方向导数偏导数与全微分

1、 7.3 方向导数、偏导数与全微分一、方向导数与偏导数二、全微分三、梯 度一、方向导数与偏导数, )1(,222121 vvxOyvvv平面上的一个单位向量平面上的一个单位向量是是设设, ),(),(000yxPlvyxP上任取一点上任取一点的直线的直线平行平行且与方向且与方向在经过点在经过点, ,000yyxxPP 则有向量则有向量,0vPP平行于平行于且且,R0tvPPt 使得使得从而必存在从而必存在,20102010 tvyytvxxtvyytvxx或写成或写成即即.的参数方程的参数方程直线直线 l.),(),(,),(2010的一元函数的一元函数就变成了变量就变成了变量二元函数二元函数

2、变动时变动时沿着直线沿着直线当点当点ttvytvxfyxflyxP , ),()(2010tvytvxftg 令令. ),()0(00yxfg 则则tgtgtgtt)0()(limdd00 如果导数如果导数,),(),(lim0020100存在存在tyxftvytvxft ,),(),(000的方向导数的方向导数向向处沿方处沿方在点在点则称此导数值为函数则称此导数值为函数vyxPyxf.),(000yxPvfvf 或或记为记为例例1解解.014, 3)21(,),(22的方向导数的方向导数，与方向与方向沿方向沿方向，函数在点函数在点分别计算此分别计算此设二元函数设二元函数 uwyxyxfttt

3、vft2lim202,1 ）（从从而而,54,53, wwvw得单位向量得单位向量单位化单位化将向量将向量),(),(002010yxftvytvxf 则则)2, 1(542,531fttf ,22tt .2 tttt2lim20 的方向导数为的方向导数为沿方向沿方向可求得在点可求得在点类似地类似地u)2, 1(,tftfuft)2, 1()2,1(lim0)2, 1( .2 定义定义7.4,),(,),(),(),(),(0000000的偏导数的偏导数的偏导数和关于的偏导数和关于关于关于分别称为分别称为则他们则他们存在存在和和若方向导数若方向导数内有定义内有定义的某邻域的某邻域在在设二元函数

4、设二元函数yxyxfjfifyxPyxfzyxyx . ),(),(),(),(,00000000),(),(),(),(00000000yxzyxzyxfyxfyzxzyfxfyxyxyxyxyxyx 及及或或及及或或及及或或及及分别记为分别记为例例21)1, 1(e )1sin(dd yyyyyz解解1)1sin()1cos(e xxxx1)1, 1(e )1sin(dd xxxxxz1)1cos()1sin(e yyyy.)1,1(e)sin()1, 1()1, 1( yzxzyxzxy及及处偏导数处偏导数在点在点求求,e1 .e1 例例3 解解.)0, 0()ln()2, 1()2,

5、1(yxyxyzzzzyxxyxz 与与以及以及与与数数的偏导的偏导求函数求函数xyyyxzyx 1可得可得看作常数看作常数将将时时求求,yzx xyxy11 ;3)2,1( xz从从而而可得可得看作常数看作常数将将时时求求类似地类似地,xzy yxxzyy1ln .21)2, 1( yz从而从而解解例例4 .)ecos(22的偏导数的偏导数求三元函数求三元函数zyxu xyxxuz2)esin(22 得得看作常数看作常数和和把把,zy),esin(222zyxx )2()esin(22yyxyuz 得得看作常数看作常数和和把把,zx),esin(222zyxy )e()esin(22zzyx

6、zu 得得看作常数看作常数和和把把,yx. )esin(e22zzyx . ),(:),(0000轴的斜率轴的斜率对对处的切线处的切线在点在点曲线曲线xMyyyxfzyxfx . ),(:),(0000轴的斜率轴的斜率处的切线对处的切线对在点在点曲线曲线yMxxyxfzyxfy 偏导数的几何意义偏导数的几何意义0 x0yO例例5 5 解解.)0, 0(0, 00,),(222222关系关系点的偏导数与连续性的点的偏导数与连续性的在在讨论函数讨论函数 yxyxyxxyyxf由偏导数的定义知道由偏导数的定义知道0)0, 0(), 0(lim)0, 0(0 yfyffyy0)0 , 0()0 ,(l

7、im)0, 0(0 xfxffxx.)0, 0(),(,72 . 7不不连连续续在在点点函函数数知知道道例例但但由由yxf,)0, 0(),(的偏导数都存在的偏导数都存在在点在点从而从而yxf性质性质7.3.)() ),(),(,)(),(),(000000连续连续点点或或点点在在或或则则偏导数存在偏导数存在的的或或处关于处关于在在设设yyxxyxfyxfyxyxyxfz 二、全微分定义定义7.5(*)( oyBxA 改改变变量量可可以以表表示示成成的的如如果果和和一一个个改改变变量量给给有有定定义义的的某某一一邻邻域域内内在在设设zyxyxyxPyxfz,),(),(00000 ),(),(

8、0000yxfyyxxfz ,)0, 0(),()(,),(, ),(,22000的高阶无穷小量的高阶无穷小量时时表示表示无关的常数无关的常数有关、与有关、与是只与是只与其中其中 yxoyxyxyxfyxPBA)57(d),(00 yBxAzyx即即或或,dd),(),(0000yxyxfz记为记为处的全微分处的全微分在在为为且称且称处可微处可微在点在点则称则称,),(),(,),(),(000000yxPyxfyBxAyxPyxf )47(d),(00 yBxAzyx从而得到近似公式从而得到近似公式的主部的主部是是很小时很小时当当,d,),(00zyBxAzyxyx ),(),(0000yx

