流体力学第2章

1、第第2 2章章 流体静力学流体静力学 研究内容研究内容： 流体在静止状态下的受力平衡规律及流体在静止状态下的受力平衡规律及其在工程中的应用，其在工程中的应用，静压力分布规律、静止流体对固体静压力分布规律、静止流体对固体的作用力，测压仪表的原理等。的作用力，测压仪表的原理等。2.1 流体静压强及其特性流体静压强及其特性2.2 流体的平衡微分方程及其积分流体的平衡微分方程及其积分2.3 重力场中的平衡流体重力场中的平衡流体2.4 静压强的计算和测定静压强的计算和测定2.5 液体的相对平衡液体的相对平衡2.6 静止液体作用于平面壁上总压力静止液体作用于平面壁上总压力2.7 静止液体作用于曲面壁上总压

2、力静止液体作用于曲面壁上总压力2.8 浮力原理浮力原理2.1 流体静压强及特性2.1.1 2.1.1 流体静压强流体静压强作用于单位面积上的压力称为压强，以作用于单位面积上的压力称为压强，以 p 表示表示绝对静止绝对静止流体相对于地球静止。流体相对于地球静止。相对静止相对静止流体相对于地球运动，但相对于容器静止。流体相对于地球运动，但相对于容器静止。2.1.2 2.1.2 静压强的特性静压强的特性 1 1、静压强沿受压面内法线方向。（垂直指向性）、静压强沿受压面内法线方向。（垂直指向性） 2 2、静压强在任意点各方向大小相等。（各向等值性）、静压强在任意点各方向大小相等。（各向等值性）AFp

3、dAdFAFlimp0A平均静压强平均静压强流体静压强流体静压强压强的单位：压强的单位：N/mN/m2 2（PaPa）附：附：一、流体作用力一、流体作用力1.1.表面力表面力 表面力是作用在流体表面或截面上且与作用面的面表面力是作用在流体表面或截面上且与作用面的面积成正比的力，表面力包括压力和切力。积成正比的力，表面力包括压力和切力。 （1 1）作用于单位面积上的压力称为压强，以）作用于单位面积上的压力称为压强，以 p 表示表示PpA0limAPdppAdA （2）作用于单位面积上的切力称为切应力，以）作用于单位面积上的切力称为切应力，以表示表示A0limAdAdA 压强和切应力的单位：压强和

4、切应力的单位：N/m2（Pa），），kN/m2（kPa）up2.质量力质量力 质量力是作用于流体的质点上且与质量成正比的力；质量力是作用于流体的质点上且与质量成正比的力；质量力包括重力和惯性力；质量力包括重力和惯性力；单位质量的流体受到的质量力称单位质量力，用单位质量的流体受到的质量力称单位质量力，用“” 表表示示对于均质流体对于均质流体)()(惯性力，重力mmmammamFFgmmgF单位质量力在直角坐标上的分力分别为 X，Y，Z。证明第二个特性证明第二个特性12xxxxdPp dApdydz12yyyydPp dApdxdz（1 1）表面力）表面力 12zzzzdPp dApdxdynnn

5、dPp dA取微元体做受力分析取微元体做受力分析 （2 2）质量力）质量力 x方向方向 y方向方向 z方向方向 dxdydz61Xdxdydz61Ydxdydz61Z因为因为1cos( , )2nxdAn xdAdydz0 xF0yF0zFxnpp0612121xdxdydzfdydzpdydzpFnxx令微元体令微元体 o 点点061），xdxdydzfxncosdApdApFnnxxx（031dxfppxnx同理同理所以所以ynppxyznpppp( , , )pp x y z静压强是空间点坐标的标量函数静压强是空间点坐标的标量函数 nzpp p的全微分或某点附近的压强增量的全微分或某点附

6、近的压强增量dp为为dzzpdyypdxxpdp2.2 流体的平衡微分方程及其积分 研究流体在平衡状态时，研究流体在平衡状态时，压力与质量力间的关系压力与质量力间的关系2.2.1 平衡微分方程平衡微分方程取一微分六面体取一微分六面体 dxdydz, , y y方向受力分析方向受力分析1.1.表面力表面力按泰勒级数展开按泰勒级数展开2dyypp ！2)()()()()(200000yyypyyypypyp2ydypp右面形心压强右面形心压强左面形心压强左面形心压强xyzdydzdxA(x,y,z)2ydypp2ydyppp2.2.质量力质量力质量质量dxdzdyypp)2(dxdydz左面总压力

7、左面总压力dxdzdyypp)2（yxzdydzdxA(x,y,z)2dyypp2ydypp右面总压力右面总压力dxdydzXdxdydzYdxdydzZ总质量力的分量总质量力的分量y方向力的平衡微分方程方向力的平衡微分方程0)2()2(dxdydzYdxdzdyyppdxdzdyypp01xpX01ypY01zpZ化简，并同理得化简，并同理得欧拉平衡微分方程欧拉平衡微分方程方程意义：方程意义：静止流体中，压强沿某一方向的变化率与该方向单静止流体中，压强沿某一方向的变化率与该方向单位质量力相关，两者平衡；若某方向质量为零，则该方向压强位质量力相关，两者平衡；若某方向质量为零，则该方向压强为常数

