性来看：从适用性来看：守恒定律适用范围广，宏观、微观、守恒定律适用范围广，宏观、微观、 高速、低速均适用。高速、低速均适用。4.10 守恒定律的意义守恒定律的意义50 第三第三. 从认识世界来看：从认识世界来看： 守恒定律是认识世界的很有力的武器。守恒定律是认识世界的很有力的武器。 在新现象研究中，若发现某守恒定律不成立，在新现象研究中，若发现某守恒定律不成立， 则往往作以下考虑：则往往作以下考虑： （1）寻找被忽略的因素，从而使守恒定律成立，）寻找被忽略的因素，从而使守恒定律成立， 如中微子的发现。如中微子的发现。例例. . - -

28、衰变：设衰变：设A、B为两种原子核为两种原子核 eBA从测量从测量A,BA,B 和和e e- - 的方向来看的方向来看似乎似乎违反违反 动量守恒定律动量守恒定律(?)(?)19301930年年, ,泡利提出假设泡利提出假设: :还放出了还放出了 不带电、质量很小的中微子不带电、质量很小的中微子; ; 19561956年年, ,人们终于在此实验的反应人们终于在此实验的反应产物中测到了中微子。产物中测到了中微子。（获诺贝尔奖）（获诺贝尔奖）51 不论哪种情况，都是对自然界的认识上了新台阶。不论哪种情况，都是对自然界的认识上了新台阶。 因此守恒定律的发现、推广、甚至否定，都能对因此守恒定律的发现、推广、甚至否定，都能对