9、fyyxxfz .),(,),(内内的的可可微微函函数数是是称称内内处处处处可可微微时时在在区区域域当当DyxfDyxf定理定理7.1则则处处可可微微在在若若,),(),(000yxPyxfz ),(, ),(,(*),),()1(00000yxfByxfABAPyxfyx 分别为分别为中的中的式式且且处的偏导数都存在处的偏导数都存在在点在点)67(),(),(,)1(,),(),()2(200100),(2221210000 vyxfvyxfvfvvvvvyxyxfyxyx且且的方向导数存在的方向导数存在处沿任意方向处沿任意方向在点在点)(),(),(0000 xoxAyxfyxxfz 由此

10、即得由此即得Axzx 0lim. ),(00yxfAx 因此因此. ),(00yxfBy 同理可证同理可证),(),()1()2(0000yxfyyxxfz 可得可得由由)(),(),(0000 oyyxfxyxfyx 证明证明 ,(*),),(),()1(00式成立式成立有有可微时可微时在点在点当当yxyxf,0 xy 得得在其中令在其中令tyxftvytvxfvftyx),(),(lim0020100),(00 ttotvyxftvyxfyxt)(),(),(lim2001000 .1 . 7证证毕毕定定理理200100),(),(vyxfvyxfyx ,21ttvytvx 则则令令上的变

11、化率为上的变化率为在方向在方向,),(21vvvyxfz ,),(内处处可微时内处处可微时在区域在区域当当Dyxfz 内的全微分函数为内的全微分函数为在在则则Dyxfz),( )77(d),(d),(d yyxfxyxfzyx它的全微分公式为它的全微分公式为元函数元函数对对, ),(21nxxxfun )87(dddd2121 nxxxxfxfxfun可写成可写成则全微分则全微分处可微处可微在点在点若若,),(),(000yxPyxfz yyxfxyxfzyxyxd),(d),(d0000),(00 二元函数的可微性、偏导数存在及连续性之间二元函数的可微性、偏导数存在及连续性之间的关系为的关系

12、为偏导数存在且连续偏导数存在且连续可微可微连续连续偏导数存在偏导数存在定理定理7.2.),(),(,),(),(, ),(),(000000处可微处可微在点在点则则连续连续在点在点的偏导数的偏导数若若yxPyxfzyxPyxfyxfyxfzyx 例例6求下列函数的全微分：求下列函数的全微分：;)1(33yxxyz .)2()2(zyxu 解解因此因此yzxzzyxddd ,323yxyzx .,)1(yxzz 先求先求.332xxyzy .d)3(d)3(3223yxxyxyxy 因此因此.,)2(zyxuuu 先求先求,)2(1 zxyxzu,)2(21 zyyxzu),2ln()2(yxy

13、xuzz zuyuxuuzyxdddd .d)2lnd22d2)2( zyxyyxzxyxzyxz（定义定义7.6),(, ),(grad000000yxfyxfffyxpp 三、梯度即即或或或或记为记为处的梯度处的梯度在点在点为函数为函数则称向量则称向量和和数数导导处存在偏处存在偏在点在点设设, )grad,(grad,),(),(, ),(, ),(),(),(),(00000000ppppyxyxzzffPyxfyxfyxfyxfyxfyxPyxfz . )(),(),(, ),(,),(函数函数内的梯度内的梯度在在为为则称则称内处处存在偏导数内处处存在偏导数在区域在区域若若Dyxfyx

14、fyxffDyxfyx 22),(),(,yxfyxfffyx 其长度为其长度为是一个向量是一个向量梯度梯度.,0的方向为梯度方向的方向为梯度方向称称时时当当ff ,),(),(000处可微处可微在在设设yxPyxfz ,)1(,21是任一给定的方向是任一给定的方向 vvvv)97(cos0 pf200100),(),(0vyxfvyxfvfyxp 的标量积形式的标量积形式与与写成梯度写成梯度可将方向导数可将方向导数vfvfPP00 vfp 0.之间的夹角之间的夹角表示梯度与表示梯度与其中其中v 性质性质7.4梯度的几何意义：梯度的几何意义：梯度方向是函数变化率最大的方向梯度方向是函数变化率最

15、大的方向.,),(),(,),(),(0000000pfyxPyxfyxPyxfz 并且等于梯度的长并且等于梯度的长方向的方向导数最大方向的方向导数最大沿梯度沿梯度点的所有方向导数中点的所有方向导数中在在则则处可微处可微在点在点设设例例7解解由于沿梯度方向的方向导数最大，由于沿梯度方向的方向导数最大，., )ln()2(;,)1(,)1, 1(),(,),()1(222212uuzyxuvvvvyxfxyyxf 及及求求设设大值方向的单位向量大值方向的单位向量导数的最大值和取得最导数的最大值和取得最并指出方向并指出方向的方向导数的方向导数任意方向任意方向处沿处沿在点在点求求设设,2),(,),()1(2xyyxfyyxfyx 由于由于21)1, 1()1,1()1,1(vfvfvfyx 212vv 且最大方向导数为梯度