8、。为常数。将欧拉方程改造将欧拉方程改造若已知质量力分布，积分可得压强分布规律。)()(dzzpdyypdxxpZdzYdyXdx)(ZdzYdyXdxdp2.2.2 2.2.2 平衡微分方程的积分形成平衡微分方程的积分形成)(zy,x,dp压强微分方程压强微分方程 绝对静止液体几种等压面情况绝对静止液体几种等压面情况1.1.自由液面是等压面、水平面自由液面是等压面、水平面2.2.两种液体的分界面是等压面两种液体的分界面是等压面3.3.连通器内的等压面连通器内的等压面:1):1)同种液体同种液体; 2); 2)互不混合液体互不混合液体21212.2.3 等压面等压面由压强相等的点所组成的面称等压

9、面。由压强相等的点所组成的面称等压面。点点M处受质量力处受质量力 X = 0，Y = 0，Z= -g dp = -gdz积分积分 p = -g z + c (a)在液面在液面 z = z0, p = p0)(ZdzYdyXdxdp2.3.1 液体场合（不可压缩流体）液体场合（不可压缩流体）1. 液体静力学基本方程式液体静力学基本方程式xyzzz0hM2p00000zpgzpc)(00zzpphpp0静力学基本方程，或压强计算式静力学基本方程，或压强计算式2.3 重力场中的平衡流体2. 基本方程的推论基本方程的推论压强分布图压强分布图（1）静压强的大小与液体的体积无直接关系。）静压强的大小与液体

10、的体积无直接关系。相同的液体，压强至和深度相同的液体，压强至和深度h有关。有关。gpzgpz00 p0yzzz0hxp（2）两点的压强差，等于）两点的压强差，等于 两点间单位面积垂直液两点间单位面积垂直液体的重量。体的重量。)(00zzpp)(00zzgpp（3）平衡状态下，液体内任意点压强的变化，等）平衡状态下，液体内任意点压强的变化，等值地传递到其他点。值地传递到其他点。3. 液体静力学基本方程的几何意义与能量意义液体静力学基本方程的几何意义与能量意义Z 位置水头位置水头;单位重量液体具有单位重量液体具有 的位能。（的位能。（m 液柱液柱) 压强水头，单位重量液体具有压强水头，单位重量液体

11、具有 的压强势能。的压强势能。 静压头（测压管水头），单位静压头（测压管水头），单位 重量液体具有的总势能。重量液体具有的总势能。ppz 2.4.1 绝对压强、相对压强、真空度绝对压强、相对压强、真空度 1.1.绝对压强绝对压强pabs 以绝对真空为起以绝对真空为起 点计量的压强。点计量的压强。 2.2.相对压强相对压强pg以当时当地大气压以当时当地大气压 为起点计量的压强为起点计量的压强 （又称表压强）（又称表压强） 当当 pabs pa pabs = pa + pg pg= pabs - pa 3.真空度（真空度（pabs pa） pv = pa - pabs 2.4 2.4 静压强的计算

12、与测定静压强的计算与测定压强单位压强单位 1.应力单位应力单位 (N/m2)，Pa，MPa （106 Pa) 2.液柱高度液柱高度 m液体柱（水柱，油柱，汞柱）液体柱（水柱，油柱，汞柱） 3.大气压大气压 大气压的倍数大气压的倍数 换算换算 1标准大气压标准大气压=1.013105 Pa =760mm汞柱汞柱=10.33m水柱水柱 1 1工程大气压工程大气压=105Pa=10 m水柱水柱2.4.2 压强单位和测量基准压强单位和测量基准2.4.3 压强测定压强测定1 1形管测压计形管测压计 U形管一端通大气，另一形管一端通大气，另一端与存有压力为端与存有压力为，密度为，密度为的液体的容器相连。的

13、液体的容器相连。AB为等压面为等压面 p + h1= pa + h2得容器内表压力（即相对压强）：得容器内表压力（即相对压强）： p - pa = h2 - h1h2h1ABh1h2ppa例题：已知例题：已知h1=0.2m，h2=0.5m，求，求M点水的绝对压强和点水的绝对压强和相对压强。求水面气压相对压强。求水面气压p0？解：解：Mp0h1h2(kPa)210650893101.M点相对压强点相对压强aMMppp(kPa)9450892.h2hppaM水面压强水面压强)(210hhppM(kPa)3499)5020(892106.(kPa)961349931010.pppav真空度例：在管道

14、例：在管道M上装一复式上装一复式U形水银测形水银测压计，已知测压计上各液面及压计，已知测压计上各液面及A点的点的标高为：标高为： 1=1.8m， 2=0.6m， 3=2.0m， 4=1.0m， A= 5=1.5m。试确定管中试确定管中A点压强。点压强。解：解：)()()()(45432321ggggppwmwmaA)(g)(gpwma45234321).(g).(gpwma01516002010260819 . 1108 . 92 . 2108 . 96 .1333ap)(N/m108827423.pa2 2倾斜管微压计倾斜管微压计倾斜管微压计的结构如图倾斜管微压计的结构如图)AAlsinl

15、(gp)hhg(ppaa2121)sinAA1(sinlgppa21122AlhAsin1lh sinklgppasin121AAk令 k 称为称为 校准系数校准系数, , 其值不是根据面积其值不是根据面积A2和和A1以以及角度计算出来，而是根据实验来确定。及角度计算出来，而是根据实验来确定。金属压力表金属压力表压力表指示值为相对压强压力表指示值为相对压强容器中容器中A点的相对压强点的相对压强 ApMhhppMA表2.5 液体的相对平衡 液体在相对平衡情况下，既受到重力作用，又受到液体在相对平衡情况下，既受到重力作用，又受到其它质量力，本节讨论在各质量力共同作用下的静压分其它质量力，本节讨论在

16、各质量力共同作用下的静压分布规律。布规律。 分析方法是根据达朗伯原理，将运动问题变为静止分析方法是根据达朗伯原理，将运动问题变为静止问题来研究。问题来研究。2.5.1 等加速直线运动容器中液体平衡等加速直线运动容器中液体平衡1、静压分布规律、静压分布规律dp=(Xdx + Ydy +Zdz)重力重力 X1=0, Y1=0, Z1= -g惯性力惯性力 X2= -a, Y2=0, Z2= 0总单位质量力总单位质量力 X = X1 + X2= -a，Y = Y1 + Y2 = 0，Z= Z1 +Z2 = -g Fagzxa dp = -(adx +gdz) 积分积分 p = -p = -( (ax+

17、 gz)+c)+c边界条件：边界条件： x = 0，z = 0，p = p0，c = pa压强计算压强计算 p = p0 - (ax + gz) (1)2、等压面方程、等压面方程令 p = c ,由式（由式（1）得：）得： ax + gz = c (等压面方程等压面方程,平面簇）平面簇） 自由液面上，自由液面上，x = 0,z = 0,c = 0 ax + gz=0 （自由面方程）（自由面方程）液面倾角液面倾角 ）（ga-arctgxzarctgFagzxa 1、压强分布规律、压强分布规律)(ZdzYdyXdxdpgZYX111, 0, 0重力xX22惯性力yY2202ZxX2总质量力yY2g

18、Z二、等角速度旋转容器内相对平衡二、等角速度旋转容器内相对平衡yxzgyyxy2x2ra2xp0)(22dzgydyxdxdpcgzyxp)22(2222积分czgr)2(220000pcpp,z ,r边界条件)2(220zgrpp)2(22表zgrpyxzgyyxx2y2ra2xp02.等压面方程等压面方程等压面为旋转抛物面簇等压面为旋转抛物面簇自由液面方程自由液面方程(r = 0,z = 0,c = 0)cp czgr)2(22cgrz222即grzs222超高水头令hzshzhp）（压强计算为表zxygxxyx2y2ra2yh2.6 静止液体对平面壁的总压力dA上总压力上总压力 dF =

19、 (p0 + h)dA- p0dA平面上总压力平面上总压力AAhdAdFFAydAsinAydAyAc设计水坝、闸门及容器的壳体时，静水压力的计设计水坝、闸门及容器的壳体时，静水压力的计算是必不可少的。算是必不可少的。1.总压力计算总压力计算静矩静矩yp0 xdAyhodF所以，总压力所以，总压力 F = yc sinA或或 F = hcA注意：式中注意：式中A为平板淹没面积，为平板淹没面积， hc为淹没面积的形心深度。为淹没面积的形心深度。思考思考 ：总压力作用点是否通过形心点？总压力作用点是否通过形心点？yp0 xdAycychcohF= pcA2.2.总压力作用点总压力作用点合力矩定理：

20、合力矩定理： 合力对某轴之矩等合力对某轴之矩等于诸分力对该轴力矩和于诸分力对该轴力矩和ydFyFADAyJycxD总压力作用点ydAyAsinxJ惯性矩xyp0dAy oFhchDCDycyDhAdAy2sin由惯性矩平行移轴定理由惯性矩平行移轴定理总压力作用点总压力作用点AyJJccx2Ic 是过面积是过面积A的形心并平行的形心并平行ox轴的惯性矩轴的惯性矩AyJAyycccD2AyJyycccD常见图形的常见图形的 lC 和和 Jc2h312bh23h336bh图形名称图形名称JcJc例题：一矩形挡水闸门，长例题：一矩形挡水闸门，长a=2m,宽宽b=1.5m,它的中心到它的中心到水面高度水面高度h=6m。求挡水闸门受到的总压力和墙在。求挡水闸门受到的总压力和墙在A处受处受到闸的作用力到闸的作用力F。解：1.总压力P =g hc A = g h b a =980061.52 =176400 (N)2.作用力FhAoaFDhahl2)hAIh(ahc2abhbaa1223)(944. 025 . 161225 . 1223mlalPF0aFlP)(83300 NlP取分离体取分离体abd, 列力平衡方程列力平衡方程 FX = 0 Fbd -Fx= 0 Fx= F